Câmp de număr

De la Wikipedia, enciclopedia liberă.
Salt la navigare Salt la căutare

În matematică un câmp de numere (sau câmp numeric ) este o extensie finită a câmpului a numerelor raționale . Aceasta înseamnă că este un câmp care conține și are dimensiune finită ca spațiu vectorial pe .

Studiul câmpurilor numerice și, mai general, a extensiilor câmpului numerelor raționale, este unul dintre subiectele principale ale teoriei numerelor algebrice .

Definiție

Un câmp algebric de numere sau mai simplu un câmp de numere este prin definiție un subcâmp al câmpului numărului complex că este o extensie de grad finit a câmpului numerelor raționale .

Exemple

  • Un prim exemplu banal este câmpul numerelor raționale , care este el însuși un câmp al numerelor, fiind o extensie a gradului din .
  • Un exemplu non-trivial sunt câmpurile pătratice , adică extensiile cu lipsit de factori patratici. Evident dacă asa de este câmpul raționalelor gaussiene .
  • Un alt exemplu este -câmpul ciclotomic , adică câmpul cu rădăcină primitivă -thth din unitate, acest domeniu are grad unde este este funcția Euler .
  • Un exemplu „nu” este , care este o extensie a dar gradul său este infinit, deci nu este un câmp al numerelor. Pentru a vedea asta , nu uita asta are cardinalitate continuă , în timp ce este numărabil .

Inele de numere întregi algebrice

Știm din teoria câmpului că a fost dată o extensie , un element se spune algebric pe de sine este rădăcina unui polinom monic , și numim extensii algebrice extensiile câmpurilor ale căror elemente sunt toate algebrice; în special dacă numim un element un număr algebric care este algebrică pe , în plus dacă este rădăcina unui polinom monic cu coeficienți în vom spune asta este un număr întreg algebric.

Acum, dat un interval de numere , definim (demonstrează că este un inel), este definit inel de numere întregi algebrice ale .

În general, o serie de numere , inelul respectiv de numere întregi nu este un UFD (a se vedea exemplul de mai jos), dar este posibil să demonstreze că are alte proprietăți interesante, în special, că este un domeniu Dedekind , pentru care admite o factorizare unică în ceea ce privește idealurile prime .

Exemplu

Dat fiind câmpul pătratic , da (de fapt se poate arăta că ), deci avem

asa de nu este UFD .

Bibliografie

  • ( EN ) Gerald J. Janusz, Algebraic Number Fields , 2nd, Providence, RI, American Mathematical Society, 1996 1997, ISBN 978-0-8218-0429-2 .
  • ( EN ) Serge Lang, Teoria numerelor algebrice , ediția a doua, Springer, 2000
  • (EN) Richard A. Mollin, Teoria numerelor algebrice, CRC, 1999
  • (EN) Probleme Ram Murty în teoria numerelor algebrice, ediția a doua, Springer, 2005
  • ( EN ) Władysław Narkiewicz, Teoria elementară și analitică a numerelor algebrice , Springer Monographs in Mathematics, ediția a III-a, Berlin, Springer-Verlag , 2004, ISBN 978-3-540-21902-6 , MR 2078267 .
  • ( EN ) Jürgen Neukirch , Teoria numerelor algebrice , Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, vol. 322, Berlin, New York, Springer-Verlag, 1999, ISBN 978-3-540-65399-8 , MR 1697859 , Zbl 0956.11021 .
  • ( EN ) Jürgen Neukirch , Alexander Schmidt și Kay Wingberg, Cohomology of Number Fields , Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, vol. 323, Berlin, New York, Springer-Verlag, 2000, ISBN 978-3-540-66671-4 , MR 1737196 , Zbl 1136.11001 .
  • ( EN ) André Weil, Teoria de bază a numerelor , ediția a treia, Springer, 1995

Elemente conexe

Matematica Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică