Câmp vector conservator

De la Wikipedia, enciclopedia liberă.
Salt la navigare Salt la căutare

În calculul vectorial , un câmp vectorial conservator este un câmp vectorial caracterizat prin faptul că este gradientul unei funcții , care se numește potențial scalar . Un câmp conservator este un câmp irotațional definit într-un set simplu conectat , așa cum stabilește lema Poincaré . Un câmp irotațional este un câmp care are un rotor zero. Un câmp conservator este întotdeauna irotațional, în timp ce inversul nu este întotdeauna adevărat.

Definiție

Un câmp vector se spune că este conservator dacă există un câmp scalar astfel încât: [1] [2]

unde este este operatorul nabla . De sine există, se numește potențial scalar pentru câmp . Teorema descompunerii Helmholtz afirmă că orice câmp vectorial poate fi exprimat ca suma unui câmp vector conservator și a unui câmp vector solenoidal .

În cazul unui sistem cartezian de referință , iar textul complet al câmpului este:

unde este se numește potențial scalar al . Acest potențial este determinat până la o constantă aditivă: dacă anunț se adaugă o constantă derivatele sale parțiale nu se modifică, astfel încât aceste egalități rămân satisfăcute.

În general, un câmp vector nu admite întotdeauna un potențial scalar. O condiție necesară pentru ca un câmp să fie conservator este ca egalitățile să fie îndeplinite:

care, prin introducerea operatorului rotorului , poate fi scris în formă compactă ca:

De fapt, dacă există un potențial , derivatele parțiale ale coincid cu a doua derivată parțială a :

iar a doua derivată parțială nu depinde de ordinea derivării dacă teorema Schwarz este valabilă.

În general, un câmp vector conservator este o formă exactă 1 , adică este egal cu derivata exterioară a unei forme 0 (un câmp scalar) . Un câmp vector irotațional este o formă închisă . Din faptul că fiecare formă exactă este, de asemenea, închisă , rezultă că un câmp vector conservator este neapărat irotațional, adică are proprietatea de a efectua o lucrare independentă de cale (dar viceversa nu este validă, deoarece un câmp nu este neapărat conservator dacă rotorul său este zero). Mai mult, domeniul este pur și simplu conectat dacă și numai dacă primul său grup de omologie și primul grup de cohomologie al lui De Rham este 0 dacă și numai dacă toate formele 1 închise sunt exacte.

Formă integrală

Condițiile pentru conservarea unui câmp vector dat mai sus pot fi scrise în formă integrală. Condiție necesară și suficientă pentru un câmp vector ambele conservatoare este că integralul curbiliniar de -a lungul oricărei linii închise este nul:

ceea ce echivalează cu a spune că integralul curbiliniar nu depinde de calea integrării, ci doar de punctele de început și de sfârșit. Această formulare vă permite să calculați în mod explicit diferența de valoare a potențialului de câmp în două puncte A și B :

Cunoscând astfel un punct din spațiu al cărui potențial este cunoscut (de exemplu, este zero), această formulă permite evaluarea potențialului unui câmp conservator în orice altă poziție.

Forța conservatoare

Pictogramă lupă mgx2.svg Același subiect în detaliu: forța conservatoare .

Luați în considerare mișcarea unui obiect supus unei forțe , care poate fi reprezentată în spațiu cu un câmp vector . Lucrarea efectuată de forța asupra obiectului este definită ca integrala curbiliniară (cu privire la poziția) forței (adică a câmpului vectorial) de-a lungul traseului finalizat în spațiu. O condiție necesară și suficientă pentru ca forța să fie conservatoare este ca munca depusă în timpul unei anumite călătorii să nu depindă de calea particulară parcursă, ci doar de poziția punctelor de plecare și de sfârșit. În acest caz, potențialul forței într-un punct este proporțional cu energia potențială pe care o deține obiectul în acel punct datorită prezenței forței. Prin urmare, o forță conservatoare este o funcție care depinde doar de poziție și o modalitate echivalentă de a stabili conservativitatea acesteia este de a observa că munca efectuată de ea de-a lungul oricărei traiectorii închise este zero.

Exemple

Câmp constant

Un câmp constant are expresia:

unde este Este un vector unitate , adică un vector normă unitară. Pentru simplitate, presupunem că este direcționată de-a lungul axei z (care poate fi întotdeauna realizată cu o rotație adecvată a coordonatelor).

Un astfel de câmp este întotdeauna conservator, deoarece admite un potențial al formei:

Câmpul central

Un câmp central radial are expresia:

unde este este vectorul unitar în direcția .

De sine este bine definit și nu are patologii care să-i împiedice integrabilitatea, atunci câmpul este conservator, deoarece admite un potențial al formei:

În fizică, de exemplu în electrostatică , este adesea introdus conceptul de potențial, definindu-l ca fiind munca petrecută pentru a aduce un corp cufundat într-un câmp de forțe conservatoare dintr-un punct foarte îndepărtat (infinit) într-un punct de spațiu:

Confortul acestei definiții este că potențialul dispare automat la infinit.

Câmpul gravitațional al unei mase punctuale și câmpul electrostatic al unei sarcini punctuale sunt două exemple de câmpuri centrale și, prin urmare, sunt întotdeauna conservatoare.

Notă

Bibliografie

  • George B. Arfken și Hans J. Weber, Metode matematice pentru fizicieni , ediția a 6-a, Elsevier Academic Press (2005)
  • DJ Acheson, Dinamica fluidelor elementare , Oxford University Press (2005)

Elemente conexe

Matematica Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică