Reprezentarea mai multor stări de stres plan cu cercul lui Mohr
Cercul lui Mohr este o reprezentare grafică a stării plane a tensiunii interne într-un punct, propusă de inginerul german Otto Mohr în 1882 . Reprezentarea este construită prin referirea la un plan adecvat {\ displaystyle (\ sigma, \ tau)} (Planul lui Mohr), componentele normale {\ displaystyle \ sigma _ {n}} și șosele de centură {\ displaystyle \ tau _ {nm}} a stării de tensiune pe o poziție generică care trece prin punct. Deoarece poziția variază în planul problemei, punctele reprezentative ale stării de stres {\ displaystyle (\ sigma _ {n}, \ tau _ {nm} \!)} ei descriu în planul lui Mohr o circumferință care constituie perimetrul a ceea ce se numește, precis, cercul lui Mohr. Cunoașterea cercului Mohr permite reconstituirea stării de tensiune pe orice poziție care trece prin punct și, în special, identificarea tensiunilor principale și a direcțiilor principale ale problemei tensiunii plane.
Construcția cercului lui Mohr
Este {\ displaystyle ({\ bar {1}} _ {1}, {\ bar {1}} _ {2}, {\ bar {1}} _ {3})} o ternă de versori ortonormali cu {\ displaystyle {\ bar {1}} _ {3}} care direcție principală de tensiune . Pe această bază, matricea de reprezentare a tensorului de solicitare Cauchy
- {\ displaystyle {\ bar {\ bar {\ sigma}}} \ equiv {\ begin {bmatrix} \ sigma _ {11} & \ sigma _ {12} & 0 \\\ sigma _ {12} & \ sigma _ {22} & 0 \\ 0 & 0 & \ sigma _ {33} \ end {bmatrix}}}
prezintă prin definiție
- {\ displaystyle \ sigma _ {13} = {\ bar {1}} _ {1} \ cdot {\ bar {\ bar {\ sigma}}} {\ bar {1}} _ {3} = 0 \; \ ;, \; \; \ sigma _ {23} = {\ bar {1}} _ {2} \ cdot {\ bar {\ bar {\ sigma}}} {\ bar {1}} _ {3} = 0}
în timp ce în general {\ displaystyle \ sigma _ {33} \ neq 0} . În cazul particular {\ displaystyle \ sigma _ {33} = 0} vorbim despre o stare plană de tensiune . [1] Starea de solicitare relativă la cele două poziții ortogonale {\ displaystyle ({\ bar {1}} _ {1}, {\ bar {1}} _ {2})} este descris de componente {\ displaystyle (\ sigma _ {11}, \ sigma _ {12}, \ sigma _ {22} \!)} a tensorului de tensiune.
Tensiunea pe un pachet de planuri ale axei 1 3
Acum luați în considerare o altă poziție aparținând mănunchiului de planuri de axe {\ displaystyle {\ bar {1}} _ {3}} : este descris de versor {\ displaystyle {\ bar {n}}} aparținând planului {\ displaystyle x_ {1} x_ {2}} și obținut printr-o rotație rigidă în sens invers acelor de ceasornic a unui unghi {\ displaystyle \ varphi} începând de la vectorul unitar {\ displaystyle {\ bar {1}} _ {1}}
- {\ displaystyle {\ bar {n}} = \ cos \ varphi \, {\ bar {1}} _ {1} + \ sin \ varphi \, {\ bar {1}} _ {2}}
Tensiunea pe planul normalului {\ displaystyle {\ bar {n}}} este dat de un transportator aparținând planului {\ displaystyle (x_ {1}, x_ {2} \!)}
- {\ displaystyle {\ bar {\ bar {\ sigma}}} \, {\ bar {n}} \ equiv {\ begin {bmatrix} \ sigma _ {11} & \ sigma _ {12} & 0 \\\ sigma _ {12} & \ sigma _ {22} & 0 \\ 0 & 0 & \ sigma _ {33} \ end {bmatrix}} {\ begin {bmatrix} \ cos \ varphi \\\ sin \ varphi \\ 0 \ end {bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} \ sigma _ {11} \ cos \ varphi + \ sigma _ {12} \ sin \ varphi \\\ sigma _ {12} \ cos \ varphi + \ sigma _ {22} \ sin \ varphi \\ 0 \ end {bmatrix}}}
Acest vector se descompune într-o componentă normală {\ displaystyle \ sigma _ {n}} (de-a lungul direcției {\ displaystyle {\ bar {n}}} ) și o componentă tangențială {\ displaystyle \ tau _ {nm}} de-a lungul unei direcții
- {\ displaystyle {\ bar {m}} = \ sin \ varphi \, {\ bar {1}} _ {1} - \ cos \ varphi \, {\ bar {1}} _ {2}}
aparținând planului {\ displaystyle x_ {1} x_ {2}} și rotit de un unghi {\ displaystyle {\ frac {\ pi} {2}}} în sensul acelor de ceasornic în raport cu direcția {\ displaystyle {\ bar {n}}} . Se pare:
- {\ displaystyle {\ begin {align} \ sigma _ {n} & = \ left ({\ bar {\ bar {\ sigma}}} \, {\ bar {n}} \ right) \, \ cdot \, {\ bar {n}} = \ sigma _ {11} \ cos ^ {2} \ varphi + \ sigma _ {22} \ sin ^ {2} \ varphi +2 \ sigma _ {12} \ sin \ varphi \ deci \ varphi \\\ tau _ {nm} & = \ left ({\ bar {\ bar {\ sigma}}} \, {\ bar {n}} \ right) \, \ cdot \, {\ bar { m}} = (\ sigma _ {11} - \ sigma _ {22}) \ sin \ varphi \ cos \ varphi + \ sigma _ {12} (\ sin ^ {2} \ varphi - \ cos ^ {2} \ varphi) \ end {align}}}
Prin intermediul unor transformări trigonometrice banale, aceste relații pot fi rescrise în
- {\ displaystyle {\ begin {align} \ sigma _ {n} & = {\ frac {\ sigma _ {11} + \ sigma _ {22}} {2}} + {\ frac {\ sigma _ {11} - \ sigma _ {22}} {2}} \ cos 2 \ varphi + \ sigma _ {12} \ sin 2 \ varphi \\\ tau _ {nm} & = {\ frac {\ sigma _ {11} - \ sigma _ {22}} {2}} \ sin 2 \ varphi - \ sigma _ {12} \ cos 2 \ varphi \ end {align}}}
Pe măsură ce unghiul se schimbă {\ displaystyle \ varphi \ în [0, \ pi]} , valori{\ displaystyle (\ sigma _ {n}, \ tau _ {nm})} descrie un cerc într-un plan {\ displaystyle (\ sigma, \ tau)} , numit cercul lui Mohr, în centru{\ displaystyle C (\ sigma _ {c}, \ tau _ {c})} și raza {\ displaystyle R} respectiv definit de
- {\ displaystyle C (\ sigma _ {c}, \ tau _ {c}) \ equiv \ left ({\ frac {\ sigma _ {11} + \ sigma _ {22}} {2}}, 0 \ right ) \; \ ;, \; \; R \ equiv {\ sqrt {\ left ({\ frac {\ sigma _ {11} - \ sigma _ {22}} {2}} \ right) ^ {2} + \ sigma _ {12} ^ {2}}}}
Pașii în construcția cercului lui Mohr
Cercul lui Mohr și starea de stres pe pozițiile generice
Versuri pozitive asumate pentru valorile componente{\ displaystyle (\ sigma _ {n}, \ tau _ {nm})} Voltaj ( {\ displaystyle \ sigma _ {n}} pozitiv dacă tracțiune , {\ displaystyle \ tau _ {nm}} pozitivă în sensul acelor de ceasornic, așa cum se arată în figură sau dacă induce o rotație în sensul acelor de ceasornic pe fața corespunzătoare), construcția cercului Mohr poate continua după următorii pași:
- sunt trasate două axe ortogonale, cu axa orizontală {\ displaystyle \ sigma} reprezentând valorile tensiunilor normale, axa verticală {\ displaystyle \ tau} valorile tensiunilor de forfecare;
- sunt urmărite în plan {\ displaystyle (\ sigma, \ tau)} punctele
- {\ displaystyle P_ {1} \ equiv \ left (+ \ sigma _ {11}, - \ tau _ {12} \ right)} Și {\ displaystyle P_ {2} \ equiv \ left (+ \ sigma _ {22}, + \ tau _ {12} \ right)}
- respectiv reprezentativ al stării de solicitare pe cele două poziții asociate axelor de coordonate {\ displaystyle x_ {1} x_ {2}} ;
- urmăriți cercul cu diametrul care unește cele două puncte {\ displaystyle P_ {1}} Și {\ displaystyle P_ {2}} ;
- ideea {\ displaystyle M} cercului, simetric al punctului {\ displaystyle P_ {1}} cu privire la axa lui {\ displaystyle \ sigma} , definește polul cercului lui Mohr.
Proprietățile cercului Mohr
- Ideea {\ displaystyle P \ equiv (\ sigma _ {n}, \ tau _ {nm})} reprezentativ al stării de stres pe poziția normală {\ displaystyle {\ bar {n}}} (definit printr-un unghi în sens invers acelor de ceasornic {\ displaystyle \ varphi} în raport cu poziția verticală) se identifică pe cercul Mohr procedând dintr-un unghi antiorar {\ displaystyle 2 \ varphi} începând de la punct {\ displaystyle P_ {1}} .
- Se pare, de fapt:
- {\ displaystyle {\ begin {align} \ sigma & = \ sigma _ {c} + R \ cos (2 \ varphi _ {o} -2 \ varphi) = \ sigma _ {c} + R \ cos 2 \ varphi _ {o} \ cos 2 \ varphi + R \ sin 2 \ varphi _ {o} \ sin 2 \ varphi = \\ & = {\ frac {\ sigma _ {11} + \ sigma _ {22}} {2 }} + {\ frac {\ sigma _ {11} - \ sigma _ {22}} {2}} \ cos 2 \ varphi + \ sigma _ {12} \ sin 2 \ varphi = \ sigma _ {n} \ \\ tau & = R \ sin (2 \ varphi -2 \ varphi _ {o}) = - R \ sin 2 \ varphi _ {o} \ cos 2 \ varphi + R \ sin 2 \ varphi _ {o} \ cos 2 \ varphi = \\ & = + {\ frac {\ sigma _ {11} - \ sigma _ {22}} {2}} \ sin 2 \ varphi - \ sigma _ {12} \ cos 2 \ varphi = \ tau _ {nm} \ end {align}}}
- Linia care unește punctul {\ displaystyle P} cu tricoul polo {\ displaystyle M} descrie un unghi {\ displaystyle \ varphi} în ceea ce privește direcția verticală {\ displaystyle M-P_ {1}} : această linie este deci paralelă cu poziția normală {\ displaystyle {\ bar {n}}} .
- Se pare că, de fapt:
- {\ displaystyle {\ begin {align} \ tan ({\ widehat {P_ {1} \, M \, P}}) & = {\ frac {\ sigma _ {n} - \ sigma _ {11}} { \ sigma _ {12} - \ tau _ {mn}}} = {\ frac {\ sigma _ {11} \ cos ^ {2} \ varphi + \ sigma _ {22} \ sin ^ {2} \ varphi + 2 \ sigma _ {12} \ sin \ varphi \, \ cos \ varphi - \ sigma _ {11}} {- (\ sigma _ {11} - \ sigma _ {22}) \ sin \ varphi \, \ cos \ varphi + \ sigma _ {12} (\ cos ^ {2} \ varphi - \ sin ^ {2} \ varphi) + \ sigma _ {12}}} = \\ & = {\ frac {\ sin \ varphi } {\ cos \ varphi}} \ left ({\ frac {- (\ sigma _ {11} - \ sigma _ {22}) \ sin \ varphi +2 \ sigma _ {12} \ cos \ varphi} {- (\ sigma _ {11} - \ sigma _ {22}) \ sin \ varphi +2 \ sigma _ {12} \ cos \ varphi}} \ right) = \ tan \ varphi \ end {align}}}
Aplicații ale cercului lui Mohr
- Problema I (determinarea stării de stres pe o poziție generică)
Pentru a determina componentele {\ displaystyle (\ sigma _ {n}, \ tau _ {nm} \!)} a stării de stres pe poziția normală {\ displaystyle {\ bar {n}}} este suficient să trasezi linia dreaptă care trece prin stâlp în planul Mohr {\ displaystyle M} și paralel cu urmele poziției (deci definite printr-un unghi antiorar {\ displaystyle \ varphi} în ceea ce privește trecerea verticală prin {\ displaystyle M} ). Această linie va intersecta cercul într-un alt punct {\ displaystyle P} ale cărei componente {\ displaystyle (\ sigma _ {p}, \ tau _ {p} \!)} ele reprezintă tocmai componentele de tensiune căutate.
- Problema II (determinarea tensiunilor principale și a direcțiilor de tensiune)
Punctele {\ displaystyle P_ {I} \ equiv (\ sigma _ {I}, 0)} Și {\ displaystyle P_ {2} \ equiv (\ sigma _ {2}, 0)} de intersecție a cercului Mohr cu axa absciselor {\ displaystyle \ sigma} sunt reprezentative pentru principalele stări de tensiune. Valorile principale ale tensiunilor sunt date respectiv de
- {\ displaystyle \ left. {\ begin {array} {l} \ sigma _ {1} \\\ sigma _ {2} \ end {array}} \ right \} = {\ frac {\ sigma _ {11} + \ sigma _ {22}} {2}} \ pm {\ sqrt {({\ frac {\ sigma _ {11} - \ sigma _ {22}} {2}}) ^ {2} + (\ sigma _ {12}) ^ {2}}}}
în timp ce direcțiile principale relative sunt identificate prin pozițiile paralele cu cele două linii care unesc polul {\ displaystyle M} cu puncte {\ displaystyle P_ {I}} Și {\ displaystyle P_ {2}} . Aceste direcții principale sunt determinate de înclinații {\ displaystyle \ varphi _ {o}} Și {\ displaystyle \ varphi _ {o} + {\ frac {\ pi} {2}}} (vezi figura) cu
- {\ displaystyle \ tan 2 \ varphi _ {o} = {\ frac {2 \ sigma _ {12}} {\ sigma _ {11} - \ sigma _ {22}}}}
După cum se poate deduce din urmărirea cercului Mohr (dar este, de asemenea, demonstrabil în formă generală), valorile tensiunilor principale corespund valorilor maxime și minime ale componentelor normale de tensiune.
Cercuri Mohr în cazul tensiunilor triaxiale
- Problema III (reprezentarea stării de tensiune triaxială)
Cunoașterea celor trei direcții principale și a tensiunilor principale relative permite trasarea celor trei cercuri Mohr în raport cu cele trei mănunchiuri de planuri de axă, respectiv {\ displaystyle {\ bar {1}} _ {1}} , {\ displaystyle {\ bar {1}} _ {2}} Și {\ displaystyle {\ bar {1}} _ {3}} . Valorile extreme ale componentelor tensiunii tangențiale corespund valorilor maxime ale solicitărilor tangențiale din cele trei cercuri Mohr trase și sunt extrase din {\ displaystyle \ pm {\ frac {\ pi} {4}}} respectiv în planuri {\ displaystyle ({\ bar {1}} _ {1}, {\ bar {1}} _ {2} \!)} , {\ displaystyle ({\ bar {1}} _ {1}, {\ bar {1}} _ {3} \!)} Și {\ displaystyle ({\ bar {1}} _ {2}, {\ bar {1}} _ {3} \!)} .
Notă
- ^ Construcția propusă a cercului lui Mohr se referă la cazul general {\ displaystyle \ sigma _ {33} \ neq 0} care include doar ca caz special starea plană de tensiune .
Elemente conexe
Alte proiecte
linkuri externe