Conjugați complexul

În matematică , conjugatul complex (sau conjugarea) unui număr complex este definit ca numărul obținut din primul prin schimbarea semnului părții imaginare . Gândind numărul complex ca un punct al planului complex , complexul său conjugat este punctul reflectat față de axa reală.

Definiție

Având în vedere numărul complex

z=x+iy\

{\ displaystyle z = x + iy \}

z = x + iy \

,

unde x și y sunt numere reale și i este unitatea imaginară , conjugatul complex al lui $z\,$ ${\ displaystyle z \,}$ $z \,$ este indicat cu ${\bar {z}}$ ${\ displaystyle {\ bar {z}}}$ $\ bar {z}$ sau $z^{*}$ ${\ displaystyle z ^ {*}}$ $z ^ {*}$ și este definit de

{\bar {z}}=z^{*}=x-iy\

{\ displaystyle {\ bar {z}} = z ^ {*} = x-iy \}

\ bar {z} = z ^ * = x-iy \

.

Pentru un număr complex dat în formă exponențială

z=re^{i\phi }\

{\ displaystyle z = re ^ {i \ phi} \}

z = re ^ {{i \ phi}} \

cu $r>0,\ \phi \in \mathbb {R} \$ ${\ displaystyle r> 0, \ \ phi \ in \ mathbb {R} \}$ $r> 0, \ \ phi \ in {\ mathbb {R}} \$ , complexul conjugat este

{\bar {z}}=z^{*}=re^{-i\phi }\

{\ displaystyle {\ bar {z}} = z ^ {*} = re ^ {- i \ phi} \}

\ bar {z} = z ^ * = r e ^ {- i \ phi} \

.

Proprietate

Conjugarea complexă este un automorfism al câmpului numerelor complexe $\mathbb {C}$ ${\ displaystyle \ mathbb {C}}$ ${\ mathbb {C}}$ , cu alte cuvinte: aplicația $z\mapsto {\bar {z}}$ ${\ displaystyle z \ mapsto {\ bar {z}}}$ $z \ mapsto {\ bar {z}}$ este o funcție bijectivă a numerelor complexe cu următoarele proprietăți:

{\overline {z\pm w}}={\bar {z}}\pm {\bar {w}}

{\ displaystyle {\ overline {z \ pm w}} = {\ bar {z}} \ pm {\ bar {w}}}

\ overline {z \ pm w} = {\ bar {z}} \ pm {\ bar {w}}

Și

{\overline {z\cdot w}}={\bar {z}}\cdot {\bar {w}}

{\ displaystyle {\ overline {z \ cdot w}} = {\ bar {z}} \ cdot {\ bar {w}}}

\ overline {z \ cdot w} = {\ bar {z}} \ cdot {\ bar {w}}

pentru fiecare

z,w\in \mathbb {C}

{\ displaystyle z, w \ in \ mathbb {C}}

z, w \ in {\ mathbb {C}}

.

Avem, de asemenea, următoarele relații între complexul conjugat, valoarea inversă, valoarea absolută și partea reală și imaginară : pentru fiecare $z\in \mathbb {C}$ ${\ displaystyle z \ in \ mathbb {C}}$ $z \ in {\ mathbb {C}}$ ,

{\overline {z^{-1}}}=({\bar {z}})^{-1}

{\ displaystyle {\ overline {z ^ {- 1}}} = ({\ bar {z}}) ^ {- 1}}

\ overline {z ^ {{- 1}}} = ({\ bar {z}}) ^ {{- 1}}

,

z{\bar {z}}=|z|^{2}

{\ displaystyle z {\ bar {z}} = | z | ^ {2}}

z {\ bar {z}} = | z | ^ {2}

,

z^{-1}={\frac {\bar {z}}{|z|^{2}}}

{\ displaystyle z ^ {- 1} = {\ frac {\ bar {z}} {| z | ^ {2}}}}

z ^ {- 1} = \ frac {\ bar {z}} {| z | ^ 2}

,

z+{\bar {z}}=2\;\operatorname {Re} (z)

{\ displaystyle z + {\ bar {z}} = 2 \; \ operatorname {Re} (z)}

z + {\ bar {z}} = 2 \; \ operatorname {Re} (z)

,

z-{\bar {z}}=i2\;\operatorname {Im} (z)

{\ displaystyle z - {\ bar {z}} = i2 \; \ operatorname {Im} (z)}

z - {\ bar {z}} = i2 \; \ operatorname {Im} (z)

.

Mai mult, dacă un polinom $p(x)$ ${\ displaystyle p (x)}$ $p (x)$ un coeficient real are o rădăcină (complexă) $\lambda$ ${\ displaystyle \ lambda}$ $\ lambda$ apoi și ${\overline {\lambda }}$ ${\ displaystyle {\ overline {\ lambda}}}$ $\ overline {\ lambda}$ este o rădăcină a $p(x)$ ${\ displaystyle p (x)}$ $p (x)$ . De fapt, conform celor spuse anterior, avem asta

p({\overline {\lambda }})={\overline {p(\lambda )}}=0

{\ displaystyle p ({\ overline {\ lambda}}) = {\ overline {p (\ lambda)}} = 0}

p (\ overline {\ lambda}) = \ overline {p (\ lambda)} = 0

Bibliografie

Serge Lang, Algebra liniară, Torino, Bollati Basic Books, 1992, ISBN 88-339-5035-2 .
Edoardo Sernesi, Geometria 1 , Torino, Bollati Boringhieri , 1989, ISBN 978-88-339-5447-9 .

Elemente conexe

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică