Caracteristica lui Euler

De la Wikipedia, enciclopedia liberă.
Salt la navigare Salt la căutare

În matematică și mai precis în geometrie și topologie , caracteristica Euler este un număr întreg invariant care descrie unele aspecte ale formei unui spațiu topologic . În mod obișnuit se notează cu ( Litera greacă chi ).

Caracteristica Euler a fost inițial formulată pentru poliedre și a fost utilizată pentru a demonstra diverse teoreme, inclusiv clasificarea solidelor platonice : Euler a participat activ la aceste cercetări.

În matematica modernă, caracteristica Euler, numită și caracteristica Euler-Poincaré , este definită într-un context mai general pornind de la o omologie , introdusă de matematicianul Henri Poincaré .

Poliedre

Definiție

Caracteristica lui Euler a fost inițial definit pentru poliedre, cu formula

unde V , S și F sunt respectiv numărul de vârfuri, muchii și fețe ale poliedrului.

Relația lui Euler

Pictogramă lupă mgx2.svg Același subiect în detaliu: relația lui Euler .

Relația lui Euler afirmă că

pentru toate poliedrele "fără găuri" sau pur și simplu conectate . Poliedrele convexe se încadrează în această categorie.

Exemple de poliedre convexe

Formula Euler poate fi utilizată pentru a demonstra că există doar 5 solide platonice :

Nume Imagine V (vârfuri) S (margini) F (fețe) Caracteristica lui Euler: V - S + F
Tetraedru Tetrahedron.jpg 4 6 4 2
cub Hexahedron.jpg 8 12 6 2
Octaedru Octahedron.jpg 6 12 8 2
Dodecaedru POV-Ray-Dodecahedron.svg 20 30 12 2
Icosaedru Icosahedron.svg 12 30 20 2

Definiție formală

Complexe de celule sau simpliale

Un poliedru este un exemplu de complex celular sau complex simplicial : acestea sunt spații topologice particulare construite din vârfuri, margini, fețe bidimensionale, fețe tridimensionale etc. Pentru aceste spații caracteristica Euler este definită pur și simplu ca

unde este este numărul de n- fețe dimensionale (vârfurile și muchiile sunt concepute ca fețe de dimensiunea 0 și 1).

Același spațiu poate fi descris de multe descompuneri în celule diferite sau simple, cu valori variabile: faptul remarcabil, care face ca caracteristica lui Euler să fie importantă în geometrie, este aceea că cantitatea cu toate acestea, este independent de descompunerea aleasă.

Spații topologice

Chiar și mai general, caracteristica Euler-Poincaré a oricărui spațiu topologic poate fi definită cu omologia : fără a intra în detalii, definim ca dimensiune a grupului j- omologie lea și , prin urmare ,

Dacă spațiul topologic nu este prea complicat, fiecare este de fapt un număr (nu este infinit) și este zero pentru orice n suficient de mare .

Proprietate

Caracteristica Euler este un invariant topologic: două spații topologice homeomorfe au aceeași caracteristică. Acesta este un rezultat foarte puternic, care implică în mod trivial formula lui Euler: poliedrele convexe sunt de fapt toate homeomorfe pentru sfera bidimensională.

Caracteristica este, de asemenea, invariantă sub echivalența homotopică : două spații echivalente homotopic au aceeași caracteristică.

Dacă M și N sunt spații topologice disjuncte, avem

Mai general, dacă M și N sunt subspații ale unui spațiu mai mare care nu se intersectează într-un mod prea complicat, relația

Caracteristica Euler a unui produs al spațiilor M × N este

În cele din urmă, datorită dualității Poincaré , caracteristica unui colector diferențiat compact de dimensiuni impare este zero.

Exemple

Spații contractile

Fiecare spațiu contractil , care este echivalent homotopic cu un punct, are aceeași caracteristică Euler a punctului, care este 1 deoarece punctul are 1 vârf și 0 fețe ale fiecărei dimensiuni mai mari. Prin urmare, linia, planul și fiecare spațiu euclidian are caracteristica Euler 1.

Suprafețe

Caracteristica Euler a unei suprafețe poate fi ușor calculată printr-o subdiviziune în poligoane (adică o descriere ca un complex de celule ) și un număr al numărului de vârfuri, margini și poligoane. Caracteristica Euler este invariantul fundamental în clasificarea suprafețelor .

Nume Imagine Caracteristica lui Euler
Minge Sphere.jpg 2
Taur Torus.jpg 0
Suprafața pivotantă a genului 2 Dublu torus illustration.png -2
Suprafața pivotantă a genului 3. Triple torus illustration.png -4
Benzi Mobius MobiusStrip-01.png 0
Planul proiectiv Suprafața Boyle7.JPG 1
Sticla Klein KleinBottle-01.png 0
Două sfere ( neconectate ) Sphere.jpg Sphere.jpg 2 + 2 = 4

În cazul în care vârfurile și fețele sunt date și teselarea este regulată (toate fețele au același număr de margini), este posibil să rescrieți caracteristica Euler într-un mod mai simplu, fără a număra marginile.

unde este este numărul de laturi (împărțit la două, deoarece fiecare margine este incidentă pe două fețe).

Elemente conexe

linkuri externe

Matematica Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică