Comutativitate

În matematică , o operație binară $*$ ${\ displaystyle *}$ $*$ definit pe un set $S.$ ${\ displaystyle S}$ $S.$ este comutativ dacă

x*y=y*x\qquad {\mbox{per ogni }}x,y\in S.

{\ displaystyle x * y = y * x \ qquad {\ mbox {pentru fiecare}} x, y \ în S.}

x * y = y * x \ qquad \ mbox {pentru fiecare} x, y \ în S.

pentru fiecare pereche de elemente $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ Și $y$ ${\ displaystyle y}$ $y$ în $S.$ ${\ displaystyle S}$ $S.$ . Dacă această proprietate nu este validă pentru nicio pereche de elemente, operația se numește apoi necomutativă .

Două elemente $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ Și $y$ ${\ displaystyle y}$ $y$ comutați dacă $x*y=y*x$ ${\ displaystyle x * y = y * x}$ $x * y = y * x$ . De aici și operațiunea $*$ ${\ displaystyle *}$ $*$ este comutativ dacă și numai dacă două elemente ale $S.$ ${\ displaystyle S}$ $S.$ trec mereu.

Exemple

Operațiuni comutative

Cele mai frecvente exemple de operații binare comutative sunt adăugarea ( $a+b$ ${\ displaystyle a + b}$ $a + b$ ) și multiplicare ( $a\times b$ ${\ displaystyle a \ times b}$ $a \ ori b$ ), considerat pe mulțimea tuturor numerelor reale , sau numai pe numerele pozitive , naturale sau raționale , sau extins la numere complexe ; de exemplu:

4+5=5+4

{\ displaystyle 4 + 5 = 5 + 4}

4 + 5 = 5 + 4

(deoarece ambele expresii sunt egale cu 9)

2\times 3=3\times 2

{\ displaystyle 2 \ times 3 = 3 \ times 2}

2 \ times 3 = 3 \ times 2

(deoarece ambele expresii valorează 6)

Alte operații binare comutative sunt:

cel mai mic comun multiplu și cel mai mare divizor comun aplicat perechilor de numere întregi pozitive;
minim și maxim aplicat perechilor de numere reale sau, în general, perechilor de elemente ale mulțimilor parțial ordonate;
adaos de vectori ;
intersecția și unirea mulțimilor ;
conjuncție logică și disjuncție incluzivă ;
compoziții de traduceri în plan, în spațiu tridimensional sau în orice spațiu vectorial ;
compoziții de rotații în jurul unui punct dat în plan.

Operațiuni necomutative

Printre operațiile binare necomutative între numere se numără scăderea ( $a-b$ ${\ displaystyle ab}$ $a-b$ ), diviziunea ( $a/b$ ${\ displaystyle a / b}$ $a / b$ ) și exponențierea ( $a^{b}$ ${\ displaystyle a ^ {b}}$ $a ^ b$ ), definit pe seturi adecvate de numere reale.

Compoziția funcțiilor ( $f(g(x))$ ${\ displaystyle f (g (x))}$ $f (g (x))$ ) în multe contexte nu este comutativ: de exemplu funcții reale $f(x)=x+3$ ${\ displaystyle f (x) = x + 3}$ $f (x) = x + 3$ Și $g(y)=y^{2}$ ${\ displaystyle g (y) = y ^ {2}}$ $g (y) = y ^ 2$ nu se schimbă, așa cum

g(f(x))=x^{2}+6x+9,

{\ displaystyle g (f (x)) = x ^ {2} + 6x + 9,}

g (f (x)) = x ^ 2 + 6x + 9,

f(g(x))=x^{2}+3.

{\ displaystyle f (g (x)) = x ^ {2} +3.}

f (g (x)) = x ^ 2 +3.

O altă operație importantă necomutativă estemultiplicarea între matrici pătrate . De exemplu,

{\begin{bmatrix}0&1\\0&0\end{bmatrix}}\times {\begin{bmatrix}0&0\\1&0\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0\\0&0\end{bmatrix}}

{\ displaystyle {\ begin {bmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \ end {bmatrix}} \ times {\ begin {bmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \ end {bmatrix}} = {\ begin { bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \ end {bmatrix}}}

\ begin {bmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \ end {bmatrix} \ times \ begin {bmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \ end {bmatrix} = \ begin {bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \ end {bmatrix}

{\begin{bmatrix}0&0\\1&0\end{bmatrix}}\times {\begin{bmatrix}0&1\\0&0\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0&0\\0&1\end{bmatrix}}

{\ displaystyle {\ begin {bmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \ end {bmatrix}} \ times {\ begin {bmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \ end {bmatrix}} = {\ begin { bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \ end {bmatrix}}}

\ begin {bmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \ end {bmatrix} \ times \ begin {bmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \ end {bmatrix} = \ begin {bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \ end {bmatrix}

Structuri algebrice cu operații comutative

Un grup este abelian sau chiar comutativ , dacă operația definită în acesta este comutativă.

Un inel are două operații definite, numite în general „sumă” și „produs” în analogie cu numerele întregi . Operațiunea „sumă” este întotdeauna comutativă, dar operația „produs” nu. Un inel se numește abelian sau comutativ dacă multiplicarea este și comutativă.

În general, structurile algebrice abeliene sunt mult mai simple decât analogii non-abelieni.

Tabel de compoziție

O operație este comutativă dacă și numai dacă tabelul său de compoziție este simetric. De exemplu, tabelele pentru compunerea operațiilor celui mai mic comun multiplu și cel mai mare divizor comun pentru mulțimea numerelor întregi de la 1 la 6 sunt

${\begin{bmatrix}1&2&3&4&5&6\\2&2&6&4&10&6\\3&6&3&12&15&6\\4&4&12&4&20&12\\5&10&15&20&5&30\\6&6&6&12&30&6\\\end{bmatrix}}$ ${\ displaystyle {\ begin {bmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ 2 & 2 & 6 & 4 & 10 & 6 \\ 3 & 6 & 3 & 12 & 15 & 6 \\ 4 & 4 & 12 & 4 & 20 & 12 \\ 5 & 10 & 15 & 20 & 5 & 30 \\ 6 & 6 & 6 & 12 & 30 & 6 \\}} capăt {bmatrix$ $\ begin {bmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ 2 & 2 & 6 & 4 & 10 & 6 \\ 3 & 6 & 3 & 12 & 15 & 6 \\ 4 & 4 & 12 & 4 & 20 & 12 \\ 5 & 10 & 15 & 20 & 5 & 30 \\ 6 & 6 & 6 & 12 & 30 & 6 \\ \ end {bmatrix}$ Și ${\begin{bmatrix}1&1&1&1&1&1\\1&2&1&2&1&2\\1&1&3&1&1&3\\1&2&1&4&1&2\\1&1&1&1&5&1\\1&2&3&2&1&6\\\end{bmatrix}}$ ${\ displaystyle {\ begin {bmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 & 2 & 1 & 2 \\ 1 & 1 & 3 & 1 & 1 & 3 \\ 1 & 2 & 1 & 4 & 1 & 2 \\ 1 & 1 & 1 & 1 & 5 & 1 \\ 1 & 2 & 3 & 2 & 1 & 6 \\}} capăt {bmatrix$ $\ begin {bmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 & 2 & 1 & 2 \\ 1 & 1 & 3 & 1 & 1 & 3 \\ 1 & 2 & 1 & 4 & 1 & 2 \\ 1 & 1 & 1 & 1 & 5 & 1 \\ 1 & 2 & 3 & 2 & 1 & 6 \\ \ end {bmatrix}$

Elemente conexe

Alte proiecte

Wikimedia Commons conține imagini sau alte fișiere despre comutativitate

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică