Câmp gravitațional

În fizică , câmpul gravitațional este câmpul asociat cu interacțiunea gravitațională .

În mecanica clasică , câmpul gravitațional este tratat ca un câmp de forță conservator . Conform relativității generale este o expresie a curburii spațiu-timp creată de prezența masei sau energiei (prin urmare, forța gravitațională ar fi o forță aparentă ) și este reprezentată matematic de un tensor metric legat de spațiul-timp curbat prin tensorul Riemann .

Câmpul gravitațional generat de Pământ , de exemplu, în apropierea suprafeței terestre asumă valori apropiate de 9,8 m · s ^-2 și prin convenție această valoare este adoptată ca referință pentru accelerația gravitației .

Definiția Newtonian

Reprezentarea câmpului gravitațional dintre Pământ și Lună.

Câmpul gravitațional este un câmp de forță conservator . Vectorul câmpului gravitațional generat în punct $\mathbf {r}$ ${\ displaystyle \ mathbf {r}}$ $\ mathbf r$ în spațiu prin prezența unei mase în punct $\mathbf {O} ,$ ${\ displaystyle \ mathbf {O},}$ ${\ displaystyle \ mathbf {O},}$ originea referinței, este definită ca:

\mathbf {g} (\mathbf {r} )=-GM{\frac {\mathbf {r} }{r^{3}}}\,,

{\ displaystyle \ mathbf {g} (\ mathbf {r}) = - GM {\ frac {\ mathbf {r}} {r ^ {3}}} \ ,,}

{\ displaystyle \ mathbf {g} (\ mathbf {r}) = - GM {\ frac {\ mathbf {r}} {r ^ {3}}} \ ,,}

unde este $G.$ ${\ displaystyle G}$ $G.$ este constanta gravitațională universală e $M.$ ${\ displaystyle M}$ $M.$ masa. Prin urmare, este posibil să se exprime forța exercitată asupra corpului de masă m ca:

\mathbf {F} (\mathbf {r} )=m\mathbf {g} (\mathbf {r} )\,.

{\ displaystyle \ mathbf {F} (\ mathbf {r}) = m \ mathbf {g} (\ mathbf {r}) \,.}

{\ displaystyle \ mathbf {F} (\ mathbf {r}) = m \ mathbf {g} (\ mathbf {r}) \,.}

Unitatea de măsură a câmpului gravitațional din sistemul internațional este:

{\big [}{g}{\big ]}=\left[{\frac {\mathrm {N} }{\mathrm {kg} }}\right]=\left[{\frac {\mathrm {m} }{\mathrm {s} ^{2}}}\right]

{\ displaystyle {\ big [} {g} {\ big]} = \ left [{\ frac {\ mathrm {N}} {\ mathrm {kg}}} \ right] = \ left [{\ frac {\ mathrm {m}} {\ mathrm {s} ^ {2}}} \ right]}

{\ displaystyle {\ big [} {g} {\ big]} = \ left [{\ frac {\ mathrm {N}} {\ mathrm {kg}}} \ right] = \ left [{\ frac {\ mathrm {m}} {\ mathrm {s} ^ {2}}} \ right]}

unde este $g=\|\mathbf {g} \|$ ${\ displaystyle g = \ | \ mathbf {g} \ |}$ ${\ displaystyle g = \ | \ mathbf {g} \ |}$ este forma de $\mathbf {g}$ ${\ displaystyle \ mathbf {g}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {g}}$ .

Accelerarea gravitației într-o cameră (curbura pământului este neglijabilă și, prin urmare, vectorul

\mathbf {g}

{\ displaystyle \ mathbf {g}}

{\ displaystyle \ mathbf {g}}

este constantă și îndreptată în jos).

Câmpul gravitațional este descris de potențialul gravitațional , definit ca valoarea energiei gravitaționale detectate de o masă plasată într-un punct din spațiu per unitate de masă. Energia gravitațională a masei este nivelul de energie pe care masa îl posedă datorită poziției sale în câmpul gravitațional; prin urmare, potențialul gravitațional al masei este raportul dintre energia gravitațională și valoarea masei în sine, adică:

\operatorname {V} ={\frac {U}{M}}\,.

{\ displaystyle \ operatorname {V} = {\ frac {U} {M}} \,.}

{\ displaystyle \ operatorname {V} = {\ frac {U} {M}} \,.}

Deoarece câmpul gravitațional este conservator, este întotdeauna posibil să se definească o funcție scalară V al cărei gradient, schimbat în semn, coincide cu câmpul:

\mathbf {g} (\mathbf {r} )=-\nabla V\,.

{\ displaystyle \ mathbf {g} (\ mathbf {r}) = - \ nabla V \,.}

{\ displaystyle \ mathbf {g} (\ mathbf {r}) = - \ nabla V \,.}

Pentru fiecare câmp gravitațional este posibil să se definească suprafețe ortogonale cu câmpul în fiecare punct al spațiului, numite suprafețe echipotențiale . Semnificația fizică a acestor suprafețe este clară dacă luăm în considerare activitatea forței gravitaționale de -a lungul unei căi aparținând suprafeței: deoarece deplasarea este punct cu punct ortogonală față de forță, lucrarea de-a lungul acestei căi este zero. Aceasta înseamnă că mase egale pe aceeași suprafață echipotențială au aceeași energie potențială . De exemplu, în cazul unei surse sferice, suprafețele echipotențiale sunt sfere concentrice și liniile de flux sunt setul de raze care intră în centrul sferelor.

A indicat câmpul gravitațional ca fiind ${\bf {x}}\,\mapsto {\frac {\bf {x}}{\|{\bf {x}}\|^{3}}},$ ${\ displaystyle {\ bf {x}} \, \ mapsto {\ frac {\ bf {x}} {\ | {\ bf {x}} \ | ^ {3}}},}$ ${\ displaystyle {\ bf {x}} \, \ mapsto {\ frac {\ bf {x}} {\ | {\ bf {x}} \ | ^ {3}}},}$ cu excepția factorilor multiplicativi și translaționali, cu ${\bf {x}}={\big (}x_{1},x_{2},x_{3}{\big )}$ ${\ displaystyle {\ bf {x}} = {\ big (} x_ {1}, x_ {2}, x_ {3} {\ big)}}$ ${\ displaystyle {\ bf {x}} = {\ big (} x_ {1}, x_ {2}, x_ {3} {\ big)}}$ vector de poziție, se observă că divergența sa în trei dimensiuni este zero. Intr-adevar:

\nabla \cdot {\frac {\bf {x}}{\|{\bf {x}}\|^{3}}}=\sum _{k=1}^{3}{\frac {\partial }{\partial x_{k}}}\left({\frac {x_{k}}{\|{\bf {x}}\|^{3}}}\right)=\sum _{k=1}^{3}{\frac {\|{\bf {x}}\|^{3}-x_{k}3\|{\bf {x}}\|^{2}\displaystyle {\frac {x_{k}}{\|{\bf {x}}\|}}}{\|{\bf {x}}\|^{6}}}=\sum _{k=1}^{3}\left({\frac {1}{\|{\bf {x}}\|^{3}}}-{\frac {3x_{k}^{2}}{\|{\bf {x}}\|^{5}}}\right)={\frac {3}{\|{\bf {x}}\|^{3}}}-{\frac {3{\big (}x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}{\big )}}{\|{\bf {x}}\|^{5}}}=0\,.

{\ displaystyle \ nabla \ cdot {\ frac {\ bf {x}} {\ | {\ bf {x}} \ | ^ {3}}} = \ sum _ {k = 1} ^ {3} {\ frac {\ partial} {\ partial x_ {k}}} \ left ({\ frac {x_ {k}} {\ | {\ bf {x}} \ | ^ {3}}} \ right) = \ sum _ {k = 1} ^ {3} {\ frac {\ | {\ bf {x}} \ | ^ {3} -x_ {k} 3 \ | {\ bf {x}} \ | ^ {2} \ displaystyle {\ frac {x_ {k}} {\ | {\ bf {x}} \ |}}} {\ | {\ bf {x}} \ | ^ {6}}} = \ sum _ {k = 1} ^ {3} \ left ({\ frac {1} {\ | {\ bf {x}} \ | ^ {3}}} - {\ frac {3x_ {k} ^ {2}} {\ | {\ bf {x}} \ | ^ {5}}} \ right) = {\ frac {3} {\ | {\ bf {x}} \ | ^ {3}}} - {\ frac {3 {\ big (} x_ {1} ^ {2} + x_ {2} ^ {2} + x_ {3} ^ {2} {\ big)}} {\ | {\ bf {x}} \ | ^ {5}}} = 0 \,.}

{\ displaystyle \ nabla \ cdot {\ frac {\ bf {x}} {\ | {\ bf {x}} \ | ^ {3}}} = \ sum _ {k = 1} ^ {3} {\ frac {\ partial} {\ partial x_ {k}}} \ left ({\ frac {x_ {k}} {\ | {\ bf {x}} \ | ^ {3}}} \ right) = \ sum _ {k = 1} ^ {3} {\ frac {\ | {\ bf {x}} \ | ^ {3} -x_ {k} 3 \ | {\ bf {x}} \ | ^ {2} \ displaystyle {\ frac {x_ {k}} {\ | {\ bf {x}} \ |}}} {\ | {\ bf {x}} \ | ^ {6}}} = \ sum _ {k = 1} ^ {3} \ left ({\ frac {1} {\ | {\ bf {x}} \ | ^ {3}}} - {\ frac {3x_ {k} ^ {2}} {\ | {\ bf {x}} \ | ^ {5}}} \ right) = {\ frac {3} {\ | {\ bf {x}} \ | ^ {3}}} - {\ frac {3 {\ big (} x_ {1} ^ {2} + x_ {2} ^ {2} + x_ {3} ^ {2} {\ big)}} {\ | {\ bf {x}} \ | ^ {5}}} = 0 \,.}

Definiție einsteiniană

Câmpul gravitațional își asumă o structură mult mai complexă în contextul teoriei relativității generale a lui Einstein . Reprezintă diferența dintre tensorul metric al spațiu-timp și tensorul metric al spațiu-timp plat sau spațiul-timp Minkowski . Deformarea spațiului-timp dată de câmpul gravitațional este uneori reprezentată grafic ca deformarea unei saltele sau a unei foi elastice, printr-o bilă grea așezată pe ea: aici spațiul-timp plat este reprezentat de foaia perfect întinsă și , de fapt, plat.

Tensorul metric al spațiului-timp deformat de prezența maselor, sau pur și simplu a energiei, este calculat prin ecuația câmpului lui Einstein :

R_{\mu \nu }-{\frac {1}{2}}g_{\mu \nu }R={\frac {8\pi G}{c^{4}}}T_{\mu \nu }

{\ displaystyle R _ {\ mu \ nu} - {\ frac {1} {2}} g _ {\ mu \ nu} R = {\ frac {8 \ pi G} {c ^ {4}}} T _ {\ mu \ nu}}

{\ displaystyle R _ {\ mu \ nu} - {\ frac {1} {2}} g _ {\ mu \ nu} R = {\ frac {8 \ pi G} {c ^ {4}}} T _ {\ mu \ nu}}

unde este $g_{\mu \nu }$ ${\ displaystyle g _ {\ mu \ nu}}$ $g _ {\ mu \ nu}$ este tensorul metric, $R.$ ${\ displaystyle R}$ $R.$ Și $R_{\mu \nu }$ ${\ displaystyle R _ {\ mu \ nu}}$ $R _ {\ mu \ nu}$ sunt respectiv curbura scalară și tensorul Ricci , obținut ca o contracție din tensorul Riemann (legat de derivatele tensorului metric); $G.$ ${\ displaystyle G}$ $G.$ este constanta gravitațională universală e $T_{\mu \nu }$ ${\ displaystyle T _ {\ mu \ nu}}$ $T _ {\ mu \ nu}$ denotă tensorul energetic al impulsului , care reprezintă densitatea și fluxul de materie și energie (non-gravitațional) în fiecare punct al spațiului-timp.