Circuit RC

Un circuit RC (din engleză resistor-condensator , resistor-condensator) este un circuit electric de ordinul întâi bazat pe un rezistor și prezența unui element dinamic, condensatorul . Într-un regim de tensiune sau curent variabil, de exemplu în regim alternativ, în funcție de modul în care sunt aranjate cele două componente ale circuitului RC, este capabil să filtreze frecvențele joase și, în acest caz, se numește filtru trece jos sau altele și, în acest caz, se numește filtru de trecere înaltă , creând un filtru de primă ordine. Dacă este considerată o celulă elementară, este capabilă să compună filtre de ordinul al doilea și așa mai departe, cum ar fi filtrul dublu trece jos și filtrul dublu trece înalt.

Datorită caracteristicilor sale, acest circuit este de bază pentru funcții precum curățarea unui semnal și în sintetizatoare . În plus, constituie, de asemenea, un tip de diferențiator și integrator elementar în anumite condiții. Prin exploatarea principiului de încărcare și descărcare a condensatorului, această configurație este utilizată și ca oscilator. În special, este utilizat pentru generarea de semnale de ceas ^[1] și, dacă este combinat cu Schmitt Trigger, permite crearea de semnale digitale. Cu toate acestea, dată fiind variabilitatea comportamentului condensatorului în funcție de condițiile de mediu, această configurație este utilizată în aplicații în care sincronizarea nu necesită o precizie mare. ^[2]

Circuit RC cu evoluție gratuită

Același subiect în detaliu: sisteme dinamice liniare .

Circuit RC în evoluție liberă

Tendința tensiunii în C a circuitului RC în evoluție liberă

Circuitul prezentat în figura constând dintr-un rezistor și un condensator încărcat cu capacitate C se numește circuit RC cu evoluție liberă . Evoluția liberă înseamnă că circuitul nu are surse externe de tensiune sau curent , curentul de circulație se datorează doar mișcării sarcinilor datorate energiei stocate în condensator și alimentată anterior de o sursă externă.

La momentul $t_{0}=0$ ${\ displaystyle t_ {0} = 0}$ $t_ {0} = 0$ tensiunea pe C este $v_{C}(0)=v_{0}$ ${\ displaystyle v_ {C} (0) = v_ {0}}$ $v_ {C} (0) = v_ {0}$ , aceasta este luată ca o condiție inițială.

Aplicând legea tensiunilor lui Kirchhoff , ecuația circuitului este:

\;\;R\cdot i(t)+v_{C}(t)=0

{\ displaystyle \; \; R \ cdot i (t) + v_ {C} (t) = 0}

\; \; R \ cdot i (t) + v_ {C} (t) = 0

unde este $i(t)$ ${\ displaystyle i (t)}$ $aceasta)$ este curentul electric circulant . Relația caracteristică a condensatorului este bine cunoscută:

\;\;i(t)=C\cdot {\frac {dv_{C}(t)}{dt}}

{\ displaystyle \; \; i (t) = C \ cdot {\ frac {dv_ {C} (t)} {dt}}}

\; \; i (t) = C \ cdot {\ frac {dv_ {C} (t)} {dt}}

atunci ecuația circuitului devine o ecuație diferențială omogenă de ordinul întâi :

\;\;RC\cdot {\frac {dv_{C}(t)}{dt}}+v_{C}(t)=0\;\rightarrow \;{\frac {dv_{C}(t)}{dt}}+{\frac {1}{RC}}v_{C}(t)=0

{\ displaystyle \; \; RC \ cdot {\ frac {dv_ {C} (t)} {dt}} + v_ {C} (t) = 0 \; \ rightarrow \; {\ frac {dv_ {C} (t)} {dt}} + {\ frac {1} {RC}} v_ {C} (t) = 0}

\; \; RC \ cdot {\ frac {dv_ {C} (t)} {dt}} + v_ {C} (t) = 0 \; \ rightarrow \; {\ frac {dv_ {C} (t) } {dt}} + {\ frac {1} {RC}} v_ {C} (t) = 0

Din teoria ecuațiilor diferențiale soluția sa este:

\;\;v_{C}(t)=v_{0}\cdot e^{-t/RC}

{\ displaystyle \; \; v_ {C} (t) = v_ {0} \ cdot e ^ {- t / RC}}

\; \; v_ {C} (t) = v_ {0} \ cdot e ^ {- t / RC}

Curentul urmează legea de descărcare a unui condensator:

\;\;i(t)=C\cdot {\frac {dv_{C}(t)}{dt}}=-{\frac {v_{0}}{R}}\cdot e^{-t/RC}

{\ displaystyle \; \; i (t) = C \ cdot {\ frac {dv_ {C} (t)} {dt}} = - {\ frac {v_ {0}} {R}} \ cdot e ^ {-t / RC}}

\; \; i (t) = C \ cdot {\ frac {dv_ {C} (t)} {dt}} = - {\ frac {v_ {0}} {R}} \ cdot e ^ {- t / RC}

La produs $RC=\tau \,[s]$ ${\ displaystyle RC = \ tau \, [s]}$ $RC = \ tau \, [s]$ i se dă numele constantei de timp a circuitului și este o cantitate caracteristică circuitului.

Descărcarea condensatorului

Același subiect în detaliu: Descărcarea unui condensator .

Fizic, cantitatea de încărcare Q conținută în condensator este obținută prin relație $C={\frac {Q}{\Delta V}}$ ${\ displaystyle C = {\ frac {Q} {\ Delta V}}}$ $C = {\ frac {Q} {\ Delta V}}$ . Când comutatorul T este închis, condensatorul descarcă sarcina în interiorul circuitului și se creează un curent electric: acest curent electric este complet disipat în rezistența R în conformitate cu legea de descărcare a unui condensator. Curentul tinde exponențial la zero pentru $t\to \infty$ ${\ displaystyle t \ to \ infty}$ $t \ to \ infty$ . Timpul caracteristic acestei scăderi de curent este determinat precis de constanta de timp: este valoarea momentului pentru care curentul ia valoarea:

i(\tau )={\frac {1}{e}}

{\ displaystyle i (\ tau) = {\ frac {1} {e}}}

i (\ tau) = {\ frac {1} {e}}

Circuit RC cu generator de tensiune constantă

Tendința tensiunii pentru un circuit RC cu generator de tensiune constantă

Să presupunem că generatorul de tensiune $V_{0}$ ${\ displaystyle V_ {0}}$ $V_ {0}$ este constantă în timp, putem scrie ecuația Kirchhoff a tensiunilor:

\quad V_{0}=R\cdot i(t)+v_{C}(t)

{\ displaystyle \ quad V_ {0} = R \ cdot i (t) + v_ {C} (t)}

\ quad V_ {0} = R \ cdot i (t) + v_ {C} (t)

unde este $i(t)$ ${\ displaystyle i (t)}$ $aceasta)$ este curentul electric circulant . Prin substituirea relației caracteristice a condensatorului, expresia anterioară devine o ecuație diferențială neomogenă de ordinul întâi:

\quad V_{0}=RC\cdot {\frac {dv_{C}(t)}{dt}}+v_{C}(t)\;\rightarrow \;{\frac {dv_{C}(t)}{dt}}+{\frac {1}{\tau }}v_{C}(t)={\frac {V_{0}}{\tau }}

{\ displaystyle \ quad V_ {0} = RC \ cdot {\ frac {dv_ {C} (t)} {dt}} + v_ {C} (t) \; \ rightarrow \; {\ frac {dv_ {C } (t)} {dt}} + {\ frac {1} {\ tau}} v_ {C} (t) = {\ frac {V_ {0}} {\ tau}}}

\ quad V_ {0} = RC \ cdot {\ frac {dv_ {C} (t)} {dt}} + v_ {C} (t) \; \ rightarrow \; {\ frac {dv_ {C} (t )} {dt}} + {\ frac {1} {\ tau}} v_ {C} (t) = {\ frac {V_ {0}} {\ tau}}

unde este $\tau =RC$ ${\ displaystyle \ tau = RC}$ $\ tau = RC$ este constanta de timp a circuitului. Din teoria ecuațiilor diferențiale soluția sa este:

\;\;v_{C}(t)=\left(v_{C}(0)-V_{0}\right)\cdot e^{-t/\tau }+V_{0}

{\ displaystyle \; \; v_ {C} (t) = \ left (v_ {C} (0) -V_ {0} \ right) \ cdot e ^ {- t / \ tau} + V_ {0}}

\; \; v_ {C} (t) = \ left (v_ {C} (0) -V_ {0} \ right) \ cdot e ^ {- t / \ tau} + V_ {0}

Curentul urmează legea:

\;\;i(t)=C\cdot {\frac {dv_{C}(t)}{dt}}=-{\frac {v_{C}(0)-V_{0}}{R}}\cdot e^{-t/\tau }

{\ displaystyle \; \; i (t) = C \ cdot {\ frac {dv_ {C} (t)} {dt}} = - {\ frac {v_ {C} (0) -V_ {0}} {R}} \ cdot e ^ {- t / \ tau}}

\; \; i (t) = C \ cdot {\ frac {dv_ {C} (t)} {dt}} = - {\ frac {v_ {C} (0) -V_ {0}} {R} } \ cdot e ^ {- t / \ tau}

Fizic, prezența tensiunii constante a generatorului induce că tensiunea pe C. $v_{C}(t)$ ${\ displaystyle v_ {C} (t)}$ $v_ {C} (t)$ crește exponențial începând de la $v_{C}(t=0)=v_{C}(0)$ ${\ displaystyle v_ {C} (t = 0) = v_ {C} (0)}$ $v_ {C} (t = 0) = v_ {C} (0)$ până când tinde spre valoarea constantă a tensiunii generatorului. Prin urmare $t\to \infty$ ${\ displaystyle t \ to \ infty}$ $t \ to \ infty$ avem asta $v_{C}(t)\to V_{0}$ ${\ displaystyle v_ {C} (t) \ to V_ {0}}$ $v_ {C} (t) \ to V_ {0}$ . În schimb, curentul indus în circuit scade exponențial de la o valoare inițială ${\frac {V_{0}-v_{C}(0)}{R}}$ ${\ displaystyle {\ frac {V_ {0} -v_ {C} (0)} {R}}}$ ${\ frac {V_ {0} -v_ {C} (0)} {R}}$ până la tendința la valoarea i = 0.

Când să tind $t\to \infty$ ${\ displaystyle t \ to \ infty}$ $t \ to \ infty$ tensiunea $v_{C}(t)\to V_{0}=cost$ ${\ displaystyle v_ {C} (t) \ to V_ {0} = cost}$ $v_ {C} (t) \ to V_ {0} = cost$ , condensatorul se comportă ca un circuit deschis . La un regim de tensiune constantă, orice circuit compus dintr-un număr arbitrar de rezistențe și generatoare de tensiune constantă și un condensator poate fi studiat cantitativ folosind această proprietate, adică presupunând că circuitul de la condensator este deschis.

În special, răspunsul circuitului RC la o tensiune constantă este compus din două părți: prima este

\left(v_{C}(0)-V_{0}\right)e^{-t/\tau }

{\ displaystyle \ left (v_ {C} (0) -V_ {0} \ right) și ^ {- t / \ tau}}

\ left (v_ {C} (0) -V_ {0} \ right) și ^ {- t / \ tau}

și se numește răspunsul tranzitoriu sau tranzitoriu al circuitului, al doilea este $V_{0}$ ${\ displaystyle V_ {0}}$ $V_ {0}$ , și se numește un răspuns constant sau constant al circuitului.

Circuit RC cu generator de tensiune constantă în bucăți

Circuit RC cu generator constant de piese

Răspunsul pasului circuitului RC

Același subiect în detaliu: funcția Step .

Răspunsul circuitului RC la pas

Să facem un semnal de pas ca:

u(t)={\begin{cases}0&{\mbox{per }}t<0\\1&{\mbox{per }}t>0\end{cases}}

{\ displaystyle u (t) = {\ begin {cases} 0 & {\ mbox {per}} t <0 \\ 1 & {\ mbox {per}} t> 0 \ end {cases}}}

u (t) = {\ begin {cases} 0 & {\ mbox {per}} t <0 \\ 1 & {\ mbox {per}} t> 0 \ end {cases}}

ca în imagine. Calculul tensiunii în C este dat pentru $t>0$ ${\ displaystyle t> 0}$ $t> 0$ :

v_{C}(t)=V_{0}\left(1-e^{-{\frac {t}{\tau }}}\right)

{\ displaystyle v_ {C} (t) = V_ {0} \ left (1-e ^ {- {\ frac {t} {\ tau}}} \ right)}

v_ {C} (t) = V_ {0} \ left (1-e ^ {- {\ frac {t} {\ tau}}} \ right)

Evident în loc de a $t=0$ ${\ displaystyle t = 0}$ $t = 0$ poți alege oricând $t_{0}$ ${\ displaystyle t_ {0}}$ $t_ {0}$ cu modificările ulterioare:

u(t-t_{0})={\begin{cases}0&{\mbox{per }}t<t_{0}\\1&{\mbox{per }}t>t_{0}\end{cases}}

{\ displaystyle u (t-t_ {0}) = {\ begin {cases} 0 & {\ mbox {per}} t <t_ {0} \\ 1 & {\ mbox {per}} t> t_ {0 } \ end {cases}}}

u (t-t_ {0}) = {\ begin {cases} 0 & {\ mbox {per}} t <t_ {0} \\ 1 & {\ mbox {per}} t> t_ {0} \ end {cazuri}}

Calculul tensiunii în C este dat pentru $t>t_{0}$ ${\ displaystyle t> t_ {0}}$ $t> t_ {0}$ :

v_{C}(t)=V_{0}\left(1-e^{-{\frac {t-t_{0}}{\tau }}}\right)\cdot u(t-t_{0})

{\ displaystyle v_ {C} (t) = V_ {0} \ left (1-e ^ {- {\ frac {t-t_ {0}} {\ tau}}} \ right) \ cdot u (t- t_ {0})}

v_ {C} (t) = V_ {0} \ left (1-e ^ {- {\ frac {t-t_ {0}} {\ tau}}} \ right) \ cdot u (t-t_ {0 })

Din a doua figură se poate observa că tensiunea pe C per $t<t_{0}$ ${\ displaystyle t <t_ {0}}$ $t <t_ {0}$ totuși nu este nimic $t>t_{0}$ ${\ displaystyle t> t_ {0}}$ $t> t_ {0}$ crește exponențial exact ca și cum ar exista un generator constant:

V_{0}=u(t>t_{0})=1\cdot V_{0}\

{\ displaystyle V_ {0} = u (t> t_ {0}) = 1 \ cdot V_ {0} \}

V_ {0} = u (t> t_ {0}) = 1 \ cdot V_ {0} \

Figura arată valoarea $u(t-t_{0})$ ${\ displaystyle u (t-t_ {0})}$ $u (t-t_ {0})$ întrucât este imediat că pasul poate fi aplicat oricărui $V_{0}$ ${\ displaystyle V_ {0}}$ $V_ {0}$ .

Răspunsul circuitului RC la unda pătrată

Același subiect în detaliu: Unda pătrată .

Răspunsul circuitului RC la unda pătrată

Prin aplicarea unui semnal de pas periodic, se obține o undă pătrată :

rect(t)=V_{0}[u(t_{i})-u(t_{j})]\

{\ displaystyle rect (t) = V_ {0} [u (t_ {i}) - u (t_ {j})] \}

rect (t) = V_ {0} [u (t_ {i}) - u (t_ {j})] \

unde este $t_{i},t_{j}$ ${\ displaystyle t_ {i}, t_ {j}}$ $t_ {i}, t_ {j}$ sunt instanțele succesive echidistante în timp. Răspunsul circuitului RC este:

v_{C}(t)=V_{0}\left(1-e^{-{\frac {t}{\tau }}}\right)

{\ displaystyle v_ {C} (t) = V_ {0} \ left (1-e ^ {- {\ frac {t} {\ tau}}} \ right)}

v_ {C} (t) = V_ {0} \ left (1-e ^ {- {\ frac {t} {\ tau}}} \ right)

dar trebuie să distingem cazurile în care $t<t_{0}$ ${\ displaystyle t <t_ {0}}$ $t <t_ {0}$ Și $t>t_{0}$ ${\ displaystyle t> t_ {0}}$ $t> t_ {0}$ , adică este necesar să se facă distincția între când durata impulsului $(t-t_{0})$ ${\ displaystyle (t-t_ {0})}$ $(t-t_ {0})$ este suficient de lung pentru a permite condensatorului să se încarce aproape total și atunci când nu. În practică, deoarece constanta de timp determină toate caracteristicile circuitului, este necesar să se verifice dacă $\tau <<t_{0}$ ${\ displaystyle \ tau << t_ {0}}$ $\ tau << t_ {0}$ sau $\tau >>t_{0}$ ${\ displaystyle \ tau >> t_ {0}}$ $\ tau >> t_ {0}$ , ca în figura din lateral.

Răspunsul în frecvență al circuitului RC

Același subiect în detaliu: Răspunsul în frecvență .

Circuit RC cu generator de unde sinusoidale

Z, R, Xc

V, Vr, Vc

Să vedem cum se comportă circuitul RC prin aplicarea unui generator de unde sinusoidale. În acest caz, putem aplica legea tensiunilor lui Kirchhoff pentru circuit:

V_{0}\cos(\omega t)=R\cdot i(t)+v_{C}(t)

{\ displaystyle V_ {0} \ cos (\ omega t) = R \ cdot i (t) + v_ {C} (t)}

{\ displaystyle V_ {0} \ cos (\ omega t) = R \ cdot i (t) + v_ {C} (t)}

cu același raționament făcut la început putem rescrie ecuația ca:

V_{0}\cos(\omega t)=RC{\frac {dv_{C}(t)}{dt}}+v_{C}(t)

{\ displaystyle V_ {0} \ cos (\ omega t) = RC {\ frac {dv_ {C} (t)} {dt}} + v_ {C} (t)}

{\ displaystyle V_ {0} \ cos (\ omega t) = RC {\ frac {dv_ {C} (t)} {dt}} + v_ {C} (t)}

și apoi rezolvați ecuația diferențială cu coeficienți constanți cu un termen cunoscut:

{\frac {dv_{C}(t)}{dt}}+{\frac {1}{\tau }}v_{C}(t)={\frac {V_{0}\cos(\omega t)}{\tau }}

{\ displaystyle {\ frac {dv_ {C} (t)} {dt}} + {\ frac {1} {\ tau}} v_ {C} (t) = {\ frac {V_ {0} \ cos ( \ omega t)} {\ tau}}}

{\ displaystyle {\ frac {dv_ {C} (t)} {dt}} + {\ frac {1} {\ tau}} v_ {C} (t) = {\ frac {V_ {0} \ cos ( \ omega t)} {\ tau}}}

in care $\tau =RC$ ${\ displaystyle \ tau = RC}$ $\ tau = RC$ este încă constanta de timp a circuitului. Soluția generală este dată de suma soluției omogenului asociat:

v_{C}(t)=v_{C}(0)e^{-{\frac {t}{\tau }}}

{\ displaystyle v_ {C} (t) = v_ {C} (0) și ^ {- {\ frac {t} {\ tau}}}}

v_ {C} (t) = v_ {C} (0) și ^ {- {\ frac {t} {\ tau}}}

și o soluție specială:

K\cos(\omega t+\theta )\

{\ displaystyle K \ cos (\ omega t + \ theta) \}

{\ displaystyle K \ cos (\ omega t + \ theta) \}

unde K este o constantă. Asa de:

v_{C}(t)=v_{C}(0)e^{-{\frac {t}{\tau }}}+K\cos(\omega t+\theta )

{\ displaystyle v_ {C} (t) = v_ {C} (0) e ^ {- {\ frac {t} {\ tau}}} + K \ cos (\ omega t + \ theta)}

{\ displaystyle v_ {C} (t) = v_ {C} (0) e ^ {- {\ frac {t} {\ tau}}} + K \ cos (\ omega t + \ theta)}

De asemenea, în acest caz avem un răspuns tranzitoriu dat de exponențial, care prevalează inițial asupra răspunsului permanent dat de un alt sinusoid. Prin urmare, pe durata perioadei de tranziție, tensiunea de la capetele lui C prevalează exponențial și, prin urmare, deviază de la tensiunea de intrare sinusoidală, după faza tranzitorie, tensiunea revine la o sinusoidă cu o pulsație egală a tensiunii de intrare. Analiza acestui circuit se poate face și prin metoda simbolică folosind fazorii și transformata Fourier ^[3] , înlocuind mărimile sinusoidale cu fazorii lor corespunzători: rezultatele sunt identice, deoarece legea simbolică a lui Ohm se aplică și regimurilor sinusoidale. . Alternativ, poate fi utilizată metoda operatorului mai generală a transformatei Laplace .

Metoda simbolică pentru răspunsul în frecvență

Folosind metoda simbolică :

j\omega \mathbf {V} _{C}+{\frac {1}{\tau }}\mathbf {V} _{C}={\frac {1}{\tau }}V_{0}

{\ displaystyle j \ omega \ mathbf {V} _ {C} + {\ frac {1} {\ tau}} \ mathbf {V} _ {C} = {\ frac {1} {\ tau}} V_ { 0}}

j \ omega \ mathbf {V} _ {C} + {\ frac {1} {\ tau}} \ mathbf {V} _ {C} = {\ frac {1} {\ tau}} V_ {0}

din care se obține imediat tensiunea de ieșire pe condensator :

\mathbf {V} _{C}={\frac {V_{0}}{1+j\omega \tau }}

{\ displaystyle \ mathbf {V} _ {C} = {\ frac {V_ {0}} {1 + j \ omega \ tau}}}

\ mathbf {V} _ {C} = {\ frac {V_ {0}} {1 + j \ omega \ tau}}

Deoarece aceasta este în general o cantitate complexă, variază în modul și argument:

|\mathbf {V} _{C}|={\frac {V_{0}}{\sqrt {1+\omega ^{2}\tau ^{2}}}}

{\ displaystyle | \ mathbf {V} _ {C} | = {\ frac {V_ {0}} {\ sqrt {1+ \ omega ^ {2} \ tau ^ {2}}}}}

| \ mathbf {V} _ {C} | = {\ frac {V_ {0}} {\ sqrt {1+ \ omega ^ {2} \ tau ^ {2}}}}

arg\mathbf {V} _{C}=0-\arctan(\omega \tau )

{\ displaystyle arg \ mathbf {V} _ {C} = 0- \ arctan (\ omega \ tau)}

arg \ mathbf {V} _ {C} = 0- \ arctan (\ omega \ tau)

Pentru a reveni la analiză în timp, trebuie să înlocuim modulul și subiectul:

v_{C}(t)=|\mathbf {V} _{C}|\cdot arg\mathbf {V} _{C}={\frac {V_{0}}{\sqrt {1+\omega ^{2}\tau ^{2}}}}\sin(\omega t-\arctan(\omega \tau ))

{\ displaystyle v_ {C} (t) = | \ mathbf {V} _ {C} | \ cdot arg \ mathbf {V} _ {C} = {\ frac {V_ {0}} {\ sqrt {1+ \ omega ^ {2} \ tau ^ {2}}}} \ sin (\ omega t- \ arctan (\ omega \ tau))}

v_ {C} (t) = | \ mathbf {V} _ {C} | \ cdot arg \ mathbf {V} _ {C} = {\ frac {V_ {0}} {\ sqrt {1+ \ omega ^ {2} \ tau ^ {2}}}} \ sin (\ omega t- \ arctan (\ omega \ tau))

Din aceasta obținem celelalte informații despre circuit:

i(t)=C\cdot {\frac {v_{C}(t)}{dt}}=-{\frac {\omega CV_{0}}{\sqrt {1+\omega ^{2}\tau ^{2}}}}\sin(\omega t-\arctan(\omega \tau ))

{\ displaystyle i (t) = C \ cdot {\ frac {v_ {C} (t)} {dt}} = - {\ frac {\ omega CV_ {0}} {\ sqrt {1+ \ omega ^ { 2} \ tau ^ {2}}}} \ sin (\ omega t- \ arctan (\ omega \ tau))}

i (t) = C \ cdot {\ frac {v_ {C} (t)} {dt}} = - {\ frac {\ omega CV_ {0}} {\ sqrt {1+ \ omega ^ {2} \ tau ^ {2}}}} \ sin (\ omega t- \ arctan (\ omega \ tau))

v_{R}(t)=R\cdot i(t)=-{\frac {\omega RCV_{0}}{\sqrt {1+\omega ^{2}\tau ^{2}}}}\sin(\omega t-\arctan(\omega \tau ))

{\ displaystyle v_ {R} (t) = R \ cdot i (t) = - {\ frac {\ omega RCV_ {0}} {\ sqrt {1+ \ omega ^ {2} \ tau ^ {2}} }} \ sin (\ omega t- \ arctan (\ omega \ tau))}

v_ {R} (t) = R \ cdot i (t) = - {\ frac {\ omega RCV_ {0}} {\ sqrt {1+ \ omega ^ {2} \ tau ^ {2}}}} \ sin (\ omega t- \ arctan (\ omega \ tau))

Se poate observa că legătura dintre tensiunea de ieșire și tensiunea de intrare este de tipul:

\mathbf {V} _{u}=\mathbf {H} (j\omega )\cdot \mathbf {V} _{i}

{\ displaystyle \ mathbf {V} _ {u} = \ mathbf {H} (j \ omega) \ cdot \ mathbf {V} _ {i}}

\ mathbf {V} _ {u} = \ mathbf {H} (j \ omega) \ cdot \ mathbf {V} _ {i}

în general $\mathbf {H}$ ${\ displaystyle \ mathbf {H}}$ $\ mathbf {H}$ se numește funcție de rețea sau funcție de transfer și este întotdeauna o funcție reală a unei variabile complexe $j\omega$ ${\ displaystyle j \ omega}$ $j \ omega$ . Funcția de rețea singură face posibilă recunoașterea prin intermediul modulului $\mathbf {H}$ ${\ displaystyle \ mathbf {H}}$ $\ mathbf {H}$ și faza acestuia, răspunsul circuitului în regim sinusoidal (sau periodic în general dacă se utilizează metoda operatorului ). În circuitul RC în cauză, modulul și comportamentul de fază al funcției de rețea sunt prezentate în figură. Valoarea pentru care:

|\mathbf {H} |={\frac {1}{\sqrt {2}}}={\frac {1}{\sqrt {1+\omega ^{2}\tau ^{2}}}}

{\ displaystyle | \ mathbf {H} | = {\ frac {1} {\ sqrt {2}}} = {\ frac {1} {\ sqrt {1+ \ omega ^ {2} \ tau ^ {2} }}}}

| \ mathbf {H} | = {\ frac {1} {\ sqrt {2}}} = {\ frac {1} {\ sqrt {1+ \ omega ^ {2} \ tau ^ {2}}}}

acesta este:

\omega _{t}={\frac {1}{\tau }}

{\ displaystyle \ omega _ {t} = {\ frac {1} {\ tau}}}

\ omega _ {t} = {\ frac {1} {\ tau}}

se numește pulsație de întrerupere (uneori numită și frecvență de întrerupere într-un mod necorespunzător, dar intuitiv de atunci $\omega =2\pi f$ ${\ displaystyle \ omega = 2 \ pi f}$ $\ omega = 2 \ pi f$ ) a circuitului: din care pot fi deduse proprietățile de filtrare ale circuitului. De fapt pentru $\omega =\omega _{t}$ ${\ displaystyle \ omega = \ omega _ {t}}$ $\ omega = \ omega _ {t}$ forma și subiectul $\mathbf {H}$ ${\ displaystyle \ mathbf {H}}$ $\ mathbf {H}$ Sunt:

|\mathbf {H} |={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\mbox{ e }}arg\mathbf {H} =-45

{\ displaystyle | \ mathbf {H} | = {\ frac {1} {\ sqrt {2}}} {\ mbox {e}} arg \ mathbf {H} = -45}

| \ mathbf {H} | = {\ frac {1} {\ sqrt {2}}} {\ mbox {e}} arg \ mathbf {H} = -45

sub această frecvență adică pentru $\omega <\omega _{t}$ ${\ displaystyle \ omega <\ omega _ {t}}$ $\ omega <\ omega _ {t}$ :

|\mathbf {H} |\approx 1{\mbox{ e }}arg\mathbf {H} \approx 0

{\ displaystyle | \ mathbf {H} | \ approx 1 {\ mbox {e}} arg \ mathbf {H} \ approx 0}

| \ mathbf {H} | \ approx 1 {\ mbox {e}} arg \ mathbf {H} \ approx 0

acest lucru indică faptul că răspunsul este aproape perfect identic cu intrarea fără schimbare de fază și variație de amplitudine. În timp ce pentru $\omega \to \infty$ ${\ displaystyle \ omega \ to \ infty}$ $\ omega \ to \ infty$ , adică pentru toate celelalte frecvențe peste frecvența de tăiere:

|\mathbf {H} |\approx 0{\mbox{ e }}arg\mathbf {H} \approx -90

{\ displaystyle | \ mathbf {H} | \ approx 0 {\ mbox {e}} arg \ mathbf {H} \ approx -90}

| \ mathbf {H} | \ approx 0 {\ mbox {e}} arg \ mathbf {H} \ approx -90

prin urmare, semnalul de ieșire este practic redus la zero cu deplasarea maximă de fază. Din acest motiv, circuitul RC este un filtru trece jos .

Metoda operativă pentru răspunsul în frecvență ^[3]

Folosind metoda operatorului cu transformata Laplace în circuitul de serie (generator de tensiune, rezistență, capacitate) obținem transformarea ecuațiilor diferențiale (și integrale) în ecuații algebrice. Luând ieșirea în paralel cu condensatorul:

${R\rightarrow R}$ ${\ displaystyle {R \ rightarrow R}}$ ${R \ rightarrow R}$ Și ${C\rightarrow {1 \over sC}}$ ${\ displaystyle {C \ rightarrow {1 \ over sC}}}$ ${C \ rightarrow {1 \ over sC}}$

Acum circuitul este rezolvat ca un divizor de tensiune normal, pentru a obține tensiunea pe condensator:

$V_{c}(s)={{1 \over sC} \over {R+{1 \over sC}}}V_{0}(s)\rightarrow V_{c}(s)={1 \over {1+sRC}}V_{0}(s)={{1 \over RC} \over {s+{1 \over RC}}}V_{0}(s)$ ${\ displaystyle V_ {c} (s) = {{1 \ over sC} \ over {R + {1 \ over sC}}} V_ {0} (s) \ rightarrow V_ {c} (s) = {1 \ over {1 + sRC}} V_ {0} (s) = {{1 \ over RC} \ over {s + {1 \ over RC}}} V_ {0} (s)}$ $V_ {c} (s) = {{1 \ over sC} \ over {R + {1 \ over sC}}} V_ {0} (s) \ rightarrow V_ {c} (s) = {1 \ over { 1 + sRC}} V_ {0} (s) = {{1 \ peste RC} \ peste {s + {1 \ peste RC}}} V_ {0} (s)$

Pentru a obține funcția de transfer $H(s)=V_{uscita}/V_{ingresso}$ ${\ displaystyle H (s) = V_ {output} / V_ {input}}$ $H (s) = V_ {output} / V_ {input}$ doar împărțiți ecuația la $V_{0}(s)$ ${\ displaystyle V_ {0} (s)}$ $V _ {{0}} (e)$ :

$H(s)={V_{c}(s) \over V_{0}(s)}={{1 \over RC} \over {s+{1 \over RC}}}={1 \over sRC+1}$ ${\ displaystyle H (s) = {V_ {c} (s) \ over V_ {0} (s)} = {{1 \ over RC} \ over {s + {1 \ over RC}}} = {1 \ over sRC + 1}}$ ${\ displaystyle H (s) = {V_ {c} (s) \ over V_ {0} (s)} = {{1 \ over RC} \ over {s + {1 \ over RC}}} = {1 \ over sRC + 1}}$

analog metodei obținute cu fazori.

Notă

^ Giuliano Donzellini, Luca Oneto și Domenico Ponta, Introducere în proiectul sistemelor digitale , 2018, DOI : 10.1007 / 978-88-470-3963-6 . Adus la 22 iunie 2021 .
^ Horowitz, Paul Hayes, Thomas C., The art of electronic , Cambridge Univ. Press, 2001, ISBN 0-521-37095-7 ,OCLC 938708695 . Adus la 22 iunie 2021 .
^ ^a ^b Cicogna, Giampaolo, Mathematical Methods of Physics , Springer, 2015, ISBN 978-88-470-5684-8 ,OCLC 1194520151 . Adus la 22 iunie 2021 .

Bibliografie

Paolo Mazzoldi, Massimo Nigro, Cesare Voci, Physics (Volumul II) , EdiSES Editore, 2001, ISBN 88-7959-152-5 .
Carte de Paul Horowitz și Winfield Hill, Arta electronicii , 1980, ISBN 0-521-37095-7 .

Elemente conexe

Alte proiecte

Wikimedia Commons conține imagini sau alte fișiere pe circuitul RC

Controlul autorității	Thesaurus BNCF 25503 · LCCN (EN) sh85041697

Portal electronic

Portalul de fizică

[1] Giuliano Donzellini, Luca Oneto și Domenico Ponta, Introducere în proiectul sistemelor digitale , 2018, DOI : 10.1007 / 978-88-470-3963-6 . Adus la 22 iunie 2021 .

[2] Horowitz, Paul Hayes, Thomas C., The art of electronic , Cambridge Univ. Press, 2001, ISBN 0-521-37095-7 ,OCLC 938708695 . Adus la 22 iunie 2021 .

[:0-3] Cicogna, Giampaolo, Mathematical Methods of Physics , Springer, 2015, ISBN 978-88-470-5684-8 ,OCLC 1194520151 . Adus la 22 iunie 2021 .

[1]

[2]

[3]

Circuit RC

Circuit RC cu evoluție gratuită

Descărcarea condensatorului

Circuit RC cu generator de tensiune constantă

Circuit RC cu generator de tensiune constantă în bucăți

Răspunsul pasului circuitului RC

Răspunsul circuitului RC la unda pătrată

Răspunsul în frecvență al circuitului RC

Metoda simbolică pentru răspunsul în frecvență

Metoda operativă pentru răspunsul în frecvență [3]

Notă

Bibliografie

Elemente conexe

Alte proiecte

Metoda operativă pentru răspunsul în frecvență ^[3]