Combinație liniară

De la Wikipedia, enciclopedia liberă.
Salt la navigare Salt la căutare

În matematică , o combinație liniară este o operație utilizată în principal în contextul algebrei liniare . O combinație liniară a unor elemente ale unui spațiu vector este o expresie ca: [1]

unde i sunt elemente ale spațiului vectorial și sunt scalari. Rezultatul acestei combinații este un element nou al spațiului. Această noțiune foarte generală se aplică în diverse contexte: de exemplu, pot fi scrise combinații liniare de vectori în plan sau în spațiu, de matrice , polinoame sau funcții .

Definiții

Combinație liniară

Este un spațiu vector pe un câmp . Lasa-i sa fie vectori ai . O combinație liniară a acestora este vectorul identificat prin următoarea scriere:

unde este sunt scalari, adică elemente ale . Scalarele din expresia de mai sus pot fi alese în mod arbitrar și se numesc coeficienți de combinație liniară.

Combinație afină și convexă

Pictogramă lupă mgx2.svg Același subiect în detaliu: combinație convexă .

Dacă câmpul este câmpul a numerelor reale și a coeficienților sunt negativi, adică:

pentru fiecare , combinația se numește pozitivă .

Când coeficienții au ca sumă 1:

combinația se numește afină . O combinație liniară care este atât pozitivă, cât și afină se numește combinație convexă . Ambele noțiuni sunt utile în geometria afină , pentru a defini noțiunile de coordonate afine și coordonate barientrice .

Proprietate

Unicitatea combinației

În general, adică pentru o alegere generică de vectori , vectorul:

nu determină în mod unic combinația liniară, adică secvența coeficienților săi: aceeași poate fi rezultatul diferitelor combinații liniare ale acelorași vectori .

Cu toate acestea, dacă vectorii sunt independenți , combinația liniară este unică.

Subspatiu generat

Pictogramă lupă mgx2.svg Același subiect în detaliu: Subspatiu generat .

Purtători care se obțin ca combinații liniare de vectori fixi, deoarece scalarii variază , formează un subspațiu vectorial al , numit subspațiul generat . Este indicat în general cu:

Generalizări

Linear și definiții combinate cu deschidere liniare pot fi generalizate la spații vectoriale la module sau inele . De exemplu, putem vorbi de combinație liniară a două numere întregi Și , unde este Și sunt coeficienți întregi.

Notă

  1. ^ (EN) Eric W. Weisstein, Combinație liniară , în MathWorld , Wolfram Research.

Bibliografie

Elemente conexe

Matematica Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică