Calculul variațiilor

Această intrare pe tema analizei matematice este doar o schiță . Contribuiți la îmbunătățirea acestuia în conformitate cu convențiile Wikipedia .

Calculul variațiilor este un câmp de analiză funcțională care se ocupă cu cercetarea și proprietățile punctelor extreme (maximul și minimul) așa-numitelor funcționale , sau funcții al căror domeniu este la rândul său un set de funcții.

Funcționalitățile pot fi de exemplu formulate ca integrale care implică o funcție necunoscută și derivatele acesteia; interesul este pentru funcțiile „extremale”, adică cele care fac ca valoarea funcțională să fie maximă sau minimă. Unele probleme clasice de curbă au fost puse în această formă; un exemplu este cel al curbei brahistocrone , calea de la un punct A la un punct B nealiniat vertical de-a lungul căruia o particulă supusă gravitației ar coborî în cel mai scurt timp. În acest caz trebuie să minimalizăm funcția care reprezintă timpul dintre toate curbele de la A la B.

Descriere

Teorema cheie a calculului clasic al variațiilor este ecuația Euler-Lagrange . Aceasta corespunde unei condiții staționare pentru funcțional. Ca și în cazul căutării maximelor și minimelor unei funcții, analiza variațiilor mici în jurul unei soluții presupuse conduce la o condiție de prim ordin. Nu este posibil să se spună direct dacă s-a găsit un maxim, un minim sau nici unul, nici unul.

În prezent, Calculul variațiilor se desfășoară folosind metode directe, care încearcă să arate direct existența minimelor pentru funcționalitățile de tip integral prin aplicarea unei generalizări a teoremei clasice Weierstrass .

Metodele variaționale sunt importante în fizica teoretică : în mecanica lagrangiană și în aplicarea principiului celei mai mici acțiuni asupra fizicii cuantice . Metodele variaționale oferă baza matematică pentru metoda elementelor finite , care sunt un instrument foarte puternic pentru rezolvarea problemelor la graniță . Ele sunt, de asemenea, utilizate pe scară largă pentru studiul echilibrelor statice în știința materialelor , în matematica pură, de exemplu în utilizarea lui Bernhard Riemann a principiului Dirichlet pentru funcțiile armonice și în economia politică , pentru soluționarea problemelor de optimizare intertemporală.

Aceleași concepte pot apărea sub o altă formă, de exemplu ca tehnici pentru spațiile Hilbert , ca teoria Morse sau geometria simplectică . Termenul variațional este utilizat în toate cazurile de funcționalități extremale. Studiul geodeziei în geometrie diferențială este un câmp cu un conținut evident variațional. S-a lucrat mult la problema suprafeței minime (problema bulei de săpun ), cunoscută și sub numele de problema Platoului .

Bibliografie

• Leonida Tonelli : Fundamentele calculului variațiilor , N. Zanichelli, 1921-23
• Todhunter, I. O istorie a calculului variațiilor , Chelsea, 1861
• Carll, LB Un tratat despre calculul variațiilor John Wiley și fii, 1881
• Hancock, H. Prelegeri despre calculul variațiilor (teoria Weierstrassiană) Cincinnati University Press, 1904
• Bolza, O Lectures on the calculus of variations , Chicago University Press, 1904
• Byerly, WE Introducere în calculul variațiilor Harvard University Press, 1917
• Weinstock, R. Calculul variațiilor cu aplicații la fizică și inginerie , McGrawHill, 1952
• Hadamard J. și Fréchet, M. Leçons sur le calcul des variations (franceză) Hermann, 1910
• Fomin, SV și Gelfand, IM: Calculul variațiilor, Dover Publ., 2000
• Lebedev, LP și Cloud, MJ: Calculul variațiilor și analiza funcțională cu control optim și aplicații în mecanică, World Scientific, 2003, paginile 1 - 98
• Charles Fox : Introducere în calculul variațiilor, Dover Publ., 1987
• Giuseppe Buttazzo , Gianni Dal Maso , Ennio De Giorgi . Variații, calculul , Enciclopedia secolului XX , Supliment II (1998), Institutul Enciclopediei italiene Treccani
• Gianni Dal Maso , Variații, calculul , Enciclopedia științei și tehnologiei , (2007), Institutul enciclopediei italiene Treccani

Elemente conexe

• Inegalitate izoperimetrică
• Principiul variațional al lui Hamilton
• Principiul Maupertuis
• Principiul lui Fermat
• Principiul acțiunii minime
• Analiza funcțională
• Lemă fundamentală a calculului variațiilor
• Teorema pasului de munte

Alte proiecte

• Wikimedia Commons conține imagini sau alte fișiere despre calculul variațiilor

linkuri externe

• ( EN ) Calculul variațiilor , în Encyclopedia Britannica , Encyclopædia Britannica, Inc.
• Capitolul III: Introducere în calculul variațiilor de Johan Byström, Lars-Erik Persson și Fredrik Strömberg

Portalul de matematică

Portal mecanic