Seria Fourier

Aproximarea funcției undei pătrate prin primii patru termeni ai transformatei Fourier corespunzătoare

În matematică , în special în analiza armonică , seria Fourier este o reprezentare a unei funcții periodice prin intermediul unei combinații liniare de funcții sinusoidale . Acest tip de descompunere stă la baza analizei Fourier .

Istorie

Seria poartă numele matematicianului francez Joseph Fourier (1768-1830), care a fost primul care a studiat sistematic astfel de serii infinite . Anterior, acestea fuseseră subiectul investigațiilor preliminare efectuate de Euler , d'Alembert și Daniel Bernoulli . Fourier a aplicat aceste serii la soluția ecuației căldurii , publicându-și rezultatele inițiale în 1807 și 1811. Lucrarea mai amplă, intitulată Théorie analytique de la chaleur , a fost publicată în 1822. După mijlocul secolului, Dirichlet și Riemann au reformulat rezultatele Fourier cu mai mare rigoare și precizie și într-o formă mai satisfăcătoare.

Au fost introduse ulterior multe alte forme de transformări integrale care au extins ideea inițială de reprezentare a fiecărei funcții periodice ca o suprapunere de armonici. De fapt, există multe alte secvențe de funcții ortogonale care se bucură de proprietăți similare cu cele ale analizei Fourier, deseori corespunzând soluțiilor unei ecuații diferențiale adecvate, cum ar fi, de exemplu, secvențele funcțiilor Bessel . În plus, o mare clasă de secvențe utile este cea a soluțiilor așa-numitelor probleme Sturm-Liouville . Ele se referă, de asemenea, la soluțiile ecuațiilor Schrödinger ale mecanicii undelor .

Definiție

Un polinom trigonometric este o funcție periodică a perioadei $2\pi$ ${\ displaystyle 2 \ pi}$ $2 \ pi$ definit pe câmpul real de tip ^[1]

f(t)={\frac {a_{0}}{2}}+\sum _{n=1}^{N}\left[a_{n}\cos(nt)+b_{n}\sin(nt)\right],

{\ displaystyle f (t) = {\ frac {a_ {0}} {2}} + \ sum _ {n = 1} ^ {N} \ left [a_ {n} \ cos (nt) + b_ {n } \ sin (nt) \ right],}

{\ displaystyle f (t) = {\ frac {a_ {0}} {2}} + \ sum _ {n = 1} ^ {N} \ left [a_ {n} \ cos (nt) + b_ {n } \ sin (nt) \ right],}

f(t)=\sum _{n=-N}^{N}c_{n}e^{int},

{\ displaystyle f (t) = \ sum _ {n = -N} ^ {N} c_ {n} e ^ {int},}

{\ displaystyle f (t) = \ sum _ {n = -N} ^ {N} c_ {n} e ^ {int},}

unde coeficienții $a_{n}$ ${\ displaystyle a_ {n}}$ $a_ {n}$ Și $b_{n}$ ${\ displaystyle b_ {n}}$ $b_ {n}$ sunt numere reale, coeficienții $c_{n}$ ${\ displaystyle c_ {n}}$ $c_ {n}$ sunt în general complexe și $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ este întreg. A doua formă se obține din prima prin aplicarea formulei lui Euler .

Acestea sunt definite ca fiind $n\in \mathbb {Z}$ ${\ displaystyle n \ in \ mathbb {Z}}$ $n \ in \ mathbb {Z}$ , funcții

u_{n}(t)=e^{int},

{\ displaystyle u_ {n} (t) = e ^ {int},}

{\ displaystyle u_ {n} (t) = e ^ {int},}

și fie

\langle f,\,g\rangle \;{\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\;{\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }f(t){\overline {g(t)}}\,\mathrm {d} t

{\ displaystyle \ langle f, \, g \ rangle \; {\ stackrel {\ mathrm {def}} {=}} \; {\ frac {1} {2 \ pi}} \ int _ {- \ pi} ^ {\ pi} f (t) {\ overline {g (t)}} \, \ mathrm {d} t}

{\ displaystyle \ langle f, \, g \ rangle \; {\ stackrel {\ mathrm {def}} {=}} \; {\ frac {1} {2 \ pi}} \ int _ {- \ pi} ^ {\ pi} f (t) {\ overline {g (t)}} \, \ mathrm {d} t}

un produs intern în $L^{2}(T)$ ${\ displaystyle L ^ {2} (T)}$ $L ^ {2} (T)$ , unde este $T.$ ${\ displaystyle T}$ $T.$ este intervalul $[-\pi ,\pi ]$ ${\ displaystyle [- \ pi, \ pi]}$ ${\ displaystyle [- \ pi, \ pi]}$ .

Atunci $\{u_{n}=e^{int},n\in \mathbb {Z} \}$ ${\ displaystyle \ {u_ {n} = e ^ {int}, n \ in \ mathbb {Z} \}}$ $\ {u_ {n} = e ^ {{int}}, n \ in {\ mathbb {Z}} \}$ este un sistem de funcții ortonormale în raport cu produsul intern astfel definit. De fapt, avem ^[2]

\langle u_{n},u_{m}\rangle ={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }e^{i(n-m)t}\,\mathrm {d} t=\delta _{n,m}.

{\ displaystyle \ langle u_ {n}, u_ {m} \ rangle = {\ frac {1} {2 \ pi}} \ int _ {- \ pi} ^ {\ pi} e ^ {i (nm) t } \, \ mathrm {d} t = \ delta _ {n, m}.}

{\ displaystyle \ langle u_ {n}, u_ {m} \ rangle = {\ frac {1} {2 \ pi}} \ int _ {- \ pi} ^ {\ pi} e ^ {i (nm) t } \, \ mathrm {d} t = \ delta _ {n, m}.}

Un astfel de sistem ortonormal în $L^{2}(T)$ ${\ displaystyle L ^ {2} (T)}$ $L ^ {2} (T)$ se numește sistem ortonormal trigonometric și este un sistem complet.

Se numește seria Fourier a unei funcții $f\in L^{2}(T)$ ${\ displaystyle f \ în L ^ {2} (T)}$ $f \ în L ^ {2} (T)$ un pătrat însumabil este reprezentarea funcției prin intermediul unei combinații liniare a vectorilor de bază $u_{n}$ ${\ displaystyle u_ {n}}$ $A}$ a sistemului ortonormal trigonometric: ^[3]

\sum _{n=-\infty }^{\infty }f_{n}u_{n}=\sum _{n=-\infty }^{\infty }f_{n}e^{int}.

{\ displaystyle \ sum _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} f_ {n} u_ {n} = \ sum _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} f_ {n} e ^ {int }.}

{\ displaystyle \ sum _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} f_ {n} u_ {n} = \ sum _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} f_ {n} e ^ {int }.}

Coeficienții combinației sunt, prin urmare, proiecția funcției pe vectorii de bază înșiși

f_{n}={\frac {\langle f,u_{n}\rangle }{\|u_{n}\|^{2}}}=\langle f,u_{n}\rangle ={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }f(t)e^{-int}\,\mathrm {d} t

{\ displaystyle f_ {n} = {\ frac {\ langle f, u_ {n} \ rangle} {\ | u_ {n} \ | ^ {2}}} = \ langle f, u_ {n} \ rangle = {\ frac {1} {2 \ pi}} \ int _ {- \ pi} ^ {\ pi} f (t) e ^ {- int} \, \ mathrm {d} t}

{\ displaystyle f_ {n} = {\ frac {\ langle f, u_ {n} \ rangle} {\ | u_ {n} \ | ^ {2}}} = \ langle f, u_ {n} \ rangle = {\ frac {1} {2 \ pi}} \ int _ {- \ pi} ^ {\ pi} f (t) e ^ {- int} \, \ mathrm {d} t}

și se numesc coeficienți Fourier .

Sumele parțiale ale seriei Fourier se obțin prin trunchierea seriei simetric

S_{N}(t)=\sum _{n=-N}^{N}f_{n}e^{int},\qquad N=0,1,2\dots .

{\ displaystyle S_ {N} (t) = \ sum _ {n = -N} ^ {N} f_ {n} e ^ {int}, \ qquad N = 0,1,2 \ dots.}

{\ displaystyle S_ {N} (t) = \ sum _ {n = -N} ^ {N} f_ {n} e ^ {int}, \ qquad N = 0,1,2 \ dots.}

Seria Fourier a unei funcții poate fi exprimată în mai multe forme echivalente din punct de vedere matematic: dreptunghiular, complex și polar.

Forma rectangulara

Două aproximări ale unui semnal emis la intervale regulate

Luați în considerare o funcție a unei variabile reale cu valoare complexă $\,f(x)$ ${\ displaystyle \, f (x)}$ $\, f (x)$ care este periodic cu punct $2\pi$ ${\ displaystyle 2 \ pi}$ $2 \ pi$ și un pătrat integrabil pe interval $\,[0,2\pi ]$ ${\ displaystyle \, [0,2 \ pi]}$ $\, [0,2 \ pi]$ . Coeficienții sunt definiți utilizând formula de analiză :

F_{n}={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }f(x)e^{-inx}\,\mathrm {d} x

{\ displaystyle F_ {n} = {\ frac {1} {2 \ pi}} \ int _ {- \ pi} ^ {\ pi} f (x) e ^ {- inx} \, \ mathrm {d} X}

{\ displaystyle F_ {n} = {\ frac {1} {2 \ pi}} \ int _ {- \ pi} ^ {\ pi} f (x) e ^ {- inx} \, \ mathrm {d} X}

și reprezentarea seriei Fourier a $f(x)$ ${\ displaystyle f (x)}$ $f (x)$ este apoi dat de formula de sinteză

f(x)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }F_{n}\,e^{inx}.

{\ displaystyle f (x) = \ sum _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} F_ {n} \, e ^ {inx}.}

{\ displaystyle f (x) = \ sum _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} F_ {n} \, e ^ {inx}.}

Fiecare dintre termenii acestei sume se numește modul Fourier . În cazul particular important în care $f(x)$ ${\ displaystyle f (x)}$ $f (x)$ este o funcție cu valoare reală , este adesea utilă utilizarea identității $e^{inx}=\cos(nx)+i\sin(nx)$ ${\ displaystyle e ^ {inx} = \ cos (nx) + i \ sin (nx)}$ ${\ displaystyle e ^ {inx} = \ cos (nx) + i \ sin (nx)}$ a reprezenta echivalent $\,f(x)$ ${\ displaystyle \, f (x)}$ $\, f (x)$ ca o combinație liniară infinită de funcții de formă $\cos(nx)$ ${\ displaystyle \ cos (nx)}$ $\ cos (nx)$ Și $\sin(nx)$ ${\ displaystyle \ sin (nx)}$ $\ sin (nx)$ . Obținem seria Fourier:

f(x)={\frac {a_{0}}{2}}+\sum _{n=1}^{\infty }\left[a_{n}\cos \left({\frac {2\pi }{T}}nx\right)+b_{n}\sin \left({\frac {2\pi }{T}}nx\right)\right].

{\ displaystyle f (x) = {\ frac {a_ {0}} {2}} + \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} \ left [a_ {n} \ cos \ left ({\ frac {2 \ pi} {T}} nx \ right) + b_ {n} \ sin \ left ({\ frac {2 \ pi} {T}} nx \ right) \ right].}

{\ displaystyle f (x) = {\ frac {a_ {0}} {2}} + \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} \ left [a_ {n} \ cos \ left ({\ frac {2 \ pi} {T}} nx \ right) + b_ {n} \ sin \ left ({\ frac {2 \ pi} {T}} nx \ right) \ right].}

Cu $T.$ ${\ displaystyle T}$ $T.$ perioada funcției și unde:

{\begin{aligned}a_{0}&={\frac {2}{T}}\int _{-T/2}^{T/2}f(x)\,\mathrm {d} x,\\a_{n}&={\frac {2}{T}}\int _{-T/2}^{T/2}f(x)\cos \left({\frac {2\pi }{T}}nx\right)\,\mathrm {d} x,\\b_{n}&={\frac {2}{T}}\int _{-T/2}^{T/2}f(x)\sin \left({\frac {2\pi }{T}}nx\right)\,\mathrm {d} x.\end{aligned}}

{\ displaystyle {\ begin {align} a_ {0} & = {\ frac {2} {T}} \ int _ {- T / 2} ^ {T / 2} f (x) \, \ mathrm {d } x, \\ a_ {n} & = {\ frac {2} {T}} \ int _ {- T / 2} ^ {T / 2} f (x) \ cos \ left ({\ frac {2 \ pi} {T}} nx \ right) \, \ mathrm {d} x, \\ b_ {n} & = {\ frac {2} {T}} \ int _ {- T / 2} ^ {T / 2} f (x) \ sin \ left ({\ frac {2 \ pi} {T}} nx \ right) \, \ mathrm {d} x. \ End {align}}}

{\ displaystyle {\ begin {align} a_ {0} & = {\ frac {2} {T}} \ int _ {- T / 2} ^ {T / 2} f (x) \, \ mathrm {d } x, \\ a_ {n} & = {\ frac {2} {T}} \ int _ {- T / 2} ^ {T / 2} f (x) \ cos \ left ({\ frac {2 \ pi} {T}} nx \ right) \, \ mathrm {d} x, \\ b_ {n} & = {\ frac {2} {T}} \ int _ {- T / 2} ^ {T / 2} f (x) \ sin \ left ({\ frac {2 \ pi} {T}} nx \ right) \, \ mathrm {d} x. \ End {align}}}

Pentru funcțiile de numai cosinusului apar:

{\begin{aligned}a_{0}&={\frac {4}{T}}\int _{0}^{T/2}f(x)\,\mathrm {d} x,\\a_{n}&={\frac {4}{T}}\int _{0}^{T/2}f(x)\cos \left({\frac {2\pi }{T}}nx\right)\,\mathrm {d} x,\\b_{n}&=0,\end{aligned}}

{\ displaystyle {\ begin {align} a_ {0} & = {\ frac {4} {T}} \ int _ {0} ^ {T / 2} f (x) \, \ mathrm {d} x, \\ a_ {n} & = {\ frac {4} {T}} \ int _ {0} ^ {T / 2} f (x) \ cos \ left ({\ frac {2 \ pi} {T} } nx \ right) \, \ mathrm {d} x, \\ b_ {n} & = 0, \ end {align}}}

{\ displaystyle {\ begin {align} a_ {0} & = {\ frac {4} {T}} \ int _ {0} ^ {T / 2} f (x) \, \ mathrm {d} x, \\ a_ {n} & = {\ frac {4} {T}} \ int _ {0} ^ {T / 2} f (x) \ cos \ left ({\ frac {2 \ pi} {T} } nx \ right) \, \ mathrm {d} x, \\ b_ {n} & = 0, \ end {align}}}

în timp ce pentru funcții ciudate apar doar sânii:

{\begin{aligned}a_{0}&=a_{n}=0,\\b_{n}&={\frac {4}{T}}\int _{0}^{T/2}f(x)\sin \left({\frac {2\pi }{T}}nx\right)\,\mathrm {d} x.\end{aligned}}

{\ displaystyle {\ begin {align} a_ {0} & = a_ {n} = 0, \\ b_ {n} & = {\ frac {4} {T}} \ int _ {0} ^ {T / 2} f (x) \ sin \ left ({\ frac {2 \ pi} {T}} nx \ right) \, \ mathrm {d} x. \ End {align}}}

{\ displaystyle {\ begin {align} a_ {0} & = a_ {n} = 0, \\ b_ {n} & = {\ frac {4} {T}} \ int _ {0} ^ {T / 2} f (x) \ sin \ left ({\ frac {2 \ pi} {T}} nx \ right) \, \ mathrm {d} x. \ End {align}}}

Coeficienții $a_{n}$ ${\ displaystyle a_ {n}}$ $a_ {n}$ Și $b_{n}$ ${\ displaystyle b_ {n}}$ $b_ {n}$ ei exprimă amplitudinile, adică greutățile sinusoidelor și cosinusoidelor și $a_{0}/2$ ${\ displaystyle a_ {0} / 2}$ $a_ {0} / 2$ corespunde valorii medii pe o perioadă a funcției $f(x)$ ${\ displaystyle f (x)}$ $f (x)$ . Această formulare poate fi urmărită înapoi la reprezentarea anterioară dacă:

F_{n}={\frac {a_{n}-ib_{n}}{2}},

{\ displaystyle F_ {n} = {\ frac {a_ {n} -ib_ {n}} {2}},}

{\ displaystyle F_ {n} = {\ frac {a_ {n} -ib_ {n}} {2}},}

Și

F_{n}=F_{-n}^{*}.

{\ displaystyle F_ {n} = F _ {- n} ^ {*}.}

{\ displaystyle F_ {n} = F _ {- n} ^ {*}.}

Formă complexă

Seria Fourier sub forma complexă a unei funcții $f(x)$ ${\ displaystyle f (x)}$ $f (x)$ Și:

f(x)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }\gamma _{n}e^{\frac {i2\pi nx}{T}},

{\ displaystyle f (x) = \ sum _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} \ gamma _ {n} e ^ {\ frac {i2 \ pi nx} {T}},}

{\ displaystyle f (x) = \ sum _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} \ gamma _ {n} e ^ {\ frac {i2 \ pi nx} {T}},}

in care $\gamma _{n}\in \mathbb {C}$ ${\ displaystyle \ gamma _ {n} \ in \ mathbb {C}}$ ${\ displaystyle \ gamma _ {n} \ in \ mathbb {C}}$ Și $i^{2}=-1.$ ${\ displaystyle i ^ {2} = - 1.}$ ${\ displaystyle i ^ {2} = - 1.}$

Coeficienții $\gamma _{n}$ ${\ displaystyle \ gamma _ {n}}$ $\ gamma _ {n}$ sunt calculate folosind relația:

\gamma _{n}={\frac {1}{T}}\int _{0}^{T}f(x)e^{\frac {-i2\pi nx}{T}}dx.

{\ displaystyle \ gamma _ {n} = {\ frac {1} {T}} \ int _ {0} ^ {T} f (x) e ^ {\ frac {-i2 \ pi nx} {T}} dx.}

{\ displaystyle \ gamma _ {n} = {\ frac {1} {T}} \ int _ {0} ^ {T} f (x) e ^ {\ frac {-i2 \ pi nx} {T}} dx.}

Dacă funcția $f(x)$ ${\ displaystyle f (x)}$ $f (x)$ este real coeficienții $\gamma _{n}$ ${\ displaystyle \ gamma _ {n}}$ $\ gamma _ {n}$ satisfac proprietatea de simetrie hermitiană:

\gamma _{n}^{*}=\gamma _{-n}.

{\ displaystyle \ gamma _ {n} ^ {*} = \ gamma _ {- n}.}

{\ displaystyle \ gamma _ {n} ^ {*} = \ gamma _ {- n}.}

Acest fapt poate fi văzut explicând suma termenilor comenzii $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ Și $-n$ ${\ displaystyle -n}$ $-n$ din serie:

\gamma _{n}e^{inx}+\gamma _{-n}e^{-inx}=\gamma _{n}[\cos(nx)+i\sin(nx)]+\gamma _{-n}[\cos(-nx)+i\sin(-nx)].

{\ displaystyle \ gamma _ {n} e ^ {inx} + \ gamma _ {- n} e ^ {- inx} = \ gamma _ {n} [\ cos (nx) + i \ sin (nx)] + \ gamma _ {- n} [\ cos (-nx) + i \ sin (-nx)].}

{\ displaystyle \ gamma _ {n} e ^ {inx} + \ gamma _ {- n} e ^ {- inx} = \ gamma _ {n} [\ cos (nx) + i \ sin (nx)] + \ gamma _ {- n} [\ cos (-nx) + i \ sin (-nx)].}

Din care, folosind proprietățile funcțiilor trigonometrice (în special paritatea cosinusului și disparitatea sinusului) găsim:

\gamma _{n}e^{inx}+\gamma _{-n}e^{-inx}=(\gamma _{n}+\gamma _{-n})\cos(nx)+(\gamma _{n}-\gamma _{-n})i\sin(nx).

{\ displaystyle \ gamma _ {n} e ^ {inx} + \ gamma _ {- n} e ^ {- inx} = (\ gamma _ {n} + \ gamma _ {- n}) \ cos (nx) + (\ gamma _ {n} - \ gamma _ {- n}) i \ sin (nx).}

{\ displaystyle \ gamma _ {n} e ^ {inx} + \ gamma _ {- n} e ^ {- inx} = (\ gamma _ {n} + \ gamma _ {- n}) \ cos (nx) + (\ gamma _ {n} - \ gamma _ {- n}) i \ sin (nx).}

Prin urmare, putem vedea că pentru a avea o funcție reală descrisă în seria Fourier, cantitatea $\gamma _{n}+\gamma _{-n}$ ${\ displaystyle \ gamma _ {n} + \ gamma _ {- n}}$ ${\ displaystyle \ gamma _ {n} + \ gamma _ {- n}}$ trebuie să fie real în timp ce cantitatea $\gamma _{n}-\gamma _{-n}$ ${\ displaystyle \ gamma _ {n} - \ gamma _ {- n}}$ ${\ displaystyle \ gamma _ {n} - \ gamma _ {- n}}$ trebuie să fie pur imaginar pentru fiecare $n\in \mathbb {Z}$ ${\ displaystyle n \ in \ mathbb {Z}}$ $n \ in {\ mathbb {Z}}$ . Ambele condiții sunt verificate de proprietatea de simetrie hermitiană a coeficienților.

Forma polară

O altă formă în care este posibil să se exprime seria Fourier a unei funcții $f(x)$ ${\ displaystyle f (x)}$ $f (x)$ real este forma polară:

f(x)=c_{0}+2\sum _{n=1}^{\infty }c_{n}\cos \left({\frac {2\pi nx}{T}}+\phi _{n}\right).

{\ displaystyle f (x) = c_ {0} +2 \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} c_ {n} \ cos \ left ({\ frac {2 \ pi nx} {T}} + \ phi _ {n} \ right).}

{\ displaystyle f (x) = c_ {0} +2 \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} c_ {n} \ cos \ left ({\ frac {2 \ pi nx} {T}} + \ phi _ {n} \ right).}

Coeficienții $c_{0}$ ${\ displaystyle c_ {0}}$ $c_0$ , $c_{n}$ ${\ displaystyle c_ {n}}$ $c_ {n}$ Și $\phi _{n}$ ${\ displaystyle \ phi _ {n}}$ $\ phi _ {n}$ poate fi definit pornind de la coeficienți $\gamma _{n}$ ${\ displaystyle \ gamma _ {n}}$ $\ gamma _ {n}$ a formei complexe:

c_{0}=\gamma _{0},\quad \quad c_{n}=|\gamma _{n}|,\quad \quad \phi _{n}=\angle \gamma _{n}.

{\ displaystyle c_ {0} = \ gamma _ {0}, \ quad \ quad c_ {n} = | \ gamma _ {n} |, \ quad \ quad \ phi _ {n} = \ angle \ gamma _ { n}.}

{\ displaystyle c_ {0} = \ gamma _ {0}, \ quad \ quad c_ {n} = | \ gamma _ {n} |, \ quad \ quad \ phi _ {n} = \ angle \ gamma _ { n}.}

Convergența seriei Fourier

Suma Fourier aproximând o undă pătrată. Sunt prezentate cazurile

n=1

{\ displaystyle n = 1}

n = 1

(LA),

n=6

{\ displaystyle n = 6}

n = 6

(B),

n=40

{\ displaystyle n = 40}

n = 40

(Există

n=200

{\ displaystyle n = 200}

n = 200

(D), din care observăm că

n

{\ displaystyle n}

n

aproximarea dată de dezvoltarea seriei este îmbunătățită.

În general, seria Fourier a unei funcții continue definite pe circumferința unității nu converge la funcția în sine și, în consecință, scrierea:

f(x)=\lim _{n\rightarrow \infty }S_{n}(f,x)=\lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }f(t)\sum _{k=-n}^{n}e^{ikt}\mathrm {d} t

{\ displaystyle f (x) = \ lim _ {n \ rightarrow \ infty} S_ {n} (f, x) = \ lim _ {n \ rightarrow \ infty} {\ frac {1} {2 \ pi}} \ int _ {- \ pi} ^ {\ pi} f (t) \ sum _ {k = -n} ^ {n} e ^ {ikt} \ mathrm {d} t}

{\ displaystyle f (x) = \ lim _ {n \ rightarrow \ infty} S_ {n} (f, x) = \ lim _ {n \ rightarrow \ infty} {\ frac {1} {2 \ pi}} \ int _ {- \ pi} ^ {\ pi} f (t) \ sum _ {k = -n} ^ {n} e ^ {ikt} \ mathrm {d} t}

nu se aplică fiecărei funcții. ^[4] Acest lucru poate fi dovedit, de exemplu, prin teorema Banach-Steinhaus. Mai exact, pentru orice număr real $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ există un subset dens $E_{x}$ ${\ displaystyle E_ {x}}$ $Fost}$ de spațiu $C(T)$ ${\ displaystyle C (T)}$ $CT)$ a funcțiilor continue definite pe $T.$ ${\ displaystyle T}$ $T.$ astfel încât: ^[5]

\sup _{n}|S_{N}(f,x)|=\infty ,\quad \forall f\in E_{x}.

{\ displaystyle \ sup _ {n} | S_ {N} (f, x) | = \ infty, \ quad \ forall f \ in E_ {x}.}

{\ displaystyle \ sup _ {n} | S_ {N} (f, x) | = \ infty, \ quad \ forall f \ in E_ {x}.}

Cu toate acestea, se arată că pentru $f\in C(T)$ ${\ displaystyle f \ în C (T)}$ $f \ în C (T)$ există un polinom trigonometric $P.$ ${\ displaystyle P}$ $P.$ astfel încât:

|f(t)-P(t)|<\epsilon ,

{\ displaystyle | f (t) -P (t) | <\ epsilon,}

{\ displaystyle | f (t) -P (t) | <\ epsilon,}

pentru fiecare $t$ ${\ displaystyle t}$ $t$ real. În special, în 1904 matematicianul maghiar Lipót Fejér a arătat că media aritmetică a sumelor parțiale din seria Fourier a $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ converge uniform la valoarea funcției în sine. ^[3]

În ciuda coeficienților Fourier $\,a_{n}$ ${\ displaystyle \, a_ {n}}$ $\, a_ {n}$ Și $\,b_{n}$ ${\ displaystyle \, b_ {n}}$ $\, b_ {n}$ poate fi definit în mod formal pentru fiecare funcție astfel încât să aibă sens să se ia în considerare integralele care le caracterizează, convergența seriei definite prin ele la funcție depinde de proprietățile specifice acestei funcții. De sine $\,f(x)$ ${\ displaystyle \, f (x)}$ $\, f (x)$ este pătrat integrabil avem:

\lim _{N\rightarrow \infty }\int _{-\pi }^{\pi }\left|f(x)-\sum _{n=-N}^{N}F_{n}\,e^{inx}\right|^{2}\,dx=0,

{\ displaystyle \ lim _ {N \ rightarrow \ infty} \ int _ {- \ pi} ^ {\ pi} \ left | f (x) - \ sum _ {n = -N} ^ {N} F_ {n } \, e ^ {inx} \ right | ^ {2} \, dx = 0,}

{\ displaystyle \ lim _ {N \ rightarrow \ infty} \ int _ {- \ pi} ^ {\ pi} \ left | f (x) - \ sum _ {n = -N} ^ {N} F_ {n } \, e ^ {inx} \ right | ^ {2} \, dx = 0,}

obținându-se astfel o convergență în norma spațiului L ² .

Există și alte criterii pentru a se asigura că seria converge într-un anumit punct, cum ar fi dacă funcția este diferențiată în acest punct. O discontinuitate de salt este, de asemenea, acceptabilă, deoarece dacă funcția are derivate stânga și dreaptă, atunci seria Fourier converge la valoarea medie a limitelor stânga și dreapta respective. Cu toate acestea, fenomenul Gibbs poate fi găsit și este posibil ca seria Fourier a unei funcții continue să nu convergă punct cu punct.

Proprietate

Pielea unui tambur vibrează conform unei unde Fourier pe un cerc

Proprietățile seriei Fourier sunt în mare parte consecințe ale proprietăților ortogonalității și homomorfismului funcțiilor $e^{inx}$ ${\ displaystyle e ^ {inx}}$ $și ^ {{inx}}$ și, în general, a proprietăților grupului de rotații. Funcții $e^{ikx}$ ${\ displaystyle e ^ {ikx}}$ $și ^ {{ikx}}$ aparținând bazei ortonormale sunt omomorfisme ale grupului aditiv al liniei reale pe grupul circular , adică al setului de numere complexe de modul unitar dotat cu înmulțirea obișnuită a câmpului complex. Ca o consecință a acestui fapt, dacă:

g(x)=f(x-y),

{\ displaystyle g (x) = f (xy),}

{\ displaystyle g (x) = f (x-y),}

apoi, denotând cu $G.$ ${\ displaystyle G}$ $G.$ transformarea de $g$ ${\ displaystyle g}$ $g$ , avem:

G_{k}=e^{-iky}F_{k}.

{\ displaystyle G_ {k} = e ^ {- iky} F_ {k}.}

{\ displaystyle G_ {k} = e ^ {- iky} F_ {k}.}

De asemenea, dacă $H_{k}$ ${\ displaystyle H_ {k}}$ $H_ {k}$ este transformarea lui $h=f*g$ ${\ displaystyle h = f * g}$ $h = f * g$ , asa de:

H_{k}=F_{k}G_{k}.

{\ displaystyle H_ {k} = F_ {k} G_ {k}.}

{\ displaystyle H_ {k} = F_ {k} G_ {k}.}

Adică, coeficientul Fourier al convoluției a două funcții este produsul coeficienților Fourier cu același grad al celor două funcții.

Animație care prezintă nucleele Fejér în ordine

Schimbarea rolurilor produsului obișnuit și a produsului de convoluție, dacă $h=f\cdot g$ ${\ displaystyle h = f \ cdot g}$ $h = f \ cdot g$ atunci coeficienții acestei funcții de produs sunt dați de convoluția pe $\mathbb {Z}$ ${\ displaystyle \ mathbb {Z}}$ $\ mathbb {Z}$ a coeficienților funcțiilor $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ Și $g$ ${\ displaystyle g}$ $g$ :

H_{k}=\sum _{i=-\infty }^{\infty }F_{i}\,G_{k-i}.

{\ displaystyle H_ {k} = \ sum _ {i = - \ infty} ^ {\ infty} F_ {i} \, G_ {ki}.}

{\ displaystyle H_ {k} = \ sum _ {i = - \ infty} ^ {\ infty} F_ {i} \, G_ {k-i}.}

Teoremele Riesz-Fischer și Parseval determină, de asemenea, două proprietăți importante ale seriei Fourier.

Teorema Riesz-Fischer

Același subiect în detaliu: teorema Riesz-Fischer .

Teorema Riesz-Fischer afirmă că într-un spațiu complet fiecare secvență din $\ell ^{2}$ ${\ displaystyle \ ell ^ {2}}$ $\ ell ^ {2}$ definește o funcție pătrată integrabilă . În special, teorema determină condițiile în care se află elementele unei secvențe în $\ell ^{2}$ ${\ displaystyle \ ell ^ {2}}$ $\ ell ^ {2}$ sunt coeficienții Fourier ai unui vector de $L^{2}$ ${\ displaystyle L ^ {2}}$ $L ^ {2}$ .

Este $\{u_{n}\}$ ${\ displaystyle \ {u_ {n} \}}$ $\{A}\}$ un sistem ortonormal de polinoame într-un spațiu Hilbert $H.$ ${\ displaystyle H}$ $H.$ și fie $c_{n}$ ${\ displaystyle c_ {n}}$ $c_ {n}$ o succesiune. Apoi, există un singur vector $f\in H$ ${\ displaystyle f \ în H}$ $f \ în H$ astfel încât elementele secvenței să fie coeficienții Fourier ai $f :$ ${\ displaystyle f:}$ ${\ displaystyle f:}$ ^[6]

c_{n}=(f,u_{n}),

{\ displaystyle c_ {n} = (f, u_ {n}),}

{\ displaystyle c_ {n} = (f, u_ {n}),}

unde este $(\cdot ,\cdot )$ ${\ displaystyle (\ cdot, \ cdot)}$ ${\ displaystyle (\ cdot, \ cdot)}$ este un produs intern . Secvența definește apoi o funcție $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ în $L^{2}$ ${\ displaystyle L ^ {2}}$ $L ^ {2}$ .

Teorema lui Parseval

Același subiect în detaliu: teorema lui Parseval .

Lasa-i sa fie $A(x)$ ${\ displaystyle A (x)}$ $A (x)$ Și $B(x)$ ${\ displaystyle B (x)}$ $B (x)$ două funcții Riemann integrabile cu valori complexe definite pe $\mathbb {R}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R}}$ $\ R$ . Să fie periodice cu punct $2\pi$ ${\ displaystyle 2 \ pi}$ $2 \ pi$ ; și sunt seria lor Fourier dată respectiv de:

A(x)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }a_{n}e^{inx},\qquad B(x)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }b_{n}e^{inx}.

{\ displaystyle A (x) = \ sum _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} a_ {n} e ^ {inx}, \ qquad B (x) = \ sum _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} b_ {n} și ^ {inx}.}

{\ displaystyle A (x) = \ sum _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} a_ {n} e ^ {inx}, \ qquad B (x) = \ sum _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} b_ {n} și ^ {inx}.}

Apoi: ^[7]

\sum _{n=-\infty }^{\infty }a_{n}{\overline {b_{n}}}={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }A(x){\overline {B(x)}}dx.

{\ displaystyle \ sum _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} a_ {n} {\ overline {b_ {n}}} = {\ frac {1} {2 \ pi}} \ int _ {- \ pi} ^ {\ pi} A (x) {\ overline {B (x)}} dx.}

{\ displaystyle \ sum _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} a_ {n} {\ overline {b_ {n}}} = {\ frac {1} {2 \ pi}} \ int _ {- \ pi} ^ {\ pi} A (x) {\ overline {B (x)}} dx.}

Ca un caz special, dacă $A(x)=B(x)=f(x)\in L^{2}([-\pi ,\pi ]),$ ${\ displaystyle A (x) = B (x) = f (x) \ în L ^ {2} ([- \ pi, \ pi]),}$ ${\ displaystyle A (x) = B (x) = f (x) \ în L ^ {2} ([- \ pi, \ pi]),}$ avem:

\sum _{n=-\infty }^{\infty }|{\hat {f}}(n)|^{2}={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }|f(x)|^{2}\,dx.

{\ displaystyle \ sum _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} | {\ hat {f}} (n) | ^ {2} = {\ frac {1} {2 \ pi}} \ int _ {- \ pi} ^ {\ pi} | f (x) | ^ {2} \, dx.}

{\ displaystyle \ sum _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} | {\ hat {f}} (n) | ^ {2} = {\ frac {1} {2 \ pi}} \ int _ {- \ pi} ^ {\ pi} | f (x) | ^ {2} \, dx.}

Exemplu

Aproximări succesive ale funcției de identitate periodicizate

Animație care arată grafic aproximări succesive ale unei funcții de dinte de ferăstrău

Luați în considerare funcția $f(x)=x$ ${\ displaystyle f (x) = x}$ $f (x) = x$ ( funcție de identitate ) pentru $x\in [-\pi ,\pi ]$ ${\ displaystyle x \ in [- \ pi, \ pi]}$ $x \ in [- \ pi, \ pi]$ . Dacă vrem să luăm în considerare dezvoltarea sa în afara acestui domeniu, seria Fourier necesită implicit ca această funcție să fie periodică (extinderea periodică a funcției de identitate este o funcție dinte de ferăstrău ).

Pentru a calcula coeficienții Fourier ai acestei funcții merită să observăm că $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ este o funcție ciudată, deci se va exprima ca o sumă de sinusuri numai, având în vedere că $\sin(nx)$ ${\ displaystyle \ sin (nx)}$ $\ sin (nx)$ este o funcție ciudată. Observarea parității funcției ajută la reducerea calculelor deoarece anulează unii coeficienți (în acest caz cei ai cosinusului).

{\frac {a_{0}}{2}}={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }f(x)\,\mathrm {d} x={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }x\,\mathrm {d} x=0,

{\ displaystyle {\ frac {a_ {0}} {2}} = {\ frac {1} {2 \ pi}} \ int _ {- \ pi} ^ {\ pi} f (x) \, \ mathrm {d} x = {\ frac {1} {2 \ pi}} \ int _ {- \ pi} ^ {\ pi} x \, \ mathrm {d} x = 0,}

{\ displaystyle {\ frac {a_ {0}} {2}} = {\ frac {1} {2 \ pi}} \ int _ {- \ pi} ^ {\ pi} f (x) \, \ mathrm {d} x = {\ frac {1} {2 \ pi}} \ int _ {- \ pi} ^ {\ pi} x \, \ mathrm {d} x = 0,}

a_{n}={\frac {1}{\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }f(x)\cos(nx)\,\mathrm {d} x={\frac {1}{\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }x\cos(nx)\,\mathrm {d} x=0,

{\ displaystyle a_ {n} = {\ frac {1} {\ pi}} \ int _ {- \ pi} ^ {\ pi} f (x) \ cos (nx) \, \ mathrm {d} x = {\ frac {1} {\ pi}} \ int _ {- \ pi} ^ {\ pi} x \ cos (nx) \, \ mathrm {d} x = 0,}

{\ displaystyle a_ {n} = {\ frac {1} {\ pi}} \ int _ {- \ pi} ^ {\ pi} f (x) \ cos (nx) \, \ mathrm {d} x = {\ frac {1} {\ pi}} \ int _ {- \ pi} ^ {\ pi} x \ cos (nx) \, \ mathrm {d} x = 0,}

{\begin{aligned}b_{n}&={\frac {1}{\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }f(x)\sin(nx)\,\mathrm {d} x={\frac {1}{\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }x\sin(nx)\,\mathrm {d} x\\&={\frac {2}{\pi }}\int _{0}^{\pi }x\sin(nx)\,\mathrm {d} x={\frac {2}{\pi }}\left(\left[-{\frac {x\cos(nx)}{n}}\right]_{0}^{\pi }+\left[{\frac {\sin(nx)}{n^{2}}}\right]_{0}^{\pi }\right)=(-1)^{n+1}{\frac {2}{n}}.\end{aligned}}

{\ displaystyle {\ begin {align} b_ {n} & = {\ frac {1} {\ pi}} \ int _ {- \ pi} ^ {\ pi} f (x) \ sin (nx) \, \ mathrm {d} x = {\ frac {1} {\ pi}} \ int _ {- \ pi} ^ {\ pi} x \ sin (nx) \, \ mathrm {d} x \\ & = { \ frac {2} {\ pi}} \ int _ {0} ^ {\ pi} x \ sin (nx) \, \ mathrm {d} x = {\ frac {2} {\ pi}} \ left ( \ left [- {\ frac {x \ cos (nx)} {n}} \ right] _ {0} ^ {\ pi} + \ left [{\ frac {\ sin (nx)} {n ^ {2 }}} \ right] _ {0} ^ {\ pi} \ right) = (- 1) ^ {n + 1} {\ frac {2} {n}}. \ end {align}}}

{\ displaystyle {\ begin {align} b_ {n} & = {\ frac {1} {\ pi}} \ int _ {- \ pi} ^ {\ pi} f (x) \ sin (nx) \, \ mathrm {d} x = {\ frac {1} {\ pi}} \ int _ {- \ pi} ^ {\ pi} x \ sin (nx) \, \ mathrm {d} x \\ & = { \ frac {2} {\ pi}} \ int _ {0} ^ {\ pi} x \ sin (nx) \, \ mathrm {d} x = {\ frac {2} {\ pi}} \ left ( \ left [- {\ frac {x \ cos (nx)} {n}} \ right] _ {0} ^ {\ pi} + \ left [{\ frac {\ sin (nx)} {n ^ {2 }}} \ right] _ {0} ^ {\ pi} \ right) = (- 1) ^ {n + 1} {\ frac {2} {n}}. \ end {align}}}

Deci seria Fourier pentru funcția luată în considerare este:

f(x)=x={\frac {a_{0}}{2}}+\sum _{n=1}^{\infty }(a_{n}\cos(nx)+b_{n}\sin(nx))=\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n+1}{\frac {2}{n}}\sin(nx),\qquad \forall x\in (-\pi ,\pi ).

{\ displaystyle f (x) = x = {\ frac {a_ {0}} {2}} + \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} (a_ {n} \ cos (nx) + b_ { n} \ sin (nx)) = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} (- 1) ^ {n + 1} {\ frac {2} {n}} \ sin (nx), \ qquad \ forall x \ in (- \ pi, \ pi).}

{\ displaystyle f (x) = x = {\ frac {a_ {0}} {2}} + \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} (a_ {n} \ cos (nx) + b_ { n} \ sin (nx)) = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} (- 1) ^ {n + 1} {\ frac {2} {n}} \ sin (nx), \ qquad \ forall x \ in (- \ pi, \ pi).}

Poate fi interesant să vezi aplicația seriei Fourier la calculul valorii $\zeta (2)$ ${\ displaystyle \ zeta (2)}$ $\ zeta (2)$ a funcției zeta Riemann .

Notă

^ Rudin , p. 88 .
^ Rudin , p. 89 .
^ ^a ^b Rudin , p. 91 .
^ Rudin , p. 101 .
^ Rudin , p. 102 .
^ Rudin , p. 85 .
^ Rudin , p. 92 .

Bibliografie

( EN ) Walter Rudin, Analiză reală și complexă , Mladinska Knjiga, McGraw-Hill, 1970, ISBN 0-07-054234-1 .
Carlo Cercignani , Teoria și aplicațiile seriei Fourier , Milano, Tamburini Editore, 1972.
Ulisse Dini (1880): Seria Fourier și alte reprezentări analitice ale funcțiilor unei variabile reale T. Nistri.
(EN) William E. Byerly (1893): Un tratat elementar despre seria Fourier și armonii sferice, cilindrice și elipsoidale cu aplicații la problemele din fizica matematică Ginn & Company.
( EN ) Horatio S. Carslaw (1921): Introducere în teoria seriei și a integralelor Fourier , Macmillan & co., Ltd.
( EN ) EW Hobson (1926): Teoria funcțiilor unei variabile reale și teoria seriei lui Fourier Vol. 2 , Cambridge University Press.
( EN ) Antoni Zygmund (1935): Seria trigonometrică , Subwencji Fundusz Kultury Narodowej
( EN ) Yitzhak Katznelson (1976): O introducere în analiza armonică , a doua ediție corectată. Publicații Dover, ISBN 0-486-63331-4

Elemente conexe

Alte proiecte

Wikimedia Commons conține imagini sau alte fișiere din seria Fourier

linkuri externe

( EN ) Fourier Series / Fourier Series (altă versiune) , în Encyclopedia Britannica , Encyclopædia Britannica, Inc.
( EN ) SA Telyakovskii, seria Fourier , în Enciclopedia Matematicii , Springer și European Mathematical Society, 2002.
(EN) Eric W. Weisstein, Seria Fourier , în MathWorld Wolfram Research.
Applet Java care afișează dezvoltarea seriei Fourier a oricărei funcții

Controlul autorității	Tezaur BNCF 35891 · LCCN (EN) sh85051090 · BNF (FR) cb11979488t (dată) · BNE (ES) XX540313 (dată) · NDL (EN, JA) 00.562.088

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică

[1] Rudin , p. 88 .

[2] Rudin , p. 89 .

[def-3] Rudin , p. 91 .

[4] Rudin , p. 101 .

[5] Rudin , p. 102 .

[6] Rudin , p. 85 .

[7] Rudin , p. 92 .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]