Combinație liniară de orbitali atomici

Combinația liniară de orbitali atomici , adesea prescurtată în LCAO , un acronim pentru termenul englezesc combinație liniară de orbitali atomici , este o tehnică utilizată de teoria orbitalilor moleculari pentru a calcula orbitalii moleculari ai unei molecule .

În mecanica cuantică configurațiile electronice sunt descrise de funcțiile de undă existente în spațiul funcțiilor pătrate sumabile L² . Mai mult, aceste funcții de undă pot fi exprimate ca o sumă de stări proprii infinite $\phi _{i}\$ ${\ displaystyle \ phi _ {i} \}$ ${\ displaystyle \ phi _ {i} \}$ combinate liniar între ele.

\Psi =c_{1}\phi _{1}+c_{2}\phi _{2}+c_{3}\phi _{3}+...+c_{n}\phi _{n}\

{\ displaystyle \ Psi = c_ {1} \ phi _ {1} + c_ {2} \ phi _ {2} + c_ {3} \ phi _ {3} + ... + c_ {n} \ phi _ {n} \}

{\ displaystyle \ Psi = c_ {1} \ phi _ {1} + c_ {2} \ phi _ {2} + c_ {3} \ phi _ {3} + ... + c_ {n} \ phi _ {n} \}

\Psi =\sum _{i=1}^{n}c_{i}\phi _{i}\

{\ displaystyle \ Psi = \ sum _ {i = 1} ^ {n} c_ {i} \ phi _ {i} \}

{\ displaystyle \ Psi = \ sum _ {i = 1} ^ {n} c_ {i} \ phi _ {i} \}

Metoda a fost concepută în 1929 de Sir John Lennard-Jones și extinsă de Ugo Fano .

Energia orbitalilor moleculari: ionul molecular H + 2

În reacțiile chimice , funcțiile de undă ale orbitalilor se schimbă, implicând interacțiuni între mai mulți atomi și, prin urmare, orbitalii înșiși se schimbă. Trebuie remarcat faptul că aceste funcții de undă sunt monoelectronice și sunt centrate pe fiecare dintre nucleii atomici prezenți în moleculă .

Din suma statelor proprii cunoscute, trebuie obținuți coeficienți care să reducă la minimum energia $\varepsilon$ ${\ displaystyle \ varepsilon}$ $\ varepsilon$ ale sistemului și care reprezintă soluții acceptabile fizic ale ecuației Schrödinger aplicate sistemului electronic . Asa de

{\hat {H}}\Psi =\varepsilon \Psi

{\ displaystyle {\ hat {H}} \ Psi = \ varepsilon \ Psi}

{\ displaystyle {\ hat {H}} \ Psi = \ varepsilon \ Psi}

cu ${\hat {H}}$ ${\ displaystyle {\ hat {H}}}$ ${\ hat {H}}$ Operator hamiltonian . Explicând $\varepsilon$ ${\ displaystyle \ varepsilon}$ $\ varepsilon$ iar prin executarea produsului scalar obținem

\varepsilon ={\frac {\int \Psi ^{*}{\hat {H}}\Psi d\tau }{\int \Psi ^{*}\Psi d\tau }}

{\ displaystyle \ varepsilon = {\ frac {\ int \ Psi ^ {*} {\ hat {H}} \ Psi d \ tau} {\ int \ Psi ^ {*} \ Psi d \ tau}}}

{\ displaystyle \ varepsilon = {\ frac {\ int \ Psi ^ {*} {\ hat {H}} \ Psi d \ tau} {\ int \ Psi ^ {*} \ Psi d \ tau}}}

cu $\Psi ^{*}$ ${\ displaystyle \ Psi ^ {*}}$ ${\ displaystyle \ Psi ^ {*}}$ funcția de undă conjugată complexă a $\Psi$ ${\ displaystyle \ Psi}$ $\ Psi$ .

Fiind $\Psi$ ${\ displaystyle \ Psi}$ $\ Psi$ o sumă de termeni infiniti, pentru o moleculă diatomică formată din atomi egali această funcție de undă poate fi aproximată la o sumă de doi membri:

\ \Psi =C_{a}\psi _{a}+C_{b}\psi _{b}

{\ displaystyle \ \ Psi = C_ {a} \ psi _ {a} + C_ {b} \ psi _ {b}}

{\ displaystyle \ \ Psi = C_ {a} \ psi _ {a} + C_ {b} \ psi _ {b}}

Această funcție de undă care reprezintă orbitalul molecular este, de asemenea, monoelectronică, adică nu ia în considerare interacțiunile electron-electron, deci următoarele calcule sunt valabile pentru ionul molecular H + 2 și nu pentru molecula de hidrogen H ₂ , care ar avea o undă funcția orbitalului molecular de tip bielectronic. În acest caz este deci posibil să scriem valoarea energetică $\varepsilon$ ${\ displaystyle \ varepsilon}$ $\ varepsilon$ ca:

\varepsilon ={\frac {\int (C_{a}\psi _{a}^{*}+C_{b}\psi _{b}^{*}){\hat {H}}(C_{a}\psi _{a}+C_{b}\psi _{b})d\tau }{\int (C_{a}\psi _{a}^{*}+C_{b}\psi _{b}^{*})(C_{a}\psi _{a}+C_{b}\psi _{b})d\tau }}

{\ displaystyle \ varepsilon = {\ frac {\ int (C_ {a} \ psi _ {a} ^ {*} + C_ {b} \ psi _ {b} ^ {*}) {\ hat {H}} (C_ {a} \ psi _ {a} + C_ {b} \ psi _ {b}) d \ tau} {\ int (C_ {a} \ psi _ {a} ^ {*} + C_ {b} \ psi _ {b} ^ {*}) (C_ {a} \ psi _ {a} + C_ {b} \ psi _ {b}) d \ tau}}}

{\ displaystyle \ varepsilon = {\ frac {\ int (C_ {a} \ psi _ {a} ^ {*} + C_ {b} \ psi _ {b} ^ {*}) {\ hat {H}} (C_ {a} \ psi _ {a} + C_ {b} \ psi _ {b}) d \ tau} {\ int (C_ {a} \ psi _ {a} ^ {*} + C_ {b} \ psi _ {b} ^ {*}) (C_ {a} \ psi _ {a} + C_ {b} \ psi _ {b}) d \ tau}}}

Prin rularea produselor , se obțin următoarele integrale :

\int \psi _{a}^{*}{\hat {H}}\psi _{a}d\tau =\int \psi _{b}^{*}{\hat {H}}\psi _{b}d\tau =\alpha

{\ displaystyle \ int \ psi _ {a} ^ {*} {\ hat {H}} \ psi _ {a} d \ tau = \ int \ psi _ {b} ^ {*} {\ hat {H} } \ psi _ {b} d \ tau = \ alpha}

{\ displaystyle \ int \ psi _ {a} ^ {*} {\ hat {H}} \ psi _ {a} d \ tau = \ int \ psi _ {b} ^ {*} {\ hat {H} } \ psi _ {b} d \ tau = \ alpha}

numite integrale Coulomb ,

\int \psi _{a}^{*}{\hat {H}}\psi _{b}d\tau =\int \psi _{b}^{*}{\hat {H}}\psi _{a}d\tau =\beta

{\ displaystyle \ int \ psi _ {a} ^ {*} {\ hat {H}} \ psi _ {b} d \ tau = \ int \ psi _ {b} ^ {*} {\ hat {H} } \ psi _ {a} d \ tau = \ beta}

{\ displaystyle \ int \ psi _ {a} ^ {*} {\ hat {H}} \ psi _ {b} d \ tau = \ int \ psi _ {b} ^ {*} {\ hat {H} } \ psi _ {a} d \ tau = \ beta}

numite integrale de rezonanță ,

\int \psi _{a}^{*}\psi _{b}d\tau =\int \psi _{b}^{*}\psi _{a}d\tau =s

{\ displaystyle \ int \ psi _ {a} ^ {*} \ psi _ {b} d \ tau = \ int \ psi _ {b} ^ {*} \ psi _ {a} d \ tau = s}

{\ displaystyle \ int \ psi _ {a} ^ {*} \ psi _ {b} d \ tau = \ int \ psi _ {b} ^ {*} \ psi _ {a} d \ tau = s}

cu $s$ ${\ displaystyle s}$ $s$ integrală de suprapunere care își asumă valori cuprinse între 0 și 1 în raport cu nivelul de suprapunere orbitală.

În plus

\int \psi _{a}^{*}\psi _{a}d\tau =\int \psi _{b}^{*}\psi _{b}d\tau =1

{\ displaystyle \ int \ psi _ {a} ^ {*} \ psi _ {a} d \ tau = \ int \ psi _ {b} ^ {*} \ psi _ {b} d \ tau = 1}

{\ displaystyle \ int \ psi _ {a} ^ {*} \ psi _ {a} d \ tau = \ int \ psi _ {b} ^ {*} \ psi _ {b} d \ tau = 1}

Rescrierea $\varepsilon$ ${\ displaystyle \ varepsilon}$ $\ varepsilon$ primesti:

\varepsilon ={\frac {\alpha C_{a}{^{2}}+2\beta C_{a}C_{b}+\alpha C_{b}{^{2}}}{C_{a}{^{2}}+C_{b}{^{2}}+2sC_{a}C_{b}}}

{\ displaystyle \ varepsilon = {\ frac {\ alpha C_ {a} {^ {2}} + 2 \ beta C_ {a} C_ {b} + \ alpha C_ {b} {^ {2}}} {C_ {a} {^ {2}} + C_ {b} {^ {2}} + 2sC_ {a} C_ {b}}}}

{\ displaystyle \ varepsilon = {\ frac {\ alpha C_ {a} {^ {2}} + 2 \ beta C_ {a} C_ {b} + \ alpha C_ {b} {^ {2}}} {C_ {a} {^ {2}} + C_ {b} {^ {2}} + 2sC_ {a} C_ {b}}}}

Astfel de $\varepsilon$ ${\ displaystyle \ varepsilon}$ $\ varepsilon$ este o funcție în $C_{a}$ ${\ displaystyle C_ {a}}$ $C_ {a}$ Și $C_{b}$ ${\ displaystyle C_ {b}}$ $C_ {b}$ , pentru a o minimiza, trebuie să derivăm această funcție în $C_{a}$ ${\ displaystyle C_ {a}}$ $C_ {a}$ Și $C_{b}$ ${\ displaystyle C_ {b}}$ $C_ {b}$ , dar mai întâi trebuie să rescriem ecuația în formă

(C_{a}{^{2}}+C_{b}{^{2}}+2sC_{a}C_{b})\varepsilon =\alpha C_{a}{^{2}}+2\beta C_{a}C_{b}+\alpha C_{b}{^{2}}

{\ displaystyle (C_ {a} {^ {2}} + C_ {b} {^ {2}} + 2sC_ {a} C_ {b}) \ varepsilon = \ alpha C_ {a} {^ {2}} +2 \ beta C_ {a} C_ {b} + \ alpha C_ {b} {^ {2}}}

{\ displaystyle (C_ {a} {^ {2}} + C_ {b} {^ {2}} + 2sC_ {a} C_ {b}) \ varepsilon = \ alpha C_ {a} {^ {2}} +2 \ beta C_ {a} C_ {b} + \ alpha C_ {b} {^ {2}}}

Realizând primele două derivate obținem:

(2C_{a}\alpha +2C_{b}\beta )=\varepsilon (2C_{a}+2C_{b}s)+\left({\frac {\partial \varepsilon }{\partial C_{a}}}\right)(C_{a}{^{2}}+C_{b}{^{2}}+2C_{a}C_{b}s)

{\ displaystyle (2C_ {a} \ alpha + 2C_ {b} \ beta) = \ varepsilon (2C_ {a} + 2C_ {b} s) + \ left ({\ frac {\ partial \ varepsilon} {\ partial C_ {a}}} \ right) (C_ {a} {^ {2}} + C_ {b} {^ {2}} + 2C_ {a} C_ {b} s)}

{\ displaystyle (2C_ {a} \ alpha + 2C_ {b} \ beta) = \ varepsilon (2C_ {a} + 2C_ {b} s) + \ left ({\ frac {\ partial \ varepsilon} {\ partial C_ {a}}} \ right) (C_ {a} {^ {2}} + C_ {b} {^ {2}} + 2C_ {a} C_ {b} s)}

(2C_{b}\alpha +2C_{a}\beta )=\varepsilon (2C_{b}+2C_{a}s)+\left({\frac {\partial \varepsilon }{\partial C_{b}}}\right)(C_{a}{^{2}}+C_{b}{^{2}}+2C_{a}C_{b}s)

{\ displaystyle (2C_ {b} \ alpha + 2C_ {a} \ beta) = \ varepsilon (2C_ {b} + 2C_ {a} s) + \ left ({\ frac {\ partial \ varepsilon} {\ partial C_ {b}}} \ right) (C_ {a} {^ {2}} + C_ {b} {^ {2}} + 2C_ {a} C_ {b} s)}

{\ displaystyle (2C_ {b} \ alpha + 2C_ {a} \ beta) = \ varepsilon (2C_ {b} + 2C_ {a} s) + \ left ({\ frac {\ partial \ varepsilon} {\ partial C_ {b}}} \ right) (C_ {a} {^ {2}} + C_ {b} {^ {2}} + 2C_ {a} C_ {b} s)}

Dar dacă căutăm minimul de energie, cele două derivate $({\partial \varepsilon }/{\partial C_{a}})$ ${\ displaystyle ({\ partial \ varepsilon} / {\ partial C_ {a}})}$ ${\ displaystyle ({\ partial \ varepsilon} / {\ partial C_ {a}})}$ Și $({\partial \varepsilon }/{\partial C_{b}})$ ${\ displaystyle ({\ partial \ varepsilon} / {\ partial C_ {b}})}$ ${\ displaystyle ({\ partial \ varepsilon} / {\ partial C_ {b}})}$ sunt egale cu zero, deci o parte din cei doi membrii simplifică.

rezolvând sistemul obținem că:

C_{a}=C_{b}\left({\frac {s\varepsilon -\beta }{\alpha -\varepsilon }}\right)

{\ displaystyle C_ {a} = C_ {b} \ left ({\ frac {s \ varepsilon - \ beta} {\ alpha - \ varepsilon}} \ right)}

{\ displaystyle C_ {a} = C_ {b} \ left ({\ frac {s \ varepsilon - \ beta} {\ alpha - \ varepsilon}} \ right)}

C_{b}\left({\frac {-(s\varepsilon -\beta )^{2}+(\alpha -\varepsilon )^{2}}{\alpha -\varepsilon }}\right)=0

{\ displaystyle C_ {b} \ left ({\ frac {- (s \ varepsilon - \ beta) ^ {2} + (\ alpha - \ varepsilon) ^ {2}} {\ alpha - \ varepsilon}} \ right ) = 0}

{\ displaystyle C_ {b} \ left ({\ frac {- (s \ varepsilon - \ beta) ^ {2} + (\ alpha - \ varepsilon) ^ {2}} {\ alpha - \ varepsilon}} \ right ) = 0}

Totuși, în acest mod se obțin cele două valori $C_{a}$ ${\ displaystyle C_ {a}}$ $C_ {a}$ Și $C_{b}$ ${\ displaystyle C_ {b}}$ $C_ {b}$ egal cu zero. Densitatea electronilor din jurul celor două nuclee atomice ar fi zero, ceea ce este imposibil. Acest paradox se rezolvă impunând că sistemul este liniar dependent, adică admite soluții infinite de $C_{a}$ ${\ displaystyle C_ {a}}$ $C_ {a}$ Și $C_{b}$ ${\ displaystyle C_ {b}}$ $C_ {b}$ . Acest lucru se poate face prin stabilirea determinantului matricei de coeficienți a sistemului anterior egal cu zero. Acest determinant se numește determinant secular :

det\left({\begin{array}{cc}(\alpha -\varepsilon )&(\beta -s\varepsilon )\\(\beta -s\varepsilon )&(\alpha -\varepsilon )\end{array}}\right)=0

{\ displaystyle det \ left ({\ begin {array} {cc} (\ alpha - \ varepsilon) & (\ beta -s \ varepsilon) \\ (\ beta -s \ varepsilon) & (\ alpha - \ varepsilon) \ end {array}} \ right) = 0}

{\ displaystyle det \ left ({\ begin {array} {cc} (\ alpha - \ varepsilon) & (\ beta -s \ varepsilon) \\ (\ beta -s \ varepsilon) & (\ alpha - \ varepsilon) \ end {array}} \ right) = 0}

Stabilind determinantul secular egal cu zero obținem multe funcții ale $\varepsilon$ ${\ displaystyle \ varepsilon}$ $\ varepsilon$ câți orbitali atomici sunt implicați. Dacă există doi atomi, unul va avea nivelurile de energie ale orbitalului de legare, cel al lui a $\varepsilon$ ${\ displaystyle \ varepsilon}$ $\ varepsilon$ minor, iar al anti-liant cel cu $\varepsilon$ ${\ displaystyle \ varepsilon}$ $\ varepsilon$ mai mare. Cele două valori energetice vor fi:

\varepsilon _{2}={\frac {\alpha -\beta }{1-s}}

{\ displaystyle \ varepsilon _ {2} = {\ frac {\ alpha - \ beta} {1-s}}}

{\ displaystyle \ varepsilon _ {2} = {\ frac {\ alpha - \ beta} {1-s}}}

\varepsilon _{1}={\frac {\alpha +\beta }{1+s}}

{\ displaystyle \ varepsilon _ {1} = {\ frac {\ alpha + \ beta} {1 + s}}}

{\ displaystyle \ varepsilon _ {1} = {\ frac {\ alpha + \ beta} {1 + s}}}

Pentru doi orbitali atomici de tip s va exista un orbital $\sigma$ ${\ displaystyle \ sigma}$ $\ sigma$ cu $\beta$ ${\ displaystyle \ beta}$ $\ beta$ <0 și s pozitiv, deci $\varepsilon _{1}$ ${\ displaystyle \ varepsilon _ {1}}$ ${\ displaystyle \ varepsilon _ {1}}$ va fi mai mică de $\varepsilon _{2}$ ${\ displaystyle \ varepsilon _ {2}}$ ${\ displaystyle \ varepsilon _ {2}}$ și va fi, prin urmare, energia orbitalului de legare.

Astfel de $\varepsilon$ ${\ displaystyle \ varepsilon}$ $\ varepsilon$ nu sunt valori, ci funcții ale distanței internucleare și numai funcția orbitalului de legare are o energie minimă a electronilor.

Densitatea electronilor orbitalilor atomici

Acum, că cunoaștem cele două valori ale lui ε le inserăm în sistemul anterior, cea în care am impus dependența liniară și rezolvăm una dintre cele două ecuații, fiind pentru aceste valori ale $\varepsilon$ ${\ displaystyle \ varepsilon}$ $\ varepsilon$ ambele ecuații sunt egale. Înțelegi asta

C_{a}\left(\alpha -{\frac {\alpha \pm \beta }{1\pm s}}\right)+C_{b}\left(\beta -s{\frac {\alpha \pm \beta }{1\pm s}}\right)=0

{\ displaystyle C_ {a} \ left (\ alpha - {\ frac {\ alpha \ pm \ beta} {1 \ pm s}} \ right) + C_ {b} \ left (\ beta -s {\ frac { \ alpha \ pm \ beta} {1 \ pm s}} \ right) = 0}

{\ displaystyle C_ {a} \ left (\ alpha - {\ frac {\ alpha \ pm \ beta} {1 \ pm s}} \ right) + C_ {b} \ left (\ beta -s {\ frac { \ alpha \ pm \ beta} {1 \ pm s}} \ right) = 0}

Rezolvând obținem asta

C_{a}=\pm C_{b}

{\ displaystyle C_ {a} = \ pm C_ {b}}

{\ displaystyle C_ {a} = \ pm C_ {b}}

Într-o moleculă diatomică cu atomi egali rezultă că coeficienții statelor proprii (adică densitățile electronilor) sunt egali în modul, deci densitatea electronilor este aceeași pentru ambii atomi. În orbitalul anti-legătură va apărea $C_{a}=-C_{b}$ ${\ displaystyle C_ {a} = - C_ {b}}$ ${\ displaystyle C_ {a} = - C_ {b}}$ în timp ce se află în liant $C_{a}=C_{b}$ ${\ displaystyle C_ {a} = C_ {b}}$ ${\ displaystyle C_ {a} = C_ {b}}$ .

Densitatea electronilor orbitalilor moleculari

Acum putem scrie că:

\Psi =C\psi _{a}\pm C\psi _{b}

{\ displaystyle \ Psi = C \ psi _ {a} \ pm C \ psi _ {b}}

{\ displaystyle \ Psi = C \ psi _ {a} \ pm C \ psi _ {b}}

Realizăm normalizarea $\Psi$ ${\ displaystyle \ Psi}$ $\ Psi$ :

\int \Psi ^{*}\Psi d\tau =1

{\ displaystyle \ int \ Psi ^ {*} \ Psi d \ tau = 1}

{\ displaystyle \ int \ Psi ^ {*} \ Psi d \ tau = 1}

adică

\int (C\psi _{a}^{*}\pm C\psi _{b}^{*})(C\psi _{a}\pm C\psi _{b})d\tau =1

{\ displaystyle \ int (C \ psi _ {a} ^ {*} \ pm C \ psi _ {b} ^ {*}) (C \ psi _ {a} \ pm C \ psi _ {b}) d \ tau = 1}

{\ displaystyle \ int (C \ psi _ {a} ^ {*} \ pm C \ psi _ {b} ^ {*}) (C \ psi _ {a} \ pm C \ psi _ {b}) d \ tau = 1}

Desfășurarea produselor și amintirea noastră $\int (\psi _{a}^{*}\psi _{a})d\tau =\int (\psi _{b}^{*}\psi _{b})d\tau =1$ ${\ displaystyle \ int (\ psi _ {a} ^ {*} \ psi _ {a}) d \ tau = \ int (\ psi _ {b} ^ {*} \ psi _ {b}) d \ tau = 1}$ ${\ displaystyle \ int (\ psi _ {a} ^ {*} \ psi _ {a}) d \ tau = \ int (\ psi _ {b} ^ {*} \ psi _ {b}) d \ tau = 1}$ obținem asta:

2C^{2}(1\pm s)=1

{\ displaystyle 2C ^ {2} (1 \ pm s) = 1}

{\ displaystyle 2C ^ {2} (1 \ pm s) = 1}

adică

C={\frac {1}{\sqrt {2(1\pm s)}}}

{\ displaystyle C = {\ frac {1} {\ sqrt {2 (1 \ pm s)}}}}

{\ displaystyle C = {\ frac {1} {\ sqrt {2 (1 \ pm s)}}}}

cu $s$ ${\ displaystyle s}$ $s$ întotdeauna integral de suprapunere.

Funcțiile de undă ale electronului pe orbitalul molecular vor fi 2:

\Psi _{1}=\left({\frac {1}{\sqrt {2(1+s)}}}\right)(\psi _{a}+\psi _{b})

{\ displaystyle \ Psi _ {1} = \ left ({\ frac {1} {\ sqrt {2 (1 + s)}}} \ right) (\ psi _ {a} + \ psi _ {b}) }

{\ displaystyle \ Psi _ {1} = \ left ({\ frac {1} {\ sqrt {2 (1 + s)}}} \ right) (\ psi _ {a} + \ psi _ {b}) }

cu electronul pe orbitalul de legare

\Psi _{2}=\left({\frac {1}{\sqrt {2(1-s)}}}\right)(\psi _{a}-\psi _{b})

{\ displaystyle \ Psi _ {2} = \ left ({\ frac {1} {\ sqrt {2 (1-s)}}} \ right) (\ psi _ {a} - \ psi _ {b}) }

{\ displaystyle \ Psi _ {2} = \ left ({\ frac {1} {\ sqrt {2 (1-s)}}} \ right) (\ psi _ {a} - \ psi _ {b}) }

cu electronul pe orbitalul anti-legătură

În orbitalul de legare de tip σ, densitatea electronilor este mai mare decât densitățile orbitalilor atomici separați pentru distanțele dintre cei doi nuclei atomici și mai mică pentru distanțele neinteratomice ... Viceversa pentru agentul anti-legare.

din suprapunerea unui orbital dacă a unui p avem întotdeauna un orbital molecular sigma .

Pentru suprapunerile a doi orbitali p există două cazuri: sigma orbitală dacă doi suborbitali de tip p care se află pe axa internucleară intră în contact sau π orbitală dacă sunt în contact sunt suborbitala perpendiculară pe axa internucleară.

Simetriile

O diferență cheie între orbitalele atomice și moleculare este că, în timp ce primele sunt funcții proprii ale operatorului $l^{2}$ ${\ displaystyle l ^ {2}}$ $l ^ {2}$ ( modulul pătrat al momentului unghiular al electronului ), secundele sunt funcții proprii ale componentei paralele cu axa z a momentului unghiular al acelui electron (momentul unghiular este un vector în trei dimensiuni, prin urmare are trei componente, una pentru fiecare dimensiune); deci orbitalele moleculare nu au simetrie sferică precum orbitalele atomice, ci cilindrice.