Complement al lui Schur
Această intrare sau secțiune despre matematică nu citează sursele necesare sau cei prezenți sunt insuficienți . |
În teoria algebrei liniare și a matricii , complementul lui Schur este o construcție numită după matematicianul german Issai Schur (1875-1941).
Definiție
Să presupunem că A , B , C și D sunt matrici de tip p × p , p × q , q × p , respectiv q × q și că D este inversabil. Aceste matrice sunt blocurile matricei de tip ( p + q ) × ( p + q )
- .
Apoi definim complementul lui Schur al blocului D al matricei M matricea aspectului p × p
- .
Dacă M este o matrice simetrică pozitivă definită , se poate arăta că complementul lui Schur al lui D în M este de asemenea .
Aplicații la teoria probabilității și statistică
Considerăm doi vectori aleatori X și Y care aparțin lui R n și respectiv R m , și vectorul ( X ′, Y ′) ′ (unde a ′ denotă transpunerea lui a ); să presupunem că acesta din urmă are o distribuție normală multivariată a cărei varianță este matricea simetrică definitivă pozitivă
- .
Apoi, varianța condițională a lui X dată de Y este complementul lui C al lui Schur în V :
- .
Dacă presupunem că matricea V anterioară nu este o varianță a unui vector aleatoriu, ci o varianță a eșantionului , atunci aceasta poate avea o distribuție Wishart . În acest caz, complementul Schur al lui C în V are, de asemenea , o distribuție Wishart.