Cilindru (geometrie)

Cilindru circular drept

În matematică, un cilindru eliptic este un cadric (adică o suprafață în spațiu tridimensional definit de o ecuație polinomială de gradul doi în $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ , $y$ ${\ displaystyle y}$ $y$ , $z$ ${\ displaystyle z}$ $z$ ), care satisface următoarea ecuație în coordonatele carteziene :

\left({\frac {x}{a}}\right)^{2}+\left({\frac {y}{b}}\right)^{2}=1.

{\ displaystyle \ left ({\ frac {x} {a}} \ right) ^ {2} + \ left ({\ frac {y} {b}} \ right) ^ {2} = 1.}

{\ displaystyle \ left ({\ frac {x} {a}} \ right) ^ {2} + \ left ({\ frac {y} {b}} \ right) ^ {2} = 1.}

Aceasta este ecuația unui cilindru eliptic. Un cilindru poate fi, de asemenea, considerat o prismă cu o bază circulară, unde numărul de dreptunghiuri este deci infinit.

De sine $a=b$ ${\ displaystyle a = b}$ $a = b$ ai suprafața unui cilindru circular . Cilindrul este un cadric degenerat, deoarece una dintre coordonatele spațiale nu apare în ecuația sa (în cazul anterior, coordonata $z$ ${\ displaystyle z}$ $z$ ). Conform unor terminologii, cilindrii nu sunt considerați cazuri particulare de cvadric.

Cilindru circular plat și trunchiat

În uz comun, cuvântul cilindru înseamnă ansamblul limitat de puncte delimitate de un cilindru circular drept și două planuri ortogonale față de axa sa; la cele două capete plate ale sale are două suprafețe circulare, ca în figura din dreapta. Dacă acest cilindru are o rază $r$ ${\ displaystyle r}$ $r$ și înălțime $h$ ${\ displaystyle h}$ $h$ , volumul său este dat de

V=\pi r^{2}h,

{\ displaystyle V = \ pi r ^ {2} h,}

{\ displaystyle V = \ pi r ^ {2} h,}

și suprafața sa laterală

A_{l}=2\pi rh,

{\ displaystyle A_ {l} = 2 \ pi rh,}

{\ displaystyle A_ {l} = 2 \ pi rh,}

în timp ce suprafața sa totală este dată de suma suprafeței laterale și de dublul suprafeței de bază.

Suprafata de baza:

A_{b}\,=\,\pi r^{2}

{\ displaystyle A_ {b} \, = \, \ pi r ^ {2}}

{\ displaystyle A_ {b} \, = \, \ pi r ^ {2}}

Suprafata totala:

A_{t}\,=\,2A_{b}+A_{l}=2\pi r^{2}+2\pi rh

{\ displaystyle A_ {t} \, = \, 2A_ {b} + A_ {l} = 2 \ pi r ^ {2} +2 \ pi rh}

{\ displaystyle A_ {t} \, = \, 2A_ {b} + A_ {l} = 2 \ pi r ^ {2} +2 \ pi rh}

Volumul cilindrului poate fi calculat prin intermediul calculului integral ca volum al solidului obținut prin rotația unei linii paralele cu axa ordonatelor (de tipul $y=k$ ${\ displaystyle y = k}$ $y = k$ , cu $k$ ${\ displaystyle k}$ $k$ constantă) în jurul axei absciselor. Avem:

V=\int _{0}^{h}\pi k^{2}dx=\pi r^{2}h.

{\ displaystyle V = \ int _ {0} ^ {h} \ pi k ^ {2} dx = \ pi r ^ {2} h.}

{\ displaystyle V = \ int _ {0} ^ {h} \ pi k ^ {2} dx = \ pi r ^ {2} h.}

Fiind $k$ ${\ displaystyle k}$ $k$ doar raza $r$ ${\ displaystyle r}$ $r$ a cilindrului.

Pentru un volum dat, are cilindrul cu cea mai mică suprafață $h=2r$ ${\ displaystyle h = 2r}$ ${\ displaystyle h = 2r}$ . Pentru o suprafață dată, cilindrul cu cel mai mare volum are $h=2r$ ${\ displaystyle h = 2r}$ ${\ displaystyle h = 2r}$ . Un cilindru de acest tip se numește cilindru echilateral .

Dacă se calculează volumul unui cilindru circular trunchiat, trebuie utilizată următoarea formulă ^[1] :

V=\pi r^{2}(h+H)/2,

{\ displaystyle V = \ pi r ^ {2} (h + H) / 2,}

{\ displaystyle V = \ pi r ^ {2} (h + H) / 2,}

unde este $h$ ${\ displaystyle h}$ $h$ indică lungimea laturii scurte, în timp ce $H.$ ${\ displaystyle H}$ $H.$ indică lungimea laturii lungi.

Dacă se calculează suprafața laterală a unui cilindru circular trunchiat, formula este:

A_{l}=\pi r(h+H).

{\ displaystyle A_ {l} = \ pi r (h + H).}

{\ displaystyle A_ {l} = \ pi r (h + H).}

Cilindru eliptic, hiperbolic și parabolic ^[2]

Cilindru eliptic

Un cilindru eliptic este invariant sub rotațiile lui $\pi$ ${\ displaystyle \ pi}$ $\ pi$ în jurul axei sale de simetrie, axa lui $z$ ${\ displaystyle z}$ $z$ în cazul ecuației de pornire; este, de asemenea, invariant sub toate traducerile directe ca axă. Un cilindru circular este, de asemenea, invariant sub toate rotațiile din jurul axei sale.

Există alte tipuri de cilindri mai puțin obișnuiți. Cel caracterizat prin următoarea ecuație se numește cilindru eliptic imaginar :

\left({\frac {x}{a}}\right)^{2}+\left({\frac {y}{b}}\right)^{2}=-1,

{\ displaystyle \ left ({\ frac {x} {a}} \ right) ^ {2} + \ left ({\ frac {y} {b}} \ right) ^ {2} = - 1,}

{\ displaystyle \ left ({\ frac {x} {a}} \ right) ^ {2} + \ left ({\ frac {y} {b}} \ right) ^ {2} = - 1,}

cilindrul hiperbolic are ecuația:

\left({\frac {x}{a}}\right)^{2}-\left({\frac {y}{b}}\right)^{2}=1,

{\ displaystyle \ left ({\ frac {x} {a}} \ right) ^ {2} - \ left ({\ frac {y} {b}} \ right) ^ {2} = 1,}

{\ displaystyle \ left ({\ frac {x} {a}} \ right) ^ {2} - \ left ({\ frac {y} {b}} \ right) ^ {2} = 1,}

în timp ce cilindrul parabolic are ecuația:

x^{2}+2y=0.

{\ displaystyle x ^ {2} + 2y = 0.}

{\ displaystyle x ^ {2} + 2y = 0.}

Mai general, având în vedere o curbă și o linie dreaptă, un cilindru este suprafața reglată constituită din liniile drepte paralele cu linia dreaptă dată și incidentă cu curba.

Volumul de umplere al cilindrului orizontal

O problemă recurentă este calcularea volumului de lichid plasat în interiorul unui cilindru orizontal în lungime $L$ ${\ displaystyle L}$ $L$ și raza $r$ ${\ displaystyle r}$ $r$ , în funcție de înălțime $h\leq 2r$ ${\ displaystyle h \ leq 2r}$ ${\ displaystyle h \ leq 2r}$ ajuns de lichid. Problema este ușor de rezolvat: volumul este egal cu aria subtinsă între coarda de înălțime $h$ ${\ displaystyle h}$ $h$ iar circumferința, înmulțită cu lungimea $L$ ${\ displaystyle L}$ $L$ a cilindrului.

Cilindru cu h <r

Cilindru cu h> r

Este $\alpha$ ${\ displaystyle \ alpha}$ $\ alfa$ unghiul din centru (măsurat în radiani ) care insistă asupra șirului; le stabilim pe amândouă $0\leq \alpha \leq \pi$ ${\ displaystyle 0 \ leq \ alpha \ leq \ pi}$ ${\ displaystyle 0 \ leq \ alpha \ leq \ pi}$ de sine $0\leq h\leq r$ ${\ displaystyle 0 \ leq h \ leq r}$ ${\ displaystyle 0 \ leq h \ leq r}$ Și $\pi <\alpha \leq 2\pi$ ${\ displaystyle \ pi <\ alpha \ leq 2 \ pi}$ ${\ displaystyle \ pi <\ alpha \ leq 2 \ pi}$ dacă în schimb $r<h<2r$ ${\ displaystyle r <h <2r}$ ${\ displaystyle r <h <2r}$ ; Sara:

\sin {\frac {\alpha }{2}}={\frac {\sqrt {2rh-h^{2}}}{r}}

{\ displaystyle \ sin {\ frac {\ alpha} {2}} = {\ frac {\ sqrt {2rh-h ^ {2}}} {r}}}

{\ displaystyle \ sin {\ frac {\ alpha} {2}} = {\ frac {\ sqrt {2rh-h ^ {2}}} {r}}}

\cos {\frac {\alpha }{2}}={\frac {r-h}{r}}.

{\ displaystyle \ cos {\ frac {\ alpha} {2}} = {\ frac {rh} {r}}.}

{\ displaystyle \ cos {\ frac {\ alpha} {2}} = {\ frac {r-h} {r}}.}

Formula va fi apoi dată de zona secțiunii circulare identificată prin unghi $\alpha$ ${\ displaystyle \ alpha}$ $\ alfa$ minus produsul

\left(r\cos {\frac {\alpha }{2}}\right)\left(r\sin {\frac {\alpha }{2}}\right)=(r-h){\sqrt {2rh-h^{2}}},

{\ displaystyle \ left (r \ cos {\ frac {\ alpha} {2}} \ right) \ left (r \ sin {\ frac {\ alpha} {2}} \ right) = (rh) {\ sqrt {2rh-h ^ {2}}},}

{\ displaystyle \ left (r \ cos {\ frac {\ alpha} {2}} \ right) \ left (r \ sin {\ frac {\ alpha} {2}} \ right) = (rh) {\ sqrt {2rh-h ^ {2}}},}

(reprezentând aria triunghiului ale cărui vârfuri sunt centrul cercului și intersecțiile dintre laturile unghiului și circumferința, sau opusul acestuia, în funcție de semnul $r-h$ ${\ displaystyle rh}$ ${\ displaystyle r-h}$ ), toate înmulțite cu lungimea $L$ ${\ displaystyle L}$ $L$ cilindrului și, prin urmare:

V_{h}=L\left({\frac {1}{2}}{\alpha r^{2}}-(r-h){\sqrt {2rh-h^{2}}}\right).

{\ displaystyle V_ {h} = L \ left ({\ frac {1} {2}} {\ alpha r ^ {2}} - (rh) {\ sqrt {2rh-h ^ {2}}} \ right ).}

{\ displaystyle V_ {h} = L \ left ({\ frac {1} {2}} {\ alpha r ^ {2}} - (rh) {\ sqrt {2rh-h ^ {2}}} \ right ).}

Din aplicarea calculului integral se obține următoarea formulă, valabilă pentru orice înălțime a lichidului ( $h$ ${\ displaystyle h}$ $h$ ) atât pentru un nivel sub jumătate din rezervor, cât și pentru un nivel peste jumătate în sine, aplicabil prin măsurarea directă a înălțimii lichidului numai h și cunoașterea lungimii cilindrului și a razei acestuia. În această formulă, pentru $h$ ${\ displaystyle h}$ $h$ înseamnă înălțimea lichidului măsurată cu tija gradată din fundul rezervorului.

V_{h}=L\left(r^{2}\arccos {\frac {(r-h)}{r}}+(h-r){\sqrt {2hr-h^{2}}}\right).

{\ displaystyle V_ {h} = L \ left (r ^ {2} \ arccos {\ frac {(rh)} {r}} + (hr) {\ sqrt {2hr-h ^ {2}}} \ right ).}

{\ displaystyle V_ {h} = L \ left (r ^ {2} \ arccos {\ frac {(rh)} {r}} + (hr) {\ sqrt {2hr-h ^ {2}}} \ right ).}

Cu toate acestea, trebuie avut în vedere faptul că, în general, rezervoarele nu sunt perfect cilindrice. Prin urmare, sunt pregătite tabele cu informații specifice pentru determinarea volumului de lichid conținut într-un rezervor plasat orizontal, pe baza nivelului lichidului în sine.

Notă

Elemente conexe

Alte proiecte

Wikționarul conține dicționarul lema « cilindru »
Wikimedia Commons conține imagini sau alte fișiere pe cilindru

linkuri externe

( EN ) Cylinder / Cylinder (altă versiune) , în Encyclopedia Britannica , Encyclopædia Britannica, Inc.

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică

[1] rmule cilindrice și conuri trunchiate

[2] Cilindri patrati

[1]

[2]