Cardioid
In geometria cardioidă este o curbă și mai precis un epicicloidă cu unul și numai un singur vârf . Prin urmare, este o curbă care poate fi obținută urmărind calea unui punct ales pe o circumferință care este rulată fără a aluneca în jurul unei alte circumferințe cu rază egală și menținută fixă. Cardioidul poate fi văzut și ca un caz special de limaçon .
Numele său își exprimă forma unei inimi stilizate și derivă din grecescul kardioeides = kardia (inimă) + eidos (formă).
Ecuații
făcând un cardioid
Cardioidul, deoarece este un epicicloid cu o cuspidă , este identificat prin următoarele ecuații parametrice în care lungimea razei ambelor cercuri este egală cu {\ displaystyle r} :
- {\ displaystyle x (\ theta) = r (1-2 \ cos \ theta + \ cos 2 \ theta), \ qquad \ qquad (1)}
- {\ displaystyle y (\ theta) = r (2 \ sin \ theta - \ sin 2 \ theta). \ qquad \ qquad (2)}
Această curbă este identificată și prin ecuația în coordonate polare
- {\ displaystyle \ rho = 1- \ cos \ theta.}
În următoarele formule raza va fi setată egală cu {\ displaystyle r = {1 \ peste 2}.}
În special, ecuațiile parametrice menționate mai sus descriu un epicicloid care are vârful la origine și care se dezvoltă în principal spre dreapta.
Demonstrație
Coordonata polară radială {\ displaystyle \, \ rho (\ theta)} este dat de: {\ displaystyle \ rho (\ theta) = {\ sqrt {x ^ {2} (\ theta) + y ^ {2} (\ theta)}}}
- {\ displaystyle = {\ sqrt {\ left ({1 \ over 2} - \ cos \ theta + {1 \ over 2} \ cos 2 \ theta \ right) ^ {2} + \ left (\ sin \ theta - {1 \ over 2} \ sin 2 \ theta \ right) ^ {2}}}.}
în curs de dezvoltare
- {\ displaystyle \ rho = {\ sqrt {{1 \ over 4} + \ cos ^ {2} \ theta + {1 \ over 4} \ cos ^ {2} 2 \ theta - \ cos \ theta + {1 \ peste 2} \ cos 2 \ theta - \ cos \ theta \ cos 2 \ theta + \ sin ^ {2} \ theta + {1 \ over 4} \ sin ^ {2} 2 \ theta - \ sin \ theta \ sin 2 \ theta}}} .
Acum puteți simplifica observând acest lucru
- {\ displaystyle \ cos ^ {2} \ theta + \ sin ^ {2} \ theta = 1, \ qquad \ qquad {\ mbox {(id. trigonometric)}}}
- {\ displaystyle {1 \ over 4} \ cos ^ {2} 2 \ theta + {1 \ over 4} \ sin ^ {2} 2 \ theta = {1 \ over 4}, \ qquad \ qquad {\ mbox { (ca mai sus)}}}
- {\ displaystyle \ cos \ theta \ cos 2 \ theta + \ sin \ theta \ sin 2 \ theta = \ cos (\ theta -2 \ theta) = \ cos - \ theta = \ cos \ theta. \}
Prin urmare
- {\ displaystyle \ rho = {\ sqrt {{1 \ over 4} +1+ {1 \ over 4} -2 \ cos \ theta + {1 \ over 2} \ cos 2 \ theta}}}
- {\ displaystyle = {\ sqrt {{3 \ over 2} - {4 \ over 2} \ cos \ theta + {1 \ over 2} \ cos 2 \ theta}}}
- {\ displaystyle = {\ sqrt {3-4 \ cos \ theta + \ cos 2 \ theta \ over 2}}.}
În acest moment, datorită identității trigonometrice
- {\ displaystyle \ cos 2 \ theta = \ cos ^ {2} \ theta - \ sin ^ {2} \ theta = 2 \ cos ^ {2} \ theta -1, \ qquad} ,
rezultă că
- {\ displaystyle \ rho = {\ sqrt {3-4 \ cos \ theta +2 \ cos ^ {2} \ theta -1 \ over 2}} = {\ sqrt {2-4 \ cos \ theta +2 \ cos ^ {2} \ theta \ peste 2}},}
- {\ displaystyle \ rho = {\ sqrt {1-2 \ cos \ theta + \ cos ^ {2} \ theta}} = 1- \ cos \ theta,}
QED .
Mărimi geometrice
Iată câteva valori geometrice care caracterizează cardioidul.
Lungime
Folosind ecuația polară cardioidă, fiecare punct aparținând curbei are coordonate:
- {\ displaystyle x (\ theta) = \ rho (\ theta) \ cos (\ theta)}
- {\ displaystyle y (\ theta) = \ rho (\ theta) \ sin (\ theta)}
Prin urmare, lungimea cardioidului poate fi calculată cu:
- {\ displaystyle \ int || {\ dot {\ gamma}} (\ theta) || d \ theta = \ int _ {0} ^ {2 \ pi} {\ sqrt {{\ dot {x}} ^ { 2} + {\ dot {y}} ^ {2}}} d \ theta}
Inserând ecuațiile în integrală și reținând formulele de bisecție obținem:
- {\ displaystyle {\ sqrt {2}} \ int _ {0} ^ {2 \ pi} {\ sqrt {1 + cos \ theta}} d \ theta = 2 \ int _ {0} ^ {2 \ pi} \ left | \ cos {\ frac {\ theta} {2}} \ right | d \ theta = 8 \ left [\ sin {\ frac {\ theta} {2}} \ right] _ {0} ^ {\ pi} = 8}
Lungimea cardioidului este deci egală cu {\ displaystyle 8} .
Zonă
Aria cardioidă poate fi calculată direct în coordonate polare, reținând:
- {\ displaystyle \ int dxdy = \ int \ rho d \ rho d \ theta}
Apoi avem:
- {\ displaystyle {\ frac {1} {2}} \ int _ {0} ^ {2 \ pi} \ rho ^ {2} d \ theta = {\ frac {1} {2}} \ int _ {0 } ^ {2 \ pi} (1-cos \ theta) ^ {2} d \ theta = {\ frac {3} {2}} \ pi}
Zona cardioidă este {\ displaystyle {\ frac {3} {2}} \ pi}
Dacă luăm în considerare un alt diametru decât cel unitar, formula generală pentru calcularea ariei este:
- {\ displaystyle A = 6 \ pi r ^ {2}}
adică de 6 ori aria cercurilor de referință.
Centrul de greutate
Centrul de greutate al unui cardioid uniform are, din motive de simetrie, ordonat zero. Pentru abscisă:
- {\ displaystyle Ax_ {G} = \ int xdxdy}
Unde este {\ displaystyle A} este zona cardioidului. Prin coordonatele polare avem deci:
- {\ displaystyle \ int \ rho ^ {2} \ cos \ theta d \ rho d \ theta = {\ frac {1} {3}} \ int _ {0} ^ {2 \ pi} \ rho ^ {3} \ cos \ theta d \ theta}
Prin pași simpli, rezultă această sumă {\ displaystyle - {\ frac {15} {12}} \ pi} . Din care derivă {\ displaystyle x_ {G} = - {\ frac {5} {6}}} .
Prin urmare, centrul de greutate al cardioidului are coordonate {\ displaystyle (x_ {G}; y_ {G}) = \ left (- {\ frac {5} {6}}; 0 \ right)} .
Cardioid de rotație
Să presupunem că rotim cardioidul în jurul axei sale de simetrie. Să fie abscisele această axă. Pentru coerență cu definițiile coordonatelor sferice , luați în considerare rotirea în jurul axei a numai porțiunii cardiodei cu ordonate pozitive. O astfel de cerere este echivalentă cu impunerea unui unghi latitudinal {\ displaystyle \ theta} diverse între și {\ displaystyle \ pi} .
Volum
Integrându-ne în coordonate sferice, avem:
- {\ displaystyle \ int dxdydz = \ int \ rho ^ {2} \ sin \ theta d \ theta d \ rho d \ phi}
Unde este {\ displaystyle \ phi} este unghiul de longitudine care măsoară amplitudinea rotației. Dacă rotația este completă, {\ displaystyle \ phi} variază între și {\ displaystyle 2 \ pi} . Să presupunem că rotim cardioidul în jurul axei sale cu un unghi {\ displaystyle \ alpha} . Avem:
- {\ displaystyle \ int \ rho ^ {2} \ sin \ theta d \ theta d \ rho d \ phi = \ alpha {\ frac {1} {3}} \ int _ {0} ^ {\ pi} \ rho ^ {3} \ sin \ theta d \ theta}
Prin pași simpli, această cantitate este egală cu {\ displaystyle \ alpha {\ frac {4} {3}}} . Dacă rotația este completă, atunci volumul solidului de rotație obținut este valid {\ displaystyle {\ frac {8} {3}} \ pi} .
Alte proprietăți
Cardioidul poate fi considerat un melc Pascal , singurul cu o cuspidă.
Cardioidul se dovedește, de asemenea, a fi o transformare inversă a unei parabole .
Figura centrală neagră extinsă a unui ansamblu Mandelbrot este un cardioid. Acest cardioid este înconjurat de un model fractal de cercuri.
Alte proiecte
linkuri externe