Brahistocrona

Un cicloid folosit ca brahistocron.

În fizica matematică , brahistocronul (din grecescul βράχιστος, brachistos - cel mai scurt, χρόνος, chronos - timp) ^[1] este o traiectorie între două puncte care verifică principiul lui Fermat . Constituie un element fundamental în studiul mecanicii clasice și al opticii geometrice , conectându-se la legea lui Snell .

Exemplu mecanic

Sfera care trece prin cicloidă ajunge la punctul de sosire înaintea tuturor celorlalte.

Lasa-i sa fie $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ Și $B.$ ${\ displaystyle B}$ $B.$ două puncte fixate. Să luăm în considerare o masă punctuală $M.$ ${\ displaystyle M}$ $M.$ deplasându-se într-un plan vertical pe un ghid curbat care leagă două puncte $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ Și $B.$ ${\ displaystyle B}$ $B.$ ^[2] ; masa $M.$ ${\ displaystyle M}$ $M.$ este supus câmpului gravitațional. Timpul pe care $M.$ ${\ displaystyle M}$ $M.$ trebuie să pleci de la $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ la $B.$ ${\ displaystyle B}$ $B.$ , cu viteza inițială zero, depinde de traiectorie, care este determinată de forma ghidajului. Contrar credinței populare, timpul nu este minim dacă ghidul este cel cu lungime minimă între $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ Și $B.$ ${\ displaystyle B}$ $B.$ (adică drept). Curba care permite particulelor să meargă din punct $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ până la punctul $B.$ ${\ displaystyle B}$ $B.$ în cel mai scurt timp posibil este un cicloid și se numește brahistocron , adică curba celui mai scurt timp , iar determinarea acestuia este un exemplu clasic al unei probleme care se rezolvă cu calculul variațiilor .

Soluția problemei este, prin urmare, un cicloid care are puncte ca extreme $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ Și $B.$ ${\ displaystyle B}$ $B.$ .

Istorie

Descendență brahistocronă de Francesco Spighi (secolul al XVII-lea, Muzeul Galileo din Florența).

Galilei observase deja că o sferă care se rostogolește de-a lungul unui arc de cerc ajunge mai devreme la capăt decât una care rulează de-a lungul șirului corespunzător, chiar dacă traiectoria acestuia din urmă este mai scurtă.

Cu toate acestea, problema a fost propusă pentru prima dată într-o formă oficială de Johann Bernoulli în iunie 1696 . ^[3] În introducerea sa, el a menționat că era dificil chiar și pentru acei matematicieni care au extins matematica cu teoreme „care (spun ei) nu erau cunoscute de nimeni”, cu o aluzie și provocare evidentă pentru Newton , care era împotriva lui în Newton -Contesta Leibniz . Problema a circulat în toată Europa și după scurt timp a sosit un răspuns nesemnat de la Leibniz, unul de la L'Hopital și unul din Anglia : Bernoulli l-a recunoscut imediat pe Newton drept autor. Se spune chiar că marele om de știință englez a rezolvat problema peste noapte după o zi obositoare de muncă.

Mai târziu, Alexis Fontaine des Bertins și Jakob , fratele rival al lui Johann, au rezolvat problema.

Notă

^ Brachistochrone , în 1911 Encyclopædia Britannica , Volumul 4. Accesat la 25 aprilie 2020 .
^ Ghidul ar trebui să fie lipsit de frecare; înlocuind punctul material cu un corp real, de exemplu o bilă rulantă, unii parametri ai problemei se schimbă, dar în esență rezultatul este același.
^ ( LA ) Johann Bernoulli, Problema novum ad cujus solutionem Mathematici invitantur , în Acta Eruditorum , vol. 18, Christoph Günther, iunie 1696, p. 269. Adus la 25 aprilie 2020 .

Elemente conexe

Alte proiecte

Wikimedia Commons conține imagini sau alte fișiere pe brahistocrona

linkuri externe

( EN ) Brachistocrona , în Encyclopedia Britannica , Encyclopædia Britannica, Inc.

Controlul autorității	LCCN ( EN ) sh85016244

Portalul de matematică

Portal mecanic

[1] Brachistochrone , în 1911 Encyclopædia Britannica , Volumul 4. Accesat la 25 aprilie 2020 .

[2] Ghidul ar trebui să fie lipsit de frecare; înlocuind punctul material cu un corp real, de exemplu o bilă rulantă, unii parametri ai problemei se schimbă, dar în esență rezultatul este același.

[3] ( LA ) Johann Bernoulli, Problema novum ad cujus solutionem Mathematici invitantur , în Acta Eruditorum , vol. 18, Christoph Günther, iunie 1696, p. 269. Adus la 25 aprilie 2020 .

[1]

[2]

[3]