Centrul masei

De la Wikipedia, enciclopedia liberă.
Salt la navigare Salt la căutare
Centrul de masă al unui sistem de patru sfere de masă diferită

În fizică , în special în mecanica clasică , centrul de masă sau baricentrul unui sistem este punctul geometric corespunzător valorii medii a distribuției de masă a sistemului în spațiu. În cazul particular al unui corp rigid , centrul de greutate are o poziție fixă ​​față de sistem. Cu toate acestea, centrul de greutate este definit pentru orice sistem de corpuri masive, indiferent de forțe , interne sau externe, care acționează asupra corpurilor; în general, centrul de greutate poate să nu coincidă cu poziția oricăruia dintre punctele materiale care alcătuiesc sistemul fizic .

Prima ecuație cardinală , un principiu fundamental al dinamicii sistemelor de puncte materiale , afirmă că centrul de masă al unui sistem are aceeași mișcare ca un singur punct material în care a fost concentrată toată masa sistemului și pe care rezultat acționat din singurele forțe externe care acționează asupra sistemului. Această proprietate este valabilă sub singura ipoteză că, pentru forțele interne , adică cele care reprezintă interacțiunea dintre punctele care constituie sistemul, se menține principiul acțiunii și reacției .

Istorie

Conceptul de „centru de masă” sub forma „centrului de greutate” a fost introdus pentru prima dată de marele fizician, matematician și inginer grec antic Arhimede din Siracuza . El a lucrat cu ipoteze simplificate despre gravitație care echivalează cu un câmp uniform, ajungând astfel la proprietățile matematice ale ceea ce a fost numit în cele din urmă centrul de masă. Arhimede arată că cuplul exercitat asupra unei pârghii de către greutățile care se odihnesc în diferite puncte de-a lungul pârghiei este același ca și în cazul în care toate greutățile ar fi mutate într-un singur punct: centrul lor de masă. În lucrarea sa asupra corpurilor plutitoare, Arhimede demonstrează că orientarea unui obiect plutitor este ceea ce face ca centrul său de masă să fie cât mai jos posibil. El a dezvoltat tehnici matematice pentru a găsi centrele de masă ale obiectelor cu densitate uniformă de diferite forme bine definite. [1]

Printre matematicienii care au dezvoltat teoria centrului de masă sunt Pappus din Alexandria , Guido Ubaldi , Francesco Maurolico , [2] Federico Commandino , [3] Simone Stevino , [4] Luca Valerio , [5] Jean-Charles della Faille , Paolo Guldino , [6] John Wallis , Louis Carré , Pierre Varignon și Alexis Clairault . [7]

Definiție

Definim centrul de masă al unui sistem discret de puncte materiale punctul geometric ale cărui coordonate, într-un sistem de referință dat, sunt date de:

unde este este momentul static e este masa totală a sistemului și cantitățile sunt razele vectoriale ale punctelor materiale în raport cu sistemul de referință utilizat.

În cazul unui sistem continuu, sumările sunt înlocuite cu integrale extinse la domeniul ocupat de sistem. Introducerea funcției scalare „ densitate , astfel încât masa porțiunii sistemului conținută în orice regiune măsurabilă spațiul este dat de:

poziția centrului de masă este dată de:

unde este este volumul total ocupat de sistemul considerat, care poate fi și întregul spațiu tridimensional, e

este masa totală a sistemului. Dacă sistemul continuu este omogen atunci ; în acest caz, centrul de masă poate fi calculat simplu prin relațiile:

,

unde este este volumul solidului în cauză.

Dacă obiectul al cărui centru de greutate urmează să fie calculat este bidimensional sau unidimensional, integralele devin, respectiv:

unde este Și sunt, respectiv, densitatea suprafeței suprafeței iar densitatea liniară a curbei . În cazul obiectelor omogene, integralele sunt simplificate ca în cazul tridimensional, având grijă să le plasăm , respectiv, zona suprafață sau lungime a curbei.

Centrul de masă al unui sistem de puncte materiale în general nu coincide cu poziția vreunui punct material. Pentru un corp rigid , centrul de masă este integral cu corpul, în sensul că poziția sa este fixă ​​în fiecare sistem de referință solid cu corpul rigid, dar poate fi extern corpului dacă acesta din urmă nu este convex .

Conservarea impulsului

Pictogramă lupă mgx2.svg Același subiect în detaliu: Legea conservării impulsului .

Ca un caz particular, atunci când nu acționează forțe externe asupra sistemului, adică atunci când sistemul este izolat, urmează legea conservării impulsului total: impulsul total al unui sistem este de fapt egal cu produsul masei totale a sistem pentru viteza centrului de masă:

În continuu:

Centrul de masă și centrul de greutate

Exemplu: calculul centrului de masă al unei emisfere

Vrem să calculăm centrul de masă al unei emisfere cu densitate omogenă cu baza sprijinită pe planul XY și pe raza R. Mai întâi alegem un sistem de referință care simplifică calculele: de exemplu un sistem de referință cartesian cu originea în centrul baza cercului sau un sistem de referință sferic de coordonate. Calculul utilizând un sistem cartezian de referință este ilustrat mai jos: Prin exploatarea simetriilor corpului putem anticipa că integrala care furnizează coordonatele va fi zero, deoarece

În mod similar pentru coordonată

Prin urmare, calculul se reduce la:

Volumul V pe măsură ce z variază este dat de

Prin înlocuire în integrală obținem coordonata z a centrului de masă:

.

Centrul de masă este denumit în mod obișnuit centrul de greutate. Acest nume, care etimologic înseamnă centru de greutate , derivă din faptul că atunci când un corp este scufundat într-un câmp gravitațional uniform, așa cum se întâmplă, cu o bună aproximare, pe suprafața pământului, unde accelerația gravitației poate fi considerată constantă, atunci mișcarea centrului de greutate este echivalentă cu mișcarea căderii, sub acțiunea forței de greutate, a unui punct material în care a fost concentrată masa totală a corpului. În acest sens, definiția centrului de masă poate fi considerată un caz particular al definiției mai generale a coordonatelor punctului de aplicare al unui sistem de forțe paralele. Dacă, în special, considerăm un corp rigid constrâns într-un punct diferit de centrul de greutate, acesta se comportă ca un pendul, a cărui lungime echivalentă nu coincide însă cu distanța dintre centrul de greutate și centrul de suspensie, dar depinde de momentul inerției corpului. Dacă, pe de altă parte, corpul rigid este constrâns în centrul său de greutate, momentul total al forței de greutate este zero.

Trebuie remarcat faptul că în cazul, care apare cu greu în practică, în care un corp este scufundat într -un câmp gravitațional extern neuniform , atunci aceste din urmă proprietăți nu se mențin, deoarece vectorul rezultat al forțelor, care determină accelerația a centrului de masă, după cum sa menționat, poate diferi de forța de greutate care ar fi exercitată asupra centrului de greutate dacă toată masa corpului ar fi concentrată în el; în plus, momentul total al forței de greutate față de centrul de masă poate să nu fie zero. Cu toate acestea, în limbajul științific termenii „centru de masă” și „centru de greutate” sunt folosiți ca sinonime depline și ambele se referă la proprietățile inerțiale ale sistemului, indiferent de natura forțelor aplicate.

Mișcarea corpurilor

În multe cazuri de interes fizic, mișcarea unui sistem de puncte poate fi descompusă în mișcarea centrului de masă și mișcarea punctelor în raport cu centrul de masă. De exemplu, în cazul sistemelor izolate conservarea impulsului implică existența unui sistem de referință inerțial în care centrul de masă rămâne în repaus. În problema clasică cu două corpuri , în care două puncte materiale interacționează reciproc, în absența forțelor externe, se arată că mișcarea fiecăruia dintre cele două puncte este echivalentă cu cea a unui punct scufundat într-un câmp al forțelor centrale, provenind din masa centrală a sistemului. O definiție alternativă a centrului de masă poate fi dedusă din cea de-a doua teoremă a lui König , care exprimă relația dintre energia cinetică măsurată într-un sistem inerțial S și un sistem cu origine în CDM:

De aici rezultă că, în general, , sau că energia cinetică a sistemului, măsurată într-un sistem integral cu cdm, este minimă.

Când sistemul de puncte constituie un corp rigid , energia cinetică a sistemului poate fi reprezentată ca suma energiei cinetice de translație, egală cu jumătate din masa totală a sistemului de ori pătratul vitezei centrului de masă, plus energia cinetică datorată rotației corpului în jurul centrului său de masă, care se calculează prin cunoașterea vitezei unghiulare și a tensorului de inerție al corpului.

În cazul problemelor de coliziune a particulelor, descrierea mișcării în centrul de referință al sistemului de masă poate simplifica considerabil calculele.

Cu toate acestea, în contextul mecanicii relativiste , noțiunea de centru de masă își pierde sensul fizic deoarece nu este invariantă în ceea ce privește modificările referinței inerțiale. De fapt, centrul de masă la un moment dat este definit, după cum am văzut, ca media ponderată a pozițiilor tuturor punctelor în același moment ; dar o transformare Lorentz schimbă spațiul evenimentelor simultane, iar pentru doi observatori inerțiali centrul de masă al sistemului va fi în general diferit. Pe de altă parte, este posibil să se definească un sistem de referință în care impulsul total al sistemului este zero, iar pentru un sistem care nu este supus forțelor externe aceasta este ceea ce corespunde noțiunii non-relativiste de „sistem de referință al centrului de masă "menționat mai sus..

Notă

  1. ^ Shore 2008 , pp. 9-11 .
  2. ^ Baron 2004 , pp. 91-94 .
  3. ^ Baron 2004 , pp. 94-96 .
  4. ^ Baron 2004 , pp. 96-101 .
  5. ^ Baron 2004 , pp. 101-106 .
  6. ^ Mancosu 1999 , pp. 56-61 .
  7. ^ Walton 1855 , p. 2 .

Bibliografie

Elemente conexe

linkuri externe

Controlul autorității Thesaurus BNCF 18757 · LCCN (RO) sh85021847 · BNF (FR) cb11983251p (data)
Mecanică Portalul mecanicii : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de mecanică