Circuite RLC sunt liniaredinamicesisteme . Circuit Un RLC constituie un oscilator armonic pentru curentul electric și intră în rezonanță , urmând aceleași legi fizice ale circuitului LC. Diferența față de acesta din urmă este prezența rezistorului, care amortizează oscilațiile induse în circuit dacă nu sunt susținute de o sursă.
și, înlocuind relațiile constitutive ale elementelor:
{\ displaystyle Ri (t) + L \ cdot {\ frac {di (t)} {dt}} + {\ frac {1} {C}} \ int _ {0} ^ {t} i (t) \ , dt = e (t).}
Ținând cont de asta ca generator de tensiune constantă {\ displaystyle e (t) = e_ {0}} , derivând o dată cu privire la {\ displaystyle t} și împărțind la inductanță {\ displaystyle L} , putem rescrie ecuația în formă diferențială:
Prin urmare, prezența unui generator constant nu afectează ecuațiile: soluția ecuației diferențiale este aceeași cu cea fără generator, ca și cum ar fi în evoluție liberă. Apoi sunt definiți doi parametri:
Prezența unui generator de curent constant nu afectează ecuațiile: soluția ecuației diferențiale este aceeași cu cea fără generatorul în sine, ca și cum ar fi în evoluție liberă. Cei doi parametri sunt definiți:
{\ displaystyle \ alpha = {\ frac {1} {2RC}}}
O amortizare constantă (rețineți că este diferită de cea a circuitului de serie) și:
unde este {\ displaystyle \ alpha} este diferit de la circuitul de serie la circuitul paralel, în timp ce {\ displaystyle \ omega _ {0}} este la fel pentru ambele circuite. Cele două circuite sunt duale. Substituind ecuația caracteristică a expresiei anterioare, obținem o ecuație în variabila s:
{\ displaystyle s ^ {2} +2 \ alpha s + \ omega _ {0} ^ {2} = 0}
Rădăcinile acestei ecuații sunt numite frecvențe naturale:
iar soluția ecuației diferențiale este sub formă de combinații de exponențiale reale sau complexe, după caz:
Amortizare puternică
În acest caz, circuitul se spune că regimul aperiodic (puternic amortizată), fiind {\ displaystyle \ alpha> \ omega _ {0}} (constanta de amortizare mai mare decât pulsația rezonantă) și cele două rădăcini sunt reale și distincte, soluția ia forma:
{\ displaystyle x (t) = A_ {1} \ cdot e ^ {s_ {1} t} + A_ {2} \ cdot e ^ {s_ {2} t}}
unde este{\ displaystyle A_ {1}, \, A_ {2}} sunt două constante care trebuie rezolvate prin impunerea condițiilor inițiale. Soluția este o combinație de două exponențiale reale cu constante de timp {\ displaystyle \ tau _ {1} = - 1 / s_ {1}} Și {\ displaystyle \ tau _ {2} = - 1 / s_ {2}} . Din graficul soluției vedem că răspunsul {\ displaystyle x (t)} nu oscilează deoarece predomină termenul exponențial și, prin urmare, răspunsul este anulat rapid. Dupa cum {\ displaystyle \ alpha} răspunsul este dominat de primul exponențial. Impunând condițiile inițiale:
În acest caz, circuitul se spune că amortizarea critică, fiind {\ displaystyle \ alpha = \ omega _ {0}} (constanta de amortizare este egală cu pulsația de rezonanță), iar cele două rădăcini sunt reale și coincidente {\ displaystyle s_ {1} = s_ {2} = - \ alpha = - \ omega _ {0}} , soluția ia forma:
{\ displaystyle x (t) = (A_ {1} \ cdot t + A_ {2}) \ cdot e ^ {- \ alpha t}}
unde este{\ displaystyle A_ {1}, \, A_ {2}} acestea trebuie determinate prin impunerea condițiilor inițiale. Soluția are un exponențial real, iar graficul de răspuns are un maxim pentru {\ displaystyle t = 1 / \ alpha -A_ {2} / A_ {1}} după care tinde spre zero. Impunând condițiile inițiale:
În acest caz, circuitul se spune că neamortizat (slab amortizată), fiind {\ displaystyle \ alpha <\ omega _ {0}} (constanta minoră de amortizare a pulsației rezonante), iar rădăcinile sunt complexe și conjugate:
{\ displaystyle A_ {1} = A \ cos \ phi \, \, \, \, A_ {2} = - A \ sin \ phi}
soluția poate fi pusă sub forma:
{\ displaystyle x (t) = Ae ^ {- \ alpha t} \ cos \ (\ beta t + \ phi)}
Soluția este o combinație de două exponențiale reale egale și oscilația răspunsului este modulată de valoarea acestor exponențiale {\ displaystyle \ pm Ae ^ {- \ alpha t}} cu constante de timp egale {\ displaystyle \ tau = 1 / \ alpha} . Impunând condițiile inițiale:
În acest caz , circuitul este fără amortizare fiind {\ displaystyle \ alpha = 0} (constanta de amortizare nulă), rădăcinile sunt imaginare pure: {\ displaystyle s_ {1} = s_ {2} = \ pm i \ omega _ {0}} iar soluția ia forma:
{\ displaystyle x (t) = A_ {1} \ cos \ omega _ {0} t + A_ {2} \ sin \ omega _ {0} t = A \ cos (\ omega _ {0} t + \ phi )}}
unde este{\ displaystyle A_ {1}, \, A_ {2}} sau {\ displaystyle A} acestea trebuie determinate prin impunerea condițiilor inițiale. În circuitul de serie {\ displaystyle \ alpha = 0} inseamna {\ displaystyle R = 0} iar în cel paralel {\ displaystyle R = \ infty} , în ambele cazuri soluția este un sinusoid care nu se stinge niciodată. De asemenea, în acest caz, constantele sunt:
În ceea ce privește soluțiile circuitului RLC în serie, soluția permite de a găsi valoarea în funcție de cazurile {\ displaystyle i (t)} . Odată ce această valoare a fost găsită, putem obține celelalte cantități:
{\ displaystyle v_ {R} (t) = R \ cdot i (t)}
{\ displaystyle v_ {L} (t) = L \ cdot {\ frac {\ mathrm {d} i (t)} {\ mathrm {d} t}}}
cu {\ displaystyle e = v_ {R} (t) + v_ {L} (t) + v_ {C} (t)} constant. Rețineți că în acest caz pentru {\ displaystyle t \ to \ infty} se dovedește{\ displaystyle v_ {R} (t) \ to 0} ,{\ displaystyle v_ {L} (t) \ to 0} Și {\ displaystyle v_ {C} (t) = e} adică se comportă inductor ca un scurt circuit și condensator ca un circuit deschis{\ displaystyle v_ {C} = e} .
Circuitul RLC în paralel cu generatorul constant
În cazul circuitului RLC în paralel, soluția permite obținerea, în funcție de cazuri, {\ displaystyle v (t)} . Odată ce această valoare a fost găsită, putem obține celelalte cantități:
cu {\ displaystyle j} întotdeauna unitate imaginară. Prin urmare , putem calcula impedanța circuitului:
{\ displaystyle \ mathbf {Z} (j \ omega) = R + j \ omega L + {\ frac {1} {j \ omega C}} = R + j \ left (\ omega L - {\ frac {1 } {\ omega C}} \ right)}
în această formă avem rezistență{\ displaystyle R} și o reactanță{\ displaystyle X = \ omega L - {\ frac {1} {\ omega C}}} . Vedem atunci că reactanța este anulată pentru:
acesta are un modul care are un vârf și , prin urmare , are un modul maxim: prin urmare , avem fenomenul de rezonanță .
RLC paralel în regim sinusoidal
Luăm ca referință figura RLC în paralel și, după cum cere metoda simbolică, înlocuim elementele cu relațiile lor respective, ținând cont de generatorul {\ displaystyle i (t) \ Rightarrow \ mathbf {I} _ {s}} :
în această formă , avem o conductanță{\ displaystyle G = {\ frac {1} {R}}} și o sensibilitate{\ displaystyle B = \ omega C - {\ frac {1} {\ omega L}}} . Vedem atunci că susceptibilitatea dispare din cauza:
În cazul circuitului RLC prezentat în figură, vectorul de stare{\ displaystyle {\ vec {x}} (t)} acesta este format din curentul{\ displaystyle x_ {1}} care trece prin inductor inductanță{\ displaystyle L} și tensiune{\ displaystyle x_ {2}} peste condensator condensator{\ displaystyle C_ {1}} , unde intrarea{\ displaystyle {\ vec {u}} (t)} este tensiunea generatorului , în timp ce vectorul ieșirilor{\ displaystyle {\ vec {y}} (t)} este dat, de exemplu, de curenții care trec prin rezistență rezistor {\ displaystyle R_ {1}} și rezistență de rezistență {\ displaystyle R_ {2}} . Aplicând ecuațiile constitutive ale bipolilor precum și ecuațiile topologice sau legile lui Kirchhoff avem:
{\ displaystyle {\ vec {D}} = {\ begin {pmatrix} 0 \\ 0 \ end {pmatrix}}}
De exemplu, să presupunem că doriți să determinați tendința de a doua stare variabilă pornind de la o anumită clipă {\ displaystyle t_ {0}} , presupunând că valoarea inițială a acesteia a fost zero și tendința intrării coincide cu un impuls Dirac centrat în {\ displaystyle t_ {0}} . În domeniul Laplace, de intrare , prin urmare , are o valoare identică unitar, asa ca vom avea:
{\ displaystyle {\ begin {align} {\ vec {X}} (s) & = (s \ mathbf {I} - \ mathbf {A}) ^ {- 1} {\ vec {B}} \, U (s) \\ & = (s \ mathbf {I} - \ mathbf {A}) ^ {- 1} {\ vec {B}} \\ & = {\ frac {1} {LC_ {1} (R_ {1} + R_ {2}) s ^ {2} + (R_ {1} R_ {2} C_ {1} + L) s + {1}}} {\ begin {pmatrix} sC_ {1} R_ { 1} L + sC_ {1} R_ {2} L + L & -C_ {1} R_ {1} \\ LR_ {1} & LsC_ {1} R_ {1} + C_ {1} R_ {2} R_ {1} + LsC_ {1} R_ {2} \ end {pmatrix}} {\ begin {pmatrix} {\ frac {1} {L}} \\ 0 \ end {pmatrix}} \ end {align}}}
Presupune {\ displaystyle R = 0} : aceasta înseamnă neglijarea pierderilor de energie din circuit, adică imaginarea că cantitatea de energie furnizată inițial circuitului nu se disipează în timp. Acest lucru ne conduce pentru a scrie, trecând la domeniul Laplace :
{\ displaystyle H (s) = {\ frac {sC} {s ^ {2} LC + 1}}} .
Este ușor de observat că funcția de transfer are o pereche de complex conjugatpoli (pol al unei funcții complexe este punctul în care numitorul dispare), care dețin
Acest punct reprezintă rezonantă pulsația oscilator. Aceasta înseamnă că la acel impuls și la frecvența acestuia {\ displaystyle f = {\ frac {\ operatorname {Im} \ {p \}} {2 \ pi}}} circuitul este capabil de auto-hrănire: dacă generatorul este oprit, energia acumulată în condensator și în inductor continuă să circule în circuit, generând o oscilație aproape perfect sinusoidală caracterizată prin frecvența {\ displaystyle f} .