Complexul lanțului

În matematică, un complex de lanț este un obiect algebric folosit în principal în topologia algebrică . Se compune dintr-o succesiune de grupuri și funcții abeliene între ele care satisfac unele proprietăți, utile pentru studierea și modelarea spațiilor topologice .

Definiție

Un complex de lanțuri este o succesiune de grupuri abeliene $A_{i}$ ${\ displaystyle A_ {i}}$ $Către}$ indexate de numere întregi $the$ ${\ displaystyle i}$ $the$ și homomorfisme

\partial _{i}:A_{i}\to A_{i-1}

{\ displaystyle \ partial _ {i}: A_ {i} \ to A_ {i-1}}

{\ displaystyle \ partial _ {i}: A_ {i} \ to A_ {i-1}}

definit de asemenea pentru fiecare număr întreg $the$ ${\ displaystyle i}$ $the$ , astfel încât compoziția a două homomorfisme succesive are ca rezultat întotdeauna un homomorfism banal . Cu alte cuvinte:

\partial _{i-1}\circ \partial _{i}=0

{\ displaystyle \ partial _ {i-1} \ circ \ partial _ {i} = 0}

{\ displaystyle \ partial _ {i-1} \ circ \ partial _ {i} = 0}

pentru fiecare număr întreg $the$ ${\ displaystyle i}$ $the$ .

Un complex de lanțuri poate fi descris la nivel global după cum urmează:

\cdots \to A_{n+1}{\xrightarrow {\partial _{n+1}}}A_{n}{\xrightarrow {\partial _{n}}}A_{n-1}{\xrightarrow {\partial _{n-1}}}A_{n-2}\to \cdots {\xrightarrow {\partial _{2}}}A_{1}{\xrightarrow {\partial _{1}}}A_{0}{\xrightarrow {\partial _{0}}}A_{-1}{\xrightarrow {\partial _{-1}}}A_{-2}{\xrightarrow {\partial _{-2}}}\cdots

{\ displaystyle \ cdots \ to A_ {n + 1} {\ xrightarrow {\ partial _ {n + 1}}} A_ {n} {\ xrightarrow {\ partial _ {n}}} A_ {n-1} { \ xrightarrow {\ partial _ {n-1}}} A_ {n-2} \ to \ cdots {\ xrightarrow {\ partial _ {2}}} A_ {1} {\ xrightarrow {\ partial _ {1}} } A_ {0} {\ xrightarrow {\ partial _ {0}}} A _ {- 1} {\ xrightarrow {\ partial _ {- 1}}} A _ {- 2} {\ xrightarrow {\ partial _ { - 2}}} \ cdots}

{\ displaystyle \ cdots \ to A_ {n + 1} {\ xrightarrow {\ partial _ {n + 1}}} A_ {n} {\ xrightarrow {\ partial _ {n}}} A_ {n-1} { \ xrightarrow {\ partial _ {n-1}}} A_ {n-2} \ to \ cdots {\ xrightarrow {\ partial _ {2}}} A_ {1} {\ xrightarrow {\ partial _ {1}} } A_ {0} {\ xrightarrow {\ partial _ {0}}} A _ {- 1} {\ xrightarrow {\ partial _ {- 1}}} A _ {- 2} {\ xrightarrow {\ partial _ { - 2}}} \ cdots}

Un complex de cocatene este o succesiune de grupuri abeliene $A^{i}$ ${\ displaystyle A ^ {i}}$ ${\ displaystyle A ^ {i}}$ și homomorfisme

\partial ^{i}:A^{i}\to A^{i+1}

{\ displaystyle \ partial ^ {i}: A ^ {i} \ to A ^ {i + 1}}

{\ displaystyle \ partial ^ {i}: A ^ {i} \ to A ^ {i + 1}}

astfel încât compoziția a două homomorfisme succesive duce întotdeauna la omomorfismul banal:

\partial ^{i+1}\circ \partial ^{i}=0

{\ displaystyle \ partial ^ {i + 1} \ circ \ partial ^ {i} = 0}

{\ displaystyle \ partial ^ {i + 1} \ circ \ partial ^ {i} = 0}

Un complex de cocatenă poate fi descris la nivel global după cum urmează:

\cdots \to A^{-2}{\xrightarrow {\partial ^{-2}}}A^{-1}{\xrightarrow {\partial ^{-1}}}A^{0}{\xrightarrow {\partial ^{0}}}A^{1}{\xrightarrow {\partial ^{1}}}A^{2}\to \cdots \to A^{n-1}{\xrightarrow {\partial ^{n-1}}}A^{n}{\xrightarrow {\partial ^{n}}}A^{n+1}\to \cdots .

{\ displaystyle \ cdots \ to A ^ {- 2} {\ xrightarrow {\ partial ^ {- 2}}} A ^ {- 1} {\ xrightarrow {\ partial ^ {- 1}}} A ^ {0} {\ xrightarrow {\ partial ^ {0}}} A ^ {1} {\ xrightarrow {\ partial ^ {1}}} A ^ {2} \ to \ cdots \ to A ^ {n-1} {\ xrightarrow {\ partial ^ {n-1}}} A ^ {n} {\ xrightarrow {\ partial ^ {n}}} A ^ {n + 1} \ to \ cdots.}

{\ displaystyle \ cdots \ to A ^ {- 2} {\ xrightarrow {\ partial ^ {- 2}}} A ^ {- 1} {\ xrightarrow {\ partial ^ {- 1}}} A ^ {0} {\ xrightarrow {\ partial ^ {0}}} A ^ {1} {\ xrightarrow {\ partial ^ {1}}} A ^ {2} \ to \ cdots \ to A ^ {n-1} {\ xrightarrow {\ partial ^ {n-1}}} A ^ {n} {\ xrightarrow {\ partial ^ {n}}} A ^ {n + 1} \ to \ cdots.}

Indicii întregi sunt, în general, poziționați în partea de jos (ca indici ) pentru complexele de lanțuri și în partea de sus (ca vârfuri ) pentru complexele de cocatenă.

Omologie

Într-un complex de lanțuri, se aplică tuturor $the$ ${\ displaystyle i}$ $the$ relația

\operatorname {im} \,\partial _{i}\subset \ker \partial _{i-1}.

{\ displaystyle \ operatorname {im} \, \ partial _ {i} \ subset \ ker \ partial _ {i-1}.}

{\ displaystyle \ operatorname {im} \, \ partial _ {i} \ subset \ ker \ partial _ {i-1}.}

Prin urmare, omologia complexului este definită ca grupul coeficientului

H_{i}=\ker \partial _{i-1}/\operatorname {im} \,\partial _{i}

{\ displaystyle H_ {i} = \ ker \ partial _ {i-1} / \ operatorname {im} \, \ partial _ {i}}

{\ displaystyle H_ {i} = \ ker \ partial _ {i-1} / \ operatorname {im} \, \ partial _ {i}}

care este definit pentru orice număr întreg $the$ ${\ displaystyle i}$ $the$ . În mod similar, este definită o cohomologie $H^{i}$ ${\ displaystyle H ^ {i}}$ ${\ displaystyle H ^ {i}}$ plecând de la un complex de cocatene.

Complexul (co-) lanțului se numește aciclic dacă omologia este banală pentru fiecare $the$ ${\ displaystyle i}$ $the$ . Un complex aciclic (co) de lanț este o secvență exactă .

Biografie

( EN ) Raoul Bott și Loring W. Tu, Forme diferențiale în topologia algebrică , Berlin, New York, Springer-Verlag , 1982, ISBN 978-0-387-90613-3 .

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică