Cardioid

De la Wikipedia, enciclopedia liberă.
Salt la navigare Salt la căutare
Notă despre dezambiguizare.svg Dezambiguizare - Dacă sunteți în căutarea organoidului , consultați cardioidul .
Cardioid

In geometria cardioidă este o curbă și mai precis un epicicloidă cu unul și numai un singur vârf . Prin urmare, este o curbă care poate fi obținută urmărind calea unui punct ales pe o circumferință care este rulată fără a aluneca în jurul unei alte circumferințe cu rază egală și menținută fixă. Cardioidul poate fi văzut și ca un caz special de limaçon .

Numele său își exprimă forma unei inimi stilizate și derivă din grecescul kardioeides = kardia (inimă) + eidos (formă).

Ecuații

făcând un cardioid

Cardioidul, deoarece este un epicicloid cu o cuspidă , este identificat prin următoarele ecuații parametrice în care lungimea razei ambelor cercuri este egală cu :

Această curbă este identificată și prin ecuația în coordonate polare

În următoarele formule raza va fi setată egală cu

În special, ecuațiile parametrice menționate mai sus descriu un epicicloid care are vârful la origine și care se dezvoltă în principal spre dreapta.

Demonstrație

Coordonata polară radială este dat de:

în curs de dezvoltare

.

Acum puteți simplifica observând acest lucru

Prin urmare

În acest moment, datorită identității trigonometrice

,

rezultă că

QED .


Mărimi geometrice

Iată câteva valori geometrice care caracterizează cardioidul.

Lungime

Folosind ecuația polară cardioidă, fiecare punct aparținând curbei are coordonate:

Prin urmare, lungimea cardioidului poate fi calculată cu:

Inserând ecuațiile în integrală și reținând formulele de bisecție obținem:

Lungimea cardioidului este deci egală cu .

Zonă

Aria cardioidă poate fi calculată direct în coordonate polare, reținând:

Apoi avem:

Zona cardioidă este

Dacă luăm în considerare un alt diametru decât cel unitar, formula generală pentru calcularea ariei este:

adică de 6 ori aria cercurilor de referință.

Centrul de greutate

Centrul de greutate al unui cardioid uniform are, din motive de simetrie, ordonat zero. Pentru abscisă:

Unde este este zona cardioidului. Prin coordonatele polare avem deci:

Prin pași simpli, rezultă această sumă . Din care derivă .

Prin urmare, centrul de greutate al cardioidului are coordonate .

Cardioid de rotație

Să presupunem că rotim cardioidul în jurul axei sale de simetrie. Să fie abscisele această axă. Pentru coerență cu definițiile coordonatelor sferice , luați în considerare rotirea în jurul axei a numai porțiunii cardiodei cu ordonate pozitive. O astfel de cerere este echivalentă cu impunerea unui unghi latitudinal diverse între și .

Volum

Integrându-ne în coordonate sferice, avem:

Unde este este unghiul de longitudine care măsoară amplitudinea rotației. Dacă rotația este completă, variază între și . Să presupunem că rotim cardioidul în jurul axei sale cu un unghi . Avem:

Prin pași simpli, această cantitate este egală cu . Dacă rotația este completă, atunci volumul solidului de rotație obținut este valid .

Alte proprietăți

Cardioidul poate fi considerat un melc Pascal , singurul cu o cuspidă.

Cardioidul se dovedește, de asemenea, a fi o transformare inversă a unei parabole .

Figura centrală neagră extinsă a unui ansamblu Mandelbrot este un cardioid. Acest cardioid este înconjurat de un model fractal de cercuri.

Alte proiecte

linkuri externe

Controlul autorității Thesaurus BNCF 31689 · LCCN (EN) sh85020208
Matematica Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică