Câmp electromagnetic

Unda electromagnetică , modul în care câmpul electromagnetic se propagă în spațiu și timp

În fizică , câmpul electromagnetic este câmpul care descrie interacțiunea electromagnetică . Acesta constă din combinația dintre câmpul electric și câmpul magnetic și este generat local de orice distribuție a sarcinii electrice și a curentului electric care variază în timp, propagându-se în spațiu sub formă de unde electromagnetice . ^[1]

În electrodinamica clasică este descris ca un câmp tensorial ; în electrodinamica cuantică interacțiunea este văzută ca schimbul de particule cu masă zero, fotonii .

Caracteristici generale

Câmpul electromagnetic interacționează în spațiu cu sarcini electrice și se poate manifesta chiar și în absența acestora, fiind o entitate fizică care poate fi definită independent de sursele care l-au generat. În absența surselor, câmpul electromagnetic se numește „radiație electromagnetică” sau „undă electromagnetică”, ^[2] fiind un fenomen de undă care nu necesită niciun suport material pentru a se răspândi în spațiu și care se deplasează cu viteza luminii în vid . Conform modelului standard , cuantumul radiațiilor electromagnetice este fotonul , mediatorul interacțiunii electromagnetice. Câmpul electric $\mathbf {E}$ ${\ displaystyle \ mathbf {E}}$ $\ mathbf E$ și câmpul magnetic $\mathbf {B}$ ${\ displaystyle \ mathbf {B}}$ $\ mathbf B$ sunt descrise de obicei cu vectori într-un spațiu tridimensional: câmpul electric este un câmp de forță conservator generat în spațiu de prezența sarcinilor electrice staționare, în timp ce câmpul magnetic este un câmp vectorial neconservativ generat de sarcini în mișcare.

Ecuațiile lui Maxwell împreună cu forța Lorentz caracterizează proprietățile câmpului electromagnetic și interacțiunea acestuia cu obiectele încărcate. Primele două ecuații Maxwell sunt omogene și se mențin atât în vid, cât și în mijloace materiale:

\nabla \times \mathbf {E} =-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}\qquad \nabla \cdot \mathbf {B} =0

{\ displaystyle \ nabla \ times \ mathbf {E} = - {\ frac {\ partial \ mathbf {B}} {\ partial t}} \ qquad \ nabla \ cdot \ mathbf {B} = 0}

\ nabla \ times \ mathbf {E} = - \ frac {\ partial \ mathbf {B}} {\ partial t} \ qquad \ nabla \ cdot \ mathbf {B} = 0

Ele reprezintă sub formă diferențială, adică valabilă local, Legea lui Faraday și Legea lui Gauss pentru câmpul magnetic. Celelalte două ecuații descriu modul în care materialul în care are loc propagarea interacționează, polarizându-se, cu câmpurile electrice și magnetice, care în materie sunt notate prin $\mathbf {D}$ ${\ displaystyle \ mathbf {D}}$ $\ mathbf D$ (cunoscut sub numele de câmpul de inducție electrică ) e $\mathbf {H}$ ${\ displaystyle \ mathbf {H}}$ $\ mathbf H$ (cunoscut sub numele de câmp de magnetizare). Acestea arată în formă locală legea electrică Gauss și legea Ampère-Maxwell :

\nabla \cdot \mathbf {D} =\rho \qquad \nabla \times \mathbf {H} =\mathbf {J} +{\frac {\partial \mathbf {D} }{\partial t}}\

{\ displaystyle \ nabla \ cdot \ mathbf {D} = \ rho \ qquad \ nabla \ times \ mathbf {H} = \ mathbf {J} + {\ frac {\ partial \ mathbf {D}} {\ partial t} } \}

\ nabla \ cdot \ mathbf {D} = \ rho \ qquad \ nabla \ times \ mathbf {H} = \ mathbf J + \ frac {\ partial \ mathbf {D}} {\ partial t} \

unde densitatea sarcinii $\rho$ ${\ displaystyle \ rho}$ $\ rho$ iar densitatea curentului $\mathbf {J}$ ${\ displaystyle \ mathbf {J}}$ $\ mathbf J$ se numesc surse ale câmpului .

Puterea lui Lorentz este puterea $\mathbf {F}$ ${\ displaystyle \ mathbf {F}}$ $\ mathbf {F}$ că câmpul electromagnetic generează pe o sarcină $q$ ${\ displaystyle q}$ $q$ asemănător punctului:

\mathbf {F} =q(\mathbf {E} +\mathbf {v} \times \mathbf {B} )

{\ displaystyle \ mathbf {F} = q (\ mathbf {E} + \ mathbf {v} \ times \ mathbf {B})}

{\ mathbf {F}} = q ({\ mathbf {E}} + {\ mathbf {v}} \ times {\ mathbf {B}})

unde este $\mathbf {v}$ ${\ displaystyle \ mathbf {v}}$ $\ mathbf {v}$ este viteza de încărcare.

Introducerea unui câmp, în special a unui câmp de forță , este o modalitate de a descrie interacțiunea reciprocă între sarcini, care în vid are loc cu viteza luminii . În teoria clasică a electromagnetismului această interacțiune este considerată instantanee, deoarece viteza luminii este de aproximativ 300000 de kilometri pe secundă, în timp ce în tratamentul relativist se ia în considerare faptul că această viteză este finită și forța dintre sarcini apare după un anumit timp: în acest context este corect să se afirme că o sarcină interacționează numai cu câmpul și aceasta interacționează numai ulterior cu o posibilă a doua încărcare plasată în apropiere. ^[3] În acest context , câmpul electromagnetic este descrisă de teoria electrodinamicii clasice într - o covariantă formă, adică invariant de transformare Lorentz și reprezentată de tensorul electromagnetic , un două indice tensor al cărui vectorii de câmp electric și magnetic sunt particulare componente. În cele din urmă, dacă luăm în considerare și rolul spinului particulelor încărcate, intrăm în sfera de competență a electrodinamicii cuantice , unde câmpul electromagnetic este cuantificat .

Potenţial

Același subiect în detaliu: potențialul electromagnetic .

Electrodinamica studiază câmpul electromagnetic, care în cel mai general caz este generat de o distribuție a sarcinii electrice și a curentului electric , ținând cont de principiile teoriei relativității , care în teoria clasică a electromagnetismului sunt neglijate.

Efectele generate de comportamentul dinamic al sarcinilor și curenților au fost studiate de Pierre Simon Laplace , Michael Faraday , Heinrich Lenz și mulți alții încă de la începutul secolului al XIX-lea , totuși un studiu coerent și logic complet al fenomenelor electromagnetice nu poate fi efectuat decât începând cu din teoria relativității. Electrodinamica clasică folosește formalismul tensorial și cu patru vectori pentru a scrie ecuațiile lui Maxwell în formă covariantă pentru transformările Lorentz , introducând un potențial de patru care extinde potențialul scalar și vectorial al cazului staționar: în acest fel sunt descrise sarcinile și curenții electrici din cele patru -densitatea curentului vectorial $j^{\mu }$ ${\ displaystyle j ^ {\ mu}}$ $j ^ {\ mu}$ unde partea temporală a celor patru vectori este dată de densitatea sarcinii, înmulțită cu viteza luminii $c$ ${\ displaystyle c}$ $c$ , iar partea spațială prin densitatea curentului electric.

Cele patru potențiale $A^{\mu }$ ${\ displaystyle A ^ {\ mu}}$ $A ^ {{\ mu}}$ care descrie câmpul electromagnetic constă dintr-o parte spațială dată de potențialul vector $\mathbf {A}$ ${\ displaystyle \ mathbf {A}}$ $\ mathbf A$ , relativ la câmpul magnetic și o parte temporală dată de potențialul scalar $\phi$ ${\ displaystyle \ phi}$ $\ phi$ a câmpului electric :

A^{\mu }=\left({\frac {\phi }{c}},\mathbf {A} \right)=\left({\frac {\phi }{c}},A_{x},A_{y},A_{z}\right)

{\ displaystyle A ^ {\ mu} = \ left ({\ frac {\ phi} {c}}, \ mathbf {A} \ right) = \ left ({\ frac {\ phi} {c}}, A_ {x}, A_ {y}, A_ {z} \ dreapta)}

{\ displaystyle A ^ {\ mu} = \ left ({\ frac {\ phi} {c}}, \ mathbf {A} \ right) = \ left ({\ frac {\ phi} {c}}, A_ {x}, A_ {y}, A_ {z} \ dreapta)}

Pornind de la cele patru potențiale, câmpurile pot fi definite după cum urmează: ^[4]

\mathbf {E} =-\mathbf {\nabla } \phi -{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}}\qquad \mathbf {B} =\mathbf {\nabla } \times \mathbf {A}

{\ displaystyle \ mathbf {E} = - \ mathbf {\ nabla} \ phi - {\ frac {\ partial \ mathbf {A}} {\ partial t}} \ qquad \ mathbf {B} = \ mathbf {\ nabla } \ times \ mathbf {A}}

{\ displaystyle \ mathbf {E} = - \ mathbf {\ nabla} \ phi - {\ frac {\ partial \ mathbf {A}} {\ partial t}} \ qquad \ mathbf {B} = \ mathbf {\ nabla } \ times \ mathbf {A}}

Prin inserarea acestor expresii în ecuațiile lui Maxwell, legea lui Faraday și legea magnetică Gauss sunt reduse la identitate, în timp ce celelalte două ecuații iau forma:

\nabla ^{2}\phi +{\frac {\partial }{\partial t}}\left(\mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {A} \right)=-{\frac {\rho }{\varepsilon _{0}}}

{\ displaystyle \ nabla ^ {2} \ phi + {\ frac {\ partial} {\ partial t}} \ left (\ mathbf {\ nabla} \ cdot \ mathbf {A} \ right) = - {\ frac { \ rho} {\ varepsilon _ {0}}}}

{\ displaystyle \ nabla ^ {2} \ phi + {\ frac {\ partial} {\ partial t}} \ left (\ mathbf {\ nabla} \ cdot \ mathbf {A} \ right) = - {\ frac { \ rho} {\ varepsilon _ {0}}}}

\left(\nabla ^{2}\mathbf {A} -{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\mathbf {A} }{\partial t^{2}}}\right)-\mathbf {\nabla } \left(\mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {A} +{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial \phi }{\partial t}}\right)=-\mu _{0}\mathbf {J}

{\ displaystyle \ left (\ nabla ^ {2} \ mathbf {A} - {\ frac {1} {c ^ {2}}} {\ frac {\ partial ^ {2} \ mathbf {A}} {\ partial t ^ {2}}} \ right) - \ mathbf {\ nabla} \ left (\ mathbf {\ nabla} \ cdot \ mathbf {A} + {\ frac {1} {c ^ {2}}} { \ frac {\ partial \ phi} {\ partial t}} \ right) = - \ mu _ {0} \ mathbf {J}}

{\ displaystyle \ left (\ nabla ^ {2} \ mathbf {A} - {\ frac {1} {c ^ {2}}} {\ frac {\ partial ^ {2} \ mathbf {A}} {\ partial t ^ {2}}} \ right) - \ mathbf {\ nabla} \ left (\ mathbf {\ nabla} \ cdot \ mathbf {A} + {\ frac {1} {c ^ {2}}} { \ frac {\ partial \ phi} {\ partial t}} \ right) = - \ mu _ {0} \ mathbf {J}}

Aceste expresii sunt echivalente cu ecuațiile lui Maxwell. ^[5]

Teoria gabaritului

Același subiect în detaliu: teoria ecartamentului .

În cadrul ecuațiilor lui Maxwell, fiecare grad de libertate într-o anumită configurație a câmpului electromagnetic are propriul său efect măsurabil asupra mișcării oricăror sarcini de test plasate în apropiere. Cu toate acestea, expresia câmpurilor rămâne neschimbată dacă potențialele suferă următoarea transformare:

\mathbf {A} '=\mathbf {A} +\mathbf {\nabla } \lambda \qquad \phi '=\phi -{\frac {\partial \lambda }{\partial t}}

{\ displaystyle \ mathbf {A} '= \ mathbf {A} + \ mathbf {\ nabla} \ lambda \ qquad \ phi' = \ phi - {\ frac {\ partial \ lambda} {\ partial t}}}

{\ displaystyle \ mathbf {A} '= \ mathbf {A} + \ mathbf {\ nabla} \ lambda \ qquad \ phi' = \ phi - {\ frac {\ partial \ lambda} {\ partial t}}}

Prin urmare, expresiile potențialelor pot fi modificate fără consecințe în acest fel, de fapt în urma transformării $\mathbf {A} \rightarrow \mathbf {A} +\nabla \lambda$ ${\ displaystyle \ mathbf {A} \ rightarrow \ mathbf {A} + \ nabla \ lambda}$ ${\ displaystyle \ mathbf {A} \ rightarrow \ mathbf {A} + \ nabla \ lambda}$ campul $\mathbf {B}$ ${\ displaystyle \ mathbf {B}}$ $\ mathbf B$ Rămâne neschimbat:

{\mathbf {B} }=\nabla \times ({\mathbf {A} }+\nabla \lambda )=\nabla \times {\mathbf {A} }

{\ displaystyle {\ mathbf {B}} = \ nabla \ times ({\ mathbf {A}} + \ nabla \ lambda) = \ nabla \ times {\ mathbf {A}}}

{\ displaystyle {\ mathbf {B}} = \ nabla \ times ({\ mathbf {A}} + \ nabla \ lambda) = \ nabla \ times {\ mathbf {A}}}

rotorul de gradient fiind zero, în timp ce $\mathbf {E}$ ${\ displaystyle \ mathbf {E}}$ $\ mathbf E$ este modificat în așa fel încât:

{\mathbf {E} }=-\nabla \phi -{\frac {\partial {\mathbf {A} }}{\partial t}}-\nabla {\frac {\partial {\lambda }}{\partial t}}=-\nabla \left(\phi +{\frac {\partial {\lambda }}{\partial t}}\right)-{\frac {\partial {\mathbf {A} }}{\partial t}}

{\ displaystyle {\ mathbf {E}} = - \ nabla \ phi - {\ frac {\ partial {\ mathbf {A}}} {\ partial t}} - \ nabla {\ frac {\ partial {\ lambda} } {\ partial t}} = - \ nabla \ left (\ phi + {\ frac {\ partial {\ lambda}} {\ partial t}} \ right) - {\ frac {\ partial {\ mathbf {A} }} {\ partial t}}}

{\ displaystyle {\ mathbf {E}} = - \ nabla \ phi - {\ frac {\ partial {\ mathbf {A}}} {\ partial t}} - \ nabla {\ frac {\ partial {\ lambda} } {\ partial t}} = - \ nabla \ left (\ phi + {\ frac {\ partial {\ lambda}} {\ partial t}} \ right) - {\ frac {\ partial {\ mathbf {A} }} {\ partial t}}}

Dacă efectuați apoi transformarea ulterioară $\phi \rightarrow \phi -{\frac {\partial {\lambda }}{\partial t}}$ ${\ displaystyle \ phi \ rightarrow \ phi - {\ frac {\ partial {\ lambda}} {\ partial t}}}$ ${\ displaystyle \ phi \ rightarrow \ phi - {\ frac {\ partial {\ lambda}} {\ partial t}}}$ derivatul de $\lambda$ ${\ displaystyle \ lambda}$ $\ lambda$ în argumentul gradient dispare și îl obținem și noi $\mathbf {E}$ ${\ displaystyle \ mathbf {E}}$ $\ mathbf E$ .

O alegere specială a potențialului scalar sau a potențialului vector este un potențial de gabarit , iar o funcție scalară utilizată pentru a schimba gabaritul se numește funcție de gabarit . Acest arbitrar, intrinsec în definiție, permite potențialelor să satisfacă o altă condiție, care determină alegerea gabaritului. Cele mai frecvent utilizate gabarite sunt gabaritul Coulomb și gabaritul Lorenz.

Ecartamentul lui Coulomb

Ecartamentul Coulomb, numit și ecartament transversal sau ecartament de radiație , este ales în așa fel încât: ^[6]

\mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {A} =0

{\ displaystyle \ mathbf {\ nabla} \ cdot \ mathbf {A} = 0}

{\ displaystyle \ mathbf {\ nabla} \ cdot \ mathbf {A} = 0}

În ceea ce privește $\lambda$ ${\ displaystyle \ lambda}$ $\ lambda$ trebuie, prin urmare, să satisfacă relația:

\nabla ^{2}\lambda =-\mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {A}

{\ displaystyle \ nabla ^ {2} \ lambda = - \ mathbf {\ nabla} \ cdot \ mathbf {A}}

{\ displaystyle \ nabla ^ {2} \ lambda = - \ mathbf {\ nabla} \ cdot \ mathbf {A}}

și ecuațiile Maxwell din gabaritul Coulomb sunt scrise după cum urmează:

\nabla ^{2}\phi '=-{\frac {\rho }{\varepsilon _{0}}}\qquad \nabla ^{2}\mathbf {A} '-\mu _{0}\varepsilon _{0}{\frac {\partial ^{2}\mathbf {A} '}{\partial t^{2}}}=-\mu _{0}\mathbf {J} +\mu _{0}\varepsilon _{0}\nabla \left({\frac {\partial \phi '}{\partial t}}\right)

{\ displaystyle \ nabla ^ {2} \ phi '= - {\ frac {\ rho} {\ varepsilon _ {0}}} \ qquad \ nabla ^ {2} \ mathbf {A}' - \ mu _ {0 } \ varepsilon _ {0} {\ frac {\ partial ^ {2} \ mathbf {A} '} {\ partial t ^ {2}}} = - \ mu _ {0} \ mathbf {J} + \ mu _ {0} \ varepsilon _ {0} \ nabla \ left ({\ frac {\ partial \ phi '} {\ partial t}} \ right)}

{\ displaystyle \ nabla ^ {2} \ phi '= - {\ frac {\ rho} {\ varepsilon _ {0}}} \ qquad \ nabla ^ {2} \ mathbf {A}' - \ mu _ {0 } \ varepsilon _ {0} {\ frac {\ partial ^ {2} \ mathbf {A} '} {\ partial t ^ {2}}} = - \ mu _ {0} \ mathbf {J} + \ mu _ {0} \ varepsilon _ {0} \ nabla \ left ({\ frac {\ partial \ phi '} {\ partial t}} \ right)}

unde observăm că potențialul scalar satisface ecuația Poisson , a cărei soluție este:

\phi (\mathbf {x} ,t)={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\int {\frac {\rho (\mathbf {x} ',t)}{|\mathbf {x} -\mathbf {x} '|}}d^{3}x'

{\ displaystyle \ phi (\ mathbf {x}, t) = {\ frac {1} {4 \ pi \ varepsilon _ {0}}} \ int {\ frac {\ rho (\ mathbf {x} ', t )} {| \ mathbf {x} - \ mathbf {x} '|}} d ^ {3} x'}

{\ displaystyle \ phi (\ mathbf {x}, t) = {\ frac {1} {4 \ pi \ varepsilon _ {0}}} \ int {\ frac {\ rho (\ mathbf {x} ', t )} {| \ mathbf {x} - \ mathbf {x} '|}} d ^ {3} x'}

în timp ce soluția pentru potențialul vectorial devine mai dificilă și necesită descompunerea vectorului densității curentului în parte transversală și longitudinală.

Lorenz Gauge

Același subiect în detaliu: Lorenz Gauge .

Condiția impusă în gabaritul Lorenz se numește condiția Lorenz și este scrisă după cum urmează: ^[5]

\partial _{\mu }A^{\mu }=\nabla \cdot {\mathbf {A} '}+{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial \phi '}{\partial t}}=0

{\ displaystyle \ partial _ {\ mu} A ^ {\ mu} = \ nabla \ cdot {\ mathbf {A} '} + {\ frac {1} {c ^ {2}}} {\ frac {\ partial \ phi '} {\ partial t}} = 0}

{\ displaystyle \ partial _ {\ mu} A ^ {\ mu} = \ nabla \ cdot {\ mathbf {A} '} + {\ frac {1} {c ^ {2}}} {\ frac {\ partial \ phi '} {\ partial t}} = 0}

Adică, $\lambda$ ${\ displaystyle \ lambda}$ $\ lambda$ trebuie să satisfacă ecuația:

\nabla ^{2}\lambda -\mu _{0}\varepsilon _{0}{\frac {\partial ^{2}\lambda }{\partial t^{2}}}=-\mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {A} -\mu _{0}\varepsilon _{0}{\frac {\partial \phi }{\partial t}}

{\ displaystyle \ nabla ^ {2} \ lambda - \ mu _ {0} \ varepsilon _ {0} {\ frac {\ partial ^ {2} \ lambda} {\ partial t ^ {2}}} = - \ mathbf {\ nabla} \ cdot \ mathbf {A} - \ mu _ {0} \ varepsilon _ {0} {\ frac {\ partial \ phi} {\ partial t}}}

{\ displaystyle \ nabla ^ {2} \ lambda - \ mu _ {0} \ varepsilon _ {0} {\ frac {\ partial ^ {2} \ lambda} {\ partial t ^ {2}}} = - \ mathbf {\ nabla} \ cdot \ mathbf {A} - \ mu _ {0} \ varepsilon _ {0} {\ frac {\ partial \ phi} {\ partial t}}}

.

Condiția Lorenz permite impunerea potențialelor care o satisfac o altă constrângere, numită transformare limitată a ecartamentului :

\mathbf {A} '=\mathbf {A} +\mathbf {\nabla } \lambda \qquad \phi '=\phi -{\frac {\partial \lambda }{\partial t}}\qquad \nabla ^{2}\lambda -\mu _{0}\varepsilon _{0}{\frac {\partial ^{2}\lambda }{\partial t^{2}}}=0

{\ displaystyle \ mathbf {A} '= \ mathbf {A} + \ mathbf {\ nabla} \ lambda \ qquad \ phi' = \ phi - {\ frac {\ partial \ lambda} {\ partial t}} \ qquad \ nabla ^ {2} \ lambda - \ mu _ {0} \ varepsilon _ {0} {\ frac {\ partial ^ {2} \ lambda} {\ partial t ^ {2}}} = 0}

{\ displaystyle \ mathbf {A} '= \ mathbf {A} + \ mathbf {\ nabla} \ lambda \ qquad \ phi' = \ phi - {\ frac {\ partial \ lambda} {\ partial t}} \ qquad \ nabla ^ {2} \ lambda - \ mu _ {0} \ varepsilon _ {0} {\ frac {\ partial ^ {2} \ lambda} {\ partial t ^ {2}}} = 0}

iar potențialele care se bucură de această invarianță aparțin Lorenz Gauge.

Condiția Lorenz permite, de asemenea, decuplarea ecuațiilor Maxwell scrise în termeni de potențiale, obținând ecuația undei:

\nabla ^{2}\mathbf {A} '-\mu _{0}\varepsilon _{0}{\frac {\partial ^{2}\mathbf {A} '}{\partial t^{2}}}=\Box \mathbf {A} '=-\mu _{0}\mathbf {J}

{\ displaystyle \ nabla ^ {2} \ mathbf {A} '- \ mu _ {0} \ varepsilon _ {0} {\ frac {\ partial ^ {2} \ mathbf {A}'} {\ partial t ^ {2}}} = \ Box \ mathbf {A} '= - \ mu _ {0} \ mathbf {J}}

{\ displaystyle \ nabla ^ {2} \ mathbf {A} '- \ mu _ {0} \ varepsilon _ {0} {\ frac {\ partial ^ {2} \ mathbf {A}'} {\ partial t ^ {2}}} = \ Box \ mathbf {A} '= - \ mu _ {0} \ mathbf {J}}

\nabla ^{2}\phi '-\mu _{0}\varepsilon _{0}{\frac {\partial ^{2}\phi '}{\partial t^{2}}}=\Box \phi '=-{\frac {\rho }{\varepsilon _{0}}}

{\ displaystyle \ nabla ^ {2} \ phi '- \ mu _ {0} \ varepsilon _ {0} {\ frac {\ partial ^ {2} \ phi'} {\ partial t ^ {2}}} = \ Box \ phi '= - {\ frac {\ rho} {\ varepsilon _ {0}}}}

{\ displaystyle \ nabla ^ {2} \ phi '- \ mu _ {0} \ varepsilon _ {0} {\ frac {\ partial ^ {2} \ phi'} {\ partial t ^ {2}}} = \ Box \ phi '= - {\ frac {\ rho} {\ varepsilon _ {0}}}}

unde este $\Box$ ${\ displaystyle \ Box}$ $\Cutie$ este operatorul d'Alembert . Ecuația generală pe care o respectă cvadripotențială are forma:

\Box A^{\mu }=\partial ^{\lambda }\partial _{\lambda }A^{\mu }=-\mu _{0}j^{\mu }

{\ displaystyle \ Box A ^ {\ mu} = \ partial ^ {\ lambda} \ partial _ {\ lambda} A ^ {\ mu} = - \ mu _ {0} j ^ {\ mu}}

{\ displaystyle \ Box A ^ {\ mu} = \ partial ^ {\ lambda} \ partial _ {\ lambda} A ^ {\ mu} = - \ mu _ {0} j ^ {\ mu}}

Această relație este o modalitate de a exprima ecuațiile lui Maxwell într-o formă covariantă. ^[7] ^[8] Explicând și operatorul diferențial alembertian avem:

{\frac {\partial ^{2}A^{\mu }}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}A^{\mu }}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}A^{\mu }}{\partial z^{2}}}-{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}A^{\mu }}{\partial t^{2}}}=-\mu _{0}j^{\mu }

{\ displaystyle {\ frac {\ partial ^ {2} A ^ {\ mu}} {\ partial x ^ {2}}} + {\ frac {\ partial ^ {2} A ^ {\ mu}} {\ partial y ^ {2}}} + {\ frac {\ partial ^ {2} A ^ {\ mu}} {\ partial z ^ {2}}} - {\ frac {1} {c ^ {2}} } {\ frac {\ partial ^ {2} A ^ {\ mu}} {\ partial t ^ {2}}} = - \ mu _ {0} j ^ {\ mu}}

{\ displaystyle {\ frac {\ partial ^ {2} A ^ {\ mu}} {\ partial x ^ {2}}} + {\ frac {\ partial ^ {2} A ^ {\ mu}} {\ partial y ^ {2}}} + {\ frac {\ partial ^ {2} A ^ {\ mu}} {\ partial z ^ {2}}} - {\ frac {1} {c ^ {2}} } {\ frac {\ partial ^ {2} A ^ {\ mu}} {\ partial t ^ {2}}} = - \ mu _ {0} j ^ {\ mu}}

unde este quadridensitatea curentului

j^{\nu }=\left({\rho }{c},\mathbf {J} \right)=\left({\rho }{c},J_{x},J_{y},J_{z}\right)

{\ displaystyle j ^ {\ nu} = \ left ({\ rho} {c}, \ mathbf {J} \ right) = \ left ({\ rho} {c}, J_ {x}, J_ {y} , J_ {z} \ dreapta)}

{\ displaystyle j ^ {\ nu} = \ left ({\ rho} {c}, \ mathbf {J} \ right) = \ left ({\ rho} {c}, J_ {x}, J_ {y} , J_ {z} \ dreapta)}

Pentru liniaritatea ecuației, soluțiile posibile pentru cele patru potențiale sunt suma soluțiilor posibile ale ecuației omogene plus o soluție specială care nu se încadrează în cele anterioare și care dă naștere formei potențialelor retardate. .

Descriere Covariantă

Același subiect în detaliu: principiul variațional al lui Hamilton , acțiunea (fizica) și Lagrangian .

Descrierea covariantă a câmpului electromagnetic în vid se realizează în contextul indicatorului Lorenz . Condiția Lorenz garantează că această descriere are proprietatea de a fi invariant Lorentz , adică invariant față de o transformare Lorentz și de a respecta gradele de libertate oferite de transformările ecartamentului.

Luați în considerare o sarcină în mișcare într-un câmp electromagnetic. Din postulatele relativității speciale rezultă acțiunea respectivă ${\mathcal {S}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {S}}}$ ${\ mathcal S}$ pentru încărcare este un scalar Lorentz , în conformitate cu principiul variațional al lui Hamilton conform căruia trebuie verificat că $\delta {\mathcal {S}}=0$ ${\ displaystyle \ delta {\ mathcal {S}} = 0}$ ${\ displaystyle \ delta {\ mathcal {S}} = 0}$ . Acțiunea este dată de:

{\mathcal {S}}=\int {\mathcal {L}}dt=\int \gamma {\mathcal {L}}d\tau

{\ displaystyle {\ mathcal {S}} = \ int {\ mathcal {L}} dt = \ int \ gamma {\ mathcal {L}} d \ tau}

{\ displaystyle {\ mathcal {S}} = \ int {\ mathcal {L}} dt = \ int \ gamma {\ mathcal {L}} d \ tau}

unde este ${\mathcal {L}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {L}}}$ ${\ mathcal L}$ este Lagrangianul. Cantitatea $\gamma {\mathcal {L}}$ ${\ displaystyle \ gamma {\ mathcal {L}}}$ ${\ displaystyle \ gamma {\ mathcal {L}}}$ trebuie deci să fie invariant. Lagrangianul ${\mathcal {L}}_{free}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {L}} _ {free}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {L}} _ {free}}$ pentru o particulă liberă are forma: ^[9]

{\mathcal {L}}_{free}=-mc^{2}{\sqrt {1-{\frac {u^{2}}{c^{2}}}}}=-mc^{2}{\sqrt {1-\beta ^{2}}}

{\ displaystyle {\ mathcal {L}} _ {free} = - mc ^ {2} {\ sqrt {1 - {\ frac {u ^ {2}} {c ^ {2}}}}} = - mc ^ {2} {\ sqrt {1- \ beta ^ {2}}}}

{\ displaystyle {\ mathcal {L}} _ {free} = - mc ^ {2} {\ sqrt {1 - {\ frac {u ^ {2}} {c ^ {2}}}}} = - mc ^ {2} {\ sqrt {1- \ beta ^ {2}}}}

Această expresie este motivată de faptul că Lagrangianul nu trebuie să depindă de poziție: singura cantitate invariantă posibilă este atunci $u_{\alpha }u^{\alpha }=c^{2}$ ${\ displaystyle u _ {\ alpha} u ^ {\ alpha} = c ^ {2}}$ ${\ displaystyle u _ {\ alpha} u ^ {\ alpha} = c ^ {2}}$ , unde este $u^{\alpha }$ ${\ displaystyle u ^ {\ alpha}}$ ${\ displaystyle u ^ {\ alpha}}$ este cu patru trepte . În acest fel, Lagrangianul este proporțional cu $\gamma ^{-1}={\sqrt {1-\beta ^{2}}}$ ${\ displaystyle \ gamma ^ {- 1} = {\ sqrt {1- \ beta ^ {2}}}}$ ${\ displaystyle \ gamma ^ {- 1} = {\ sqrt {1- \ beta ^ {2}}}}$ , iar din ecuațiile Euler-Lagrange se poate verifica că ecuația de mișcare corespunzătoare este: ^[10]

{\frac {d}{dt}}(\gamma m\mathbf {u} )=0

{\ displaystyle {\ frac {d} {dt}} (\ gamma m \ mathbf {u}) = 0}

{\ displaystyle {\ frac {d} {dt}} (\ gamma m \ mathbf {u}) = 0}

În prezența unui câmp electromagnetic interacțiunea Lagrangiană ${\mathcal {L}}_{int}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {L}} _ {int}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {L}} _ {int}}$ pentru o particulă încărcată $Și$ ${\ displaystyle e}$ $Și$ are forma:

{\mathcal {L}}_{int}=-{\frac {e}{\gamma c}}u_{\alpha }A^{\alpha }=-e\phi +{\frac {e}{c}}\mathbf {u} \cdot \mathbf {A}

{\ displaystyle {\ mathcal {L}} _ {int} = - {\ frac {e} {\ gamma c}} u _ {\ alpha} A ^ {\ alpha} = - e \ phi + {\ frac { e} {c}} \ mathbf {u} \ cdot \ mathbf {A}}

{\ displaystyle {\ mathcal {L}} _ {int} = - {\ frac {e} {\ gamma c}} u _ {\ alpha} A ^ {\ alpha} = - e \ phi + {\ frac { e} {c}} \ mathbf {u} \ cdot \ mathbf {A}}

unde se observă că în limita non-relativistă este redusă la energia potențială a interacțiunii $e\phi$ ${\ displaystyle și \ phi}$ ${\ displaystyle și \ phi}$ între birou și teren, cu $\phi$ ${\ displaystyle \ phi}$ $\ phi$ componenta temporală a cvadripotențialului $A^{\alpha }$ ${\ displaystyle A ^ {\ alpha}}$ $A ^ {\ alpha}$ : cererea de invarianță sub traducere duce și la alegerea vectorului $u^{\alpha }$ ${\ displaystyle u ^ {\ alpha}}$ ${\ displaystyle u ^ {\ alpha}}$ să fie înmulțit cu scalar $A^{\alpha }$ ${\ displaystyle A ^ {\ alpha}}$ $A ^ {\ alpha}$ pentru a obține o cantitate invariantă. ^[11] Expresia interacțiunii lagrangiene este totuși motivată și de observații experimentale și poate fi justificată prin impunerea că $\gamma {\mathcal {L}}_{int}$ ${\ displaystyle \ gamma {\ mathcal {L}} _ {int}}$ ${\ displaystyle \ gamma {\ mathcal {L}} _ {int}}$ este o funcție a cărei derivată de grad maxim este prima dată derivată a coordonatelor, care este invariantă în traducere și care este liniară în raport cu potențialul și sarcina. ^[10]

Acțiune în prezența terenului ${\mathcal {S}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {S}}}$ ${\ mathcal {S}}$ este astfel definit ca integral al Lagrangianului total ${\mathcal {L}}={\mathcal {L}}_{free}+{\mathcal {L}}_{int}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {L}} = {\ mathcal {L}} _ {free} + {\ mathcal {L}} _ {int}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {L}} = {\ mathcal {L}} _ {free} + {\ mathcal {L}} _ {int}}$ în timpul dintre instanțele inițiale și finale ale evoluției sistemului. În notația relativistă este posibil să se exploateze intervalul spațiu-timp (scalar) $ds={\sqrt {x_{i}x^{i}}}$ ${\ displaystyle ds = {\ sqrt {x_ {i} x ^ {i}}}}$ ${\ displaystyle ds = {\ sqrt {x_ {i} x ^ {i}}}}$ , unde este $x^{i}$ ${\ displaystyle x ^ {i}}$ $x ^ i$ este locația și de atunci $ds=cd\tau =cdt/\gamma$ ${\ displaystyle ds = cd \ tau = cdt / \ gamma}$ ${\ displaystyle ds = cd \ tau = cdt / \ gamma}$ , avem: ^[12]

{\mathcal {S}}=\int _{t_{1}}^{t_{2}}{\mathcal {L}}dt=\int _{a}^{b}\left(-mcds-{e \over c}A_{i}dx^{i}\right)

{\ displaystyle {\ mathcal {S}} = \ int _ {t_ {1}} ^ {t_ {2}} {\ mathcal {L}} dt = \ int _ {a} ^ {b} \ left (- mcds- {e \ over c} A_ {i} dx ^ {i} \ right)}

{\ displaystyle {\ mathcal {S}} = \ int _ {t_ {1}} ^ {t_ {2}} {\ mathcal {L}} dt = \ int _ {a} ^ {b} \ left (- mcds- {e \ over c} A_ {i} dx ^ {i} \ right)}

cu $A_{i}$ ${\ displaystyle A_ {i}}$ $Către}$ cele patru potențiale . Principiul acțiunii minime stabilește că mișcarea unui sistem fizic între două instanțe ale spațiului de configurare este astfel încât acțiunea este staționară în corespondență cu traiectoria mișcării pentru perturbări mici ale aceluiași, adică: ^[13]

\delta {\mathcal {S}}=\delta \int \left(-mc\,ds-{e \over c}A_{i}dx^{i}\right)=-\int _{a}^{b}\left(mc\,{\frac {dx_{i}d\delta x^{i}}{ds}}+{e \over c}A_{i}d\delta x^{i}+{e \over c}\delta A_{i}dx^{i}\right)=0

{\ displaystyle \ delta {\ mathcal {S}} = \ delta \ int \ left (-mc \, ds- {e \ over c} A_ {i} dx ^ {i} \ right) = - \ int _ { a} ^ {b} \ left (mc \, {\ frac {dx_ {i} d \ delta x ^ {i}} {ds}} + {e \ over c} A_ {i} d \ delta x ^ { i} + {e \ over c} \ delta A_ {i} dx ^ {i} \ right) = 0}

{\ displaystyle \ delta {\ mathcal {S}} = \ delta \ int \ left (-mc \, ds- {e \ over c} A_ {i} dx ^ {i} \ right) = - \ int _ { a} ^ {b} \ left (mc \, {\ frac {dx_ {i} d \ delta x ^ {i}} {ds}} + {e \ over c} A_ {i} d \ delta x ^ { i} + {e \ over c} \ delta A_ {i} dx ^ {i} \ right) = 0}

Dacă te integrezi prin piese obții:

\int \left(mc\,du_{i}\delta x^{i}+{e \over c}\delta x^{i}dA_{i}+{e \over c}\delta A_{i}dx^{i}\right)-\left(mcu_{i}+{e \over c}A_{i}\right)\delta x^{i}|=0

{\ displaystyle \ int \ left (mc \, du_ {i} \ delta x ^ {i} + {e \ over c} \ delta x ^ {i} dA_ {i} + {e \ over c} \ delta A_ {i} dx ^ {i} \ right) - \ left (mcu_ {i} + {e \ over c} A_ {i} \ right) \ delta x ^ {i} | = 0}

{\ displaystyle \ int \ left (mc \, du_ {i} \ delta x ^ {i} + {e \ over c} \ delta x ^ {i} dA_ {i} + {e \ over c} \ delta A_ {i} dx ^ {i} \ right) - \ left (mcu_ {i} + {e \ over c} A_ {i} \ right) \ delta x ^ {i} | = 0}

cu $u_{i}={dx_{i} \over ds}$ ${\ displaystyle u_ {i} = {dx_ {i} \ over ds}}$ ${\ displaystyle u_ {i} = {dx_ {i} \ over ds}}$ cele cu patru trepte. Deoarece al doilea termen este nul și că:

\delta A_{i}={\frac {\partial A_{i}}{\partial x^{k}}}\delta x^{k}\qquad dA_{i}={\frac {\partial A_{i}}{\partial x^{k}}}dx^{k}

{\ displaystyle \ delta A_ {i} = {\ frac {\ partial A_ {i}} {\ partial x ^ {k}}} \ delta x ^ {k} \ qquad dA_ {i} = {\ frac {\ partial A_ {i}} {\ partial x ^ {k}}} dx ^ {k}}

{\ displaystyle \ delta A_ {i} = {\ frac {\ partial A_ {i}} {\ partial x ^ {k}}} \ delta x ^ {k} \ qquad dA_ {i} = {\ frac {\ partial A_ {i}} {\ partial x ^ {k}}} dx ^ {k}}

avem:

\int \left(mc\,du_{i}\delta x^{i}+{e \over c}\delta x^{i}{\frac {\partial A_{i}}{\partial x^{k}}}dx^{k}+{e \over c}{\frac {\partial A_{i}}{\partial x^{k}}}\delta x^{k}dx^{i}\right)=\left[mc{du_{i} \over ds}-{e \over c}\left({\frac {\partial A_{k}}{\partial x^{i}}}-{\frac {\partial A_{i}}{\partial x^{k}}}\right)u^{k}\right]\delta x^{i}ds=0

{\ displaystyle \ int \ left (mc \, du_ {i} \ delta x ^ {i} + {e \ over c} \ delta x ^ {i} {\ frac {\ partial A_ {i}} {\ partial x ^ {k}}} dx ^ {k} + {e \ over c} {\ frac {\ partial A_ {i}} {\ partial x ^ {k}}} \ delta x ^ {k} dx ^ { i} \ right) = \ left [mc {du_ {i} \ over ds} - {e \ over c} \ left ({\ frac {\ partial A_ {k}} {\ partial x ^ {i}}} - {\ frac {\ partial A_ {i}} {\ partial x ^ {k}}} \ right) u ^ {k} \ right] \ delta x ^ {i} ds = 0}

{\ displaystyle \ int \ left (mc \, du_ {i} \ delta x ^ {i} + {e \ over c} \ delta x ^ {i} {\ frac {\ partial A_ {i}} {\ partial x ^ {k}}} dx ^ {k} + {e \ over c} {\ frac {\ partial A_ {i}} {\ partial x ^ {k}}} \ delta x ^ {k} dx ^ { i} \ right) = \ left [mc {du_ {i} \ over ds} - {e \ over c} \ left ({\ frac {\ partial A_ {k}} {\ partial x ^ {i}}} - {\ frac {\ partial A_ {i}} {\ partial x ^ {k}}} \ right) u ^ {k} \ right] \ delta x ^ {i} ds = 0}

unde în al doilea pas faptul că $du_{i}=(du_{i}/ds)ds$ ${\ displaystyle du_ {i} = (du_ {i} / ds) ds}$ ${\ displaystyle du_ {i} = (du_ {i} / ds) ds}$ Și $dx^{i}=du^{i}ds$ ${\ displaystyle dx ^ {i} = du ^ {i} ds}$ ${\ displaystyle dx ^ {i} = du ^ {i} ds}$ . Prin plasarea:

F_{ik}\equiv {\frac {\partial A_{k}}{\partial x^{i}}}-{\frac {\partial A_{i}}{\partial x^{k}}}

{\ displaystyle F_ {ik} \ equiv {\ frac {\ partial A_ {k}} {\ partial x ^ {i}}} - {\ frac {\ partial A_ {i}} {\ partial x ^ {k} }}}

{\ displaystyle F_ {ik} \ equiv {\ frac {\ partial A_ {k}} {\ partial x ^ {i}}} - {\ frac {\ partial A_ {i}} {\ partial x ^ {k} }}}

avem:

mc{du_{i} \over ds}-{e \over c}F_{ik}u_{k}=0

{\ displaystyle mc {du_ {i} \ over ds} - {e \ over c} F_ {ik} u_ {k} = 0}

{\ displaystyle mc {du_ {i} \ over ds} - {e \ over c} F_ {ik} u_ {k} = 0}

care este ecuația mișcării unei particule încărcate într-un câmp electromagnetic. ^[14]

Ecuația mișcării

Același subiect în detaliu: forța Lorentz .

Folosind quadrimpulse $p^{\alpha }=mu^{\alpha }$ ${\ displaystyle p ^ {\ alpha} = mu ^ {\ alpha}}$ ${\ displaystyle p ^ {\ alpha} = mu ^ {\ alpha}}$ , ecuația mișcării poate fi scrisă după cum urmează:

{\frac {dp^{\alpha }}{d\tau }}=eu_{\beta }F^{\alpha \beta }

{\ displaystyle {\ frac {dp ^ {\ alpha}} {d \ tau}} = eu _ {\ beta} F ^ {\ alpha \ beta}}

{\ displaystyle {\ frac {dp ^ {\ alpha}} {d \ tau}} = eu _ {\ beta} F ^ {\ alpha \ beta}}

unde este $p^{\alpha }$ ${\ displaystyle p ^ {\ alpha}}$ ${\ displaystyle p ^ {\ alpha}}$ este cu patru impulsuri și $\tau$ ${\ displaystyle \ tau}$ $\ tau$ este momentul potrivit al particulei. Tensorul $F^{\alpha \beta }$ ${\ displaystyle F ^ {\ alpha \ beta}}$ ${\ displaystyle F ^ {\ alpha \ beta}}$ este contra-varianta tensorului electromagnetic e $tu$ ${\ displaystyle u}$ $tu$ este patru -velocitatea particulei. Ecuația poate fi scrisă și ca: ^[15]

{\frac {du^{\alpha }}{d\tau }}={\frac {e}{mc}}F^{\alpha \beta }u_{\beta }

{\ displaystyle {\ frac {du ^ {\ alpha}} {d \ tau}} = {\ frac {e} {mc}} F ^ {\ alpha \ beta} u _ {\ beta}}

{\ displaystyle {\ frac {du ^ {\ alpha}} {d \ tau}} = {\ frac {e} {mc}} F ^ {\ alpha \ beta} u _ {\ beta}}

Prin gruparea celor trei ecuații spațiale pe care le avem, în mod explicit: ^[16]

{\frac {d\mathbf {p} }{d\tau }}=e\gamma \left(\mathbf {E} +\mathbf {u} \times \mathbf {B} \right)\qquad {\frac {d\mathbf {p} }{dt}}=e\left(\mathbf {E} +{\frac {\mathbf {u} }{c}}\times \mathbf {B} \right)\qquad \gamma =\left({\sqrt {1-\beta ^{2}}}\right)^{-1}

{\ displaystyle {\ frac {d \ mathbf {p}} {d \ tau}} = e \ gamma \ left (\ mathbf {E} + \ mathbf {u} \ times \ mathbf {B} \ right) \ qquad {\ frac {d \ mathbf {p}} {dt}} = e \ left (\ mathbf {E} + {\ frac {\ mathbf {u}} {c}} \ times \ mathbf {B} \ right) \ qquad \ gamma = \ left ({\ sqrt {1- \ beta ^ {2}}} \ right) ^ {- 1}}

{\ displaystyle {\ frac {d \ mathbf {p}} {d \ tau}} = e \ gamma \ left (\ mathbf {E} + \ mathbf {u} \ times \ mathbf {B} \ right) \ qquad {\ frac {d \ mathbf {p}} {dt}} = e \ left (\ mathbf {E} + {\ frac {\ mathbf {u}} {c}} \ times \ mathbf {B} \ right) \ qquad \ gamma = \ left ({\ sqrt {1- \ beta ^ {2}}} \ right) ^ {- 1}}

în timp ce pentru componenta temporală:

{\frac {dE}{dt}}=e\mathbf {u} \cdot \mathbf {E}

{\ displaystyle {\ frac {dE} {dt}} = e \ mathbf {u} \ cdot \ mathbf {E}}

{\ displaystyle {\ frac {dE} {dt}} = e \ mathbf {u} \ cdot \ mathbf {E}}

Aceste relații sunt ecuațiile de mișcare pentru o sarcină într-un câmp electromagnetic.

Tensor electromagnetic

Același subiect în detaliu: tensorul electromagnetic .

Câmpul electromagnetic dublu tensor $F^{\mu \nu }$ ${\ displaystyle F ^ {\ mu \ nu}}$ $F ^ {{\ mu \ nu}}$ este un tensor antisimetric de ordinul doi covariant , iar urmele sale sunt nule: ^[17]

F^{\mu \nu }={\begin{pmatrix}0&-E_{x}/c&-E_{y}/c&-E_{z}/c\\E_{x}/c&0&-B_{z}&B_{y}\\E_{y}/c&B_{z}&0&-B_{x}\\E_{z}/c&-B_{y}&B_{x}&0\end{pmatrix}}

{\ displaystyle F ^ {\ mu \ nu} = {\ begin {pmatrix} 0 & -E_ {x} / c & -E_ {y} / c & -E_ {z} / c \\ E_ {x} / c & 0 & -B_ {z} & B_ {y} \\ E_ {y} / c & B_ {z} & 0 & -B_ {x} \\ E_ {z} / c & -B_ {y} & B_ {x} & 0 \ end {pmatrix}}}

F ^ {{\ mu \ nu}} = {\ begin {pmatrix} 0 & -E_ {x} / c & -E_ {y} / c & -E_ {z} / c \\ E_ {x} / c & 0 & -B_ {z} & B_ {y} \\ E_ {y} / c & B_ {z} & 0 & -B_ {x} \\ E_ {z} / c & -B_ {y} & B_ {x} & 0 \ end {pmatrix}}

Un alt mod de reprezentare a câmpului printr-un tensor antisimetric este furnizat de tensorul electromagnetic dual , dat de:

G^{\mu \nu }={\begin{pmatrix}0&-B_{x}&-B_{y}&-B_{z}\\B_{x}&0&E_{z}/c&-E_{y}/c\\B_{y}&-E_{z}/c&0&E_{x}/c\\B_{z}&E_{y}/c&-E_{x}/c&0\end{pmatrix}}

{\ displaystyle G ^ {\ mu \ nu} = {\ begin {pmatrix} 0 & -B_ {x} & - B_ {y} & - B_ {z} \\ B_ {x} & 0 & E_ {z} / c & -E_ {y} / c \\ B_ {y} & - E_ {z} / c & 0 & E_ {x} / c \\ B_ {z} & E_ {y} / c & -E_ { x} / c & 0 \ end {pmatrix}}}

{\ displaystyle G ^ {\ mu \ nu} = {\ begin {pmatrix} 0 & -B_ {x} & - B_ {y} & - B_ {z} \\ B_ {x} & 0 & E_ {z} / c & -E_ {y} / c \\ B_ {y} & - E_ {z} / c & 0 & E_ {x} / c \\ B_ {z} & E_ {y} / c & -E_ { x} / c & 0 \ end {pmatrix}}}

Il tensore elettromagnetico gode della proprietà:

\det \left(F\right)=\left({\frac {\mathbf {B} \cdot \mathbf {E} }{c}}\right)^{2}

\det \left(F\right)=\left({\frac {\mathbf {B} \cdot \mathbf {E} }{c}}\right)^{2}

\det \left(F\right)=\left({\frac {\mathbf {B} \cdot \mathbf {E} }{c}}\right)^{2}

Attraverso questa notazione si possono sintetizzare a coppie le equazioni di Maxwell . Le due equazioni vettoriali non omogenee si riducono a:

\partial _{\mu }F^{\mu \nu }={\frac {4\pi }{c}}j^{\nu }

\partial _{\mu }F^{\mu \nu }={\frac {4\pi }{c}}j^{\nu }

\partial _{\mu }F^{{\mu \nu }}={\frac {4\pi }{c}}j^{\nu }

mentre le equazioni omogenee sono:

\partial _{\mu }G^{\mu \nu }=0

\partial _{\mu }G^{\mu \nu }=0

\partial _{\mu }G^{{\mu \nu }}=0

In modo equivalente:

\partial _{\mu }F^{\mu \nu }={\frac {4\pi }{c}}j^{\nu }\qquad \partial _{\gamma }F_{\alpha \beta }+\partial _{\alpha }F_{\beta \gamma }+\partial _{\beta }F_{\gamma \alpha }=0

\partial _{\mu }F^{\mu \nu }={\frac {4\pi }{c}}j^{\nu }\qquad \partial _{\gamma }F_{\alpha \beta }+\partial _{\alpha }F_{\beta \gamma }+\partial _{\beta }F_{\gamma \alpha }=0

\partial _{\mu }F^{\mu \nu }={\frac {4\pi }{c}}j^{\nu }\qquad \partial _{\gamma }F_{\alpha \beta }+\partial _{\alpha }F_{\beta \gamma }+\partial _{\beta }F_{\gamma \alpha }=0

dove la prima espressione è derivante dall' equazione di Eulero-Lagrange e sintesi della legge di Gauss elettrica e legge di Ampère-Maxwell , mentre la seconda è la sintesi della legge di Gauss magnetica e legge di Faraday-Neumann-Lenz .

Sorgenti variabili nel tempo

Lo stesso argomento in dettaglio: Potenziali ritardati ed Equazioni di Jefimenko .

I potenziali ritardati descrivono i potenziali nel caso in cui distribuzione di carica e corrente presente, sorgente del campo, sia variabile nel tempo. Si tratta delle espressioni dei potenziali utilizzata quando non è possibile utilizzare l'approssimazione secondo cui la propagazione dell' interazione elettromagnetica sia istantanea. Ponendo di trovarsi nel vuoto, nel gauge di Lorenz i potenziali ritardati assumono la forma: ^[18]

\phi (\mathbf {x} ,t)={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\int {\frac {\rho (\mathbf {x} _{0},t_{r})}{|\mathbf {x} -\mathbf {x} _{0}|}}d^{3}x_{0}

\phi (\mathbf {x} ,t)={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\int {\frac {\rho (\mathbf {x} _{0},t_{r})}{|\mathbf {x} -\mathbf {x} _{0}|}}d^{3}x_{0}

\phi (\mathbf {x} ,t)={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\int {\frac {\rho (\mathbf {x} _{0},t_{r})}{|\mathbf {x} -\mathbf {x} _{0}|}}d^{3}x_{0}

\mathbf {A} (\mathbf {x} ,t)={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}c^{2}}}\int {\frac {\mathbf {J} (\mathbf {x} _{0},t_{r})}{|\mathbf {x} -\mathbf {x} _{0}|}}d^{3}x_{0}

\mathbf {A} (\mathbf {x} ,t)={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}c^{2}}}\int {\frac {\mathbf {J} (\mathbf {x} _{0},t_{r})}{|\mathbf {x} -\mathbf {x} _{0}|}}d^{3}x_{0}

{\mathbf A}({\mathbf x},t)={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}c^{2}}}\int {\frac {{\mathbf J}({\mathbf x}_{0},t_{r})}{|{\mathbf x}-{\mathbf x}_{0}|}}d^{3}x_{0}

dove $\rho$ $\rho$ $\rho$ è la densità di carica , $\mathbf {J}$ $\mathbf {J}$ $\mathbf J$ è la densità di corrente , $|\mathbf {x} -\mathbf {x} _{0}|$ $|\mathbf {x} -\mathbf {x} _{0}|$ $|\mathbf x - \mathbf x_0|$ la distanza del punto di osservazione del campo dall'elemento di volume $d V$ ${\displaystyle dV}$ $dV$ su cui si effettua l'integrazione e:

t_{r}=t-{\frac {|\mathbf {x} -\mathbf {x} _{0}|}{c}}

t_{r}=t-{\frac {|\mathbf {x} -\mathbf {x} _{0}|}{c}}

t_r=t- \frac {|\mathbf x - \mathbf x_0|}{c}

è il tempo ritardato.

I potenziali ritardati sono la soluzione dell' equazione delle onde per i potenziali:

\quad \nabla ^{2}\phi -{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\phi }{\partial t^{2}}}=-{\frac {\rho }{\varepsilon _{0}}}

\quad \nabla ^{2}\phi -{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\phi }{\partial t^{2}}}=-{\frac {\rho }{\varepsilon _{0}}}

\quad \nabla ^{2}\phi -{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\phi }{\partial t^{2}}}=-{\frac {\rho }{\varepsilon _{0}}}

\quad \nabla ^{2}\mathbf {A} -{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\mathbf {A} }{\partial t^{2}}}=-\mu _{0}\mathbf {J}

\quad \nabla ^{2}\mathbf {A} -{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\mathbf {A} }{\partial t^{2}}}=-\mu _{0}\mathbf {J}

\quad \nabla ^{2}{\mathbf A}-{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}{\mathbf A}}{\partial t^{2}}}=-\mu _{0}{\mathbf J}

Una volta determinati i potenziali $\phi$ $\phi$ $\phi$ e $\mathbf {A}$ $\mathbf {A}$ $\mathbf A$ dalla distribuzione delle cariche e delle correnti nello spazio, è possibile esprimere il campo elettrico ed il campo magnetico attraverso le formule:

\mathbf {E} =-\nabla \phi -{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}}\qquad \mathbf {B} =\nabla \times \mathbf {A}

\mathbf {E} =-\nabla \phi -{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}}\qquad \mathbf {B} =\nabla \times \mathbf {A}

\mathbf {E} =-\nabla \phi -{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}}\qquad \mathbf {B} =\nabla \times \mathbf {A}

Questo consente di scrivere l'equazione delle onde per i campi nel vuoto:

\quad \nabla ^{2}\mathbf {E} -{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\mathbf {E} }{\partial t^{2}}}=-{\frac {1}{\varepsilon _{0}}}\left(-\nabla \rho -{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial \mathbf {J} }{\partial t}}\right)

\quad \nabla ^{2}\mathbf {E} -{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\mathbf {E} }{\partial t^{2}}}=-{\frac {1}{\varepsilon _{0}}}\left(-\nabla \rho -{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial \mathbf {J} }{\partial t}}\right)

\quad \nabla ^{2}{\mathbf {E}}-{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}{\mathbf {E}}}{\partial t^{2}}}=-{\frac {1}{\varepsilon _{0}}}\left(-\nabla \rho -{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial {\mathbf {J}}}{\partial t}}\right)

\quad \nabla ^{2}\mathbf {B} -{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\mathbf {B} }{\partial t^{2}}}=-\mu _{0}\nabla \times \mathbf {J}

\quad \nabla ^{2}\mathbf {B} -{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\mathbf {B} }{\partial t^{2}}}=-\mu _{0}\nabla \times \mathbf {J}

\quad \nabla ^{2}{\mathbf {B}}-{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}{\mathbf {B}}}{\partial t^{2}}}=-\mu _{0}\nabla \times {\mathbf {J}}

La soluzione al tempo ritardato fornisce l'espressione preliminare per i campi: ^[19]

\mathbf {E} (\mathbf {x} ,t)={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\int {\frac {1}{|\mathbf {x} -\mathbf {x} _{0}|}}\left[-\nabla '\rho -{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial \mathbf {J} }{\partial t}}\right]_{t=t_{r}}d^{3}x'

\mathbf {E} (\mathbf {x} ,t)={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\int {\frac {1}{|\mathbf {x} -\mathbf {x} _{0}|}}\left[-\nabla '\rho -{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial \mathbf {J} }{\partial t}}\right]_{t=t_{r}}d^{3}x'

{\mathbf {E}}({\mathbf {x}},t)={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\int {\frac {1}{|{\mathbf x}-{\mathbf x}_{0}|}}\left[-\nabla '\rho -{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial {\mathbf {J}}}{\partial t}}\right]_{{t=t_{r}}}d^{3}x'

\mathbf {B} (\mathbf {x} ,t)={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\int {\frac {1}{|\mathbf {x} -\mathbf {x} _{0}|}}\left[\nabla '\times \mathbf {J} \right]_{t=t_{r}}d^{3}x'

\mathbf {B} (\mathbf {x} ,t)={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\int {\frac {1}{|\mathbf {x} -\mathbf {x} _{0}|}}\left[\nabla '\times \mathbf {J} \right]_{t=t_{r}}d^{3}x'

{\mathbf {B}}({\mathbf {x}},t)={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\int {\frac {1}{|{\mathbf x}-{\mathbf x}_{0}|}}\left[\nabla '\times {\mathbf {J}}\right]_{{t=t_{r}}}d^{3}x'

la cui scrittura esplicita è fornita dalle equazioni di Jefimenko : ^[20]

\mathbf {E} (\mathbf {x} ,t)={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\int \left[\left({\frac {\rho (\mathbf {x} _{0},t_{r})}{|\mathbf {x} -\mathbf {x} _{0}|^{3}}}+{\frac {1}{|\mathbf {x} -\mathbf {x} _{0}|^{2}c}}{\frac {\partial \rho (\mathbf {x} _{0},t_{r})}{\partial t}}\right)(\mathbf {x} -\mathbf {x} _{0})-{\frac {1}{|\mathbf {x} -\mathbf {x} _{0}|c^{2}}}{\frac {\partial \mathbf {J} (\mathbf {x} _{0},t_{r})}{\partial t}}\right]\mathrm {d} ^{3}x

\mathbf {E} (\mathbf {x} ,t)={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\int \left[\left({\frac {\rho (\mathbf {x} _{0},t_{r})}{|\mathbf {x} -\mathbf {x} _{0}|^{3}}}+{\frac {1}{|\mathbf {x} -\mathbf {x} _{0}|^{2}c}}{\frac {\partial \rho (\mathbf {x} _{0},t_{r})}{\partial t}}\right)(\mathbf {x} -\mathbf {x} _{0})-{\frac {1}{|\mathbf {x} -\mathbf {x} _{0}|c^{2}}}{\frac {\partial \mathbf {J} (\mathbf {x} _{0},t_{r})}{\partial t}}\right]\mathrm {d} ^{3}x

\mathbf {E} (\mathbf {x} ,t)={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\int \left[\left({\frac {\rho (\mathbf {x} _{0},t_{r})}{|\mathbf {x} -\mathbf {x} _{0}|^{3}}}+{\frac {1}{|\mathbf {x} -\mathbf {x} _{0}|^{2}c}}{\frac {\partial \rho (\mathbf {x} _{0},t_{r})}{\partial t}}\right)(\mathbf {x} -\mathbf {x} _{0})-{\frac {1}{|\mathbf {x} -\mathbf {x} _{0}|c^{2}}}{\frac {\partial \mathbf {J} (\mathbf {x} _{0},t_{r})}{\partial t}}\right]\mathrm {d} ^{3}x

\mathbf {B} (\mathbf {x} ,t)={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\int \left[{\frac {\mathbf {J} (\mathbf {x} _{0},t_{r})}{|\mathbf {x} -\mathbf {x} _{0}|^{3}}}+{\frac {1}{|\mathbf {x} -\mathbf {x} _{0}|^{2}c}}{\frac {\partial \mathbf {J} (\mathbf {x} _{0},t_{r})}{\partial t}}\right]\times (\mathbf {x} -\mathbf {x} _{0})\mathrm {d} ^{3}x

\mathbf {B} (\mathbf {x} ,t)={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\int \left[{\frac {\mathbf {J} (\mathbf {x} _{0},t_{r})}{|\mathbf {x} -\mathbf {x} _{0}|^{3}}}+{\frac {1}{|\mathbf {x} -\mathbf {x} _{0}|^{2}c}}{\frac {\partial \mathbf {J} (\mathbf {x} _{0},t_{r})}{\partial t}}\right]\times (\mathbf {x} -\mathbf {x} _{0})\mathrm {d} ^{3}x

\mathbf {B} (\mathbf {x} ,t)={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\int \left[{\frac {\mathbf {J} (\mathbf {x} _{0},t_{r})}{|\mathbf {x} -\mathbf {x} _{0}|^{3}}}+{\frac {1}{|\mathbf {x} -\mathbf {x} _{0}|^{2}c}}{\frac {\partial \mathbf {J} (\mathbf {x} _{0},t_{r})}{\partial t}}\right]\times (\mathbf {x} -\mathbf {x} _{0})\mathrm {d} ^{3}x

dove $\mathbf {x} _{0}$ $\mathbf {x} _{0}$ $\mathbf{x}_0$ è un punto all'interno della distribuzione di carica e $\mathbf {x}$ $\mathbf {x}$ $\mathbf{x}$ è un punto nello spazio. Le espressioni per i campi nella materia $\mathbf {D}$ $\mathbf {D}$ $\mathbf{D}$ e $\mathbf {H}$ $\mathbf {H}$ $\mathbf {H}$ hanno la stessa forma. ^[21] .

Potenziali di Liénard-Wiechert

Lo stesso argomento in dettaglio: Potenziale di Liénard-Wiechert .

I potenziali di Liénard-Wiechert descrivono il campo elettromagnetico generato da una carica in moto a partire dai potenziali del campo. Costruiti direttamente a partire dalle equazioni di Maxwell , i potenziali forniscono una caratterizzazione generale e relativistica del campo variabile nel tempo generato da una carica in moto.

Il potenziale elettromagnetico $A^{\alpha }(x)=(\varphi ,\mathbf {A} )$ $A^{\alpha }(x)=(\varphi ,\mathbf {A} )$ $A^{\alpha }(x)=(\varphi ,\mathbf {A} )$ generato nel punto $x=(x_{0},\mathbf {x} )$ $x=(x_{0},\mathbf {x} )$ $x=(x_0,\mathbf{x})$ da una sorgente puntiforme di carica in moto $e$ ${\displaystyle e}$ $e$ è dato da: ^[22]

A^{\alpha }(x)={\frac {eV^{\alpha }(\tau =\tau _{0})}{V\cdot [x-r(\tau =\tau _{0})]}}\qquad x_{0}>r_{0}(\tau _{0})

A^{\alpha }(x)={\frac {eV^{\alpha }(\tau =\tau _{0})}{V\cdot [xr(\tau =\tau _{0})]}}\qquad x_{0}>r_{0}(\tau _{0})

A^{\alpha }(x)={\frac {eV^{\alpha }(\tau =\tau _{0})}{V\cdot [x-r(\tau =\tau _{0})]}}\qquad x_{0}>r_{0}(\tau _{0})

dove $V^{\alpha }(\tau )={\gamma }(c,\mathbf {v} _{s})$ $V^{\alpha }(\tau )={\gamma }(c,\mathbf {v} _{s})$ $V^{\alpha }(\tau )={\gamma }(c,\mathbf {v} _{s})$ è la quadrivelocità della carica, $r^{\alpha }(\tau )=(r_{0},\mathbf {r} _{s})$ $r^{\alpha }(\tau )=(r_{0},\mathbf {r} _{s})$ $r^{\alpha }(\tau )=(r_{0},\mathbf {r} _{s})$ la sua posizione e $\tau$ $\tau$ $\tau$ il tempo proprio . Nell'equazione la velocità e la posizione vengono valutati al tempo $\tau _{0}$ $\tau _{0}$ $\tau_0$ , che è definito dalla condizione del cono di luce . Tale condizione implica che:

x_{0}-r_{0}(\tau _{0})=|\mathbf {x} -\mathbf {r} _{s}(\tau _{0})|

x_{0}-r_{0}(\tau _{0})=|\mathbf {x} -\mathbf {r} _{s}(\tau _{0})|

x_{0}-r_{0}(\tau _{0})=|\mathbf {x} -\mathbf {r} _{s}(\tau _{0})|

e pertanto permette di scrivere:

V\cdot (x-r)=\gamma c(x_{0}-r_{0}(\tau _{0}))-\mathbf {v} _{s}\cdot (\mathbf {x} -\mathbf {r} _{s}(\tau _{0}))=\gamma c|\mathbf {x} -\mathbf {r} _{s}(\tau _{0})|(1-\mathbf {\beta } \cdot \mathbf {n} )

V\cdot (xr)=\gamma c(x_{0}-r_{0}(\tau _{0}))-\mathbf {v} _{s}\cdot (\mathbf {x} -\mathbf {r} _{s}(\tau _{0}))=\gamma c|\mathbf {x} -\mathbf {r} _{s}(\tau _{0})|(1-\mathbf {\beta } \cdot \mathbf {n} )

V\cdot (x-r)=\gamma c(x_{0}-r_{0}(\tau _{0}))-\mathbf {v} _{s}\cdot (\mathbf {x} -\mathbf {r} _{s}(\tau _{0}))=\gamma c|\mathbf {x} -\mathbf {r} _{s}(\tau _{0})|(1-\mathbf {\beta } \cdot \mathbf {n} )

con $\mathbf {n}$ $\mathbf {n}$ $\mathbf{n}$ vettore unitario che ha la direzione di $\mathbf {x} -\mathbf {r} _{s}(\tau )$ $\mathbf {x} -\mathbf {r} _{s}(\tau )$ $\mathbf {x} -\mathbf {r} _{s}(\tau )$ . Si ottiene in questo modo una forma equivalente, ma non covariante, del potenziale elettrico $\varphi$ $\varphi$ $\varphi$ e del potenziale magnetico $\mathbf {A}$ $\mathbf {A}$ $\mathbf{A}$ generati da una sorgente puntiforme di carica in moto: ^[23]

\varphi (\mathbf {x} ,t)={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\left({\frac {e}{(1-\mathbf {n} \cdot \mathbf {\beta } )|\mathbf {x} -\mathbf {r} _{s}(\tau )|}}\right)_{\tau =\tau _{0}}\qquad \mathbf {A} (\mathbf {x} ,t)={\frac {\mu _{0}c}{4\pi }}\left({\frac {e\mathbf {\beta } }{(1-\mathbf {n} \cdot \mathbf {\beta } )|\mathbf {x} -\mathbf {r} _{s}(\tau )|}}\right)_{\tau =\tau _{0}}={\frac {\mathbf {\beta } (\tau =\tau _{0})}{c}}\varphi (\mathbf {x} ,t)

\varphi (\mathbf {x} ,t)={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\left({\frac {e}{(1-\mathbf {n} \cdot \mathbf {\beta } )|\mathbf {x} -\mathbf {r} _{s}(\tau )|}}\right)_{\tau =\tau _{0}}\qquad \mathbf {A} (\mathbf {x} ,t)={\frac {\mu _{0}c}{4\pi }}\left({\frac {e\mathbf {\beta } }{(1-\mathbf {n} \cdot \mathbf {\beta } )|\mathbf {x} -\mathbf {r} _{s}(\tau )|}}\right)_{\tau =\tau _{0}}={\frac {\mathbf {\beta } (\tau =\tau _{0})}{c}}\varphi (\mathbf {x} ,t)

\varphi (\mathbf {x} ,t)={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\left({\frac {e}{(1-\mathbf {n} \cdot \mathbf {\beta } )|\mathbf {x} -\mathbf {r} _{s}(\tau )|}}\right)_{\tau =\tau _{0}}\qquad \mathbf {A} (\mathbf {x} ,t)={\frac {\mu _{0}c}{4\pi }}\left({\frac {e\mathbf {\beta } }{(1-\mathbf {n} \cdot \mathbf {\beta } )|\mathbf {x} -\mathbf {r} _{s}(\tau )|}}\right)_{\tau =\tau _{0}}={\frac {\mathbf {\beta } (\tau =\tau _{0})}{c}}\varphi (\mathbf {x} ,t)

A partire dai potenziali è possibile ricavare le espressioni dei campi utilizzando la loro definizione, ottenendo per il campo elettrico:

\mathbf {E} (\mathbf {x} ,t)={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\left({\frac {q(\mathbf {n} -\mathbf {\beta } )}{\gamma ^{2}(1-\mathbf {n} \cdot \mathbf {\beta } )^{3}|\mathbf {x} -\mathbf {r} _{s}(\tau )|^{2}}}+{\frac {q\mathbf {n} \times {\big (}(\mathbf {n} -\mathbf {\beta } )\times {\dot {\mathbf {\beta } }}{\big )}}{c(1-\mathbf {n} \cdot \mathbf {\beta } )^{3}|\mathbf {x} -\mathbf {r} _{s}(\tau )|}}\right)_{\tau =\tau _{0}}

\mathbf {E} (\mathbf {x} ,t)={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\left({\frac {q(\mathbf {n} -\mathbf {\beta } )}{\gamma ^{2}(1-\mathbf {n} \cdot \mathbf {\beta } )^{3}|\mathbf {x} -\mathbf {r} _{s}(\tau )|^{2}}}+{\frac {q\mathbf {n} \times {\big (}(\mathbf {n} -\mathbf {\beta } )\times {\dot {\mathbf {\beta } }}{\big )}}{c(1-\mathbf {n} \cdot \mathbf {\beta } )^{3}|\mathbf {x} -\mathbf {r} _{s}(\tau )|}}\right)_{\tau =\tau _{0}}

\mathbf {E} (\mathbf {x} ,t)={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\left({\frac {q(\mathbf {n} -\mathbf {\beta } )}{\gamma ^{2}(1-\mathbf {n} \cdot \mathbf {\beta } )^{3}|\mathbf {x} -\mathbf {r} _{s}(\tau )|^{2}}}+{\frac {q\mathbf {n} \times {\big (}(\mathbf {n} -\mathbf {\beta } )\times {\dot {\mathbf {\beta } }}{\big )}}{c(1-\mathbf {n} \cdot \mathbf {\beta } )^{3}|\mathbf {x} -\mathbf {r} _{s}(\tau )|}}\right)_{\tau =\tau _{0}}

e per il campo magnetico: ^[24]

\mathbf {B} (\mathbf {x} ,t)={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\left({\frac {qc(\mathbf {\beta } \times \mathbf {n} )}{\gamma ^{2}(1-\mathbf {n} \cdot \mathbf {\beta } )^{3}|\mathbf {x} -\mathbf {r} _{s}(\tau )|^{2}}}+{\frac {q\mathbf {n} \times {\Big (}\mathbf {n} \times {\big (}(\mathbf {n} -\mathbf {\beta } )\times {\dot {\mathbf {\beta } }}{\big )}{\Big )}}{(1-\mathbf {n} \cdot \mathbf {\beta } )^{3}|\mathbf {x} -\mathbf {r} _{s}(\tau )|}}\right)_{\tau =\tau _{0}}={\frac {\mathbf {n} (\tau =\tau _{0})}{c}}\times \mathbf {E} (\mathbf {x} ,t)

\mathbf {B} (\mathbf {x} ,t)={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\left({\frac {qc(\mathbf {\beta } \times \mathbf {n} )}{\gamma ^{2}(1-\mathbf {n} \cdot \mathbf {\beta } )^{3}|\mathbf {x} -\mathbf {r} _{s}(\tau )|^{2}}}+{\frac {q\mathbf {n} \times {\Big (}\mathbf {n} \times {\big (}(\mathbf {n} -\mathbf {\beta } )\times {\dot {\mathbf {\beta } }}{\big )}{\Big )}}{(1-\mathbf {n} \cdot \mathbf {\beta } )^{3}|\mathbf {x} -\mathbf {r} _{s}(\tau )|}}\right)_{\tau =\tau _{0}}={\frac {\mathbf {n} (\tau =\tau _{0})}{c}}\times \mathbf {E} (\mathbf {x} ,t)

\mathbf {B} (\mathbf {x} ,t)={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\left({\frac {qc(\mathbf {\beta } \times \mathbf {n} )}{\gamma ^{2}(1-\mathbf {n} \cdot \mathbf {\beta } )^{3}|\mathbf {x} -\mathbf {r} _{s}(\tau )|^{2}}}+{\frac {q\mathbf {n} \times {\Big (}\mathbf {n} \times {\big (}(\mathbf {n} -\mathbf {\beta } )\times {\dot {\mathbf {\beta } }}{\big )}{\Big )}}{(1-\mathbf {n} \cdot \mathbf {\beta } )^{3}|\mathbf {x} -\mathbf {r} _{s}(\tau )|}}\right)_{\tau =\tau _{0}}={\frac {\mathbf {n} (\tau =\tau _{0})}{c}}\times \mathbf {E} (\mathbf {x} ,t)

con:

\mathbf {\beta } (t)={\frac {\mathbf {v} _{s}(t)}{c}}\qquad \mathbf {n} (t)={\frac {\mathbf {r} -\mathbf {r} _{s}(t)}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{s}(t)|}}\qquad \gamma (t)={\frac {1}{\sqrt {1-|\mathbf {\beta } (t)|^{2}}}}

\mathbf {\beta } (t)={\frac {\mathbf {v} _{s}(t)}{c}}\qquad \mathbf {n} (t)={\frac {\mathbf {r} -\mathbf {r} _{s}(t)}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{s}(t)|}}\qquad \gamma (t)={\frac {1}{\sqrt {1-|\mathbf {\beta } (t)|^{2}}}}

\mathbf {\beta } (t)={\frac {\mathbf {v} _{s}(t)}{c}}\qquad \mathbf {n} (t)={\frac {\mathbf {r} -\mathbf {r} _{s}(t)}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{s}(t)|}}\qquad \gamma (t)={\frac {1}{\sqrt {1-|\mathbf {\beta } (t)|^{2}}}}

dove $\gamma$ $\gamma$ $\gamma$ è il fattore di Lorentz . il termine $\mathbf {n} -\mathbf {\beta }$ $\mathbf {n} -\mathbf {\beta }$ $\mathbf{n} - \mathbf{\beta}$ nell'espressione del campo elettrico impone che la direzione del primo termine del campo sia lungo la congiungente con la posizione della carica, mentre il secondo termine, dovuto all'accelerazione della carica, è perpendicolare a $\mathbf {n} -\mathbf {\beta }$ $\mathbf {n} -\mathbf {\beta }$ $\mathbf{n} - \mathbf{\beta}$ .

L'espressione dei campi è in questo modo data dalla somma di due contributi: il primo è detto campo di Coulomb generalizzato e decresce come il reciproco del quadrato della distanza dalla carica, il secondo è detto campo di radiazione e decresce come il reciproco della distanza dalla sorgente, e quindi è dominante lontano dalla carica. In entrambi i casi il campo di Coulomb generalizzato è relativo alla velocità della carica, mentre il campo di radiazione è generato dall'accelerazione.

Distribuzione angolare della radiazione emessa da una carica in moto accelerato. Nell'immagine a destra la velocità della particella si avvicina alla velocità della luce , e l'emissione di radiazione è collimata in un cono appuntito il cui asse è diretto come la velocità.

Equazione di Larmor

Lo stesso argomento in dettaglio: Equazione di Larmor e Radiazione di sincrotrone .

Se si trascura il campo di Coulomb generalizzato, la componente radiale del vettore di Poynting , risultante dall'espressione di Liénard–Wiechert dei campi, è data da: ^[25]

[\mathbf {S\cdot } {\hat {\mathbf {n} }}]_{\tau =\tau _{0}}={\frac {q^{2}}{16\pi ^{2}\varepsilon _{0}c}}\left\{{\frac {1}{R^{2}}}\left|{\frac {{\hat {\mathbf {n} }}\times [({\hat {\mathbf {n} }}-{\vec {\beta }})\times {\dot {\vec {\beta }}}]}{(1-{\vec {\beta }}\mathbf {\cdot } {\hat {\mathbf {n} }})^{3}}}\right|^{2}\right\}

[\mathbf {S\cdot } {\hat {\mathbf {n} }}]_{\tau =\tau _{0}}={\frac {q^{2}}{16\pi ^{2}\varepsilon _{0}c}}\left\{{\frac {1}{R^{2}}}\left|{\frac {{\hat {\mathbf {n} }}\times [({\hat {\mathbf {n} }}-{\vec {\beta }})\times {\dot {\vec {\beta }}}]}{(1-{\vec {\beta }}\mathbf {\cdot } {\hat {\mathbf {n} }})^{3}}}\right|^{2}\right\}

[\mathbf{S\cdot}\hat{\mathbf{n}}]_{\tau = \tau_0} = \frac{q^2}{16\pi^2\varepsilon_0 c}\left\{\frac{1}{R^2}\left|\frac{\hat{\mathbf{n}}\times[(\hat{\mathbf{n}}-\vec{\beta})\times\dot{\vec{\beta}}]}{(1-\vec{\beta}\mathbf{\cdot}\hat{\mathbf{n}})^3}\right|^2\right\}

dove il secondo membro, a differenza del primo, non è valutato al tempo ritardato.

La relazione spaziale tra ${\vec {\beta }}$ ${\vec {\beta }}$ $\vec{\beta}$ e ${\dot {\vec {\beta }}}$ ${\dot {\vec {\beta }}}$ $\dot{\vec{\beta}}$ determina la distribuzione di potenza angolare, ed il fattore $(1-{\vec {\beta }}\mathbf {\cdot } {\vec {\mathbf {n} }})$ $(1-{\vec {\beta }}\mathbf {\cdot } {\vec {\mathbf {n} }})$ $(1-\vec{\beta}\mathbf{\cdot}\vec{\mathbf{n}})$ al denominatore mostra la presenza degli effetti relativistici nel passaggio dal sistema di riferimento a riposo della particella al sistema di riferimento dell'osservatore.

L'energia irradiata per angolo solido durante un'accelerazione tra gli istanti $t'=T_{1}$ $t'=T_{1}$ $t'=T_1$ e $t'=T_{2}$ $t'=T_{2}$ $t'=T_2$ è data da:

{\frac {\mathrm {d} P}{\mathrm {d} {\mathit {\Omega }}}}={\frac {q^{2}}{16\pi ^{2}\varepsilon _{0}c}}\,{\frac {|{\hat {\mathbf {n} }}(t')\times \{[{\hat {\mathbf {n} }}(t')-{\vec {\beta }}(t')]\times {\dot {\vec {\beta }}}(t')\}|^{2}}{[1-{\vec {\beta }}(t')\mathbf {\cdot } {\vec {\mathbf {n} }}(t')]^{5}}}

{\frac {\mathrm {d} P}{\mathrm {d} {\mathit {\Omega }}}}={\frac {q^{2}}{16\pi ^{2}\varepsilon _{0}c}}\,{\frac {|{\hat {\mathbf {n} }}(t')\times \{[{\hat {\mathbf {n} }}(t')-{\vec {\beta }}(t')]\times {\dot {\vec {\beta }}}(t')\}|^{2}}{[1-{\vec {\beta }}(t')\mathbf {\cdot } {\vec {\mathbf {n} }}(t')]^{5}}}

{\frac {\mathrm {d} P}{\mathrm {d} {\mathit {\Omega }}}}={\frac {q^{2}}{16\pi ^{2}\varepsilon _{0}c}}\,{\frac {|{\hat {\mathbf {n} }}(t')\times \{[{\hat {\mathbf {n} }}(t')-{\vec {\beta }}(t')]\times {\dot {\vec {\beta }}}(t')\}|^{2}}{[1-{\vec {\beta }}(t')\mathbf {\cdot } {\vec {\mathbf {n} }}(t')]^{5}}}

Integrando tale espressione su tutto l'angolo solido si ottiene la generalizzazione relativistica della formula di Larmor: ^[26]

P={\frac {e^{2}}{6\pi \varepsilon _{0}c}}\gamma ^{6}\left[\left|{\dot {\vec {\beta }}}\right|^{2}-\left|{\vec {\beta }}\times {\dot {\vec {\beta }}}\right|\right]

P={\frac {e^{2}}{6\pi \varepsilon _{0}c}}\gamma ^{6}\left[\left|{\dot {\vec {\beta }}}\right|^{2}-\left|{\vec {\beta }}\times {\dot {\vec {\beta }}}\right|\right]

P={\frac {e^{2}}{6\pi \varepsilon _{0}c}}\gamma ^{6}\left[\left|{\dot {\vec {\beta }}}\right|^{2}-\left|{\vec {\beta }}\times {\dot {\vec {\beta }}}\right|\right]

Nel limite relativistico per velocità prossime alla velocità della luce , in cui $\gamma >>1$ $\gamma >>1$ $\gamma>>1$ , la distribuzione angolare può approssimativamente essere scritta come: ^[27]

{\frac {\mathrm {d} P}{\mathrm {d} {\mathit {\Omega }}}}\simeq {\frac {2}{\pi }}{\frac {e^{2}}{c^{3}}}\gamma ^{6}{\frac {|{\dot {\mathbf {v} }}|^{2}}{(1+\gamma ^{2}\theta ^{2})^{3}}}\left[1-{\frac {4\gamma ^{2}\theta ^{2}\cos ^{2}\phi }{(1+\gamma ^{2}\theta ^{2})^{2}}}\right]

{\frac {\mathrm {d} P}{\mathrm {d} {\mathit {\Omega }}}}\simeq {\frac {2}{\pi }}{\frac {e^{2}}{c^{3}}}\gamma ^{6}{\frac {|{\dot {\mathbf {v} }}|^{2}}{(1+\gamma ^{2}\theta ^{2})^{3}}}\left[1-{\frac {4\gamma ^{2}\theta ^{2}\cos ^{2}\phi }{(1+\gamma ^{2}\theta ^{2})^{2}}}\right]

{\frac {\mathrm {d} P}{\mathrm {d} {\mathit {\Omega }}}}\simeq {\frac {2}{\pi }}{\frac {e^{2}}{c^{3}}}\gamma ^{6}{\frac {|{\dot {\mathbf {v} }}|^{2}}{(1+\gamma ^{2}\theta ^{2})^{3}}}\left[1-{\frac {4\gamma ^{2}\theta ^{2}\cos ^{2}\phi }{(1+\gamma ^{2}\theta ^{2})^{2}}}\right]

dove i fattori $(1-\beta \cos \theta )$ $(1-\beta \cos \theta )$ $(1-\beta\cos\theta)$ al denominatore restringono la distribuzione angolare in un fascio di luce conico e sempre più stretto al crescere della velocità, distribuito in un piccolo angolo intorno a $\theta =0$ $\theta =0$ $\theta=0$ .

Trasformazioni del campo tra sistemi di riferimento inerziali

Lo stesso argomento in dettaglio: Trasformazione di Lorentz .

Si considerino due sistemi di riferimento inerziali che si muovono con velocità relativa $\mathbf {v}$ $\mathbf {v}$ $\mathbf v$ costante l'uno rispetto all'altro. Le componenti del campo parallele alla velocità sono denotate con ${\stackrel {\mathbf {E} _{\parallel }}{}}$ ${\stackrel {\mathbf {E} _{\parallel }}{}}$ ${\stackrel {\mathbf {E} _{\parallel }}{}}$ e ${\stackrel {\mathbf {B} _{\parallel }}{}}$ ${\stackrel {\mathbf {B} _{\parallel }}{}}$ ${\stackrel {\mathbf {B} _{\parallel }}{}}$ , mentre quelle perpendicolari con ${\stackrel {\mathbf {E} _{\bot }}{}}$ ${\stackrel {\mathbf {E} _{\bot }}{}}$ ${\stackrel {\mathbf {E} _{\bot }}{}}$ e ${\stackrel {\mathbf {B} _{\bot }}{}}$ ${\stackrel {\mathbf {B} _{\bot }}{}}$ ${\stackrel {\mathbf {B} _{\bot }}{}}$ . Considerando uno dei due sistemi di riferimento fermo, le variabili primate denotano i campi nell'altro sistema, in moto: ^[28]

\mathbf {{E}_{\parallel }} '=\mathbf {{E}_{\parallel }} \qquad \mathbf {{B}_{\parallel }} '=\mathbf {{B}_{\parallel }}

\mathbf {{E}_{\parallel }} '=\mathbf {{E}_{\parallel }} \qquad \mathbf {{B}_{\parallel }} '=\mathbf {{B}_{\parallel }}

\mathbf {{E}_{\parallel }} '=\mathbf {{E}_{\parallel }} \qquad \mathbf {{B}_{\parallel }} '=\mathbf {{B}_{\parallel }}

\mathbf {{E}_{\bot }} '=\gamma \left(\mathbf {E} _{\bot }+\mathbf {v} \times \mathbf {B} \right)\qquad \mathbf {{B}_{\bot }} '=\gamma \left(\mathbf {B} _{\bot }-{\frac {1}{c^{2}}}\mathbf {v} \times \mathbf {E} \right)

\mathbf {{E}_{\bot }} '=\gamma \left(\mathbf {E} _{\bot }+\mathbf {v} \times \mathbf {B} \right)\qquad \mathbf {{B}_{\bot }} '=\gamma \left(\mathbf {B} _{\bot }-{\frac {1}{c^{2}}}\mathbf {v} \times \mathbf {E} \right)

\mathbf {{E}_{\bot }} '=\gamma \left(\mathbf {E} _{\bot }+\mathbf {v} \times \mathbf {B} \right)\qquad \mathbf {{B}_{\bot }} '=\gamma \left(\mathbf {B} _{\bot }-{\frac {1}{c^{2}}}\mathbf {v} \times \mathbf {E} \right)

dove:

\gamma ={\frac {1}{\sqrt {1-v^{2}/{c}^{2}}}}

\gamma ={\frac {1}{\sqrt {1-v^{2}/{c}^{2}}}}

\gamma ={\frac {1}{\sqrt {1-v^{2}/{c}^{2}}}}

è il fattore di Lorentz e $c$ ${\displaystyle c}$ $c$ la velocità della luce . La trasformazione inversa si ottiene cambiando il segno della velocità.

In modo equivalente, si può scrivere: ^[29]

{\begin{aligned}&\mathbf {E} '=\gamma \left(\mathbf {E} +\mathbf {v} \times \mathbf {B} \right)-\left({\gamma -1}\right)(\mathbf {E} \cdot \mathbf {\hat {v}} )\mathbf {\hat {v}} \\&\mathbf {B} '=\gamma \left(\mathbf {B} -{\frac {\mathbf {v} \times \mathbf {E} }{c^{2}}}\right)-\left({\gamma -1}\right)(\mathbf {B} \cdot \mathbf {\hat {v}} )\mathbf {\hat {v}} \\\end{aligned}}

{\begin{aligned}&\mathbf {E} '=\gamma \left(\mathbf {E} +\mathbf {v} \times \mathbf {B} \right)-\left({\gamma -1}\right)(\mathbf {E} \cdot \mathbf {\hat {v}} )\mathbf {\hat {v}} \\&\mathbf {B} '=\gamma \left(\mathbf {B} -{\frac {\mathbf {v} \times \mathbf {E} }{c^{2}}}\right)-\left({\gamma -1}\right)(\mathbf {B} \cdot \mathbf {\hat {v}} )\mathbf {\hat {v}} \\\end{aligned}}

{\begin{aligned}&\mathbf {E} '=\gamma \left(\mathbf {E} +\mathbf {v} \times \mathbf {B} \right)-\left({\gamma -1}\right)(\mathbf {E} \cdot \mathbf {\hat {v}} )\mathbf {\hat {v}} \\&\mathbf {B} '=\gamma \left(\mathbf {B} -{\frac {\mathbf {v} \times \mathbf {E} }{c^{2}}}\right)-\left({\gamma -1}\right)(\mathbf {B} \cdot \mathbf {\hat {v}} )\mathbf {\hat {v}} \\\end{aligned}}

dove $\mathbf {\hat {v}}$ $\mathbf {\hat {v}}$ $\mathbf {\hat {v}}$ è un vettore unitario diretto come la velocità.

Data una particella di carica $q$ ${\displaystyle q}$ $q$ che si muove con velocità $\mathbf {u}$ $\mathbf {u}$ $\mathbf{u}$ rispetto al sistema fermo, la forza di Lorentz agente su di essa è:

\mathbf {F} =q\mathbf {E} +q\mathbf {u} \times \mathbf {B}

\mathbf {F} =q\mathbf {E} +q\mathbf {u} \times \mathbf {B}

\mathbf {F} =q\mathbf {E} +q\mathbf {u} \times \mathbf {B}

mentre nel sistema in moto:

\mathbf {F'} =q\mathbf {E'} +q\mathbf {u'} \times \mathbf {B'}

\mathbf {F'} =q\mathbf {E'} +q\mathbf {u'} \times \mathbf {B'}

\mathbf {F'} =q\mathbf {E'} +q\mathbf {u'} \times \mathbf {B'}

Se i due sistemi hanno i tre assi rispettivamente paralleli, allora: ^[30]

u_{x}'={\frac {u_{x}+v}{1+(v\ u_{x})/c^{2}}}\qquad u_{y}'={\frac {u_{y}/\gamma }{1+(v\ u_{x})/c^{2}}}\qquad u_{z}'={\frac {u_{z}/\gamma }{1+(v\ u_{x})/c^{2}}}

u_{x}'={\frac {u_{x}+v}{1+(v\ u_{x})/c^{2}}}\qquad u_{y}'={\frac {u_{y}/\gamma }{1+(v\ u_{x})/c^{2}}}\qquad u_{z}'={\frac {u_{z}/\gamma }{1+(v\ u_{x})/c^{2}}}

u_{x}'={\frac {u_{x}+v}{1+(v\ u_{x})/c^{2}}}\qquad u_{y}'={\frac {u_{y}/\gamma }{1+(v\ u_{x})/c^{2}}}\qquad u_{z}'={\frac {u_{z}/\gamma }{1+(v\ u_{x})/c^{2}}}

Per un moto relativo tra i due sistemi lungo l'asse delle ascisse, si ottiene:

{\begin{aligned}&\displaystyle E'_{x}=E_{x}\\&E'_{y}=\gamma \left(E_{y}-vB_{z}\right)\\&E'_{z}=\gamma \left(E_{z}+vB_{y}\right)\\\end{aligned}}\quad {\begin{aligned}&\displaystyle B'_{x}=B_{x}\\&B'_{y}=\gamma \left(B_{y}+{\frac {v}{c^{2}}}E_{z}\right)\\&B'_{z}=\gamma \left(B_{z}-{\frac {v}{c^{2}}}E_{y}\right)\end{aligned}}

{\begin{aligned}&\displaystyle E'_{x}=E_{x}\\&E'_{y}=\gamma \left(E_{y}-vB_{z}\right)\\&E'_{z}=\gamma \left(E_{z}+vB_{y}\right)\\\end{aligned}}\quad {\begin{aligned}&\displaystyle B'_{x}=B_{x}\\&B'_{y}=\gamma \left(B_{y}+{\frac {v}{c^{2}}}E_{z}\right)\\&B'_{z}=\gamma \left(B_{z}-{\frac {v}{c^{2}}}E_{y}\right)\end{aligned}}

{\begin{aligned}&\displaystyle E'_{x}=E_{x}\\&E'_{y}=\gamma \left(E_{y}-vB_{z}\right)\\&E'_{z}=\gamma \left(E_{z}+vB_{y}\right)\\\end{aligned}}\quad {\begin{aligned}&\displaystyle B'_{x}=B_{x}\\&B'_{y}=\gamma \left(B_{y}+{\frac {v}{c^{2}}}E_{z}\right)\\&B'_{z}=\gamma \left(B_{z}-{\frac {v}{c^{2}}}E_{y}\right)\end{aligned}}

In unità CGS: ^[31]

{\begin{aligned}&\displaystyle E'_{x}=E_{x}\\&E'_{y}=\gamma \left(E_{y}-\beta B_{z}\right)\\&E'_{z}=\gamma \left(E_{z}+\beta B_{y}\right)\\\end{aligned}}\quad {\begin{aligned}&\displaystyle B'_{x}=B_{x}\\&B'_{y}=\gamma \left(B_{y}+\beta E_{z}\right)\\&B'_{z}=\gamma \left(B_{z}-\beta E_{y}\right)\end{aligned}}

{\begin{aligned}&\displaystyle E'_{x}=E_{x}\\&E'_{y}=\gamma \left(E_{y}-\beta B_{z}\right)\\&E'_{z}=\gamma \left(E_{z}+\beta B_{y}\right)\\\end{aligned}}\quad {\begin{aligned}&\displaystyle B'_{x}=B_{x}\\&B'_{y}=\gamma \left(B_{y}+\beta E_{z}\right)\\&B'_{z}=\gamma \left(B_{z}-\beta E_{y}\right)\end{aligned}}

{\begin{aligned}&\displaystyle E'_{x}=E_{x}\\&E'_{y}=\gamma \left(E_{y}-\beta B_{z}\right)\\&E'_{z}=\gamma \left(E_{z}+\beta B_{y}\right)\\\end{aligned}}\quad {\begin{aligned}&\displaystyle B'_{x}=B_{x}\\&B'_{y}=\gamma \left(B_{y}+\beta E_{z}\right)\\&B'_{z}=\gamma \left(B_{z}-\beta E_{y}\right)\end{aligned}}

dove $\beta \ {\overset {\underset {\mathrm {def} }{}}{=}}\ v/c$ $\beta \ {\overset {\underset {\mathrm {def} }{}}{=}}\ v/c$ $\beta \ {\overset {\underset {\mathrm {def} }{}}{=}}\ v/c$ .

Considerando trasformazioni di Lorentz più generali si può ricorrere al formalismo tensoriale. Detto $F^{\mu \nu }$ $F^{\mu \nu }$ $F^{\mu\nu}$ il tensore elettromagnetico nel sistema fermo, $F'^{\mu \nu }$ $F'^{\mu \nu }$ $F'^{\mu \nu }$ quello nel sistema di riferimento in moto e denotando con $\Lambda$ $\Lambda$ $\Lambda$ la generica trasformazione di Lorentz si ha, nella notazione di Einstein:

F'^{\mu \nu }=\Lambda _{\ \rho }^{\mu }\Lambda _{\ \sigma }^{\nu }F^{\rho \sigma }

F'^{\mu \nu }=\Lambda _{\ \rho }^{\mu }\Lambda _{\ \sigma }^{\nu }F^{\rho \sigma }

F'^{\mu \nu }=\Lambda _{\ \rho }^{\mu }\Lambda _{\ \sigma }^{\nu }F^{\rho \sigma }

Questa relazione deriva dal fatto che $F$ ${\displaystyle F}$ $F$ è un tensore e dunque trasforma per definizione in questo modo.

Campi nella materia

Nella materia, il campo elettrico $\mathbf {D}$ $\mathbf {D}$ $\mathbf{D}$ ed il campo magnetico $\mathbf {H}$ $\mathbf {H}$ $\mathbf {H}$ sono dati da:

\mathbf {D} =\varepsilon _{0}\mathbf {E} \qquad \mathbf {B} =\mu _{0}\mathbf {H} \qquad c^{2}={\frac {1}{\varepsilon _{0}\mu _{0}}}

\mathbf {D} =\varepsilon _{0}\mathbf {E} \qquad \mathbf {B} =\mu _{0}\mathbf {H} \qquad c^{2}={\frac {1}{\varepsilon _{0}\mu _{0}}}

\mathbf {D} =\varepsilon _{0}\mathbf {E} \qquad \mathbf {B} =\mu _{0}\mathbf {H} \qquad c^{2}={\frac {1}{\varepsilon _{0}\mu _{0}}}

e si trasformano in modo analogo ai campi nel vuoto:

{\begin{aligned}\mathbf {D} '&=\gamma \left(\mathbf {D} +{\frac {1}{c^{2}}}\mathbf {v} \times \mathbf {H} \right)+(1-\gamma )(\mathbf {D} \cdot \mathbf {\hat {v}} )\mathbf {\hat {v}} \\\mathbf {H} '&=\gamma \left(\mathbf {H} -\mathbf {v} \times \mathbf {D} \right)+(1-\gamma )(\mathbf {H} \cdot \mathbf {\hat {v}} )\mathbf {\hat {v}} \\\end{aligned}}

{\begin{aligned}\mathbf {D} '&=\gamma \left(\mathbf {D} +{\frac {1}{c^{2}}}\mathbf {v} \times \mathbf {H} \right)+(1-\gamma )(\mathbf {D} \cdot \mathbf {\hat {v}} )\mathbf {\hat {v}} \\\mathbf {H} '&=\gamma \left(\mathbf {H} -\mathbf {v} \times \mathbf {D} \right)+(1-\gamma )(\mathbf {H} \cdot \mathbf {\hat {v}} )\mathbf {\hat {v}} \\\end{aligned}}

{\begin{aligned}\mathbf {D} '&=\gamma \left(\mathbf {D} +{\frac {1}{c^{2}}}\mathbf {v} \times \mathbf {H} \right)+(1-\gamma )(\mathbf {D} \cdot \mathbf {\hat {v}} )\mathbf {\hat {v}} \\\mathbf {H} '&=\gamma \left(\mathbf {H} -\mathbf {v} \times \mathbf {D} \right)+(1-\gamma )(\mathbf {H} \cdot \mathbf {\hat {v}} )\mathbf {\hat {v}} \\\end{aligned}}

Potenziali del campo

Lo stesso argomento in dettaglio: Quadripotenziale .

Il potenziale vettore $\mathbf {A}$ $\mathbf {A}$ $\mathbf A$ relativo al campo magnetico ed il potenziale scalare $\psi$ $\psi$ $\psi$ del campo elettrico si trasformano come segue: ^[32]

\varphi '=\gamma (\varphi -vA_{\parallel })\qquad A_{\parallel }'=\gamma (A_{\parallel }-v\varphi /c^{2})\qquad A_{\bot }'=A_{\bot }

\varphi '=\gamma (\varphi -vA_{\parallel })\qquad A_{\parallel }'=\gamma (A_{\parallel }-v\varphi /c^{2})\qquad A_{\bot }'=A_{\bot }

\varphi '=\gamma (\varphi -vA_{\parallel })\qquad A_{\parallel }'=\gamma (A_{\parallel }-v\varphi /c^{2})\qquad A_{\bot }'=A_{\bot }

dove $\scriptstyle A_{\parallel }$ $\scriptstyle A_{\parallel }$ $\scriptstyle A_{\parallel }$ è la componente parallela alla velocità relativa e $\scriptstyle A_{\bot }$ $\scriptstyle A_{\bot }$ $\scriptstyle A_{\bot }$ e quella perpendicolare. In forma compatta:

{\begin{aligned}\mathbf {A} '&=\mathbf {A} -{\dfrac {\gamma \varphi }{c^{2}}}\mathbf {v} +(\gamma -1)(\mathbf {A} \cdot \mathbf {\hat {v}} )\mathbf {\hat {v}} \\{\varphi }'&=\gamma \left(\varphi -\mathbf {A} \cdot \mathbf {v} \right)\end{aligned}}

{\begin{aligned}\mathbf {A} '&=\mathbf {A} -{\dfrac {\gamma \varphi }{c^{2}}}\mathbf {v} +(\gamma -1)(\mathbf {A} \cdot \mathbf {\hat {v}} )\mathbf {\hat {v}} \\{\varphi }'&=\gamma \left(\varphi -\mathbf {A} \cdot \mathbf {v} \right)\end{aligned}}

{\begin{aligned}\mathbf {A} '&=\mathbf {A} -{\dfrac {\gamma \varphi }{c^{2}}}\mathbf {v} +(\gamma -1)(\mathbf {A} \cdot \mathbf {\hat {v}} )\mathbf {\hat {v}} \\{\varphi }'&=\gamma \left(\varphi -\mathbf {A} \cdot \mathbf {v} \right)\end{aligned}}

Sorgenti del campo

Per le densità di carica $\rho$ $\rho$ $\rho$ e corrente elettrica $\mathbf {J}$ $\mathbf {J}$ $\mathbf J$ si ha: ^[32]

J_{\parallel }'=\gamma (J_{\parallel }-v\rho )\qquad \rho '=\gamma (\rho -vJ_{\parallel }/c^{2})\qquad J_{\bot }'=J_{\bot }

J_{\parallel }'=\gamma (J_{\parallel }-v\rho )\qquad \rho '=\gamma (\rho -vJ_{\parallel }/c^{2})\qquad J_{\bot }'=J_{\bot }

J_{\parallel }'=\gamma (J_{\parallel }-v\rho )\qquad \rho '=\gamma (\rho -vJ_{\parallel }/c^{2})\qquad J_{\bot }'=J_{\bot }

e raggruppando le componenti:

{\begin{aligned}\mathbf {J} '&=\mathbf {J} -\gamma \rho \mathbf {v} +\left(\gamma -1\right)(\mathbf {J} \cdot \mathbf {\hat {v}} )\mathbf {\hat {v}} \\{\rho }'&=\gamma (\rho -\mathbf {J} \cdot \mathbf {v} /c^{2})\end{aligned}}

{\begin{aligned}\mathbf {J} '&=\mathbf {J} -\gamma \rho \mathbf {v} +\left(\gamma -1\right)(\mathbf {J} \cdot \mathbf {\hat {v}} )\mathbf {\hat {v}} \\{\rho }'&=\gamma (\rho -\mathbf {J} \cdot \mathbf {v} /c^{2})\end{aligned}}

{\begin{aligned}\mathbf {J} '&=\mathbf {J} -\gamma \rho \mathbf {v} +\left(\gamma -1\right)(\mathbf {J} \cdot \mathbf {\hat {v}} )\mathbf {\hat {v}} \\{\rho }'&=\gamma (\rho -\mathbf {J} \cdot \mathbf {v} /c^{2})\end{aligned}}

Approssimazione non relativistica

Per velocità molto inferiori alla velocità della luce $\gamma$ $\gamma$ $\gamma$ è prossimo ad 1 e pertanto si ha:

\mathbf {E} '\approx \mathbf {E} +\mathbf {v} \times \mathbf {B} \qquad \mathbf {B} '\approx \mathbf {B} -{\frac {1}{c^{2}}}\mathbf {v} \times \mathbf {E}

\mathbf {E} '\approx \mathbf {E} +\mathbf {v} \times \mathbf {B} \qquad \mathbf {B} '\approx \mathbf {B} -{\frac {1}{c^{2}}}\mathbf {v} \times \mathbf {E}

\mathbf {E} '\approx \mathbf {E} +\mathbf {v} \times \mathbf {B} \qquad \mathbf {B} '\approx \mathbf {B} -{\frac {1}{c^{2}}}\mathbf {v} \times \mathbf {E}

\mathbf {j} '\approx \mathbf {j} -\rho \mathbf {v} \qquad \rho '\approx \left(\rho -{\frac {1}{c^{2}}}\mathbf {j} \cdot \mathbf {v} \right)

\mathbf {j} '\approx \mathbf {j} -\rho \mathbf {v} \qquad \rho '\approx \left(\rho -{\frac {1}{c^{2}}}\mathbf {j} \cdot \mathbf {v} \right)

\mathbf {j} '\approx \mathbf {j} -\rho \mathbf {v} \qquad \rho '\approx \left(\rho -{\frac {1}{c^{2}}}\mathbf {j} \cdot \mathbf {v} \right)

Si tratta dell'approssimazione utilizzata nel caso non relativistico.

Elettrodinamica quantistica

Lo stesso argomento in dettaglio: Elettrodinamica quantistica .

L'elettrodinamica quantistica è una teoria quantistica del campo elettromagnetico che descrive i fenomeni che coinvolgono particelle elettricamente cariche interagenti per mezzo della forza elettromagnetica , ed ha permesso di ottenere predizioni estremamente accurate di quantità come il momento magnetico anomalo del muone , e lo spostamento di Lamb-Retherford dei livelli energetici dell' idrogeno .

Matematicamente l'elettrodinamica quantistica ha la struttura di una teoria di gauge abeliana con un gruppo di gauge U(1) : fisicamente questo significa che le particelle cariche interagiscono fra loro attraverso lo scambio di particelle a massa nulla dette fotoni . Considerando i potenziali come operatori di campo si ottiene la quantizzazione del campo elettromagnetico, e sostituendo ${\frac {1}{c^{2}}}=\varepsilon _{0}\mu _{0}$ ${\frac {1}{c^{2}}}=\varepsilon _{0}\mu _{0}$ ${\frac 1{c^{2}}}=\varepsilon _{0}\mu _{0}$ nelle equazioni del gauge di Lorenz si ottiene:

\nabla ^{2}\mathbf {A} -{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\mathbf {A} }{\partial t^{2}}}=-\mu _{0}\mathbf {J}

\nabla ^{2}\mathbf {A} -{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\mathbf {A} }{\partial t^{2}}}=-\mu _{0}\mathbf {J}

\nabla ^{2}\mathbf {A} -{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\mathbf {A} }{\partial t^{2}}}=-\mu _{0}\mathbf {J}

\nabla ^{2}\varphi -{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial t^{2}}}=-{\frac {\rho }{\varepsilon _{0}}}

\nabla ^{2}\varphi -{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial t^{2}}}=-{\frac {\rho }{\varepsilon _{0}}}

\nabla ^{2}\varphi -{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial t^{2}}}=-{\frac {\rho }{\varepsilon _{0}}}

Se si vuole descrivere l'interazione tra campi elettromagnetici con l'equazione di Dirac, le densità di carica e corrente sono: ^[33]

\mathbf {J} =-e\psi ^{\dagger }{\boldsymbol {\alpha }}\psi \,\quad \rho =-e\psi ^{\dagger }\psi

\mathbf {J} =-e\psi ^{\dagger }{\boldsymbol {\alpha }}\psi \,\quad \rho =-e\psi ^{\dagger }\psi

{\mathbf {J}}=-e\psi ^{{\dagger }}{\boldsymbol {\alpha }}\psi \,\quad \rho =-e\psi ^{{\dagger }}\psi

dove ${\boldsymbol {\alpha }}$ ${\boldsymbol {\alpha }}$ ${\boldsymbol \alpha }$ sono le prime tre matrici di Dirac . Si possono così scrivere le equazioni di Maxwell come:

\nabla ^{2}\mathbf {A} -{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\mathbf {A} }{\partial t^{2}}}=\mu _{0}e\psi ^{\dagger }{\boldsymbol {\alpha }}\psi

\nabla ^{2}\mathbf {A} -{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\mathbf {A} }{\partial t^{2}}}=\mu _{0}e\psi ^{\dagger }{\boldsymbol {\alpha }}\psi

\nabla ^{2}\mathbf {A} -{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\mathbf {A} }{\partial t^{2}}}=\mu _{0}e\psi ^{\dagger }{\boldsymbol {\alpha }}\psi

\nabla ^{2}\varphi -{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial t^{2}}}={\frac {1}{\varepsilon _{0}}}e\psi ^{\dagger }\psi

\nabla ^{2}\varphi -{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial t^{2}}}={\frac {1}{\varepsilon _{0}}}e\psi ^{\dagger }\psi

\nabla ^{2}\varphi -{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial t^{2}}}={\frac {1}{\varepsilon _{0}}}e\psi ^{\dagger }\psi

Tale formulazione è alla base dell'ettrodinamica quantistica.

Campi elettromagnetici e salute

Lo stesso argomento in dettaglio: Inquinamento elettromagnetico .

L'esposizione umana ai campi elettromagnetici è una problematica relativamente recente ( 1972 ) che assume notevole interesse con l'introduzione massiccia dei sistemi di telecomunicazione e dei sistemi di trasmissione e distribuzione dell'energia elettrica. In realtà anche in assenza di tali sistemi siamo costantemente immersi nei campi elettromagnetici per tutti quei fenomeni naturali riconducibili alla natura elettromagnetica, primo su tutti l'irraggiamento solare. Allo scopo di approfondire il legame tra esposizione a campi elettromagnetici e salute umana, sono stati avviati, a partire dalla seconda metà degli anni novanta dello scorso secolo, sia in Italia che all'estero, studi epidemiologici specifici. Le misure del campo elettromagnetico vengono effettuate con apposite sonde.

Note

^ Britannica Online Encyclopædia - Electromagnetic field , su britannica.com . URL consultato il 5 luglio 2012 .
^ Landau, Lifshits , Pag. 147 .
^ Landau, Lifshits , Pag. 67 .
^ Jackson , Pag. 239 .
^ ^a ^b Jackson , Pag. 240 .
^ Jackson , Pag. 241 .
^ Carver A. Mead, Collective Electrodynamics: Quantum Foundations of Electromagnetism , MIT Press, 7 agosto 2002, pp. 37–38, ISBN 978-0-262-63260-7 .
^ Frederic V. Hartemann, High-field electrodynamics , CRC Press, 2002, p. 102, ISBN 978-0-8493-2378-2 .
^ Jackson , Pag. 583 .
^ ^a ^b Jackson , Pag. 581 .
^ Jackson , Pag. 582 .
^ Landau, Lifshits , Pag. 69 .
^ Landau, Lifshits , Pag. 88 .
^ Landau, Lifshits , Pag. 89 .
^ Jackson , Pag. 580 .
^ Jackson , Pag. 579 .
^ Griffiths, David J., Introduction to Electrodynamics , 3rd, Prentice Hall, 1998, p. 557, ISBN 0-13-805326-X .
^ Mencuccini, Silvestrini , Pag. 506 .
^ Jackson , Pag. 246 .
^ Jackson , Pag. 247 .
^ Oleg D. Jefimenko, Solutions of Maxwell's equations for electric and magnetic fields in arbitrary media , American Journal of Physics 60 (10) (1992), 899-902
^ Jackson , Pag. 662 .
^ Jackson , Pag. 663 .
^ Jackson , Pag. 664 .
^ Jackson , Pag. 668 .
^ Jackson , Pag. 666 .
^ Jackson , Pag. 671 .
^ Tai L. Chow, Electromagnetic theory , Sudbury MA, Jones and Bartlett, 2006, Chapter 10.21; p. 402–403 ff, ISBN 0-7637-3827-1 .
^ Herbert Daniel, 4.5.1 , in Physik: Elektrodynamik, relativistische Physik , Walter de Gruyter, 1997, pp. 360–361, ISBN 3-11-015777-2 . , Extract of pages 360-361
^ RCTolman "Relativity Thermodynamics and Cosmology" pp25
^ Jackson, John D. (1998). Classical Electrodynamics (3rd ed.). Wiley. ISBN 0-471-30932-X
^ ^a ^b The Cambridge Handbook of Physics Formulas, G. Woan, Cambridge University Press, 2010, ISBN 978-0-521-57507-2 .
^ Quantum Electrodynamics, Mathworld

Bibliografia

Corrado Mencuccini, Vittorio Silvestrini, Fisica II , Napoli, Liguori Editore, 2010, ISBN 978-88-207-1633-2 .
Lev D. Landau, Evgenij M. Lifshits, Fisica teorica 2 - Teoria dei campi , Roma, Editori Riuniti Edizioni Mir, 1976, ISBN 88-359-5358-8 .
( EN ) John D Jackson, Classical Electrodynamics , 3rd Edition, Wiley, 1999, ISBN 0-471-30932-X .

Voci correlate

Altri progetti

Wikimedia Commons contiene immagini o altri file su campo elettromagnetico

Collegamenti esterni

( EN ) Campo elettromagnetico , su Enciclopedia Britannica , Encyclopædia Britannica, Inc.
Progetto CAMELET Campi elettromagnetici e Salute ISS
Progetto POWERFIELD Schermatura e mitigazione dei campi elettromagnetici
WHO Campi elettromagnetici

Controllo di autorità	Thesaurus BNCF 3194 · LCCN ( EN ) sh85042168 · GND ( DE ) 4014305-3 · BNF ( FR ) cb11979677q (data) · NDL ( EN , JA ) 00561479

Portale Elettromagnetismo : accedi alle voci di Wikipedia che trattano di elettromagnetismo

[1] Britannica Online Encyclopædia - Electromagnetic field , su britannica.com . URL consultato il 5 luglio 2012 .

[2] Landau, Lifshits , Pag. 147 .

[3] Landau, Lifshits , Pag. 67 .

[4] Jackson , Pag. 239 .

[pot-5] Jackson , Pag. 240 .

[6] Jackson , Pag. 241 .

[7] Carver A. Mead, Collective Electrodynamics: Quantum Foundations of Electromagnetism , MIT Press, 7 agosto 2002, pp. 37–38, ISBN 978-0-262-63260-7 .

[8] Frederic V. Hartemann, High-field electrodynamics , CRC Press, 2002, p. 102, ISBN 978-0-8493-2378-2 .

[9] Jackson , Pag. 583 .

[lag-10] Jackson , Pag. 581 .

[11] Jackson , Pag. 582 .

[12] Landau, Lifshits , Pag. 69 .

[13] Landau, Lifshits , Pag. 88 .

[14] Landau, Lifshits , Pag. 89 .

[15] Jackson , Pag. 580 .

[16] Jackson , Pag. 579 .

[17] Griffiths, David J., Introduction to Electrodynamics , 3rd, Prentice Hall, 1998, p. 557, ISBN 0-13-805326-X .

[18] Mencuccini, Silvestrini , Pag. 506 .

[19] Jackson , Pag. 246 .

[20] Jackson , Pag. 247 .

[21] Oleg D. Jefimenko, Solutions of Maxwell's equations for electric and magnetic fields in arbitrary media , American Journal of Physics 60 (10) (1992), 899-902

[22] Jackson , Pag. 662 .

[23] Jackson , Pag. 663 .

[24] Jackson , Pag. 664 .

[25] Jackson , Pag. 668 .

[26] Jackson , Pag. 666 .

[27] Jackson , Pag. 671 .

[Chow3-28] Tai L. Chow, Electromagnetic theory , Sudbury MA, Jones and Bartlett, 2006, Chapter 10.21; p. 402–403 ff, ISBN 0-7637-3827-1 .

[29] Herbert Daniel, 4.5.1 , in Physik: Elektrodynamik, relativistische Physik , Walter de Gruyter, 1997, pp. 360–361, ISBN 3-11-015777-2 . , Extract of pages 360-361

[30] RCTolman "Relativity Thermodynamics and Cosmology" pp25

[31] Jackson, John D. (1998). Classical Electrodynamics (3rd ed.). Wiley. ISBN 0-471-30932-X

[Cambridge-32] The Cambridge Handbook of Physics Formulas, G. Woan, Cambridge University Press, 2010, ISBN 978-0-521-57507-2 .

[33] Quantum Electrodynamics, Mathworld

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

[18]

[19]

[20]

[21]

[22]

[23]

[24]

[25]

[26]

[27]

[28]

[29]

[30]

[31]

[32]

[33]