Comutați (matematică)

Prin comutator , în matematică , înțelegem o compoziție a două elemente ale unei structuri algebrice, referindu-ne la o operație binară care furnizează un al treilea element diferit de elementul neutru atunci când cele două elemente date nu satisfac proprietatea comutativă .

Comutatorii sunt folosiți pe scară largă în teoria grupurilor , teoria inelului , algebrele Lie . În mecanica cuantică sunt folosite pentru a formulaprincipiul incertitudinii .

Anticomutatorul este un operator utilizat în special în mecanica cuantică care ia doi operatori ca intrare. Anti-comutatorul dintre $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ Și $b$ ${\ displaystyle b}$ $b$ este definit ca:

\{a,b\}=ab+ba

{\ displaystyle \ {a, b \} = ab + ba}

\ {a, b \} = ab + ba

Teoria grupului

Definiție

Este $G.$ ${\ displaystyle G}$ $G.$ un grup cu a cărui unitate denotăm $Și$ ${\ displaystyle e}$ $Și$ . Comutatorul a două elemente $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ Și $b$ ${\ displaystyle b}$ $b$ al grupului este elementul

[a,b]:=a^{-1}b^{-1}ab.

{\ displaystyle [a, b]: = a ^ {- 1} b ^ {- 1} ab.}

[a, b]: = a ^ {{- 1}} b ^ {{- 1}} ab.

Proprietate

Se spune că două elemente $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ Și $b$ ${\ displaystyle b}$ $b$ a grupului $G.$ ${\ displaystyle G}$ $G.$ comutați când $ab=ba$ ${\ displaystyle ab = ba}$ $ab = ba$ . Acest lucru se întâmplă dacă și numai dacă comutatorul lor este unitatea:

[a,b]=e.

{\ displaystyle [a, b] = e.}

[a, b] = e.

Comutați subgrup

Subgrupul generat de toate comutatoarele din $G.$ ${\ displaystyle G}$ $G.$ se numește subgrup de comutatoare sau subgrup derivat de $G.$ ${\ displaystyle G}$ $G.$ , și adesea notat cu $[G,G]$ ${\ displaystyle [G, G]}$ $[G, G]$ . Un grup este Abelian dacă și numai dacă acest subgrup este trivial, adică este format doar din unitatea de $G.$ ${\ displaystyle G}$ $G.$ .

Subgrupul comutator este caracteristic (deci normal ), prin urmare, grupul coeficient este întotdeauna definibil $G/[G,G]$ ${\ displaystyle G / [G, G]}$ $G / [G, G]$ . Se poate spune informal că, în construcția acestui coeficient, elementele care nu fac naveta sunt considerate neglijabile: se dovedește că $G/[G,G]$ ${\ displaystyle G / [G, G]}$ $G / [G, G]$ este abelian. Mai precis, $[G,G]$ ${\ displaystyle [G, G]}$ $[G, G]$ este cel mai mic subgrup normal al $G.$ ${\ displaystyle G}$ $G.$ astfel încât coeficientul se dovedește a fi abelian. Acest coeficient se numește abelianizat de $G.$ ${\ displaystyle G}$ $G.$ .

Trebuie remarcat faptul că, în diferite texte, comutatorul a două elemente este definit într-un mod ușor diferit:

[a,b]_{2}:=aba^{-1}b^{-1}=[a^{-1},b^{-1}].

{\ displaystyle [a, b] _ {2}: = aba ^ {- 1} b ^ {- 1} = [a ^ {- 1}, b ^ {- 1}].}

[a, b] _ {2}: = aba ^ {{- 1}} b ^ {{- 1}} = [a ^ {{- 1}}, b ^ {{- 1}}].

De asemenea, cu această definiție, două elemente fac naveta dacă și numai dacă comutatorul este unitatea și se obține același subgrup derivat identificat anterior.

Teoria inelului

Definiție

Este $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ un inel . Comutatorul a două dintre elementele sale $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ Și $b$ ${\ displaystyle b}$ $b$ este elementul

[a,b]:=ab-ba.

{\ displaystyle [a, b]: = ab-ba.}

[a, b]: = ab-ba.

Proprietate

Două elemente $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ Și $b$ ${\ displaystyle b}$ $b$ comutați dacă $ab=ba$ ${\ displaystyle ab = ba}$ $ab = ba$ . Acest lucru se întâmplă dacă și numai dacă comutatorul șterge:

[a,b]=0.

{\ displaystyle [a, b] = 0.}

[a, b] = 0.

Comutatorul este o funcție biliniară pe inel:

[a,b+c]=[a,b]+[a,c],

{\ displaystyle [a, b + c] = [a, b] + [a, c],}

[a, b + c] = [a, b] + [a, c],

[a+b,c]=[a,c]+[b,c].

{\ displaystyle [a + b, c] = [a, c] + [b, c].}

[a + b, c] = [a, c] + [b, c].

Comutatorul este anticomutativ , adică este o funcție bivariantă antisimetrică:

[a,b]=-[b,a]

{\ displaystyle [a, b] = - [b, a]}

[a, b] = - [b, a]

Comutatorul este o compoziție nilpotentă :

[a,a]=0.

{\ displaystyle [a, a] = 0.}

[a, a] = 0.

Comutatorul satisface identitatea Jacobi :

[a,[b,c]]+[b,[c,a]]+[c,[a,b]]=0.

{\ displaystyle [a, [b, c]] + [b, [c, a]] + [c, [a, b]] = 0.}

[a, [b, c]] + [b, [c, a]] + [c, [a, b]] = 0.

Comutatorul satisface o versiune a regulii lui Leibniz :

[a,bc]=[a,b]c+b[a,c].

{\ displaystyle [a, bc] = [a, b] c + b [a, c].}

[a, bc] = [a, b] c + b [a, c].

Această din urmă expresie poate fi interpretată ca regula lui Leibniz pentru hartă

D_{a}\colon A\to A,

{\ displaystyle D_ {a} \ colon A \ to A,}

D_ {a} \ colon A \ to A,

D_{a}\colon b\mapsto [a,b].

{\ displaystyle D_ {a} \ colon b \ mapsto [a, b].}

D_ {a} \ colon b \ mapsto [a, b].

care pentru formula de mai sus se spune că joacă rolul de derivare pe inel.

Alte relații:

[ab,c]=a[b,c]+[a,c]b,

{\ displaystyle [ab, c] = a [b, c] + [a, c] b,}

[ab, c] = a [b, c] + [a, c] b,

[a,bc]=[a,b]c+b[a,c],

{\ displaystyle [a, bc] = [a, b] c + b [a, c],}

[a, bc] = [a, b] c + b [a, c],

[abc,d]=ab[c,d]+a[b,d]c+[a,d]bc.

{\ displaystyle [abc, d] = ab [c, d] + a [b, d] c + [a, d] bc.}

[abc, d] = ab [c, d] + a [b, d] c + [a, d] bc.

Algebra minciunii

De sine $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ este o algebră asociativă , bilinearitatea exprimată mai sus este valabilă și pentru multiplicarea unui scalar:

[\lambda a,b]=\lambda [a,b]=[a,\lambda b].

{\ displaystyle [\ lambda a, b] = \ lambda [a, b] = [a, \ lambda b].}

[\ lambda a, b] = \ lambda [a, b] = [a, \ lambda b].

Din toate proprietățile enumerate rezultă că, prin înlocuirea produsului în $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ cu operație binară

(a,b)\mapsto [a,b]

{\ displaystyle (a, b) \ mapsto [a, b]}

(a, b) \ mapsto [a, b]

obținem o nouă structură de algebră pentru $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ : mai precis, se obține o structură de algebră Lie . Prin urmare, comutatoarele pot fi utilizate pentru a transforma orice algebră asociativă într-o algebră Lie.

Exemple

Spații de matrice

Matricile $n\times n$ ${\ displaystyle n \ times n}$ $n \ ori n$ pe un câmp fix formează o algebră asociativă . Înlocuind produsul obișnuit între matrici cu operația de comutare, obținem astfel o structură de algebră Lie .

Operatori pe spațiile Hilbert

Matricile reale $n\times n$ ${\ displaystyle n \ times n}$ $n \ ori n$ acționează asupra spațiului euclidian $\mathbb {R} ^{n}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$ $\ mathbb {R} ^ {n}$ . Mai general, putem considera diverse algebre formate de operatori care acționează asupra unui spațiu Hilbert dat $H.$ ${\ displaystyle H}$ $H.$ .

În mecanica cuantică , operatorii descriu observabilele și comutatoarele lor măsoară precizia cu care două observabile pot fi măsurate simultan. În general $H.$ ${\ displaystyle H}$ $H.$ este un anumit spațiu de funcții.

De exemplu, dacă $H.$ ${\ displaystyle H}$ $H.$ este un spațiu al funcțiilor unei variabile $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ la valori complexe , operatorul de poziție înmulțește fiecare funcție cu $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ :

{\hat {x}}:f\mapsto x\cdot f

{\ displaystyle {\ hat {x}}: f \ mapsto x \ cdot f}

{\ hat {x}}: f \ mapsto x \ cdot f

în timp ce operatorul de moment este o derivată :

{\hat {p}}:f\mapsto -i\hslash {\frac {\partial f}{\partial x}}.

{\ displaystyle {\ hat {p}}: f \ mapsto -i \ hslash {\ frac {\ partial f} {\ partial x}}.}

{\ hat {p}}: f \ mapsto -i \ hslash {\ frac {\ partial f} {\ partial x}}.

Cei doi operatori nu comută. De fapt, schimbarea lor este

\left[{\hat {x}},{\hat {p}}\right]={\hat {x}}\left(-i\hslash {\frac {\partial }{\partial x}}\right)-\left(-i\hslash {\frac {\partial }{\partial x}}\right){\hat {x}}.

{\ displaystyle \ left [{\ hat {x}}, {\ hat {p}} \ right] = {\ hat {x}} \ left (-i \ hslash {\ frac {\ partial} {\ partial x }} \ right) - \ left (-i \ hslash {\ frac {\ partial} {\ partial x}} \ right) {\ hat {x}}.}

\ left [{\ hat {x}}, {\ hat {p}} \ right] = {\ hat {x}} \ left (-i \ hslash {\ frac {\ partial} {\ partial x}} \ dreapta) - \ left (-i \ hslash {\ frac {\ partial} {\ partial x}} \ right) {\ hat {x}}.

Pentru a verifica dacă acest operator este diferit de zero, îl aplicați pe o funcție $f(x)$ ${\ displaystyle f (x)}$ $f (x)$ și se obține următorul rezultat:

\left[{\hat {x}},{\hat {p}}\right]f(x)=x\left(-i\hslash {\frac {\partial }{\partial x}}\right)f(x)+i\hslash {\frac {\partial }{\partial x}}{\big (}xf(x){\big )}=

{\ displaystyle \ left [{\ hat {x}}, {\ hat {p}} \ right] f (x) = x \ left (-i \ hslash {\ frac {\ partial} {\ partial x}} \ right) f (x) + i \ hslash {\ frac {\ partial} {\ partial x}} {\ big (} xf (x) {\ big)} =}

\ left [{\ hat {x}}, {\ hat {p}} \ right] f (x) = x \ left (-i \ hslash {\ frac {\ partial} {\ partial x}} \ right) f (x) + i \ hslash {\ frac {\ partial} {\ partial x}} {\ big (} xf (x) {\ big)} =

-i\hslash \left[x{\frac {\partial }{\partial x}}f(x)-f(x)-x{\frac {\partial }{\partial x}}f(x)\right]=+i\hslash f(x).

{\ displaystyle -i \ hslash \ left [x {\ frac {\ partial} {\ partial x}} f (x) -f (x) -x {\ frac {\ partial} {\ partial x}} f ( x) \ dreapta] = + i \ hslash f (x).}

-i \ hslash \ left [x {\ frac {\ partial} {\ partial x}} f (x) -f (x) -x {\ frac {\ partial} {\ partial x}} f (x) \ dreapta] = + i \ hslash f (x).

Întrucât relația este valabilă pentru fiecare funcție $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ din $H.$ ${\ displaystyle H}$ $H.$ , concluzionăm că comutatorul este operatorul care înmulțește fiecare funcție cu constanta $i\hslash$ ${\ displaystyle i \ hslash}$ $i \ hslash$ :

\left[{\hat {x}},{\hat {p}}\right]:f\mapsto i\hslash f.

{\ displaystyle \ left [{\ hat {x}}, {\ hat {p}} \ right]: f \ mapsto i \ hslash f.}

\ left [{\ hat {x}}, {\ hat {p}} \ right]: f \ mapsto i \ hslash f.

Generalizarea acestei relații în trei dimensiuni, cu:

{\hat {\textbf {x}}}=\left\{{{\hat {x}}_{1},{\hat {x}}_{2},{\hat {x}}_{3}}\right\},{\hat {\textbf {p}}}=\left\{{{\hat {p}}_{1},{\hat {p}}_{2},{\hat {p}}_{3}}\right\}

{\ displaystyle {\ hat {\ textbf {x}}} = \ left \ {{{\ hat {x}} _ {1}, {\ hat {x}} _ {2}, {\ hat {x} } _ {3}} \ right \}, {\ hat {\ textbf {p}}} = \ left \ {{{\ hat {p}} _ {1}, {\ hat {p}} _ {2 }, {\ hat {p}} _ {3}} \ right \}}

{\ hat {{\ textbf x}}} = \ left \ {{{\ hat x} _ {1}, {\ hat x} _ {2}, {\ hat x} _ {3}} \ right \ }, {\ hat {{\ textbf p}}} = \ left \ {{{\ hat p} _ {1}, {\ hat p} _ {2}, {\ hat p} _ {3}} \ dreapta \}

este următorul:

\left[{\hat {x}}_{i},{\hat {p}}_{j}\right]=i\hslash \delta _{ij}

{\ displaystyle \ left [{\ hat {x}} _ {i}, {\ hat {p}} _ {j} \ right] = i \ hslash \ delta _ {ij}}

\ left [{\ hat {x}} _ {i}, {\ hat {p}} _ {j} \ right] = i \ hslash \ delta _ {{ij}}

unde este $\delta _{ij}$ ${\ displaystyle \ delta _ {ij}}$ $\ delta_ {ij}$ este delta Kronecker .

Alte relații utile de comutare în mecanica cuantică sunt următoarele, unde $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ este un număr întreg mai mare sau egal cu zero e $f(p)$ ${\ displaystyle f (p)}$ $f (p)$ Și $g(x)$ ${\ displaystyle g (x)}$ $g (x)$ două funcții care pot fi dezvoltate în seria Taylor :

$\left[{\hat {x}},{\hat {p}}^{n}\right]=i\hslash n{\hat {p}}^{n-1}$ ${\ displaystyle \ left [{\ hat {x}}, {\ hat {p}} ^ {n} \ right] = i \ hslash n {\ hat {p}} ^ {n-1}}$ $\ left [{\ hat {x}}, {\ hat {p}} ^ {n} \ right] = i \ hslash n {\ hat {p}} ^ {{n-1}}$
$\left[{\hat {x}}^{n},{\hat {p}}\right]=i\hslash n{\hat {x}}^{n-1}$ ${\ displaystyle \ left [{\ hat {x}} ^ {n}, {\ hat {p}} \ right] = i \ hslash n {\ hat {x}} ^ {n-1}}$ $\ left [{\ hat {x}} ^ {n}, {\ hat {p}} \ right] = i \ hslash n {\ hat {x}} ^ {{n-1}}$
$\left[{\hat {x}},f({\hat {p}})\right]=i\hslash {\frac {\partial f}{\partial p}}$ ${\ displaystyle \ left [{\ hat {x}}, f ({\ hat {p}}) \ right] = i \ hslash {\ frac {\ partial f} {\ partial p}}}$ $\ left [{\ hat {x}}, f ({\ hat {p}}) \ right] = i \ hslash {\ frac {\ partial f} {\ partial p}}$
$\left[g({\hat {x}}),{\hat {p}}\right]=i\hslash {\frac {\partial g}{\partial x}}$ ${\ displaystyle \ left [g ({\ hat {x}}), {\ hat {p}} \ right] = i \ hslash {\ frac {\ partial g} {\ partial x}}}$ $\ left [g ({\ hat {x}}), {\ hat {p}} \ right] = i \ hslash {\ frac {\ partial g} {\ partial x}}$

Demonstrații

Să demonstrăm mai întâi relația

$\left[{\hat {x}},{\hat {p}}^{n}\right]=i\hslash n{\hat {p}}^{n-1}$ ${\ displaystyle \ left [{\ hat {x}}, {\ hat {p}} ^ {n} \ right] = i \ hslash n {\ hat {p}} ^ {n-1}}$ $\ left [{\ hat {x}}, {\ hat {p}} ^ {n} \ right] = i \ hslash n {\ hat {p}} ^ {{n-1}}$

Dovada are loc prin inducție : relația este adevărată pentru $n=1$ ${\ displaystyle n = 1}$ $n = 1$ , să presupunem că este adevărat pentru orice $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ și apoi arătăm că este valabil și pentru $n+1$ ${\ displaystyle n + 1}$ $n + 1$

\left[{{\hat {x}},{\hat {p}}^{n+1}}\right]={\hat {p}}\left[{{\hat {x}},{\hat {p}}^{n}}\right]+\left[{{\hat {x}},{\hat {p}}}\right]{\hat {p}}^{n}=i\hslash n{\hat {p}}{\hat {p}}^{n-1}+i\hslash {\hat {p}}^{n}=i\hslash \left({n+1}\right){\hat {p}}^{n}

{\ displaystyle \ left [{{\ hat {x}}, {\ hat {p}} ^ {n + 1}} \ right] = {\ hat {p}} \ left [{{\ hat {x} }, {\ hat {p}} ^ {n}} \ right] + \ left [{{\ hat {x}}, {\ hat {p}}} \ right] {\ hat {p}} ^ { n} = i \ hslash n {\ hat {p}} {\ hat {p}} ^ {n-1} + i \ hslash {\ hat {p}} ^ {n} = i \ hslash \ left ({ n + 1} \ dreapta) {\ hat {p}} ^ {n}}

\ left [{{\ hat x}, {\ hat p} ^ {{n + 1}}} \ right] = {\ hat p} \ left [{{\ hat x}, {\ hat p} ^ { n}} \ right] + \ left [{{\ hat x}, {\ hat p}} \ right] {\ hat p} ^ {n} = i \ hslash n {\ hat p} {\ hat p} ^ {{n-1}} + i \ hslash {\ hat p} ^ {n} = i \ hslash \ left ({n + 1} \ right) {\ hat p} ^ {n}

Dovada

$\left[{\hat {x}}^{n},{\hat {p}}\right]=i\hslash n{\hat {x}}^{n-1}$ ${\ displaystyle \ left [{\ hat {x}} ^ {n}, {\ hat {p}} \ right] = i \ hslash n {\ hat {x}} ^ {n-1}}$ $\ left [{\ hat {x}} ^ {n}, {\ hat {p}} \ right] = i \ hslash n {\ hat {x}} ^ {{n-1}}$

este analog cu precedentul.

Să demonstrăm acum relația

$\left[{\hat {x}},f({\hat {p}})\right]=i\hslash {\frac {\partial f}{\partial p}}$ ${\ displaystyle \ left [{\ hat {x}}, f ({\ hat {p}}) \ right] = i \ hslash {\ frac {\ partial f} {\ partial p}}}$ $\ left [{\ hat {x}}, f ({\ hat {p}}) \ right] = i \ hslash {\ frac {\ partial f} {\ partial p}}$

Folosind dezvoltarea lui Taylor putem scrie

f\left(p\right)=\sum \limits _{n}{\alpha _{n}p^{n}}

{\ displaystyle f \ left (p \ right) = \ sum \ limits _ {n} {\ alpha _ {n} p ^ {n}}}

f \ left (p \ right) = \ sum \ limits _ {n} {\ alpha _ {n} p ^ {n}}

din care primim

\left[{{\hat {x}},f\left({\hat {p}}\right)}\right]=\left[{{\hat {x}},\sum \limits _{n}{\alpha _{n}{\hat {p}}^{n}}}\right]=\sum \limits _{n}{\alpha _{n}\left[{{\hat {x}},{\hat {p}}^{n}}\right]=i\hslash \sum \limits _{n}{\alpha _{n}n{\hat {p}}^{n-1}=i\hslash {\frac {\partial }{\partial p}}\sum \limits _{n}{\alpha _{n}{\hat {p}}^{n}}=}}i\hslash {\frac {\partial f}{\partial p}}

{\ displaystyle \ left [{{\ hat {x}}, f \ left ({\ hat {p}} \ right)} \ right] = \ left [{{\ hat {x}}, \ sum \ limits _ {n} {\ alpha _ {n} {\ hat {p}} ^ {n}}} \ right] = \ sum \ limits _ {n} {\ alpha _ {n} \ left [{{\ hat {x}}, {\ hat {p}} ^ {n}} \ right] = i \ hslash \ sum \ limits _ {n} {\ alpha _ {n} n {\ hat {p}} ^ {n -1} = i \ hslash {\ frac {\ partial} {\ partial p}} \ sum \ limits _ {n} {\ alpha _ {n} {\ hat {p}} ^ {n}} =}} i \ hslash {\ frac {\ partial f} {\ partial p}}}

\ left [{{\ hat x}, f \ left ({{\ hat p}} \ right)} \ right] = \ left [{{\ hat x}, \ sum \ limits _ {n} {\ alpha _ {n} {\ hat p} ^ {n}}} \ right] = \ sum \ limits _ {n} {\ alpha _ {n} \ left [{{\ hat x}, {\ hat p} ^ {n}} \ right] = i \ hslash \ sum \ limits _ {n} {\ alpha _ {n} n {\ hat p} ^ {{n-1}} = i \ hslash {\ frac {\ partial } {{\ partial p}}} \ sum \ limits _ {n} {\ alpha _ {n} {\ hat p} ^ {n}} =}} i \ hslash {\ frac {{\ partial f}} {{\ partial p}}}

Dovada

$\left[g({\hat {x}}),{\hat {p}}\right]=i\hslash {\frac {\partial g}{\partial x}}$ ${\ displaystyle \ left [g ({\ hat {x}}), {\ hat {p}} \ right] = i \ hslash {\ frac {\ partial g} {\ partial x}}}$ $\ left [g ({\ hat {x}}), {\ hat {p}} \ right] = i \ hslash {\ frac {\ partial g} {\ partial x}}$

este analog cu precedentul.

Elemente conexe

Controlul autorității	LCCN (EN) sh88001145 · GND (DE) 4164826-2

Portalul de fizică

Portalul de matematică