Clasificarea suprafeței

De la Wikipedia, enciclopedia liberă.
Salt la navigare Salt la căutare

În geometrie , suprafețele compacte sunt complet clasificate din punct de vedere topologic după unii parametri, cum ar fi tipul („numărul de mânere”), ajustabilitatea și numărul de componente conectate ale muchiei. Rezultatul este deci o clasificare a suprafețelor din punct de vedere topologic, un rezultat important în topologia algebrică .

Suprafețe finisate

Suprafețe cu margine

O suprafață abstractă este o varietate topologică de mărimea 2, ceea ce înseamnă un spațiu topologic Hausdorff astfel încât fiecare punct are un homeomorfic deschis în jurul planului . O suprafață tivită este o varietate tivită de dimensiunea 2: fiecare punct are o vecinătate deschisă homeomorfă a sau la jumătatea planului

Punctele celui de-al doilea tip formează marginea suprafeței. Dacă suprafața este compactă , marginea este homeomorfă a circumferințe disjuncte.

Suprafețe închise

O suprafață regulată sau regulată în secțiuni este definită ca închisă dacă nu are margine. Închiderea unei suprafețe este strâns legată de conceptul de orientabilitate: o suprafață închisă are întotdeauna două fețe distincte și este imposibil să treci de la una la alta dacă suprafața însăși nu este traversată. Un exemplu plauzibil de suprafață închisă și, de altfel, orientabilă, este sfera, în care este imposibil să treci de la fața externă (coajă sferică) la cea internă, dacă nu prin ea.

Tip terminat

O suprafață de tip finit este o suprafață conectată obținută prin îndepărtare puncte de la o suprafață compactă cu o margine. O astfel de suprafață este compactă dacă și numai dacă . O suprafață compactă, fără margini (adică cu ) se numește închis .

Tip

O suprafață orientabilă de gen 2.

O suprafață de tip finit are un sex . Intuitiv, acesta este „numărul de mânere” al suprafeței. Poate fi definit ca numărul maxim de curbe închise simple conținute în suprafață conectate complementar.

Genul nu se schimbă dacă unele puncte sunt eliminate de pe suprafață. Sfera și discul au zero sex. Planul proiectiv , banda Möbius și torul au genul unu. Sticla Klein are genul doi. Toate aceste exemple sunt compacte, pentru a obține exemple necompacte eliminați doar câteva puncte.

Sticla Klein este o suprafață închisă neorientabilă, din genul 2.

Reglabilitate

În cele din urmă, o suprafață poate fi orientabilă sau nu. O suprafață nu este orientabilă dacă „are o singură față” și este orientabilă dacă are două. O suprafață nu este orientabilă dacă și numai dacă conține o bandă Mobius . Sferă, disc și tor sunt reglabile. Planul proiectiv, banda Mobius și sticla Klein nu sunt.

Clasificare topologică

Pentru o suprafață de tip finit, cuaternul este deci definit , unde este dacă este orientabil e dacă nu este. Teorema clasificării topologice de suprafață afirmă următorul fapt.

Două suprafețe de tip finit sunt homeomorfe dacă și numai dacă au același cuatern .

Deci, două suprafețe sunt homeomorfe dacă au același gen, același număr de componente de margine, același număr de găuri și dacă sunt ambele orientabile sau neorientabile. Cuaternul valorilor este deci un sistem complet de invarianți pentru suprafețe.

Variante

Diffeomorfism

Un difeomorfism este o funcție care, pe lângă faptul că este un homeomorfism , este diferențiată (cu inversul său).

Două suprafețe se dovedesc a fi difeomorfe dacă și numai dacă sunt homeomorfe. Prin urmare, aceeași teoremă de clasificare este valabilă înlocuind cuvântul „homeomorf” cu „difeomorf”.

Homotopie

O suprafață de tip finit este închisă dacă este compactă și fără margini. Relația de echivalență homotopică este echivalentă cu cea a homeomorfismului pentru suprafețele închise, dar este drastic mai puțin fină pentru suprafețele care nu sunt închise: există multe suprafețe echivalente homotopic care nu sunt homeomorfe. Se aplică următorul rezultat:

Două suprafețe de tip finit sunt echivalente homotopic dacă și numai dacă

  • Ambele sunt închise și homeomorfe sau
  • Amândoi nu sunt închise și au aceeași caracteristică Euler .

Caracteristica Euler a unei suprafețe cu invarianți Și

De exemplu, banda Mobius și inelul sunt echivalente homotopic, dar nu homeomorfe. Un alt exemplu este furnizat de sfera cu găuri și taurul cu gaura, ambele avand .

Grup fundamental

Două suprafețe de tip finit au același grup fundamental dacă și numai dacă sunt echivalente din punct de vedere homotopic. În cazul suprafețelor închise, grupul fundamental este deci un invariant complet (două suprafețe închise sunt homeomorfe dacă și numai dacă au același grup fundamental).

Într-adevăr, o suprafață neînchisă are un grup fundamental izomorf pentru grupul liber de pe elemente, unde este caracteristica lui Euler.

Elemente conexe

Matematica Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică