Număr complex

Un număr complex este definit ca un număr de forma $x+iy$ ${\ displaystyle x + iy}$ ${\ displaystyle x + iy}$ , cu $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ Și $y$ ${\ displaystyle y}$ $y$ numere reale e $the$ ${\ displaystyle i}$ $the$ o soluție a ecuației $x^{2}=-1$ ${\ displaystyle x ^ {2} = - 1}$ $x ^ 2 = -1$ numita unitate imaginară . Numerele complexe sunt folosite în toate domeniile de matematică , în multe domenii ale fizicii (notorie în mecanica cuantică ), precum și în inginerie ( în special în electronica , telecomunicații și inginerie electrică ) pentru utilitatea lor în reprezentarea undelor electromagnetice și momentul temporal de curenți electrici . sinusoidală .

În matematică, numere complexe formează un domeniu (precum și o adevărată bidimensională algebra ) și sunt în general vizualizate ca puncte pe un plan , numit un plan complex . Cea mai importantă proprietate a numerelor complexe se bazează pe teorema fundamentală a algebrei , conform căruia orice ecuație polinomială de gradul $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ are $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ soluții complexe, nu neapărat distincte.

Introducere informală

Unitatea imaginară

De-a lungul secolelor, seturi de numere au extins treptat, probabil pentru a răspunde la necesitatea de a rezolva mereu noi ecuații și probleme. ^[1]

Numerele complexe sunt o extensie a numerelor reale , creat inițial pentru a vă permite să găsiți toate soluțiile de ecuații polinomiale . De exemplu, ecuația

x^{2}=-1

{\ displaystyle x ^ {2} = - 1}

x ^ 2 = -1

nu are soluții în mulțimea numerelor reale, deoarece în acest set nu există numere al căror pătrat este negativ.

Valoarea este apoi definită $the$ ${\ displaystyle i}$ $the$ , Numit o unitate imaginară , care are următoarea proprietate:

i^{2}=-1.

{\ displaystyle i ^ {2} = - 1.}

{\ displaystyle i ^ {2} = - 1.}

Numerele complexe constau din două părți, o parte reală și o parte imaginară , și sunt reprezentate de următoarea expresie:

a+ib,

{\ displaystyle a + ib,}

{\ displaystyle a + ib,}

unde este $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ Și $b$ ${\ displaystyle b}$ $b$ sunt numere reale, $the$ ${\ displaystyle i}$ $the$ este unitatea imaginară.

Legile suma algebrică și ale produsului în număr complex se aplică de a face matematica în mod obișnuit și știind că $i^{2}=-1$ ${\ displaystyle i ^ {2} = - 1}$ $i ^ 2 = -1$ .

Ca numere reale corespund punctelor de o linie dreaptă , numerele complexe corespund punctelor din planul , numit complex (sau Argand-Gauss) planul : la numărul de complex $a+ib$ ${\ displaystyle a + ib}$ $a + ib$ de coordonate cartezian punctul este asociat $(a,b)$ ${\ displaystyle (a, b)}$ $(a, b)$ .

Ecuații cu coeficienți reali cu soluții nereale

Folosind relația $i^{2}=-1$ ${\ displaystyle i ^ {2} = - 1}$ $i ^ 2 = -1$ toate ecuațiile de gradul al doilea pot fi rezolvate

ax^{2}+bx+c=0,

{\ displaystyle ax ^ {2} + bx + c = 0,}

{\ displaystyle ax ^ {2} + bx + c = 0,}

cu $a,b,c\in \mathbb {R}$ ${\ displaystyle a, b, c \ in \ mathbb {R}}$ $a, b, c \ in \ R$ , inclusiv cele care nu au soluții reale, deoarece au un discriminant negativ:

\Delta =b^{2}-4ac<0.

{\ displaystyle \ Delta = b ^ {2} -4ac <0.}

\ Delta = b ^ 2-4ac <0.

Soluțiile sunt determinate de formula soluției ecuației

x={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}={\frac {-b\pm {\sqrt {\Delta }}}{2a}}

{\ displaystyle x = {\ frac {-b \ pm {\ sqrt {b ^ {2} -4ac}}} {2a}} = {\ frac {-b \ pm {\ sqrt {\ Delta}}} { 2a}}}

x = \ frac {-b \ pm \ sqrt {b ^ 2-4ac}} {2a} = \ frac {-b \ pm \ sqrt {\ Delta}} {2a}

că, în cazul în care discriminantul este negativ, are loc după cum urmează:

{\sqrt {-\Delta }}={\sqrt {(-1)(\Delta )}}={\sqrt {-1}}{\sqrt {\Delta }}=i{\sqrt {\Delta }}.

{\ displaystyle {\ sqrt {- \ Delta}} = {\ sqrt {(-1) (\ Delta)}} = {\ sqrt {-1}} {\ sqrt {\ Delta}} = i {\ sqrt { \ Delta}}.}

\ sqrt {- \ Delta} = \ sqrt {(- 1) (\ Delta)} = \ sqrt {-1} \ sqrt {\ Delta} = i \ sqrt {\ Delta}.

De exemplu:

x^{2}+4x+8=0\Rightarrow x={\frac {-4\pm {\sqrt {16-32}}}{2}}={\frac {-4\pm {\sqrt {-16}}}{2}}={\frac {-4\pm i{\sqrt {16}}}{2}}=-2\pm 2i.

{\ displaystyle x ^ {2} + 4x + 8 = 0 \ Rightarrow x = {\ frac {-4 \ pm {\ sqrt {16-32}}} {2}} = {\ frac {-4 \ pm { \ sqrt {-16}}} {2}} = {\ frac {-4 \ pm i {\ sqrt {16}}} {2}} = - 2 \ pm 2i.}

{\ displaystyle x ^ {2} + 4x + 8 = 0 \ Rightarrow x = {\ frac {-4 \ pm {\ sqrt {16-32}}} {2}} = {\ frac {-4 \ pm { \ sqrt {-16}}} {2}} = {\ frac {-4 \ pm i {\ sqrt {16}}} {2}} = - 2 \ pm 2i.}

Mai general, este adevărat că , în cazul în care un număr complex este soluția unei ecuații cu coeficienți reali, apoi său complex conjugat este , de asemenea , soluția de aceeași ecuație. Deci , în cazul unei ecuații grad impar, va exista întotdeauna cel puțin un număr real între soluțiile.

fundal

Același subiect în detaliu: Istoria numerelor complexe .

Numerele complexe au avut o geneză de lungă durată. Ei au început să fie utilizate în mod oficial , în secolul al XVI - lea , în formulele de rezolvare a treia și a patra gradul ecuațiile de Tartaglia . Primul care a reușit să atribuie soluții ecuațiilor cubice au fost Scipione del Ferro , Bombelli și , de asemenea Niccolò Tartaglia , acesta din urmă, după multe insistențe, a trecut rezultatele la Girolamo Cardano cu promisiunea de a nu le divulga. Cardano, după ce a verificat acuratețea soluțiilor lui Tartaglia, nu și-a respectat promisiunea și a publicat rezultatele, citând autorul, însă, în nota sa Ars Magna din 1545. Tartaglia a avut mulți prieteni printre inchizitori și mai târziu Cardano a avut probleme legate de justiție timpului, mulți dintre ei provenind din acuzații de erezie. În prezent, apariția rădăcinilor numerelor negative este atribuită în principal lui Tartaglia, în timp ce în cele mai puține pagini dedicate lui Cardano nu există nicio urmă a contribuției sale probabile importante la această reprezentare numerică.

Inițial , numere complexe nu au fost considerate ca fiind „numere“ , ci numai ca algebrică dispozitive utile pentru rezolvarea ecuațiilor. Ei au fost în număr de fapt „care nu ar trebui să existe“: Descartes , în secolul al XVII - lea le -a numit „numere imaginare“. Abraham de Moivre și Euler în secolul al XVIII - lea a început să furnizeze numere complexe , cu o bază teoretică, până când au luat cetățenia deplină în lumea matematică cu lucrările lui Gauss . În același timp, a fost stabilită interpretarea numerelor complexe ca puncte ale planului.

Terminologie

În matematică, multe obiecte și teoreme depind de alegerea unui set numeric de bază: de multe ori alegerea este între numere reale și numere complexe. Adjectivul „complex” este folosit aici pentru a specifica acest set de bază. De exemplu, matrici complexe, complexe polinoame, complexe spații vectoriale și algebra Lie complexe sunt definite. Există, de asemenea, complexul Sylvester teorema și teorema spectrală complexă .

Definiție modernă

Formal, un număr complex poate fi definit ca o pereche ordonată de numere reale $(a,b)$ ${\ displaystyle (a, b)}$ $(a, b)$ . Prin urmare, definim suma și produsul a două numere complexe după cum urmează:

(a,b)+(c,d)=(a+c,b+d),

{\ displaystyle (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d),}

(a, b) + (c, d) = (a + c, b + d),

(a,b)(c,d)=(ac-bd,bc+ad).

{\ displaystyle (a, b) (c, d) = (ac-bd, bc + ad).}

(a, b) (c, d) = (ac - bd, bc + ad).

Cu aceste două operații, setul de numere complexe , se dovedește a fi un câmp , care este indicat cu $\mathbb {C}$ ${\ displaystyle \ mathbb {C}}$ ${\ mathbb {C}}$ .

Numărul complex $(a,0)$ ${\ displaystyle (a, 0)}$ ${\ displaystyle (a, 0)}$ este identificat cu numărul real $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ , în timp ce numărul $(0,1)$ ${\ displaystyle (0,1)}$ $(0,1)$ aceasta se numește o unitate de imaginar și este descrisă de litera $the$ ${\ displaystyle i}$ $the$ . Elementul 1 este elementul neutru pentru multiplicare, în timp ce se verifică că:

i^{2}=(0,1)(0,1)=(-1,0)=-1.

{\ displaystyle i ^ {2} = (0,1) (0,1) = (- 1,0) = - 1.}

i ^ 2 = (0,1) (0,1) = (-1,0) = -1.

Orice număr complex $z=(a,b)$ ${\ displaystyle z = (a, b)}$ $z = (a, b)$ este ușor de scris ca o combinație liniară , după cum urmează:

z=(a,b)=(a,0)+(0,b)=a+(b,0)(0,1)=a+b(0,1)=a+bi.

{\ displaystyle z = (a, b) = (a, 0) + (0, b) = a + (b, 0) (0,1) = a + b (0,1) = a + bi.}

z = (a, b) = (a, 0) + (0, b) = a + (b, 0) (0,1) = a + b (0,1) = a + bi.

Numerele $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ Și $b$ ${\ displaystyle b}$ $b$ acestea sunt partea reală și partea imaginară a, respectiv $z$ ${\ displaystyle z}$ $z$ . Această reprezentare a numerelor complexe îl face ușor pentru a efectua operațiile de adunare și de produs. De exemplu:

(2+4i)(1-i)=2(1-i)+4i(1-i)=2-2i+4i-4i^{2}=2+2i-4(-1)=6+2i.

{\ displaystyle (2 + 4i) (1-i) = 2 (1-i) + 4i (1-i) = 2-2i + 4i-4i ^ {2} = 2 + 2i-4 (-1) = 6 + 2i.}

{\ displaystyle (2 + 4i) (1-i) = 2 (1-i) + 4i (1-i) = 2-2i + 4i-4i ^ {2} = 2 + 2i-4 (-1) = 6 + 2i.}

Definiții alternative

Utilizarea instrumentelor de teoria câmpului , domeniul numerelor complexe pot fi definite ca închiderea algebrică a câmpului numerelor reale.

Prin utilizarea instrumentelor de teoria inelelor , ea poate fi , de asemenea , introdusă ca inelul câtul al inelului de reale polinoamelor cu o singură variabilă prin idealul generat de polinomul $x^{2}+1$ ${\ displaystyle x ^ {2} +1}$ $x ^ 2 + 1$ :

\mathbb {C} =\mathbb {R} [x]/(x^{2}+1).

{\ displaystyle \ mathbb {C} = \ mathbb {R} [x] / (x ^ {2} +1).}

{\ displaystyle \ mathbb {C} = \ mathbb {R} [x] / (x ^ {2} +1).}

Acesta este de fapt un câmp de ce $x^{2}+1$ ${\ displaystyle x ^ {2} +1}$ $x ^ 2 + 1$ este ireductibilă . Rădăcina polinomului $x^{2}+1$ ${\ displaystyle x ^ {2} +1}$ $x ^ 2 + 1$ este unitatea imaginară $the$ ${\ displaystyle i}$ $the$ , deci inelul coeficient este izomorf pentru $\mathbb {R} [i]=\mathbb {C}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} [i] = \ mathbb {C}}$ $\ mathbb {R} [i] = \ mathbb {C}$ .

Geometrie

Același subiect în detaliu: Reprezentarea numerelor complexe si Plan complex .

Un număr complex poate fi văzut ca un punct de pe planul cartezian , numit în acest caz Gaussian avionul. O astfel de reprezentare a este numită diagrama Argand-Gauss. În figură vedem că

z=x+iy=r(\cos \varphi +i\sin \varphi ),

{\ displaystyle z = x + iy = r (\ cos \ varphi + i \ sin \ varphi),}

{\ displaystyle z = x + iy = r (\ cos \ varphi + i \ sin \ varphi),}

fiind $\cos \varphi$ ${\ displaystyle \ cos \ varphi}$ $\ cos \ varphi$ Și $\sin \varphi$ ${\ displaystyle \ sin \ varphi}$ $\ sin \ varphi$ Funcții trigonometrice .

Formulele inverse sunt:

r={\sqrt {x^{2}+y^{2}}},

{\ displaystyle r = {\ sqrt {x ^ {2} + y ^ {2}}},}

{\ displaystyle r = {\ sqrt {x ^ {2} + y ^ {2}}},}

\varphi =\arctan {\frac {y}{x}},

{\ displaystyle \ varphi = \ arctan {\ frac {y} {x}},}

{\ displaystyle \ varphi = \ arctan {\ frac {y} {x}},}

pentru

x>0,

{\ displaystyle x> 0,}

{\ displaystyle x> 0,}

\varphi =\arctan {\frac {y}{x}}+\pi ,

{\ displaystyle \ varphi = \ arctan {\ frac {y} {x}} + \ pi,}

{\ displaystyle \ varphi = \ arctan {\ frac {y} {x}} + \ pi,}

pentru

x<0.

{\ displaystyle x <0.}

{\ displaystyle x <0.}

Folosind formula lui Euler , putem exprima $z$ ${\ displaystyle z}$ $z$ ca

z=r(\cos \varphi +i\sin \varphi )=re^{i\varphi },

{\ displaystyle z = r (\ cos \ varphi + i \ sin \ varphi) = re ^ {i \ varphi},}

{\ displaystyle z = r (\ cos \ varphi + i \ sin \ varphi) = re ^ {i \ varphi},}

prin intermediul funcției exponențiale . Aici $r$ ${\ displaystyle r}$ $r$ este modulul (sau valoare absolută sau normă) e $\varphi$ ${\ displaystyle \ varphi}$ $\ varphi$ (numita anomalie) este argumentul $z$ ${\ displaystyle z}$ $z$ . Argumentul este determinat de $z$ ${\ displaystyle z}$ $z$ în cazul în care se intenționează în intervalul $[0,2\pi )$ ${\ displaystyle [0,2 \ pi)}$ $[0,2 \ pi)$ , altfel este definit doar până la sume cu $2k\pi$ ${\ displaystyle 2k \ pi}$ $2k \ pi$ pentru unele întregi $k$ ${\ displaystyle k}$ $k$ .

Operații cu numere complexe

Modul și distanță

|z|={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}.

{\ displaystyle | z | = {\ sqrt {x ^ {2} + y ^ {2}}}.}

{\ displaystyle | z | = {\ sqrt {x ^ {2} + y ^ {2}}}.}

Valoarea absolută (modulo) are următoarele proprietăți:

|z+w|\leq |z|+|w|,

{\ displaystyle | z + w | \ leq | z | + | w |,}

{\ displaystyle | z + w | \ leq | z | + | w |,}

|zw|=|z||w|,

{\ displaystyle | zw | = | z || w |,}

{\ displaystyle | zw | = | z || w |,}

\left|{\frac {z}{w}}\right|={\frac {|z|}{|w|}},

{\ displaystyle \ left | {\ frac {z} {w}} \ right | = {\ frac {| z |} {| w |}},}

{\ displaystyle \ left | {\ frac {z} {w}} \ right | = {\ frac {| z |} {| w |}},}

de sine

w\neq 0,

{\ displaystyle w \ neq 0,}

{\ displaystyle w \ neq 0,}

valabil pentru toate numerele complexe $z$ ${\ displaystyle z}$ $z$ Și $w$ ${\ displaystyle w}$ $w$ .

Prima proprietate este o versiune a inegalității triunghiulare .

Distanța dintre două puncte din planul complex este pur și simplu dat de

d(z,w)=|z-w|.

{\ displaystyle d (z, w) = | zw |.}

{\ displaystyle d (z, w) = | z-w |.}

Căsătorit

Același subiect în detaliu: conjugați cu complexe .

Conjugatul complex al numărului complex $z=a+ib$ ${\ displaystyle z = a + ib}$ $z = a + ib$ este definit ca

{\bar {z}}=a-ib.

{\ displaystyle {\ bar {z}} = a-ib.}

\ bar z = a-ib.

De asemenea, este denumită uneori $z^{*}$ ${\ displaystyle z ^ {*}}$ $z ^ *$ . Planul general ${\bar {z}}$ ${\ displaystyle {\ bar {z}}}$ $\ bar {z}$ se obține din $z$ ${\ displaystyle z}$ $z$ prin simetrie în raport cu axa reală. Se aplică următoarele proprietăți:

{\overline {z+w}}={\bar {z}}+{\bar {w}};

{\ displaystyle {\ overline {z + w}} = {\ bar {z}} + {\ bar {w}};}

{\ displaystyle {\ overline {z + w}} = {\ bar {z}} + {\ bar {w}};}

{\overline {zw}}={\bar {z}}{\bar {w}};

{\ displaystyle {\ overline {zw}} = {\ bar {z}} {\ bar {w}};}

{\ displaystyle {\ overline {zw}} = {\ bar {z}} {\ bar {w}};}

{\overline {(z/w)}}={\bar {z}}/{\bar {w}};

{\ displaystyle {\ overline {(z / w)}} = {\ bar {z}} / {\ bar {w}};}

{\ displaystyle {\ overline {(z / w)}} = {\ bar {z}} / {\ bar {w}};}

{\bar {\bar {z}}}=z;

{\ displaystyle {\ bar {\ bar {z}}} = z;}

{\ displaystyle {\ bar {\ bar {z}}} = z;}

{\bar {z}}=z\Longleftrightarrow z\in \mathbb {R} ;

{\ displaystyle {\ bar {z}} = z \ Longleftrightarrow z \ in \ mathbb {R};}

{\ displaystyle {\ bar {z}} = z \ Longleftrightarrow z \ in \ mathbb {R};}

|z|=|{\bar {z}}|;

{\ displaystyle | z | = | {\ bar {z}} |;}

{\ displaystyle | z | = | {\ bar {z}} |;}

|z|^{2}=z{\bar {z}}.

{\ displaystyle | z | ^ {2} = z {\ bar {z}}.}

{\ displaystyle | z | ^ {2} = z {\ bar {z}}.}

Reciproc

Același subiect în detaliu: inversul unui număr complex .

Cunoașterea valorii absolute și conjugatul unui număr complex $z\neq 0$ ${\ displaystyle z \ neq 0}$ $z \ neq 0$ este posibil să se calculeze reciprocitatea acestuia $z^{-1}$ ${\ displaystyle z ^ {- 1}}$ $z ^ {- 1}$ prin formula:

z^{-1}={\frac {\bar {z}}{|z|^{2}}}.

{\ displaystyle z ^ {- 1} = {\ frac {\ bar {z}} {| z | ^ {2}}}.}

{\ displaystyle z ^ {- 1} = {\ frac {\ bar {z}} {| z | ^ {2}}}.}

Adică dacă $z=a+ib$ ${\ displaystyle z = a + ib}$ $z = a + ib$ noi obținem

z^{-1}={\frac {a-ib}{a^{2}+b^{2}}}.

{\ displaystyle z ^ {- 1} = {\ frac {a-ib} {a ^ {2} + b ^ {2}}}.}

{\ displaystyle z ^ {- 1} = {\ frac {a-ib} {a ^ {2} + b ^ {2}}}.}

Suma algebrică

Relațiile merită

(a+ib)+(c+id)=(a+c)+i(b+d),

{\ displaystyle (a + ib) + (c + id) = (a + c) + i (b + d),}

(a + ib) + (c + id) = (a + c) + i (b + d),

(a+ib)-(c+id)=(a-c)+i(b-d).

{\ displaystyle (a + ib) - (c + id) = (ac) + i (bd).}

(a + ib) - (c + id) = (a - c) + i (b - d).

Suma a două numere complexe este echivalentă cu suma obișnuită între vectori în planul complex.

Produs

Merita

(a+ib)(c+id)=(ac-bd)+i(bc+ad).

{\ displaystyle (a + ib) (c + id) = (ac-bd) + i (bc + ad).}

{\ displaystyle (a + ib) (c + id) = (ac-bd) + i (bc + ad).}

În realitate, produsul este doar rezultatul unui produs foarte normal de binomii. Folosind reprezentarea

z=re^{i\theta }

{\ displaystyle z = re ^ {i \ theta}}

z = re ^ {{i \ theta}}

și proprietățile funcției exponențiale , produsul a două numere complexe

z_{1}=r_{1}e^{i\theta _{1}},\quad z_{2}=r_{2}e^{i\theta _{2}}

{\ displaystyle z_ {1} = r_ {1} e ^ {i \ theta _ {1}}, \ quad z_ {2} = r_ {2} e ^ {i \ theta _ {2}}}

{\ displaystyle z_ {1} = r_ {1} e ^ {i \ theta _ {1}}, \ quad z_ {2} = r_ {2} e ^ {i \ theta _ {2}}}

ia forma cea mai lină

z_{1}\cdot z_{2}=r_{1}e^{i\theta _{1}}\cdot r_{2}e^{i\theta _{2}}=r_{1}r_{2}e^{i(\theta _{1}+\theta _{2})}.

{\ displaystyle z_ {1} \ cdot z_ {2} = r_ {1} e ^ {i \ theta _ {1}} \ cdot r_ {2} e ^ {i \ theta _ {2}} = r_ {1 } r_ {2} e ^ {i (\ theta _ {1} + \ theta _ {2})}.}

{\ displaystyle z_ {1} \ cdot z_ {2} = r_ {1} e ^ {i \ theta _ {1}} \ cdot r_ {2} e ^ {i \ theta _ {2}} = r_ {1 } r_ {2} e ^ {i (\ theta _ {1} + \ theta _ {2})}.}

Cu alte cuvinte, în produsul a două numere complexe, argumentele sunt adăugate și modulele înmulțite.

Această declarație vă permite să demonstreze regula semnelor de produs : $-\cdot -=+$ ${\ displaystyle - \ cdot - = +}$ $- \ cdot - = +$ . De fapt, dacă considerăm că argumentul unui număr real negativ este de 180º, înmulțind două dintre aceste numere împreună obținem un număr cu argumentul 360 ° și deci 0 ° care este argumentul unui număr real pozitiv.

O înmulțire cu un număr complex poate fi văzută ca un simultan rotație și homothety . Înmulțiți un vector sau echivalent un număr complex cu elementul $the$ ${\ displaystyle i}$ $the$ produce o rotație de 90 °, în sens invers acelor de ceasornic, a numărului complex de pornire. Evident multiplicarea cu $the$ ${\ displaystyle i}$ $the$ și apoi din nou pentru $the$ ${\ displaystyle i}$ $the$ produce o rotație de 180 °; acest lucru este logic din moment ce $i^{2}=-1$ ${\ displaystyle i ^ {2} = - 1}$ $i ^ 2 = -1$ .

Relaţie

Relația dintre două numere complexe $z_{1}=a+ib$ ${\ displaystyle z_ {1} = a + ib}$ $z_1 = a + ib$ Și $z_{2}=c+id$ ${\ displaystyle z_ {2} = c + id}$ $z_2 = c + id$ este dat de:

{z_{1} \over z_{2}}={a+ib \over c+id}={(a+ib) \over (c+id)}{(c-id) \over (c-id)}={\frac {ac+bd+i(cb-ad)}{c^{2}+d^{2}}}.

{\ displaystyle {z_ {1} \ over z_ {2}} = {a + ib \ over c + id} = {(a + ib) \ over (c + id)} {(c-id) \ over ( c-id)} = {\ frac {ac + bd + i (cb-ad)} {c ^ {2} + d ^ {2}}}.}

{z_1 \ over z_2} = {a + ib \ over c + id} = {(a + ib) \ over (c + id)} {(c-id) \ over (c-id)} = \ frac { ac + bd + i (cb-ad)} {c ^ 2 + d ^ 2}.

Folosind reprezentarea

z=re^{i\theta },

{\ displaystyle z = re ^ {i \ theta},}

{\ displaystyle z = re ^ {i \ theta},}

raportul a două numere complexe este

{\frac {r_{1}e^{i\theta _{1}}}{r_{2}e^{i\theta _{2}}}}={\frac {r_{1}}{r_{2}}}e^{i(\theta _{1}-\theta _{2})}.

{\ displaystyle {\ frac {r_ {1} e ^ {i \ theta _ {1}}} {r_ {2} e ^ {i \ theta _ {2}}}} = {\ frac {r_ {1} } {r_ {2}}} și ^ {i (\ theta _ {1} - \ theta _ {2})}.}

{\ displaystyle {\ frac {r_ {1} e ^ {i \ theta _ {1}}} {r_ {2} e ^ {i \ theta _ {2}}}} = {\ frac {r_ {1} } {r_ {2}}} și ^ {i (\ theta _ {1} - \ theta _ {2})}.}

Puteri

Reprezentând fiecare număr complex ca

z=re^{i\theta }

{\ displaystyle z = re ^ {i \ theta}}

z = re ^ {i \ theta}

puterea este ușor de descris $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ -alea

z^{n}=r^{n}e^{ni\theta },

{\ displaystyle z ^ {n} = r ^ {n} e ^ {ni \ theta},}

{\ displaystyle z ^ {n} = r ^ {n} e ^ {ni \ theta},}

pentru fiecare $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ întreg . Cu o notație ușor diferită:

z=|z|(\cos \theta +i\sin \theta )

{\ displaystyle z = | z | (\ cos \ theta + i \ sin \ theta)}

z = | z | (\ cos \ theta + i \ sin \ theta)

Formula De Moivre se obține:

z^{n}=|z|^{n}(\cos(n\theta )+i\sin(n\theta )).

{\ displaystyle z ^ {n} = | z | ^ {n} (\ cos (n \ theta) + i \ sin (n \ theta)).}

{\ displaystyle z ^ {n} = | z | ^ {n} (\ cos (n \ theta) + i \ sin (n \ theta)).}

Mai mult, fiecare număr complex are exact $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ rădăcini $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ -lea: în special, nu există nici o modalitate unică de a defini rădăcina pătrată a unui număr complex.

Același subiect în detaliu: Unitate rădăcină .

Exponențială

Același subiect în detaliu: exponențială complexă .

Complexul funcția exponențială $e^{z}$ ${\ displaystyle e ^ {z}}$ $și ^ z$ este definită folosind seria și instrumente de calcul infinitezimal , după cum urmează:

e^{z}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {z^{n}}{n!}}.

{\ displaystyle e ^ {z} = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {z ^ {n}} {n!}}.}

și ^ z = \ sum_ {n = 0} ^ \ infty \ frac {z ^ n} {n!}.

În special, dacă $z=a+ib$ ${\ displaystyle z = a + ib}$ $z = a + ib$ primesti

e^{a+ib}=e^{a}e^{ib}=e^{a}(\cos b+i\sin b)

{\ displaystyle e ^ {a + ib} = e ^ {a} e ^ {ib} = e ^ {a} (\ cos b + i \ sin b)}

e ^ {a + ib} = e ^ ae ^ {ib} = e ^ a (\ cos b + i \ sin b)

folosind formula lui Euler .

Logaritm

Același subiect în detaliu: Logaritm complex .

Logaritmul natural $\ln z$ ${\ displaystyle \ ln z}$ $\ ln z$ a unui număr complex $z$ ${\ displaystyle z}$ $z$ este prin definiție un număr complex $w$ ${\ displaystyle w}$ $w$ astfel încât

e^{w}=z.

{\ displaystyle e ^ {w} = z.}

e ^ w = z.

De sine

z=a+ib=re^{i\theta }=r(\cos \theta +i\sin \theta ),

{\ displaystyle z = a + ib = re ^ {i \ theta} = r (\ cos \ theta + i \ sin \ theta),}

{\ displaystyle z = a + ib = re ^ {i \ theta} = r (\ cos \ theta + i \ sin \ theta),}

logaritmul $z$ ${\ displaystyle z}$ $z$ este orice număr complex $w$ ${\ displaystyle w}$ $w$ de tipul

w=\ln z=\ln(re^{i\theta })=\ln r+i(\theta +2k\pi ),

{\ displaystyle w = \ ln z = \ ln (re ^ {i \ theta}) = \ ln r + i (\ theta + 2k \ pi),}

{\ displaystyle w = \ ln z = \ ln (re ^ {i \ theta}) = \ ln r + i (\ theta + 2k \ pi),}

unde este $k$ ${\ displaystyle k}$ $k$ este orice număr întreg . Din moment ce valoarea $k$ ${\ displaystyle k}$ $k$ este arbitrar, un număr complex are o infinitate de logaritmi distincti, care diferă prin multipli întregi de $2\pi i$ ${\ displaystyle 2 \ pi i}$ $2 \ pi i$ .

De sine $a>0$ ${\ displaystyle a> 0}$ $a> 0$ poti sa scrii

\ln(a+ib)=\ln {\sqrt[{2}]{a^{2}+b^{2}}}+i\arctan {\frac {b}{a}}.

{\ displaystyle \ ln (a + ib) = \ ln {\ sqrt [{2}] {a ^ {2} + b ^ {2}}} + i \ arctan {\ frac {b} {a}}. }

\ ln (a + ib) = \ ln \ sqrt [2] {a ^ 2 + b ^ 2} + i \ arctan \ frac {b} {a}.

În acest caz, dacă $z$ ${\ displaystyle z}$ $z$ este real (adică dacă $b=0$ ${\ displaystyle b = 0}$ $b = 0$ ) dintre valorile infinite există una reală, care corespunde logaritmului obișnuit al unui număr real pozitiv.

Exemple

Să presupunem că dorim să găsim numere complexe z astfel încât

4z^{2}={\bar {z}}^{4}.

{\ displaystyle 4z ^ {2} = {\ bar {z}} ^ {4}.}

4z ^ 2 = \ bar z ^ 4.

Prima posibilitate este de a întreba $z=a+ib$ ${\ displaystyle z = a + ib}$ $z = a + ib$ și să egaleze partea reală a $4z^{2}$ ${\ displaystyle 4z ^ {2}}$ $4z ^ 2$ la partea reală a conjugatului de $z^{4}$ ${\ displaystyle z ^ {4}}$ $z ^ 4$ și în mod similar pentru părțile imaginare respective. Urmând această cale, obținem două ecuații:

ab(a^{2}-b^{2}+2)=0,

{\ displaystyle ab (a ^ {2} -b ^ {2} +2) = 0,}

{\ displaystyle ab (a ^ {2} -b ^ {2} +2) = 0,}

a^{4}+b^{4}-6(ab)^{2}=4(a^{2}-b^{2}).

{\ displaystyle a ^ {4} + b ^ {4} -6 (ab) ^ {2} = 4 (a ^ {2} -b ^ {2}).}

{\ displaystyle a ^ {4} + b ^ {4} -6 (ab) ^ {2} = 4 (a ^ {2} -b ^ {2}).}

din care se obțin 7 soluții:

z=0,-2,2,i{\sqrt {3}}+1,-i{\sqrt {3}}+1,i{\sqrt {3}}-1,-i{\sqrt {3}}-1.

{\ displaystyle z = 0, -2.2, i {\ sqrt {3}} + 1, -i {\ sqrt {3}} + 1, i {\ sqrt {3}} - 1, -i {\ sqrt { 3}} - 1.}

{\ displaystyle z = 0, -2.2, i {\ sqrt {3}} + 1, -i {\ sqrt {3}} + 1, i {\ sqrt {3}} - 1, -i {\ sqrt { 3}} - 1.}

Alternativ, poate fi utilizată reprezentarea polară

z=r(\cos \varphi +i\sin \varphi )

{\ displaystyle z = r (\ cos \ varphi + i \ sin \ varphi)}

{\ displaystyle z = r (\ cos \ varphi + i \ sin \ varphi)}

și se potrivesc cu normele și argumentele $4z^{2}$ ${\ displaystyle 4z ^ {2}}$ $4z ^ 2$ și conjugatul lui $z^{4}$ ${\ displaystyle z ^ {4}}$ $z ^ 4$ , obținând aici și două ecuații:

4r^{2}=r^{4},

{\ displaystyle 4r ^ {2} = r ^ {4},}

{\ displaystyle 4r ^ {2} = r ^ {4},}

6\varphi =2k\pi ,

{\ displaystyle 6 \ varphi = 2k \ pi,}

{\ displaystyle 6 \ varphi = 2k \ pi,}

cu $k=0,1,\ldots ,5$ ${\ displaystyle k = 0,1, \ ldots, 5}$ ${\ displaystyle k = 0,1, \ ldots, 5}$ . Evident, veți obține aceleași soluții, de exemplu

z=i{\sqrt {3}}+1=2e^{i{\pi }/3}.

{\ displaystyle z = i {\ sqrt {3}} + 1 = 2e ^ {i {\ pi} / 3}.}

z = i \ sqrt {3} + 1 = 2e ^ {i {\ pi} / 3}.

Unele proprietăți

Pierderea sortării

Spre deosebire de numere reale, numere complexe nu pot fi sortate într - un mod care este compatibil cu operații aritmetice. Adică, nu este posibil să se definească o ordine astfel încât

a\leq b,\Rightarrow a+c\leq b+c,

{\ displaystyle a \ leq b, \ Rightarrow a + c \ leq b + c,}

a \ leq b, \ Rightarrow a + c \ leq b + c,

a\geq 0,b\geq 0\Rightarrow ab\geq 0,

{\ displaystyle a \ geq 0, b \ geq 0 \ Rightarrow ab \ geq 0,}

a \ geq 0, b \ geq 0 \ Rightarrow ab \ geq 0,

așa cum se întâmplă cu numerele reale. Deci, nu are sens să întrebăm de exemplu dacă $the$ ${\ displaystyle i}$ $the$ este mai mare sau mai mică, nici de studiu inegalități în domeniul complex. De fapt, în fiecare câmp ordonat toate pătratele trebuie să fie mai mari sau egale cu zero: prin construcția unității imaginare, în schimb $i^{2}=-1$ ${\ displaystyle i ^ {2} = - 1}$ $i ^ 2 = -1$ .

Acest lucru nu trebuie confundat cu a spune că setul de numere complexe nu poate fi complet bine ordonat. De fapt, numere complexe au, de exemplu, o ordonare în termeni de ordine lexicografică , și , prin urmare , constituie un set ordinable (ca orice set în ZFC , având în vedere axioma de alegere ), dar ele nu formează un câmp ordonat (pentru motivul de mai sus ) și nici o structură algebrică , care pot fi comandate în raport cu metrica indusă printr - o normă .

Avion cartezian

Funcția logaritmică: toate perechile (x, y) cu x negative sunt numere complexe și nu pot fi reprezentate în planul, indiferent de bază aleasă: roșu pentru baza e, verde pentru baza 10 și violet pentru bază 1,7.

La desenarea unei funcții în plan cartezian a cărei gamă conține numere din setul imaginar, acele numere nu pot fi reprezentate de o pereche de coordonate $(x;y)$ ${\ displaystyle (x; y)}$ $(X y)$ , de când este $y$ ${\ displaystyle y}$ $y$ complexul nu poate fi ordonat în raport cu linia dreaptă $y$ ${\ displaystyle y}$ $y$ .

Spațiul vectorilor reali

Întregul $\mathbb {C}$ ${\ displaystyle \ mathbb {C}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {C}}$ este simultan un one-dimensional spațiu complex vectorial ( la fel ca toate câmpurile), și un bi-dimensional spațiu vectorial real . Ca un spatiu vectorial finit dimensional reală este , de asemenea , un complet spațiu normat , care este un spațiu Banach , și mai particular un spațiu Hilbert .

Soluții ale ecuațiilor polinomiale

Același subiect în detaliu: teorema fundamentală a algebrei .

O rădăcină complexă a unui polinom $p$ ${\ displaystyle p}$ $p$ un coeficient real este un număr complex $z$ ${\ displaystyle z}$ $z$ astfel încât $p(z)=0$ ${\ displaystyle p (z) = 0}$ $p (z) = 0$ . Teorema fundamentală a algebrei prevede că orice polinom de grad $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ are exact $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ soluții complexe, numărate cu multiplicitate. Acest rezultat indică faptul că numerele complexe sunt (spre deosebire de numere reale) , un corp algebric închis .

Analiza complexă

Același subiect în detaliu: Analiza complexă .

Studiul funcțiilor cu variabile complexe se numește analiză complexă și este utilizat pe scară largă în matematică aplicate și teoria numerelor , precum și în alte ramuri ale matematicii, fizicii și ingineriei. De multe ori, cele mai simple dovezi pentru analiză reală sau chiar teoria numerelor declarații folosesc tehnici complexe de analiza ( a se vedea numărul de teorema prim pentru un exemplu). Spre deosebire de funcțiile reale, care sunt de obicei reprezentate sub formă de grafice bidimensionale, funcții complexe grafice au patru dimensiuni și sunt adesea reprezentate sub formă de grafice colorate , în cazul în care culoarea face pentru dimensiunea lipsă ( a se vedea, de exemplu, elementul imaginile Conform ). Animațiile pot fi, de asemenea, utilizate pentru a arăta transformarea dinamică a funcției complexe a planului complex.

Aplicații

În matematică

Numerele complexe sunt prezente în toate matematică, și sunt protagoniștii unor întregi sectoare, cum ar fi analize complexe sau geometria algebrica . Aici enumerăm doar câteva aplicații ale numerelor complexe în domeniile matematicii în care acestea nu joacă un rol dominant.

Teoria numerelor: analitică Teoria Numerelor folosește analize complexe pentru a aborda număr întreg de probleme. Câteva exemple sunt teorema numărului prim și ipoteza Riemann aferentă.

Integralelor improprii: Unele integralele improprii pot fi rezolvate cu ușurință cu teorema reziduală de analize complexe.

Ecuațiile diferențiale: liniare ecuații diferențiale cu coeficienți constanți sunt rezolvate prin găsirea rădăcinilor complexe ale unui polinom asociat cu ecuația.

Fractalii: Unele fractalii sunt definite prin numere complexe, de exemplu, setul Mandelbrot și setul Julia .

În fizică

Fluid Dynamics: În fluid dinamica numerelor complexe sunt folosite pentru a descrie un potențial de curgere în 2 dimensiuni.

Mecanica cuantică: Câmpul numerelor complexe este o componentă esențială a mecanicii cuantice , deoarece teoria este dezvoltat într - un infinit-dimensional spațiu Hilbert derivată de la C. Unitate Imaginar apare , de asemenea , în ecuația lui Schrödinger .

Relativitatea: În relativitatea generală și relativității speciale unele formule de spațiu metric devin mai simple în cazul în care variabila de timp se presupune a fi o variabilă imaginară.

Inginerie

Numerele complexe sunt folosite pentru a rezolva ecuațiile diferențiale asociate cu mișcarea vibratorie a sistemelor mecanice. Ele sunt, de asemenea, utilizate pe scară largă în ingineria electrică, în special pentru a reprezenta schimbarea de fază între reactanță și rezistență.

Analiza semnalului

Numerele complexe sunt utilizate în analiza semnalelor și în toate domeniile în care semnalele care variază sinusoidal în timp, sau chiar pur și simplu periodice, sunt tratate. Valoarea absolută a | z | este interpretat ca amplitudinea semnalului în timp ce argumentul z este interpretat ca fază . Numerele complexe fac , de asemenea , analiza Fourier este posibil, ceea ce face posibilă descompunerea unui semnal generic invariabile în timp într - o sumă de sinusoide infinite: fiecare sinusoidă este scris ca un singur număr complex

f(t)=ze^{i\omega t},

{\ displaystyle f (t) = ze ^ {i \ omega t},}

{\ displaystyle f (t) = ze ^ {i \ omega t},}

unde este $\omega$ ${\ displaystyle \ omega}$ $\omega$ este pulsația sinusoidei și z amplitudinea acesteia.

Elettrotecnica ed elettronica

Nell' ingegneria elettrica ed elettronica vengono utilizzati per indicare la tensione e la corrente . L'analisi dei componenti resistivi , capacitivi e induttivi è stata unificata con l'introduzione dei numeri complessi, che riassumono tutte e tre queste componenti in una sola entità detta impedenza , semplificando notevolmente i calcoli. Possono esprimere delle relazioni che tengono conto delle frequenze e di come i componenti varino il loro comportamento al variare della frequenza. In questo tipo di calcoli si usa tradizionalmente la lettera j per indicare l'unità immaginaria, dato che la i è riservata alla corrente: i primi trattati di elettrotecnica, all'inizio del XX secolo , stabilivano j = -i , cioè l'unità immaginaria nelle formule usate per l'elettrotecnica era il negativo di quella usata dai matematici. L'uso è stato mantenuto nel tempo, e questo dettaglio, sia pure ignoto ai più, è parzialmente vero anche oggi. Anche se, la stragrande maggioranza delle volte, nella letteratura tecnica con j oramai si intende l'unità immaginaria stessa, per cui j = i .

Generalizzazioni ed estensioni

Lo stesso argomento in dettaglio: Costruzione di Cayley-Dickson e Algebra di Clifford .

Il processo di estensione del campo R dei numeri reali al campo C dei numeri complessi è noto come costruzione di Cayley-Dickson . Esso può essere portato oltre a dimensioni più elevate, ottenendo i quaternioni H , gli ottetti (o ottonioni ) O ei sedenioni , i quali costituiscono, rispettivamente, delle algebre a 4 , 8 , 16 dimensioni sul campo dei numeri reali . In questo contesto, i numeri complessi sono stati chiamati binarioni . ^[2]

Le algebre prodotte da questo processo sono note come algebre di Cayley-Dickson e, poiché estendono i numeri complessi, vanno a costituire una famiglia dell'insieme dei cosiddetti numeri ipercomplessi , il quale, tuttavia, include anche la famiglia delle algebre di Clifford .

Note

^ ( EN ) WS Anglin e J. Lambek, The Heritage of Thales , Springer, 2012, p. 3.
^ ( EN ) Kevin McCrimmon, A Taste of Jordan Algebras , Universitext, Springer, 2004, ISBN 0-387-95447-3 . MR 2014924 p. 64

Bibliografia

( EN ) Lars Ahlfors , Complex Analysis , 3rd, McGraw-Hill, 1979, ISBN 978-0-07-000657-7 .
( EN ) E. Freitag, R. Busam, Complex Analysis ; Springer-Verlag (2005).
( EN ) P. Lounesto, Clifford Algebras and Spinors , Cambridge University Press, 1997, ISBN 0-521-59916-4 .
( EN ) Paul J. Nahin, An Imaginary Tale ; Princeton University Press; ISBN 0-691-02795-1 (hardcover, 1998). Una semplice introduzione ai numeri complessi e all'analisi complessa.
( EN ) Tristan Needham, Visual Complex Analysis ; Clarendon Press; ISBN 0-19-853447-7 (hardcover, 1997). Storia dei numeri complessi e dell'analisi complessa con un'utile interpretazione geometrica.

Voci correlate

Altri progetti

Wikiversità contiene risorse su numero complesso
Wikimedia Commons contiene immagini o altri file su numero complesso

Collegamenti esterni

( EN ) Numero complesso , su Enciclopedia Britannica , Encyclopædia Britannica, Inc.
( AR , EN , ES , FR ) Dimensions: a math film. Film introduttivo sui numeri complessi (capitoli 5 e 6).
Numeri Complessi . Una lezione interattiva
I numeri complessi . Note da lezioni alle superiori. Con GeoGebra.

Controllo di autorità	Thesaurus BNCF 6845 · LCCN ( EN ) sh85093211 · GND ( DE ) 4128698-4 · BNF ( FR ) cb11981946j (data) · NDL ( EN , JA ) 00563643

Portale Matematica : accedi alle voci di Wikipedia che trattano di matematica

[1] ( EN ) WS Anglin e J. Lambek, The Heritage of Thales , Springer, 2012, p. 3.

[2] ( EN ) Kevin McCrimmon, A Taste of Jordan Algebras , Universitext, Springer, 2004, ISBN 0-387-95447-3 . MR 2014924 p. 64

[1]

[2]