Circumferinţă

O circumferință

Ilustrarea unui cerc: a circumferinței (C) este desenată în neagră, diametrul (D) în cyan, raza (R) în roșu, iar centrul (O) în magenta. Circumferința = π × diametru =
= 2 × π × rază = [metri / cm].

Raportul dintre lungimea circumferinței roții și diametrul său este π

In geometrie, o circumferință este locul geometric al punctelor pe plan echidistant față de un fix punct numit centru. Distanta de orice punct de pe circumferință din centru se numește raza .

Generalitate

Cercuri sunt închise simple , curbe care împart avionul într - un interior și un (infinit) suprafață exterioară. Suprafața planului de conținut într - o circumferință, împreună cu circumferința în sine, este numit un cerc , astfel:

circumferința este un perimetru (o curbă închisă linie , măsurată în centimetri sau metri ),
cercul este aria (măsurată în centimetri pătrați sau metri pătrați ).

Pentru celelalte suprafețe ale planului de geometric , limba italiană nu distinge zona și perimetrul cu două cuvinte diferite. În limba engleză , în plus față de circumferința cercului corespunzătoare și, discul cuvânt indică o regiune a planului , cu unele proprietăți importante, care pot fi închise sau deschise, în cazul în care acesta nu conține cercul pe care îl delimitează. Notă circumferința unui cerc, pentru orice suprafață (închisă) a planului geometric se pot desena o circumferință înscrisă și o circumferință circumscrisă .

Circumferința este cazul particular al unei elipse , în care cele două focare coincid în același punct , care este centrul circumferinței: elipsa are două centre (numite) focare, circumferința are un singur centru. Prin urmare , Circumferința se spune ca au de la zero excentricitatea .
De asemenea, formula de calcul pentru aria cercului este un caz special de formula pentru aria unei elipse.

Prin calculul variațiilor, se arată că circumferința este plat Figura care delimitează suprafața maximă pe unitate de pătrat perimetru.

Un cerc este , de asemenea , un caz particular de simetrie centrală , din moment ce toate punctele de cerc sunt echidistant față de centrul cercului.
Formula pentru a găsi lungimea circumferinței este:

\mathrm {Crf} =2\cdot \pi \cdot r

{\ Displaystyle \ mathrm {} = 2 CRF \ cdot \ pi \ cdot r}

\ Mathrm {} = 2 CRF \ cdot \ pi \ cdot r

sau:

\mathrm {Crf} =d\cdot \pi

{\ Displaystyle \ mathrm {} = d CRF \ cdot \ pi}

\ Mathrm {} = d CRF \ cdot \ pi

Unde este:

$\mathrm {Crf}$ ${\ Displaystyle \ mathrm {}} CRF$ $\ Mathrm {} CRF$ reprezintă circumferința;
$\pi$ ${\ displaystyle \ pi}$ $\ pi$ reprezintă pi ( $\pi =3{,}141592653589793\ldots$ ${\ Displaystyle \ pi = 3 {,} 141592653589793 \ ldots}$ ${\ displaystyle \ pi = 3 {,} 141592653589793 \ ldots}$ );
$r$ ${\ displaystyle r}$ $r$ reprezintă raza cercului;
$d$ ${\ displaystyle d}$ $d$ standuri pentru cerc cu diametrul .

Circumferința în planul cartezian

În geometria analitică, o circumferință într - un plan poate fi descris în mod util atât prin coordonate carteziene , și prin intermediul unor coordonate polare, precum și în formă parametrică.

Ecuația carteziană a circumferinței

Într - un sistem de referință cartezian $SAU X y$ ${\ displaystyle Oxy}$ $Oxy$ , Circumferința centru $(\alpha ,\beta )$ ${\ displaystyle (\ alpha, \ beta)}$ $(\ alfa, \ beta)$ și raza $r$ ${\ displaystyle r}$ $r$ este locul geometric al punctelor caracterizate prin ecuația :

(x-\alpha )^{2}+(y-\beta )^{2}=r^{2}

{\ Displaystyle (x- \ alpha) ^ {2} + (y- \ beta) ^ {2} = r ^ {2}}

(X- \ alfa) ^ {2} + (y- \ beta) ^ {2} = r ^ {2}

,

adică, este setul de toate și numai punctele care sunt îndepărtate $r$ ${\ displaystyle r}$ $r$ din $(\alpha ,\beta )$ ${\ displaystyle (\ alpha, \ beta)}$ $(\ alfa, \ beta)$ .

Forma canonică este adesea la ecuația mai general:

x^{2}+y^{2}+ax+by+c=0

{\ Displaystyle x ^ {2} + y ^ {2} + ax + de + c = 0}

x ^ {2} + y ^ {2} + ax + de + c = 0

,

legată de cea anterioară prin egalitățile:

a=-2\alpha

{\ Displaystyle a = -2 \ alpha}

a = -2 \ alpha

, echivalentă cu:

\alpha =-{\frac {a}{2}}

{\ Displaystyle \ alpha = - {\ frac {a} {2}}}

{\ Displaystyle \ alpha = - {\ frac {a} {2}}}

b=-2\beta

{\ Displaystyle b = -2 \ beta}

b = -2 \ beta

, echivalentă cu:

\beta =-{\frac {b}{2}}

{\ Displaystyle \ beta = - {\ frac {b} {2}}}

{\ Displaystyle \ beta = - {\ frac {b} {2}}}

c=\alpha ^{2}+\beta ^{2}-r^{2}

{\ Displaystyle c = \ alpha ^ {2} + \ beta ^ {2} -r ^ {2}}

c = \ alpha ^ {2} + \ beta ^ {2} -r ^ {2}

, sau echivalent

r={\sqrt {\alpha ^{2}+\beta ^{2}-c}}

{\ Displaystyle r = {\ sqrt {\ alpha ^ {2} + \ beta ^ {2} -c}}}

{\ Displaystyle r = {\ sqrt {\ alpha ^ {2} + \ beta ^ {2} -c}}}

.

Din aceasta rezultă că, dacă $\alpha ^{2}+\beta ^{2}-c=0$ ${\ Displaystyle \ alpha ^ {2} + \ beta ^ {2} -c = 0}$ $\ Alpha ^ {2} + \ beta ^ {2} -c = 0$ degenereaza circumferința într-un singur punct numai, $(\alpha ,\beta )$ ${\ displaystyle (\ alpha, \ beta)}$ $(\ alfa, \ beta)$ , de sine $\alpha ^{2}+\beta ^{2}-c<0$ ${\ Displaystyle \ alpha ^ {2} + \ beta ^ {2} -c <0}$ $\ Alpha ^ {2} + \ beta ^ {2} -c <0$ locul geometric (în planul cartezian real) descris de ecuația nu este o circumferință, dar setul gol.

În cazul în care centrul circumferinței este originea $(0,0)$ ${\ displaystyle (0,0)}$ $(0, 0)$ , ecuația devine:

x^{2}+y^{2}=r^{2}

{\ displaystyle x ^ {2} + y ^ {2} = r ^ {2}}

x ^ {2} + y ^ {2} = r ^ {2}

.

În cazul în care circumferința trece prin origine $(0,0)$ ${\ displaystyle (0,0)}$ $(0, 0)$ , $c=0$ ${\ displaystyle c = 0}$ $c = 0$ iar ecuația devine:

x^{2}+y^{2}+ax+by=0

{\ Displaystyle x ^ {2} + y ^ {2} + ax + de = 0}

x ^ {2} + y ^ {2} + ax + de = 0

.

Dacă circumferința este centrată pe axa x, $b=0$ ${\ displaystyle b = 0}$ $b = 0$ iar ecuația devine:

x^{2}+y^{2}+ax+c=0

{\ Displaystyle x ^ {2} + y ^ {2} + ax + c = 0}

x ^ {2} + y ^ {2} + ax + c = 0

.

În cazul în care circumferința este centrată pe axa y, $a=0$ ${\ displaystyle a = 0}$ $a = 0$ iar ecuația devine:

x^{2}+y^{2}+by+c=0

{\ Displaystyle x ^ {2} + y ^ {2} + de + c = 0}

x ^ {2} + y ^ {2} + de + c = 0

.

Ecuația în coordonate polare

În coordonate polare $\rho$ ${\ displaystyle \ rho}$ $\ rho$ Și $\theta$ ${\ displaystyle \ theta}$ $\ theta$ ecuația circumferință cu centrul în origine și raza $r$ ${\ displaystyle r}$ $r$ este evident dată de ecuația:

\rho =r~.

{\ Displaystyle \ rho = r ~.}

\ Rho = r ~.

Ecuația parametrică

O circumferință $C.$ ${\ displaystyle C}$ $C.$ al cărui centru are coordonatele $(x_{0},y_{0})$ ${\ displaystyle (x_ {0}, y_ {0})}$ $(x_0, y_0)$ și raza $R.$ ${\ displaystyle R}$ $R.$ este descrisă cu următoarea formă parametrică:

$C:\left\{{\begin{matrix}x=x_{0}+R\,\cos(t)&\\&t\in [0;2\pi ]\\y=y_{0}+R\ \sin(t)&\end{matrix}}\right.$ ${\ Displaystyle C: \ stângă \ {{\ begin {matrix} x = X_ {0} + R \, \ cos (t) & \\ & t \ în [0; 2 \ pi] \\ y = y_ { 0} + R \ \ sin (t) & \ end {matrix}} \ dreapta.}$ $C: \ stângă \ {{\ begin {matrix} x = X_ {0} + R \, \ cos (t) & \\ & t \ în [0; 2 \ pi] \\ y = y_ {0} + R \ \ sin (t) & \ end {matrix}} \ dreapta.$

Probleme clasice ale circumferinței în planul cartezian

Circumferința al cărui centru și rază sunt cunoscute

Doar folosi ecuația $(x-\alpha )^{2}+(y-\beta )^{2}=r^{2}$ ${\ Displaystyle (x- \ alpha) ^ {2} + (y- \ beta) ^ {2} = r ^ {2}}$ $(X- \ alfa) ^ {2} + (y- \ beta) ^ {2} = r ^ {2}$ . Următoarele pot fi, de asemenea, atribuită acestei probleme

un diametru al circumferinței este cunoscut: diametrul este de două ori raza și centrul este punctul median al diametrului
două puncte ale circumferinței și o linie dreaptă pe care sunt cunoscute minciunile centru: axa o coardă trece întotdeauna prin centrul circumferinței

Circumferința de trei puncte

metoda geometrică

Doar amintiți-vă că axa unui șir trece întotdeauna prin centrul circumferinței. Procedura soluție este următoarea:

axele a două șiruri sunt construite;
sistemul se face între ecuațiile celor două axe;
soluția sistemului este centrul circumferință;
în acest moment raza poate fi calculată.

metoda algebrică

Problema are trei necunoscute: coeficienții $la, b, c$ ${\ displaystyle a, b, c}$ $a, b, c$ din ecuația canonică a circumferinței $x^{2}+y^{2}+ax+by+c=0$ ${\ Displaystyle x ^ {2} + y ^ {2} + ax + de + c = 0}$ $x ^ {2} + y ^ {2} + ax + de + c = 0$ . Avem nevoie de trecerea prin cele trei puncte date de problema și obținem un sistem liniar în trei ecuații și trei necunoscute $la, b, c$ ${\ displaystyle a, b, c}$ $a, b, c$ .

Linii tangente realizate dintr - un punct exterior

metoda geometrică

Doar amintiți-vă că distanța dintre linia tangentă la centru este egală cu raza circumferinței în sine. Procedura soluție este următoarea:

un pachet de linii drepte este construită cu punctul extern în centru;
se impune ca distanța dintre liniile drepte ale fasciculului din centrul circumferinței este egală cu raza.

metoda algebrică

Doar amintiți - vă că într - un sistem de gradul al doilea (linia-circumferință) starea de tangență apare atunci când sistemul admite două soluții reale și care coincide, adică atunci când a doua ecuație gradul asociat cu sistemul are $\Delta =0$ ${\ displaystyle \ Delta = 0}$ $\ Delta = 0$ .

Linie tangentă la un punct al circumferinței

Această problemă este rezolvată prin amintindu-ne că tangenta linie la circumferința este perpendicular pe raza de la punctul de tangență. Prin urmare, cu excepția cazurilor speciale în care tangenta este paralelă cu axa y, procedura de soluție este următoarea:

calcula coeficientul unghiular al liniei drepte a razei, care are punctul de tangență ca extremă;
coeficientul unghiular al perpendiculara pe această rază este calculată;
și apoi ecuația liniei perpendiculare care trece prin punctul de tangență se calculează.

Ca alternativă, este suficient să se utilizeze formula pentru dublarea circumferință, deci ecuația liniei tangente la circumferința $x^{2}+y^{2}+ax+by+c=0$ ${\ Displaystyle x ^ {2} + y ^ {2} + ax + de + c = 0}$ $x ^ {2} + y ^ {2} + ax + de + c = 0$ în sens $(x_{0},y_{0})$ ${\ displaystyle (x_ {0}, y_ {0})}$ $(x_0, y_0)$ este pur și simplu ecuația

xx_{0}+yy_{0}+a{\frac {x+x_{0}}{2}}+b{\frac {y+y_{0}}{2}}+c=0,

{\ Displaystyle xx_ {0} + yy_ {0} + a {\ frac {x + X_ {0}} {2}} + b {\ frac {y + y_ {0}} {2}} + c = 0 ,}

{\ Displaystyle xx_ {0} + yy_ {0} + a {\ frac {x + X_ {0}} {2}} + b {\ frac {y + y_ {0}} {2}} + c = 0 ,}

unde este $x_{0},y_{0},a,b,c$ ${\ Displaystyle X_ {0}, y_ {0}, a, b, c}$ $X_ {0}, y_ {0}, a, b, c$ sunt date.

Circumferința în planul complex

În planul complex o circumferință cu centrul de origine și raza $R.$ ${\ displaystyle R}$ $R.$ poate fi exprimat prin ecuația parametric

z(t)=Re^{it}

{\ Displaystyle z (t) = Re ^ {l}}

z (t) = Re ^ {{l}}

pentru $t\in [0,2\pi ]$ ${\ Displaystyle t \ in [0,2 \ pi]}$ $t \ in [0,2 \ pi]$ . Pentru a realiza că această formulă descrie un cerc este suficient să se ia în considerare ecuațiile parametrice descrise mai sus și să le compare cu formula lui Euler .

Circumferința în spațiu

Este posibil să se descrie un cerc în spațiu ca intersecția unei sfere S cu un plan $\pi$ ${\ displaystyle \ pi}$ $\ pi$ . Pentru a calcula raza unei circumferințe descrise în următorul mod, pitagoreana teorema poate fi utilizat:

distanța este calculată $d(\pi ,P)$ ${\ Displaystyle d (\ pi, P)}$ $d (\ pi, P)$ a planului $\pi$ ${\ displaystyle \ pi}$ $\ pi$ din centrul sferei S
numita R raza sferei S, raza $r_{c}$ ${\ displaystyle r_ {c}}$ $r_ {c}$ din circumferința este validă

$r_{c}={\sqrt {R^{2}-d^{2}(\pi ,P)}}$ ${\ Displaystyle R_ {c} = {\ sqrt {R ^ {2} -d ^ {2} (\ pi, P)}}}$ $R_ {c} = {\ sqrt {R ^ {2} -d ^ {2} (\ pi, P)}}$ .

Exemplu

circumferinţa

$C:\left\{{\begin{matrix}x+y+z=1\\x^{2}+y^{2}+z^{2}=4\\\end{matrix}}\right.$ ${\ Displaystyle C: \ stângă \ {{\ begin {matrix} x + y + z = 1 \\ x ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2} = 4 \\\ end {matrix} } \ dreapta.}$ $C: \ stângă \ {{\ begin {matrix} x + y + z = 1 \\ x ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2} = 4 \\\ end {matrix}} \ dreapta .$

este intersecția planului

\pi :x+y+z=1,

{\ Displaystyle \ pi: x + y + z = 1,}

{\ Displaystyle \ pi: x + y + z = 1,}

cu sfera S având origine centrul și raza 2. Distanța dintre centrul sferei din planul este valabil ${\frac {1}{\sqrt {3}}}$ ${\ Displaystyle {\ frac {1} {\ sqrt {3}}}}$ ${\ Frac {1} {{\ sqrt {3}}}}$ . Distanța dintre centrul sferei din planul este mai mică decât raza sferei. Deci, planul $\pi$ ${\ displaystyle \ pi}$ $\ pi$ intersecteaza sfera S. În acest moment raza $r_{c}$ ${\ displaystyle r_ {c}}$ $r_ {c}$ a circumferinței este calculată folosind teorema lui Pitagora :

r_{c}={\sqrt {4-{\frac {1}{3}}}}={\sqrt {\frac {11}{3}}}

{\ Displaystyle R_ {c} = {\ sqrt {4 - {\ frac {1} {3}}}} = {\ sqrt {\ frac {11} {3}}}}

R_ {c} = {\ sqrt {4 - {\ frac {1} {3}}}} = {\ sqrt {{\ frac {11} {3}}}}

Componentele circumferinței și proprietățile lor

Toate circumferințele sunt similare; în consecință, circumferința este proporțională cu raza:

Circumferinței lungime =

2\pi r.

{\ Displaystyle 2 \ pi r.}

{\ Displaystyle 2 \ pi r.}

O linie care întâlnește un cerc la două puncte se numește secantă , în timp ce unul care atinge cercul de la un singur punct, numit punct de tangenta, se numește o tangentă . Raza care unește centrul circumferinței cu punctul de tangență este întotdeauna perpendicular pe tangenta. Luate două puncte de pe circumferință, acestea împart circumferința în două arce . Dacă cele două arce sunt de aceeași lungime acestea sunt numite semicercuri. Segmentul care conectează două puncte de pe circumferința se numește coardă . Coarda de lungime maximă, care trece prin centrul, se numește diametru , și este egală cu dublul razei.

cercuri infinite trec prin două puncte, iar locul geometric al centrelor lor este axa segmentului care unește cele două puncte. Perpendiculara realizat de centrul unei circumferințe la una corzile sale se divide în jumătate. Două acorduri congruente au aceeași distanță de centru. Dacă dintr-un punct $P.$ ${\ displaystyle P}$ $P.$ , În afara unui cerc de centru $SAU$ ${\ displaystyle O}$ $SAU$ liniile sunt trase $r$ ${\ displaystyle r}$ $r$ Și $s$ ${\ displaystyle s}$ $s$ tangente la aceasta, segmentele tangente între $P.$ ${\ displaystyle P}$ $P.$ și punctele de contact cu circumferința sunt congruente și segmentul $SAU P.$ ${\ displaystyle OP}$ $OP$ este bisector al unghiului $r s$ ${\ Rs displaystyle}$ ${\ rs displaystyle}$ în vârf $P.$ ${\ displaystyle P}$ $P.$ .

Unul și numai o circumferință trece prin trei puncte-non aliniate, centrul care coincide cu intersecția axelor segmentelor care conectează punctele. Ecuația cercului care trece prin punctele $(x_{1},y_{1})$ ${\ displaystyle (x_ {1}, y_ {1})}$ $(x_1, y_1)$ , $(x_{2},y_{2})$ ${\ displaystyle (x_ {2}, y_ {2})}$ $(x_2, y_2)$ , $(x_{3},y_{3})$ ${\ Displaystyle (X_ {3}, y_ {3})}$ $(X_ {3}, y_ {3})$ poate fi exprimat după cum urmează:

\det {\begin{bmatrix}x&y&x^{2}+y^{2}&1\\x_{1}&y_{1}&x_{1}^{2}+y_{1}^{2}&1\\x_{2}&y_{2}&x_{2}^{2}+y_{2}^{2}&1\\x_{3}&y_{3}&x_{3}^{2}+y_{3}^{2}&1\\\end{bmatrix}}=0.

{\ Displaystyle \ det {\ begin {bmatrix} x & y & x ^ {2} + y ^ {2} & 1 \\ X_ {1} & y_ {1} & X_ {1} ^ {2} + y_ {1} ^ {2} & 1 \\ X_ {2} & y_ {2} & X_ {2} ^ {2} + y_ {2} ^ {2} & 1 \\ X_ {3} & y_ {3 } & X_ {3} ^ {2} + y_ {3} ^ {2} & 1 \\\ end {bmatrix}} = 0.}

\ Det {\ begin {bmatrix} x & y & x ^ {2} + y ^ {2} & 1 \\ X_ {1} & y_ {1} & X_ {1} ^ {2} + y_ {1} ^ {2} & 1 \\ X_ {2} & y_ {2} & X_ {2} ^ {2} + y_ {2} ^ {2} & 1 \\ X_ {3} & y_ {3} & X_ {3} ^ {2} + y_ {3} ^ {2} & 1 \\\ end {bmatrix}} = 0.

unde expresia de pe stânga este determinant al matricei .

axa radical

Axa radicală, marcată în roșu, cu circumferințe în diferite poziții posibile reciproce.

Construcția rădăcinii axa în cazul circumferences externe ca un loc în care puterea punctului J este egală cu cele două circumferințe.

Având în vedere cele două cercuri intersectate, axa radicalul ^[1] este definit ca linia dreaptă care trece prin cele două puncte în comun (puncte de bază). Cu calcule simple, pornind de la ecuația canonică și care indică cu citate coeficienții de al doilea cerc, obținem că această linie are ecuația $(a-a')x+(b-b')y+(c-c')=0$ ${\ Displaystyle (a-a ') x + (b-b') y + (c-c „) = 0}$ ${\ Displaystyle (a-a ') x + (b-b') y + (c-c „) = 0}$ și este perpendiculară pe linia care unește centrele circumferințe. Definiția se extinde cu ușurință la cazul cercurilor tangente, numind axa radical linia tangentă la cele două cercuri în punctul comun. Pentru ao extinde , de asemenea , în cazul în care cercurile nu au puncte în comun, axa radicalul este definită ca linia formată de punctele care au aceeași putere în raport cu cele două cercuri. Acest concept poate fi generalizat în continuare prin luarea în considerare a fasciculele de circumferințe . O abordare care, printre altele, permite cazurile de mai sus să fie tratate în comun ^[2] .

Topologie

Un cerc topologică este obținut prin considerarea unui închis interval pe linia reală și dotarea acestuia cu câtul topologia obținută prin identificarea extreme.

Circumferința este dotat cu o structură naturală de varietăți diferențiabile de dimensiune 1, acesta este un compact și conectat spațiu , dar nu pur și simplu conectat , de fapt său grup fundamental este gruparea $\mathbb {Z}$ ${\ displaystyle \ mathbb {Z}}$ $\ mathbb {Z}$ de numere întregi .

Structura grupului

Circumferința este în mod natural înzestrat cu algebrică grup structura : putem identifica fiecare punct al circumferinței cu unghiul se formează în raport cu o rază predeterminată ( în general , axa abscisei într - un sistem de referință cartezian ) și să definească suma a două puncte identificate de colțuri $\alpha$ ${\ displaystyle \ alpha}$ $\ alfa$ Și $\beta$ ${\ displaystyle \ beta}$ $\ beta$ ca punct identificat de colț $\alpha +\beta$ ${\ Displaystyle \ alpha + \ beta}$ $\ Alpha + \ beta$ . Este imediat să verifice dacă circumferința prevăzută cu această operație verifică proprietățile unui grup și că , ca grup este izomorf la gruparea câtul $\mathbb {R} /\mathbb {Z}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {R} / \ mathbb {Z}}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {R} / \ mathbb {Z}}$ .