Calculul tensorului

Vocea principală: Tensor .

Calculul tensorului este acea parte a analizei care manipulează tensorii .

Dezvoltat de Gregorio Ricci-Curbastro și elevul său Tullio Levi-Civita , a fost folosit de Albert Einstein pentru a elabora teoria relativității generale . Comparativ cu calculul infinitezimal, calculul tensorial permite prezentarea ecuațiilor fizice într-o formă independentă de alegerea sistemului de coordonate .

Potrivit lui Eddington , acesta este singurul mijloc posibil de a exprima fenomenele într-o formă obiectivă și de a explica legile fizicii ca combinații de legi și mai profunde, cele ale spațiului-timp.

Derivat tensorial

Este $\phi$ ${\ displaystyle \ phi}$ $\ phi$ un scalar, cum ar fi o funcție scalară invariantă extinsă în continuumul cu patru dimensiuni. Să luăm acum în considerare o curbă $S.$ ${\ displaystyle S}$ $S.$ oricare ar fi, pe care stabilim o metrică pentru care este distanța de la un punct fix măsurat pe curbă $s :$ ${\ displaystyle s:}$ ${\ displaystyle s:}$ apoi și ${\frac {d\phi }{ds}}$ ${\ displaystyle {\ frac {d \ phi} {ds}}}$ ${\ frac {d \ phi} {ds}}$ este invariant, fiind ambele invariante $d s$ ${\ displaystyle ds}$ $ds$ acea $d\phi$ ${\ displaystyle d \ phi}$ ${\ displaystyle d \ phi}$ . Pentru că relația este valabilă

{\frac {d\phi }{ds}}=\sum _{\mu }{\frac {\partial \phi }{\partial x^{\mu }}}{\frac {dx^{\mu }}{ds}}

{\ displaystyle {\ frac {d \ phi} {ds}} = \ sum _ {\ mu} {\ frac {\ partial \ phi} {\ partial x ^ {\ mu}}} {\ frac {dx ^ { \ mu}} {ds}}}

{\ frac {d \ phi} {ds}} = \ sum _ {\ mu} {\ frac {\ partial \ phi} {\ partial x ^ {\ mu}}} {\ frac {dx ^ {\ mu} } {ds}}

al doilea membru este, de asemenea, un invariant (vom omite simbolul sumă în cele ce urmează, cu convențiile obișnuite). De aici și patru-vectorul

A_{\mu }={\frac {\partial \phi }{\partial x^{\mu }}}

{\ displaystyle A _ {\ mu} = {\ frac {\ partial \ phi} {\ partial x ^ {\ mu}}}}

A _ {\ mu} = {\ frac {\ partial \ phi} {\ partial x ^ {\ mu}}}

acesta este gradientul $\phi$ ${\ displaystyle \ phi}$ $\ phi$ , este covariant. Dacă definim un nou invariant

\psi ={\frac {\partial \phi }{\partial x^{\mu }}}{\frac {dx^{\mu }}{ds}}

{\ displaystyle \ psi = {\ frac {\ partial \ phi} {\ partial x ^ {\ mu}}} {\ frac {dx ^ {\ mu}} {ds}}}

\ psi = {\ frac {\ partial \ phi} {\ partial x ^ {\ mu}}} {\ frac {dx ^ {\ mu}} {ds}}

așa cum am văzut înainte, $\chi ={\frac {d\psi }{ds}}$ ${\ displaystyle \ chi = {\ frac {d \ psi} {ds}}}$ $\ chi = {\ frac {d \ psi} {ds}}$ este un invariant. Prin înlocuirea a $\psi$ ${\ displaystyle \ psi}$ $\ psi$ expresia lui, obținem

\chi ={\frac {\partial ^{2}\phi }{\partial x^{\mu }\partial x^{\nu }}}{\frac {dx^{\mu }}{ds}}{\frac {dx^{\nu }}{ds}}+{\frac {\partial \phi }{\partial x^{\mu }}}{\frac {d^{2}x^{\mu }}{ds^{2}}}

{\ displaystyle \ chi = {\ frac {\ partial ^ {2} \ phi} {\ partial x ^ {\ mu} \ partial x ^ {\ nu}}} {\ frac {dx ^ {\ mu}} { ds}} {\ frac {dx ^ {\ nu}} {ds}} + {\ frac {\ partial \ phi} {\ partial x ^ {\ mu}}} {\ frac {d ^ {2} x ^ {\ mu}} {ds ^ {2}}}}

\ chi = {\ frac {\ partial ^ {2} \ phi} {\ partial x ^ {\ mu} \ partial x ^ {\ nu}}} {\ frac {dx ^ {\ mu}} {ds}} {\ frac {dx ^ {\ nu}} {ds}} + {\ frac {\ partial \ phi} {\ partial x ^ {\ mu}}} {\ frac {d ^ {2} x ^ {\ mu }} {ds ^ {2}}}

Amintind că ecuația generală a unei geodezice pentru spațiu-timp, folosind simbolurile Christoffel de al doilea fel, are forma

{\frac {d^{2}x^{\tau }}{ds^{2}}}+\left\{{\begin{matrix}\tau \\\nu \mu \end{matrix}}\right\}{\frac {dx^{\nu }}{ds}}{\frac {dx^{\mu }}{ds}}=0

{\ displaystyle {\ frac {d ^ {2} x ^ {\ tau}} {ds ^ {2}}} + \ left \ {{\ begin {matrix} \ tau \\\ nu \ mu \ end {matrix }} \ right \} {\ frac {dx ^ {\ nu}} {ds}} {\ frac {dx ^ {\ mu}} {ds}} = 0}

{\ frac {d ^ {2} x ^ {\ tau}} {ds ^ {2}}} + \ left \ {{\ begin {matrix} \ tau \\\ nu \ mu \ end {matrix}} \ dreapta \} {\ frac {dx ^ {\ nu}} {ds}} {\ frac {dx ^ {\ mu}} {ds}} = 0

obținem valoarea de ${\frac {d^{2}x^{\mu }}{ds^{2}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {d ^ {2} x ^ {\ mu}} {ds ^ {2}}}}$ ${\ frac {d ^ {2} x ^ {\ mu}} {ds ^ {2}}}$ , pe care îl înlocuim. Deci avem relația

\chi =\left[{\frac {\partial ^{2}\phi }{\partial x^{\mu }\partial x^{\nu }}}-\left\{{\begin{matrix}\tau \\\nu \mu \end{matrix}}\right\}{\frac {\partial \phi }{\partial x^{\tau }}}\right]{\frac {dx^{\nu }}{ds}}{\frac {dx^{\mu }}{ds}}.

{\ displaystyle \ chi = \ left [{\ frac {\ partial ^ {2} \ phi} {\ partial x ^ {\ mu} \ partial x ^ {\ nu}}} - \ left \ {{\ begin { matrix} \ tau \\\ nu \ mu \ end {matrix}} \ right \} {\ frac {\ partial \ phi} {\ partial x ^ {\ tau}}} \ right] {\ frac {dx ^ { \ nu}} {ds}} {\ frac {dx ^ {\ mu}} {ds}}.}

{\ displaystyle \ chi = \ left [{\ frac {\ partial ^ {2} \ phi} {\ partial x ^ {\ mu} \ partial x ^ {\ nu}}} - \ left \ {{\ begin { matrix} \ tau \\\ nu \ mu \ end {matrix}} \ right \} {\ frac {\ partial \ phi} {\ partial x ^ {\ tau}}} \ right] {\ frac {dx ^ { \ nu}} {ds}} {\ frac {dx ^ {\ mu}} {ds}}.}

Teorema lui Schwarz ne garantează că ordinea de derivare cu privire la $\nu$ ${\ displaystyle \ nu}$ $\ nu$ Și $\mu$ ${\ displaystyle \ mu}$ $\ mu$ este inversabil, iar simbolul Christoffel de al doilea fel este simetric în raport cu $\nu$ ${\ displaystyle \ nu}$ $\ nu$ Și $\mu$ ${\ displaystyle \ mu}$ $\ mu$ , prin urmare, relația dintre paranteze pătrate dată mai sus este, de asemenea, simetrică. Pentru generalitatea $x^{\nu }$ ${\ displaystyle x ^ {\ nu}}$ ${\ displaystyle x ^ {\ nu}}$ , patru-vector ${\frac {dx^{\mu }}{ds}}$ ${\ displaystyle {\ frac {dx ^ {\ mu}} {ds}}}$ ${\ frac {dx ^ {\ mu}} {ds}}$ este arbitrar. Amintind invarianța $X,$ ${\ displaystyle x,}$ ${\ displaystyle x,}$ obținem astfel că relația

A_{\nu /\mu }={\frac {\partial ^{2}\phi }{\partial x^{\mu }\partial x^{\nu }}}-\left\{{\begin{matrix}\tau \\\nu \mu \end{matrix}}\right\}{\frac {\partial \phi }{\partial x^{\tau }}}

{\ displaystyle A _ {\ nu / \ mu} = {\ frac {\ partial ^ {2} \ phi} {\ partial x ^ {\ mu} \ partial x ^ {\ nu}}} - \ left \ { {\ begin {matrix} \ tau \\\ nu \ mu \ end {matrix}} \ right \} {\ frac {\ partial \ phi} {\ partial x ^ {\ tau}}}}

A _ {{\ nu / \ mu}} = {\ frac {\ partial ^ {2} \ phi} {\ partial x ^ {\ mu} \ partial x ^ {\ nu}}} - \ left \ {{ \ begin {matrix} \ tau \\\ nu \ mu \ end {matrix}} \ right \} {\ frac {\ partial \ phi} {\ partial x ^ {\ tau}}}

reprezintă un tensor covariant de ordinul doi.

În rezumat, din covariantul cu patru vectori

A_{\mu }={\frac {\partial \phi }{\partial x^{\mu }}}

{\ displaystyle A _ {\ mu} = {\ frac {\ partial \ phi} {\ partial x ^ {\ mu}}}}

A _ {\ mu} = {\ frac {\ partial \ phi} {\ partial x ^ {\ mu}}}

am obținut tensorul covariant de ordinul doi

A_{\mu /\nu }={\frac {\partial A_{\mu }}{\partial x^{\nu }}}-\left\{{\begin{matrix}\tau \\\mu \nu \end{matrix}}\right\}A_{\tau }.

{\ displaystyle A _ {\ mu / \ nu} = {\ frac {\ partial A _ {\ mu}} {\ partial x ^ {\ nu}}} - \ left \ {{\ begin {matrix} \ tau \\ \ mu \ nu \ end {matrix}} \ right \} A _ {\ tau}.}

{\ displaystyle A _ {\ mu / \ nu} = {\ frac {\ partial A _ {\ mu}} {\ partial x ^ {\ nu}}} - \ left \ {{\ begin {matrix} \ tau \\ \ mu \ nu \ end {matrix}} \ right \} A _ {\ tau}.}

Vom numi acest tensor derivatul tensorial al tensorului A _μ . Este ușor de văzut că acest rezultat se aplică nu numai dintr-un gradient, ci și din orice vector covariant. De fapt, este suficient să menționăm că, având în vedere două scalare $\phi$ ${\ displaystyle \ phi}$ $\ phi$ Și $\psi$ ${\ displaystyle \ psi}$ $\ psi$ , așa cum s-a văzut înainte $\psi {\frac {\partial \phi }{\partial x^{\mu }}}$ ${\ displaystyle \ psi {\ frac {\ partial \ phi} {\ partial x ^ {\ mu}}}}$ $\ psi {\ frac {\ partial \ phi} {\ partial x ^ {\ mu}}}$ este un tensor covariant de ordinul întâi. Același lucru se poate spune despre o sumă a oricăror patru dintre acești vectori $S_{\mu }=\psi _{\nu }{\frac {\partial \phi _{\nu }}{\partial x^{\mu }}}$ ${\ displaystyle S _ {\ mu} = \ psi _ {\ nu} {\ frac {\ partial \ phi _ {\ nu}} {\ partial x ^ {\ mu}}}}$ $S _ {\ mu} = \ psi _ {\ nu} {\ frac {\ partial \ phi _ {\ nu}} {\ partial x ^ {\ mu}}}$ . Acum, orice vector A _μ poate fi exprimat sub forma de S _μ (cum este lăsat cititorului pentru exercițiu). În ceea ce privește restul dovezilor, trebuie doar să refaceți calea de la $\psi {\frac {\partial \phi }{\partial x^{\mu }}}$ ${\ displaystyle \ psi {\ frac {\ partial \ phi} {\ partial x ^ {\ mu}}}}$ $\ psi {\ frac {\ partial \ phi} {\ partial x ^ {\ mu}}}$ și obținem exact aceeași formulă, ceea ce ne așteptam.

Să examinăm acum cazul unui tensor de ordinul doi A _μν , am văzut deja că este posibil să-l exprimăm ca suma produselor de tip A _μ B _ν . Reamintind regula de derivare a produsului, derivăm cei doi tensori individual, obținând

A_{\mu /\sigma }={\frac {\partial A_{\mu }}{\partial x^{\sigma }}}-\left\{{\begin{matrix}\tau \\\mu \sigma \end{matrix}}\right\}A_{\tau }

{\ displaystyle A _ {\ mu / \ sigma} = {\ frac {\ partial A _ {\ mu}} {\ partial x ^ {\ sigma}}} - \ left \ {{\ begin {matrix} \ tau \\ \ mu \ sigma \ end {matrix}} \ right \} A _ {\ tau}}

A _ {{\ mu / \ sigma}} = {\ frac {\ partial A _ {\ mu}} {\ partial x ^ {\ sigma}}} - \ left \ {{\ begin {matrix} \ tau \ \\ mu \ sigma \ end {matrix}} \ right \} A _ {\ tau}

Și

B_{\nu /\sigma }={\frac {\partial B_{\nu }}{\partial x^{\sigma }}}-\left\{{\begin{matrix}\tau \\\nu \sigma \end{matrix}}\right\}B_{\tau }

{\ displaystyle B _ {\ nu / \ sigma} = {\ frac {\ partial B _ {\ nu}} {\ partial x ^ {\ sigma}}} - \ left \ {{\ begin {matrix} \ tau \\ \ nu \ sigma \ end {matrix}} \ right \} B _ {\ tau}}

B _ {{\ nu / \ sigma}} = {\ frac {\ partial B _ {\ nu}} {\ partial x ^ {\ sigma}}} - \ left \ {{\ begin {matrix} \ tau \ \\ nu \ sigma \ end {matrix}} \ right \} B _ {\ tau}

Aceste expresii sunt tensori. Înmulțind apoi primul cu B _ν și al doilea cu A _μ , obținem încă șase tensori de ordinul trei. Adăugarea lor și plasarea

A_{\mu \nu }=A_{\mu }B_{\nu }\

{\ displaystyle A _ {\ mu \ nu} = A _ {\ mu} B _ {\ nu} \}

A _ {{\ mu \ nu}} = A _ {\ mu} B _ {\ nu} \

noi obținem

A_{\mu \nu /\sigma }={\frac {\partial A_{\mu \nu }}{\partial x^{\sigma }}}-\left\{{\begin{matrix}\tau \\\mu \sigma \end{matrix}}\right\}A_{\tau \nu }-\left\{{\begin{matrix}\tau \\\nu \sigma \end{matrix}}\right\}A_{\mu \tau }

{\ displaystyle A _ {\ mu \ nu / \ sigma} = {\ frac {\ partial A _ {\ mu \ nu}} {\ partial x ^ {\ sigma}}} - \ left \ {{\ begin { matrix} \ tau \\\ mu \ sigma \ end {matrix}} \ right \} A _ {\ tau \ nu} - \ left \ {{\ begin {matrix} \ tau \\\ nu \ sigma \ end { matrice}} \ right \} A _ {\ mu \ tau}}

A _ {{\ mu \ nu / \ sigma}} = {\ frac {\ partial A _ {{\ mu \ nu}}} {\ partial x ^ {\ sigma}}} - \ left \ {{\ begin {matrix} \ tau \\\ mu \ sigma \ end {matrix}} \ right \} A _ {{\ tau \ nu}} - \ left \ {{\ begin {matrix} \ tau \\\ nu \ sigma \ end {matrix}} \ right \} A _ {{\ mu \ tau}}

În mod similar cu ceea ce am văzut înainte, este posibil să extindem rezultatul la orice tensor de ordinul doi și, folosind regulile normale pentru înmulțirea tensoarelor, se obțin cu ușurință expresiile derivatelor tensorului pentru orice ordine de tensori.

Divergența unui tensor

Având în vedere un tensor de ordinul întâi A ^μ , putem considera mai întâi noul tensor obținut prin derivarea tensorială

F_{\nu }^{\mu }=A_{/\nu }^{\mu }

{\ displaystyle F _ {\ nu} ^ {\ mu} = A _ {/ \ nu} ^ {\ mu}}

F _ {{\ nu}} ^ {{\ mu}} = A _ {{/ \ nu}} ^ {{\ mu}}

și apoi contracția tensorului F ^μ _ν

F_{\nu }^{\nu }=A_{/\nu }^{\nu }

{\ displaystyle F _ {\ nu} ^ {\ nu} = A _ {/ \ nu} ^ {\ nu}}

F _ {{\ nu}} ^ {{\ nu}} = A _ {{/ \ nu}} ^ {{\ nu}}

Scalarul astfel obținut definește divergența lui A ^μ

\operatorname {div} A^{\mu }=A_{/\mu }^{\mu }

{\ displaystyle \ operatorname {div} A ^ {\ mu} = A _ {/ \ mu} ^ {\ mu}}

\ operatorname {div} A ^ {{\ mu}} = A _ {{/ \ mu}} ^ {{\ mu}}

Aceasta arată cum divergența unui vector este invariantă sub schimbarea coordonatelor.

Rotorul unui tensor

Rotorul unui tensor de ordinul întâi A ^μ poate fi definit, într-un mod formal, într-un mod analog produsului vectorial între vectori, presupunând ca al doilea vector componentele operatorului ∇. Prin intermediul simbolului Levi-Civita ε _ijk avem atunci

\operatorname {rot} A^{\mu }=\varepsilon _{ijk}\partial ^{j}A^{k}

{\ displaystyle \ operatorname {rot} A ^ {\ mu} = \ varepsilon _ {ijk} \ partial ^ {j} A ^ {k}}

\ operatorname {rot} A ^ {{\ mu}} = \ varepsilon _ {{ijk}} \ partial ^ {j} A ^ {k}

unde ∂ ^j definește derivata contravariantă, adică prin intermediul tensorului fundamental g ^jl

\partial ^{j}=g^{jl}\partial _{l}

{\ displaystyle \ partial ^ {j} = g ^ {jl} \ partial _ {l}}

\ partial ^ {j} = g ^ {{jl}} \ partial _ {l}

În general, rotorul unui tensor nxn este la rândul său un tensor, care are pentru coloane, rotorul rândurilor. (De exemplu, prima coloană a tensorului rezultat va fi rotorul primului rând, a doua coloană va fi rotorul celui de-al doilea rând și așa mai departe)

Exemple

Multe dintre operațiile obișnuite efectuate în algebră liniară pot fi descrise folosind tensori, scrise în coordonate și manipulându-le prin produse și contracții.

Funcționalități liniare

O funcționalitate liniară $T.$ ${\ displaystyle T}$ $T.$ este un covector $T_{a}$ ${\ displaystyle T_ {a}}$ $T_ {a}$ , adică un tensor de tip $(0,1)$ ${\ displaystyle (0,1)}$ $(0,1)$ . Un vector $v$ ${\ displaystyle v}$ $v$ este descris de un tensor $v^{b}$ ${\ displaystyle v ^ {b}}$ $v ^ {b}$ de tip $(1,0)$ ${\ displaystyle (1,0)}$ $(1,0)$ . Urcare $T(v)$ ${\ displaystyle T (v)}$ $TELEVIZOR)$ este deci

T(v)=T_{i}v^{i}

{\ displaystyle T (v) = T_ {i} v ^ {i}}

T (v) = T_ {i} v ^ {i}

obținut mai întâi prin realizarea produsului celor doi tensori și apoi prin contractarea indicilor.

Endomorfisme

Un endomorfism $T.$ ${\ displaystyle T}$ $T.$ poate fi descris ca un tensor $T_{a}^{b}$ ${\ displaystyle T_ {a} ^ {b}}$ $T_ {a} ^ {b}$ de tip $(1,1)$ ${\ displaystyle (1,1)}$ $(1.1)$ . Un vector $v$ ${\ displaystyle v}$ $v$ ca un tensor $v^{c}$ ${\ displaystyle v ^ {c}}$ $v ^ {c}$ de tip $(1,0)$ ${\ displaystyle (1,0)}$ $(1,0)$ . Vectorul $u=T(v)$ ${\ displaystyle u = T (v)}$ $u = T (v)$ este deci

u^{b}=T_{i}^{b}v^{i}.

{\ displaystyle u ^ {b} = T_ {i} ^ {b} v ^ {i}.}

u ^ {b} = T_ {i} ^ {b} v ^ {i}.

Forme biliniare

O formă biliniară $T.$ ${\ displaystyle T}$ $T.$ poate fi descris ca un tensor $T_{ab}$ ${\ displaystyle T_ {ab}}$ $T_ {ab}$ . Având în vedere doi vectori $v^{c}$ ${\ displaystyle v ^ {c}}$ $v ^ {c}$ Și $w^{d}$ ${\ displaystyle w ^ {d}}$ $w ^ {d}$ , urcare $T(v,w)$ ${\ displaystyle T (v, w)}$ $T (v, w)$ este dat de

T(v,w)=T_{ij}v^{i}w^{j}.

{\ displaystyle T (v, w) = T_ {ij} v ^ {i} w ^ {j}.}

T (v, w) = T _ {{ij}} v ^ {i} w ^ {j}.

Bibliografie

(EN) Campbell, JE, 1926 Un curs de geometrie diferențială Clarendon Press, Oxford
(EN) Bowen, RM, Wang, CC, 1976 ^{[ link rupt ]} , Plenum Press, New York, NY.
( EN ) Bowen, RM, Wang, CC, 2006 ^{[ link rupt ]}
( EN ) John Lighton Synge, Alfred Schild (1978): Tensor Calculus , Dover, ISBN 0486636127
(EN) John H. Heinbockel: Introducere în calculul tensorial și mecanica continuă, Editura Trafford, ISBN 1-55369-133-4

Elemente conexe

linkuri externe

( EN ) Tensor calculus , în Encyclopedia Britannica , Encyclopædia Britannica, Inc.

Controlul autorității	Tezaur BNCF 31130 · LCCN (EN) sh85018808 · BNF (FR) cb11931685k (data)

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică