Compactificare

În topologie, compactificarea este un proces prin care un spațiu topologic este extins pentru ao face compactă . Această operațiune poate fi realizată cu diferite metode, în funcție de proprietățile care sunt necesare pentru obținerea spațiului compact; fiecare metodă de compactificare duce în general la obținerea unor spații diferite pornind de la același spațiu inițial. Compactarea unui spațiu face posibilă utilizarea numeroaselor proprietăți ale spațiilor compacte, din care uneori este posibil să se deducă proprietățile spațiilor de pornire.

Tipuri de compactificare

Intuitiv, toate metodele de compactare se bazează pe principiul controlului „evadării la infinit” tipic spațiilor necompacte, pentru care există întotdeauna o acoperire deschisă care nu poate fi trasată la o acoperire finită; tehnicile obișnuite de compactificare controlează această evadare adăugând în mod corespunzător „puncte la infinit”, scufundând spațiul de pornire într-un alt spațiu compact, astfel încât să constituie un subspatiu dens .

Compactificările de interes deosebit sunt cele în care spațiul compact obținut este al lui Hausdorff ; întrucât fiecare spațiu compact Hausdorff este, de asemenea, al lui Tychonoff și fiecare subspatiu al unui spațiu Tychonoff este, de asemenea, al lui Tychonoff, rezultă că orice spațiu care posedă o compactificare Hausdorff trebuie să fie al lui Tychonoff; mai mult, folosind compactificarea Stone-Čech dovedim și inversul, și anume că fiecare spațiu Tychnoff are o compactificare Hausdorff.

Compactificarea lui Alexandroff

Același subiect în detaliu: compactificarea Alexandroff .

Compactificarea Alexandroff este cea mai simplă formă de compactificare a unui spațiu topologic. Se obține prin adăugarea unui singur punct în spațiul în sine, numit punctul infinit, și considerând ca deschise toate mulțimile care conțin punctul la infinit și al căror complementar este compact.

Compacificarea Stone-Čech

Același subiect în detaliu: compactificarea Stone-Čech .

Având în vedere un spațiu topologic $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ de Tychonoff, compactificarea Stone-Čech $\beta X$ ${\ displaystyle \ beta X}$ ${\ displaystyle \ beta X}$ se caracterizează prin proprietatea universală că fiecare funcție continuă $f:X\rightarrow K$ ${\ displaystyle f: X \ rightarrow K}$ ${\ displaystyle f: X \ rightarrow K}$ poate fi extins la o funcție continuă într-un singur mod ${\bar {f}}:\beta X\rightarrow K$ ${\ displaystyle {\ bar {f}}: \ beta X \ rightarrow K}$ ${\ displaystyle {\ bar {f}}: \ beta X \ rightarrow K}$ . În plus $\beta X$ ${\ displaystyle \ beta X}$ ${\ displaystyle \ beta X}$ este, de asemenea, cel mai mare spațiu în care este posibil să se extindă $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ ; în acest sens, compactificarea lui Stone-Čech este cea mai mare compactificare posibilă a unui spațiu dat, spre deosebire de cea a lui Alexandroff, care este cea mai mică posibilă.

Compactarea liniei reale

Linia reală , cu topologia obișnuită derivată din metrica euclidiană , nu este un spațiu compact, deoarece este nelimitat ; compactarea Alexandroff a liniei se obține prin adăugarea unui punct la infinit $\infty$ ${\ displaystyle \ infty}$ $\ infty$ care devine limita oricărei succesiuni reale care, în modul, tinde spre infinit.

Spațiul compact astfel obținut este homeomorf la circumferință . Homeomorfismul se obține în felul următor: odată ce o origine este fixată pe circumferință, orice alt punct al circumferinței este identificat prin unghiul din centru care are punctul și originea ca extreme, cu convenția exprimării unghiurilor în radiani în intervalul deschis $(-\pi ,\pi )$ ${\ displaystyle (- \ pi, \ pi)}$ ${\ displaystyle (- \ pi, \ pi)}$ ; corespondenţă

{\begin{matrix}f:&C^{1}&\rightarrow &\mathbb {R} \\&\theta &\mapsto &\tan \theta \end{matrix}}

{\ displaystyle {\ begin {matrix} f: & C ^ {1} & \ rightarrow & \ mathbb {R} \\ & \ theta & \ mapsto & \ tan \ theta \ end {matrix}}}

{\ displaystyle {\ begin {matrix} f: & C ^ {1} & \ rightarrow & \ mathbb {R} \\ & \ theta & \ mapsto & \ tan \ theta \ end {matrix}}}

este căutat homeomorfismul; mapează fiecare punct de pe circumferință la un punct de pe linie, cu excepția punctului corespunzător $\theta ={\frac {\pi }{2}}$ ${\ displaystyle \ theta = {\ frac {\ pi} {2}}}$ ${\ displaystyle \ theta = {\ frac {\ pi} {2}}}$ , prin care funcția tangentă nu este definită, care este asociată cu punctul la infinit.

Intuitiv, această compactare corespunde „scurtării” liniei care o face să coincidă cu intervalul $]-\pi ,\pi [$ ${\ displaystyle] - \ pi, \ pi [}$ ${\ displaystyle] - \ pi, \ pi [}$ , apoi pentru a lipi capetele aceluiași interval adăugând punctul la infinit. Spațiul obținut este, de asemenea, homeomorf pentru spațiul proiectiv $\mathbb {RP} ^{1}$ ${\ displaystyle \ mathbb {RP} ^ {1}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {RP} ^ {1}}$

O altă compactare a liniei se obține prin adăugarea a două puncte la infinit, $+\infty$ ${\ displaystyle + \ infty}$ $+ \ infty$ Și $-\infty$ ${\ displaystyle - \ infty}$ $- \ infty$ ; spațiul compact obținut în acest caz este homeomorf la intervalul închis $[-1,1]$ ${\ displaystyle [-1,1]}$ ${\ displaystyle [-1,1]}$ .

Spații proiective și spații euclidiene

Așa cum s-a văzut mai sus, spațiul proiectiv $\mathbb {RP} ^{1}$ ${\ displaystyle \ mathbb {RP} ^ {1}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {RP} ^ {1}}$ este compactarea liniei reale; mai general, spațiul proiectiv $\mathbb {RP} ^{n}$ ${\ displaystyle \ mathbb {RP} ^ {n}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {RP} ^ {n}}$ poate fi văzut ca compactarea spațiului euclidian $\mathbb {R} ^{n}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$ $\ mathbb {R} ^ {n}$ . Compactarea se realizează prin adăugarea la fiecare direcție în $R^{n}$ ${\ displaystyle R ^ {n}}$ $R ^ {n}$ , identificat de o pereche de versori opuși, un punct la infinit. Cu excepția cazului $n=1$ ${\ displaystyle n = 1}$ $n = 1$ , această compactificare nu este a lui Alexandroff.

De asemenea, este posibil să compactăm spații complexe; compactificarea $\mathbb {C}$ ${\ displaystyle \ mathbb {C}}$ ${\ mathbb {C}}$ este spațiul proiectiv complex $\mathbb {CP}$ ${\ displaystyle \ mathbb {CP}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {CP}}$ care este identificabil cu sfera Riemann .

Utilizarea spațiilor proiective este foarte frecventă în geometria algebrică, deoarece adăugarea punctelor la infinit facilitează formularea numeroaselor teoreme; de exemplu două linii care nu coincid în planul proiectiv $\mathbb {RP} ^{2}$ ${\ displaystyle \ mathbb {RP} ^ {2}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {RP} ^ {2}}$ se intersectează întotdeauna la un punct, spre deosebire de liniile paralele ale planului euclidian .

Cu clarificările corespunzătoare, spațiile proiective pot fi, de asemenea, generalizate în inele cu topologie: de exemplu, inelul cuaternionilor $\mathbb {H}$ ${\ displaystyle \ mathbb {H}}$ ${\ mathbb {H}}$ poate fi compactat prin linia sa proiectivă care este homeomorfă a $S^{4}$ ${\ displaystyle S ^ {4}}$ $S ^ 4$ .

Bibliografie

Marco Manetti , Topologia , Springer, 2008. ISBN 978-88-470-0756-7 .
Walter Rudin , Analiza reală și complexă , McGraw-Hill, 1970

Elemente conexe

Proiecție stereografică , pentru compactare la un punct de $\mathbb {R}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R}}$ $\ mathbb {R}$ Și $\mathbb {C}$ ${\ displaystyle \ mathbb {C}}$ ${\ mathbb {C}}$

linkuri externe

( EN ) Compactificare de la MathWorld

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică