Circumferința unității

Reprezentarea circumferinței unității. t este măsura unui unghi

În matematică , un cerc de unitate este un cerc de rază unitară, adică un cerc a cărui rază este $1$ ${\ displaystyle 1}$ $1$ . Frecvent, în special în trigonometrie , cercul unitar este centrat la origine $(0,0)$ ${\ displaystyle (0,0)}$ $(0,0)$ într-un sistem de coordonate cartezian în planul euclidian.

Generalitate

Circumferința unității este adesea indicată cu $S^{1}$ ${\ displaystyle S ^ {1}}$ $S ^ {1}$ ; generalizarea multidimensională este sfera unitară .

De sine $(x,y)$ ${\ displaystyle (x, y)}$ $(X y)$ este un punct pe circumferința unității primului cadran, apoi $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ Și $y$ ${\ displaystyle y}$ $y$ sunt lungimile laturilor unui triunghi dreptunghi a cărui hipotenuză are lungimea 1. Prin urmare, prin teorema lui Pitagora , $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ Și $y$ ${\ displaystyle y}$ $y$ satisface ecuația

x^{2}+y^{2}=1.

{\ displaystyle x ^ {2} + y ^ {2} = 1.}

x ^ 2 + y ^ 2 = 1.

Atâta timp cât $x^{2}=(-x)^{2}$ ${\ displaystyle x ^ {2} = (- x) ^ {2}}$ $x ^ 2 = (- x) ^ 2$ pentru fiecare $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ , și de la reflectarea fiecărui punct al cercului unitar pe axă $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ (sau $y$ ${\ displaystyle y}$ $y$ ) aparține încă cercului unitar, ecuația anterioară este valabilă pentru fiecare punct $(x,y)$ ${\ displaystyle (x, y)}$ $(X y)$ circumferinței unității, nu numai în primul cadran.

Noțiunea de „distanță” poate fi utilizată și pentru a defini alte „cercuri unitare”.

Adică, poate fi definit ca locusul punctelor care au o distanță unitară (modul egal cu $1$ ${\ displaystyle 1}$ $1$ ) de la origine. În coordonatele polare ecuația va fi

z=1.

{\ displaystyle z = 1.}

z = 1.

Vedeți intrarea privind spațiile normate pentru câteva exemple.

Cercul unitar este locusul punctelor de pe plan având o distanță mai mică sau egală cu unitatea de la un punct numit centrul cercului. Cu alte cuvinte, cercul unitar include circumferința unității și porțiunea de plan închisă de circumferința însăși. Este indicat de inegalități :

x^{2}+y^{2}\leq 1

{\ displaystyle x ^ {2} + y ^ {2} \ leq 1}

x ^ 2 + y ^ 2 \ leq 1

(în coordonate carteziene)

z\leq 1

{\ displaystyle z \ leq 1}

z \ leq 1

(în coordonate polare)

Funcții trigonometrice pe cercul unității

Funcțiile trigonometrice ale cosinusului și sinusului pot fi definite pe cercul unitar după cum urmează. De sine $(x,y)$ ${\ displaystyle (x, y)}$ $(X y)$ este un punct al cercului unitar și dacă raza de la origine $(0,0)$ ${\ displaystyle (0,0)}$ $(0,0)$ la $(x,y)$ ${\ displaystyle (x, y)}$ $(X y)$ formează un unghi $t$ ${\ displaystyle t}$ $t$ cu axa $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ pozitiv (unghiul măsurat în sens invers acelor de ceasornic), apoi

\cos(t)=x

{\ displaystyle \ cos (t) = x}

\ cos (t) = x

\sin(t)=y

{\ displaystyle \ sin (t) = y}

\ sin (t) = y

Prin definiția funcțiilor sinus și cosinus, ecuația $x^{2}+y^{2}=1$ ${\ displaystyle x ^ {2} + y ^ {2} = 1}$ $x ^ 2 + y ^ 2 = 1$ furnizează raportul

\cos ^{2}(t)+\sin ^{2}(t)=1,

{\ displaystyle \ cos ^ {2} (t) + \ sin ^ {2} (t) = 1,}

\ cos ^ 2 (t) + \ sin ^ 2 (t) = 1,

ceea ce este adevărat pentru fiecare $t$ ${\ displaystyle t}$ $t$ real.

$t$ ${\ displaystyle t}$ $t$ este definit ca un unghi orientat, ceea ce înseamnă că își asumă un semn pozitiv într-o direcție și un semn negativ în cealaltă, în conformitate cu convenția în sensul acelor de ceasornic sau anti-ceasornic adoptată. De obicei se adoptă convenția în sensul acelor de ceasornic și se presupune că unghiul este pozitiv deplasându-se de pe axa abscisei într-o direcție în sens invers acelor de ceasornic. Un cerc cu un astfel de unghi orientat se numește cerc goniometric.

Circumferința trigonometrică este o circumferință goniometrică cu o rază unitară (adică goniometrică și unitară). Se numește trigonometric, deoarece pentru a defini sinusul, cosinusul și din ele toate celelalte funcții trigonometrice, avem nevoie de un unghi orientat și o rază unitară. Celelalte elemente prezente în desene sunt o construcție a geometriei euclidiene.

Cercul unitar oferă o modalitate intuitivă de a vizualiza sinusul și cosinusul ca funcții periodice , cu identități

\cos t=\cos(2\pi k+t)

{\ displaystyle \ cos t = \ cos (2 \ pi k + t)}

\ cos t = \ cos (2 \ pi k + t)

\sin t=\sin(2\pi k+t)

{\ displaystyle \ sin t = \ sin (2 \ pi k + t)}

\ sin t = \ sin (2 \ pi k + t)

pentru fiecare

k

{\ displaystyle k}

k

întreg .

Aceste identități provin din faptul că coordonatele $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ Și $y$ ${\ displaystyle y}$ $y$ a unui punct de pe circumferința unității rămân aceleași prin creșterea sau micșorarea unghiului $t$ ${\ displaystyle t}$ $t$ cu orice număr de ture (1 tura = 2π radiani).

Toate funcțiile trigonometrice pot fi construite geometric în funcție de cercul unitar centrat la origine

Când lucrați cu triunghiuri unghiulare, sinusuri, cosinusuri și alte funcții trigonometrice, este logic să vorbiți despre unghiuri mai mari decât zero și mai mici decât π / 2. Cu toate acestea, folosind cercul unitar, aceste funcții au o semnificație intuitivă pentru orice măsurare reală a unghiului.

De fapt, nu numai că sinus și cosinus, dar toate cele șase funcții trigonometrice standard - sinus, cosinus, tangenta, cotangentă, secantă și cosecant, precum și funcțiile arhaice ca versinus și exsecante - pot fi definite geometric în ceea ce privește cercul unitate .

Aria circumferinței unității

Luând în considerare doar partea de circumferință descrisă de ecuație $y={\sqrt {1-x^{2}}}$ ${\ displaystyle y = {\ sqrt {1-x ^ {2}}}}$ $y = \ sqrt {1 - x ^ 2}$ care îl reprezintă în al doilea și al doilea cadran, aria acestuia va fi calculată cu o integrală $\int _{-1}^{1}{\sqrt {1-x^{2}}}dx={\frac {\pi }{2}}$ ${\ displaystyle \ int _ {- 1} ^ {1} {\ sqrt {1-x ^ {2}}} dx = {\ frac {\ pi} {2}}}$ $\ int _ {- 1} ^ {1} \ sqrt {1 - x ^ 2} dx = \ frac \ pi {2}$ . De asemenea, luând în considerare partea $y=-{\sqrt {1-x^{2}}}$ ${\ displaystyle y = - {\ sqrt {1-x ^ {2}}}}$ $y = - \ sqrt {1 - x ^ 2}$ , care descrie circumferința în al treilea și al patrulea cadran, integrala care îi definește aria va fi $\int _{-1}^{1}-{\sqrt {1-x^{2}}}dx={\frac {\pi }{2}}$ ${\ displaystyle \ int _ {- 1} ^ {1} - {\ sqrt {1-x ^ {2}}} dx = {\ frac {\ pi} {2}}}$ $\ int _ {- 1} ^ {1} - \ sqrt {1 - x ^ 2} dx = \ frac \ pi {2}$ . Prin urmare, se poate spune că aria circumferinței unității are valoarea $\pi$ ${\ displaystyle \ pi}$ $\ pi$ , deoarece poate fi considerat ca suma celor două integrale

$\int _{-1}^{1}{\sqrt {1-x^{2}}}dx+\int _{-1}^{1}-{\sqrt {1-x^{2}}}dx=\int _{-1}^{1}\pm {\sqrt {1-x^{2}}}dx={\frac {\pi }{2}}+{\frac {\pi }{2}}=\pi$ ${\ displaystyle \ int _ {- 1} ^ {1} {\ sqrt {1-x ^ {2}}} dx + \ int _ {- 1} ^ {1} - {\ sqrt {1-x ^ { 2}}} dx = \ int _ {- 1} ^ {1} \ pm {\ sqrt {1-x ^ {2}}} dx = {\ frac {\ pi} {2}} + {\ frac { \ pi} {2}} = \ pi}$ $\ int _ {- 1} ^ {1} \ sqrt {1 - x ^ 2} dx + \ int _ {- 1} ^ {1} - \ sqrt {1 - x ^ 2} dx = \ int _ {- 1} ^ {1} \ pm \ sqrt {1 - x ^ 2} dx = \ frac \ pi {2} + \ frac \ pi {2} = \ pi$ .

Veridicitatea acestei formule poate fi demonstrată și folosind formula pentru a calcula aria $A=r^{2}\cdot \pi$ ${\ displaystyle A = r ^ {2} \ cdot \ pi}$ $A = r ^ 2 \ cdot \ pi$ .

Știind că $r=1$ ${\ displaystyle r = 1}$ $r = 1$ obținem asta $A=\pi$ ${\ displaystyle A = \ pi}$ $A = \ pi$ CVD

Grup circular

Fiecare număr complex poate fi identificat cu un punct pe planul euclidian apelând numărul complex $a+bi$ ${\ displaystyle a + bi}$ $a + bi$ se identifică cu punctul $(a,b)$ ${\ displaystyle (a, b)}$ $(a, b)$ . Cu această relație, cercul unitar este un grup sub multiplicare, numit și grup circular . Acest grup are aplicații importante în matematică și știință.

Elemente conexe

Alte proiecte

Wikimedia Commons conține imagini sau alte fișiere pe circumferința unității

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică