Cerc

De la Wikipedia, enciclopedia liberă.
Salt la navigare Salt la căutare
Notă despre dezambiguizare.svg Dezambiguizare - Dacă sunteți în căutarea altor semnificații, consultați Cerc (dezambiguizare) .
Notă despre dezambiguizare.svg Dezambiguizare - Dacă sunteți în căutarea unui cerc menit ca o linie circulară, consultați Circumferință .

În geometria planului , cercul este partea planului delimitată de o circumferință [1] și este alcătuită din setul infinit de puncte care nu depășesc o distanță fixă ​​față de un punct dat, numit centru , nu mai mult decât un fix distanță numită rază . Într-un sistem de axe un cerc generic cu un centru și raza este reprezentat de setul de puncte care îndeplinesc următoarea condiție:

Poate fi imaginat ca un poligon regulat cu un număr infinit de laturi, sau mai degrabă ca limită a unei succesiuni de poligoane obișnuite laturi pt care tinde spre infinit. Cercul este o figură convexă.

Un segment având extremele pe circumferință se numește coardă ; fiecare dintre cele două părți în care aceasta împarte cercul se numește segment circular . Dacă șirul în cauză trece prin centru, se numește diametru și cele două segmente sunt congruente și se numesc semicercuri .

Un segment circular poate fi, de asemenea, partea unui cerc între două coarde paralele.

Elemente de cerc - Italian.svg

Intersecția dintre un unghi în centru, adică un unghi având centrul cercului drept vârf și cercul însuși (vizual, o „felie” de cerc) se numește sector circular . Dacă unghiul din centru este drept, sectorul circular pe care îl identifică se numește cadran ; dacă este plat, este semicercul.

Se spune că două cercuri având același centru sunt concentrice . Zona dintre cele două circumferințe se numește coroană circulară .

Formula pentru aria cercului poate fi obținută ca limită a poligonului regulat, adică ca lungime a circumferinței de raza împărțită :

Patratarea cercului se referă la sarcina imposibilă de a construi un pătrat cu aceeași zonă folosind o riglă și busolă, începând de la un cerc.

Unele solide tridimensionale care pot avea, dacă sunt tăiate dintr-un plan, secțiuni circulare sunt sfera , cilindrul și conul .

Se spune că cercul este înscris într-un poligon atunci când circumferința acestuia este tangentă la fiecare parte a acestuia din urmă și circumscris când vârfurile unui poligon sunt pe circumferință.

Zona

Integrare cu coordonate polare

Valoarea ariei cercului poate fi văzută ca valoarea integralei duble a funcției pe un set coincident cu cercul. În formule avem . Folosind schimbarea coordonatelor de la cartezian la polar se obține , unde este Și sunt variabilele polare. În locul funcției integrand avem datorită schimbării bazei . În acest moment, integrala dublă poate fi descompusă în produsul a două integrale, deoarece variabilele sunt separabile. Se obține

Integrarea „ceapa”

O metodă de integrare pentru a calcula aria cercului

O primă abordare, prin integrale , a calculului ariei cercului se poate face gândind că această suprafață este dată de suma progresivă a cercurilor concentrice infinite care au circumferința ca valoare maximă și centrul cercului ca un minim. În practică, parcă am adăuga inele infinite, fiecare având o grosime infinitesimală. Din această reprezentare înțelegem cum numele de ceapă derivă tocmai din stratificarea cercului, ca cea a unei ceapă , chiar dacă în două dimensiuni. Prin urmare, putem suna raza cercului căruia îi corespunde fiecare circumferință individuală, a cărei lungime este (observăm că aceste date sunt asumate în această dovadă). Deci ne putem integra ( integrare definitivă ) , adică funcția care ne oferă diferitele cercuri (separate de factorul infinitesimal) ), între valoarea minimă și maximă a razelor lor, e .

Integrarea semicercului în plan cartezian

Pentru a continua cu calculul ariei unui cerc printr-o a doua metodă, considerăm mai întâi o circumferință cu centru în originea axelor ; acest lucru ne permite să simplificăm cazul generic al unei circumferințe traduse în raport cu originea, deoarece traducerea nu modifică zona.

Ecuația unei circumferințe de rază generică și centrul în originea axelor este:

După cum știm din definiție, formula de mai sus nu este o funcție , deoarece asociază mai mult de un punct unor puncte. Pentru a rezolva acest dezavantaj și a integra funcția, este suficient, după ce a făcut-o explicit cu privire la ordonate , , faceți doar imagini non-negative.

Prin urmare, vom avea ecuația funcției care descrie semicercul cu centrul în originea razei generice Și

Prin urmare, pentru a cunoaște aria cercului complet este suficient să se calculeze aria de sub funcție, între Și :

Apoi efectuăm calculele, folosind teorema fundamentală a calculului integral :

Pentru a ajunge la formula finală ne amintim că de la început am calculat aria dintre graficul semicercului și axa , deci aria cercului centrat la origine va fi dublă:

care este formula frecvent utilizată.

Trebuie să menționăm că în această dovadă luăm ca definită formula arcsinei (pentru a găsi o primitivă a funcției) și, prin urmare, o bună parte a trigonometriei ; totuși, aceasta înseamnă și inserarea în conceptele necesare utilizării acestei metode pe cea a lui pi , care este indisolubil legată de conceptul de cerc și de relațiile dintre părțile sale.

Perimetrul cercului

Perimetrul cercului poate fi calculat cu formula , adică de două ori pi pentru rază.

Integrarea semicercului în plan cartezian

Perimetrul cercului, care poate fi definit și ca lungimea circumferinței , poate fi considerat calculabil grație integrării funcției corespunzătoare semicercului, având un centru la origine, între Și , adică raza. Evident, nu putem folosi integralul definit, dar avem nevoie de integralul care asociază lungimea curbei pe care o descrie unei funcții: formula acestei integrale, dată fiind o funcție și colon Și Și:

Știm că ecuația unei circumferințe de rază generică și centrul în originea axelor este:

Acest lucru, așa cum se vede pentru zonă, trebuie să fie redat o funcție și, pentru a face acest lucru, este suficient după ce a făcut-o explicit ca o funcție de , , faceți doar imagini non-negative.

Ecuația funcției care descrie semicercul de care avem nevoie va fi atunci

Pentru a calcula integralul, totuși, avem nevoie de prima derivată a funcției în sine, prin urmare:

Acum putem continua să calculăm integralul curbei dintre Și . Apoi efectuăm calculele, folosind teorema Torricelli-Barrow ca mai înainte:

Dar, deoarece am calculat lungimea unui semicerc, atunci perimetrul cercului va fi egal cu dublul valorii găsite, adică:

Și aceasta este exact valoarea care este utilizată de obicei.

În ceea ce privește calculul suprafeței, trebuie să ne amintim că pentru dovadă este esențial să cunoaștem trigonometria, ceea ce implică de fapt cunoașterea valorii pi și a conexiunii sale cu componentele unui cerc. Prin urmare, în practică, ceea ce am făcut mai mult decât o demonstrație este o dovadă a formulei care leagă raza și lungimea oricărei circumferințe.

Cerc, literatură și filozofie

Figura cercului și a cercului se află în centrul operei lui Platon . Leonardo da Vinci a preferat să plaseze figura spiralei în centrul naturii. La fel a făcut Ralph Waldo Emerson , introducând în eseul său despre „Cercuri” figura cercurilor în expansiune ca simbol al avansării spiritului uman.

Unghiuri particulare în cerc

Unghiul față de circumferința care subtinde un diametru al aceluiași cerc este întotdeauna corect

Colț în centru

Unghiul din centru este definit ca unghiul care are centrul circumferinței drept vârf și două jumătăți de linie care intersectează circumferința pentru laturile sale. Cercul este apoi împărțit în două părți de fiecare colț din centru. Amplitudinea sa se calculează cu următoarea proporție:

Proprietate

Unghiul din centru este întotdeauna dublu față de unghiul corespunzător cu circumferința, atunci când vârfurile unghiului din centru și unghiul la circumferință sunt pe aceeași parte în raport cu coarda identificată de cele două puncte de intersecție ale laturilor dintre cele două unghiuri cu circumferința. Pe de altă parte, când vârful unghiului față de circumferință este pe partea opusă în raport cu centrul, unghiul față de circumferință este suplimentar cu jumătate din unghiul din centru, adică suma unghiului față de circumferință iar jumătatea unghiului din centru este egală la un unghi plat. În consecință, dacă un unghi față de circumferință este drept, acesta subtinde un diametru al cercului, adică unghiul corespunzător din centru este plat. Din aceasta derivă următoarele proprietăți ale triunghiului dreptunghiular:

  • fiecare triunghi dreptunghiular este înscris într-un semicerc;
  • în fiecare triunghi dreptunghiular, hipotenuza coincide cu un diametru al cercului circumscris.

Formă

Formule geometrice

Având în vedere o circumferință, ele sunt raza, zona, diametrul, perimetrul. Atunci noi avem:

rază

Perimetru

Zonă

Formule analitice

Având coordonatele centrului și un punct pe circumferință puteți determina zona

rază
Zonă

În schimb, dați coordonatele a trei puncte , , oricare din circumferință coordonatele centrului sunt calculate ca cele ale circumcentrului triunghiului [2]

cu

Notă

  1. ^ De Mauro , pe old.demauroparavia.it (arhivat din url-ul original la 1 ianuarie 2008) . Def. 1b
  2. ^ Circumscris în Mathwold

Elemente conexe

Alte proiecte

linkuri externe

Controlul autorității Tezaur BNCF 11846
Matematica Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică