Colinearitatea

În geometria vectorială , doi vectori ${\vec {u}}$ ${\ displaystyle {\ vec {u}}}$ ${\ vec u}$ Și ${\vec {v}}$ ${\ displaystyle {\ vec {v}}}$ $\ vec v$ se spune că sunt coliniare dacă și numai dacă există un k scalar astfel încât să fie ${\vec {v}}=k{\vec {u}}$ ${\ displaystyle {\ vec {v}} = k {\ vec {u}}}$ $\ vec v = k \ vec u$ sau, echivalent, ${\vec {u}}=k{\vec {v}}$ ${\ displaystyle {\ vec {u}} = k {\ vec {v}}}$ $\ vec u = k \ vec v$ .

Etimologic coliniar înseamnă culcat pe aceeași linie dreaptă . Într-adevăr, în geometria afină , se spune că doi vectori sunt coliniari dacă există doi reprezentanți respectivi situați pe aceeași linie , adică dacă există trei puncte A, B și C aliniate astfel încât

{\overrightarrow {AB}}={\vec {u}}

{\ displaystyle {\ overrightarrow {AB}} = {\ vec {u}}}

\ overrightarrow {AB} = \ vec u

Și

{\overrightarrow {AC}}={\vec {v}}

{\ displaystyle {\ overrightarrow {AC}} = {\ vec {v}}}

\ overrightarrow {AC} = \ vec v

Punctele la ₁ , la ₂ și la ₃ sunt aliniate între ele; Punctele b ₁ , b ₂ și b ₃ sunt aliniate între ele. În figură nu există alte combinații de trei puncte situate pe aceeași linie.

Colinearitatea este o noțiune importantă în geometria afină, deoarece permite definirea

alinierea: punctele A, B și C sunt aliniate dacă vectorii ${\overrightarrow {AB}}$ ${\ displaystyle {\ overrightarrow {AB}}}$ $\ overrightarrow {AB}$ Și ${\overrightarrow {AC}}$ ${\ displaystyle {\ overrightarrow {AC}}}$ $\ overrightarrow {AC}$ sunt coliniare;
paralelismul a două linii: liniile (AB) și (CD) sunt paralele dacă vectorii ${\overrightarrow {AB}}$ ${\ displaystyle {\ overrightarrow {AB}}}$ $\ overrightarrow {AB}$ Și ${\overrightarrow {CD}}$ ${\ displaystyle {\ overrightarrow {CD}}}$ $\ overrightarrow {CD}$ sunt coliniare.

Rețineți că vectorul nul al unui spațiu vectorial este coliniar cu toți ceilalți vectori. Pe mulțimea vectorilor diferiți de zero, relația de colinearitate este

reflexiv : un vector este coliniar cu el însuși;
simetric: dacă un vector ${\vec {u}}$ ${\ displaystyle {\ vec {u}}}$ ${\ vec u}$ este coliniar cu un vector ${\vec {v}}$ ${\ displaystyle {\ vec {v}}}$ $\ vec v$ , asa de ${\vec {v}}$ ${\ displaystyle {\ vec {v}}}$ $\ vec v$ este coliniar cu ${\vec {u}}$ ${\ displaystyle {\ vec {u}}}$ ${\ vec u}$ ;
tranzitiv : dacă un vector ${\vec {u}}$ ${\ displaystyle {\ vec {u}}}$ ${\ vec u}$ este coliniar cu ${\vec {v}}$ ${\ displaystyle {\ vec {v}}}$ $\ vec v$ Și ${\vec {v}}$ ${\ displaystyle {\ vec {v}}}$ $\ vec v$ este coliniar cu ${\vec {w}}$ ${\ displaystyle {\ vec {w}}}$ $\ vec w$ , asa de ${\vec {u}}$ ${\ displaystyle {\ vec {u}}}$ ${\ vec u}$ este coliniar cu ${\vec {w}}$ ${\ displaystyle {\ vec {w}}}$ $\ vec w$ .

Aceste trei proprietăți ne permit să afirmăm că relația de colinearitate este o relație de echivalență ; clasele sale de echivalență constituie spațiul proiectiv asociat spațiului vectorial.

Proprietăți de coordonate

Se spune că trei puncte de coordonate ( x ₁ , y ₁ ), ( x ₂ , y ₂ ) și ( x ₃ , y ₃ ) sunt coliniare, adică așezate pe aceeași linie într-un sistem de referință cartezian cu două axe, dacă și numai dacă pentru următorul determinant , consideră că: