Circuitul RLC

De la Wikipedia, enciclopedia liberă.
Salt la navigare Salt la căutare

Circuit Un RLC este un circuit electric care conține numai rezistențe , inductoare și condensatori . Prin extensie, un RLC este denumit adesea un circuit care conține doar elemente pasive. Numele de derivă de circuit din simbolurile cantităților fizice care caracterizează elementele pasive, respectiv rezistență electrică , inductanță și capacitate electrică .

Circuite RLC sunt liniare dinamice sisteme . Circuit Un RLC constituie un oscilator armonic pentru curentul electric și intră în rezonanță , urmând aceleași legi fizice ale circuitului LC. Diferența față de acesta din urmă este prezența rezistorului, care amortizează oscilațiile induse în circuit dacă nu sunt susținute de o sursă.

RLC în serie și în paralel

Figurile din dreapta arată circuitele RLC în serie și paralel.

RLC în serie

Circuit RLC în serie cu generator constant.

Luați în considerare circuitul RLC serie în figură, aplicând legea lui Kirchhoff de tensiuni obținem:

și, înlocuind relațiile constitutive ale elementelor:

Ținând cont de asta ca generator de tensiune constantă , derivând o dată cu privire la și împărțind la inductanță , putem rescrie ecuația în formă diferențială:

Prin urmare, prezența unui generator constant nu afectează ecuațiile: soluția ecuației diferențiale este aceeași cu cea fără generator, ca și cum ar fi în evoluție liberă. Apoi sunt definiți doi parametri:

O amortizare constantă și:

numita rezonanta pulsație.

RLC în paralel

Circuitul RLC în paralel cu generatorul constant.

Având în vedere circuitul RLC paralel în figură, cu generator de curent constant, aplicând legea lui Kirchhoff a curenților obținem:

Înlocuind relațiile constitutive ale elementelor:

Derivând o dată cu privire la și împărțind la capacitate , putem rescrie ecuația în formă diferențială:

Prezența unui generator de curent constant nu afectează ecuațiile: soluția ecuației diferențiale este aceeași cu cea fără generatorul în sine, ca și cum ar fi în evoluție liberă. Cei doi parametri sunt definiți:

O amortizare constantă (rețineți că este diferită de cea a circuitului de serie) și:

a declarat rezonanta pulsații , care coincide cu cea obținută pentru RLC serie.

Soluția ecuației

Ambele ecuații care guvernează seria și circuitul RLC paralel sunt de forma:

unde este este diferit de la circuitul de serie la circuitul paralel, în timp ce este la fel pentru ambele circuite. Cele două circuite sunt duale. Substituind ecuația caracteristică a expresiei anterioare, obținem o ecuație în variabila s:

Rădăcinile acestei ecuații sunt numite frecvențe naturale:

iar soluția ecuației diferențiale este sub formă de combinații de exponențiale reale sau complexe, după caz:

Amortizare puternică

În acest caz, circuitul se spune că regimul aperiodic (puternic amortizată), fiind (constanta de amortizare mai mare decât pulsația rezonantă) și cele două rădăcini sunt reale și distincte, soluția ia forma:

unde este sunt două constante care trebuie rezolvate prin impunerea condițiilor inițiale. Soluția este o combinație de două exponențiale reale cu constante de timp Și . Din graficul soluției vedem că răspunsul nu oscilează deoarece predomină termenul exponențial și, prin urmare, răspunsul este anulat rapid. Dupa cum răspunsul este dominat de primul exponențial. Impunând condițiile inițiale:

constantele sunt obținute prin rezolvarea acestui sistem:

Amortizare critică

În acest caz, circuitul se spune că amortizarea critică, fiind (constanta de amortizare este egală cu pulsația de rezonanță), iar cele două rădăcini sunt reale și coincidente , soluția ia forma:

unde este acestea trebuie determinate prin impunerea condițiilor inițiale. Soluția are un exponențial real, iar graficul de răspuns are un maxim pentru după care tinde spre zero. Impunând condițiile inițiale:

constantele sunt obținute prin rezolvarea acestui sistem:

Amortizare slabă

În acest caz, circuitul se spune că neamortizat (slab amortizată), fiind (constanta minoră de amortizare a pulsației rezonante), iar rădăcinile sunt complexe și conjugate:

cu unitate imaginară . Definire:

soluția ia forma:

unde este acestea trebuie determinate prin impunerea condițiilor inițiale. Alegând:

soluția poate fi pusă sub forma:

Soluția este o combinație de două exponențiale reale egale și oscilația răspunsului este modulată de valoarea acestor exponențiale cu constante de timp egale . Impunând condițiile inițiale:

constantele sunt obținute prin rezolvarea acestui sistem:

Amortizare zero

În acest caz , circuitul este fără amortizare fiind (constanta de amortizare nulă), rădăcinile sunt imaginare pure: iar soluția ia forma:

unde este sau acestea trebuie determinate prin impunerea condițiilor inițiale. În circuitul de serie inseamna iar în cel paralel , în ambele cazuri soluția este un sinusoid care nu se stinge niciodată. De asemenea, în acest caz, constantele sunt:

Considerații

Circuit RLC în serie cu generator constant

În ceea ce privește soluțiile circuitului RLC în serie, soluția permite de a găsi valoarea în funcție de cazurile . Odată ce această valoare a fost găsită, putem obține celelalte cantități:

cu constant. Rețineți că în acest caz pentru se dovedește , Și adică se comportă inductor ca un scurt circuit și condensator ca un circuit deschis .

Circuitul RLC în paralel cu generatorul constant

În cazul circuitului RLC în paralel, soluția permite obținerea, în funcție de cazuri, . Odată ce această valoare a fost găsită, putem obține celelalte cantități:

RLC în regim sinusoidal

Pictogramă lupă mgx2.svg Același subiect în detaliu: circuitul rezonant .

Circuitul RLC în serie și în paralel este simplificată în cazul în care se studiază în regim sinusoidal, pentru care metoda simbolică este utilizată.

Seria RLC în regim sinusoidal

Luăm ca referință figura RLC în serie și, așa cum este cerut de metoda simbolică, înlocuim elementele cu relațiile lor de fazor respective:

cu întotdeauna unitate imaginară. Prin urmare , putem calcula impedanța circuitului:

în această formă avem rezistență și o reactanță . Vedem atunci că reactanța este anulată pentru:

pentru pulsație numita rezonanta pulsație . Admiterea pentru această pulsație

acesta are un modul care are un vârf și , prin urmare , are un modul maxim: prin urmare , avem fenomenul de rezonanță .

RLC paralel în regim sinusoidal

Luăm ca referință figura RLC în paralel și, după cum cere metoda simbolică, înlocuim elementele cu relațiile lor respective, ținând cont de generatorul :

Este convenabil , în acest caz , pentru a calcula admiterea :

în această formă , avem o conductanță și o sensibilitate . Vedem atunci că susceptibilitatea dispare din cauza:

pentru frecvență a spus frecvența de rezonanță . Impedanța pentru această frecvență

acesta are un modul care are un vârf și , prin urmare , are un modul maxim: prin urmare , avem fenomenul de rezonanță .

Exemplu de analiză a unui circuit RLC ca un sistem dinamic liniar staționar prin transformata Laplace

RLC exemplu2.png

În cazul circuitului RLC prezentat în figură, vectorul de stare acesta este format din curentul care trece prin inductor inductanță și tensiune peste condensator condensator , unde intrarea este tensiunea generatorului , în timp ce vectorul ieșirilor este dat, de exemplu, de curenții care trec prin rezistență rezistor și rezistență de rezistență . Aplicând ecuațiile constitutive ale bipolilor precum și ecuațiile topologice sau legile lui Kirchhoff avem:

Prin urmare, înlocuind ultima relație din cele anterioare și plasând

Definire , , Și ca matrici de dimensiuni adecvate , carepremultiply starea și intrările , vom avea:

În cazul nostru, avem:

De exemplu, să presupunem că doriți să determinați tendința de a doua stare variabilă pornind de la o anumită clipă , presupunând că valoarea inițială a acesteia a fost zero și tendința intrării coincide cu un impuls Dirac centrat în . În domeniul Laplace, de intrare , prin urmare , are o valoare identică unitar, asa ca vom avea:

Prin urmare:

Anti-transformarea pentru a trece la domeniul timp :

Unde este:

Oscilator ideal

Pictogramă lupă mgx2.svg Același subiect în detaliu: sistem dinamic .

Presupune : aceasta înseamnă neglijarea pierderilor de energie din circuit, adică imaginarea că cantitatea de energie furnizată inițial circuitului nu se disipează în timp. Acest lucru ne conduce pentru a scrie, trecând la domeniul Laplace :

.

Este ușor de observat că funcția de transfer are o pereche de complex conjugat poli (pol al unei funcții complexe este punctul în care numitorul dispare), care dețin

Acest punct reprezintă rezonantă pulsația oscilator. Aceasta înseamnă că la acel impuls și la frecvența acestuia circuitul este capabil de auto-hrănire: dacă generatorul este oprit, energia acumulată în condensator și în inductor continuă să circule în circuit, generând o oscilație aproape perfect sinusoidală caracterizată prin frecvența .

Elemente conexe

Alte proiecte

linkuri externe

Controlul autorității GND (DE) 4166982-4