Finalizarea unui inel
În matematică , finalizarea unui inel este o operație care face posibilă obținerea, începând de la un inel A , a unui alt inel cu proprietăți în general „mai bune”, în același mod în care un spațiu metric poate fi completat ; chiar denumirea de „completare” derivă din faptul că această operație poate fi privită ca completarea lui A în ceea ce privește topologia definită de puterile unui I ideal , numit topologie I- adică . Un inel care coincide cu finalizarea sa față de I se numește I- complet sau pur și simplu complet dacă A este local și I = M este idealul său maxim .
Completarea unui inel este utilizată în general atunci când A este un inel Noetherian local (cu M ideal maxim) și în care topologia este cea M -adic.
Exemple de inele complete sunt setul din numerele rădăcină p (completarea decât idealul ) și inelul seriei formale pe un câmp K (completarea inelului de polinoame comparativ cu idealul generat de x ).
Constructie
Există două construcții de finalizare a unui inel A : primul topologic, al doilea algebric.
Primul se bazează pe conceptul de topologie I-adică , unde I este un ideal al lui A : este topologia generată de puteri din I (a cărui mulțime este un sistem fundamental de vecinătăți de 0) și din toate mulțimile (pentru ), acesta din urmă a adăugat astfel încât să facă din A un inel topologic . Secvențele Cauchy (și echivalența lor) pot fi definite pe această topologie și apoi definite ca ansamblu de secvențe Cauchy citate prin echivalență.
Al doilea folosește noțiunea de limită inversă : din moment ce , este întotdeauna posibil să se definească omomorfismele inelelor canonice ; în cadrul produsului direct , completare este identificat ca setul de secvențe coerente sau secvențe astfel încât .
Comparativ cu prima definiție, a doua are avantajul de a putea deduce unele proprietăți (de exemplu cele omologice ) pornind de la cele ale coeficienților ; cu toate acestea, este mai dificil de înțeles când două idealuri I și J dau naștere la același lucru (adică atunci când completarea I -adic și J -adic sunt izomorfe). Soluția acestei probleme este în schimb implicită în definiția topologică, deoarece I și J determină aceeași completare dacă și numai dacă definesc aceeași topologie.
Ambele construcții pot fi extinse la module pe A : finalizarea I- adică a unui modul E poate fi definită ca finalizarea în ceea ce privește topologia generată de submodule (Și ) sau ca limită inversă a secvenței . Completare are și o structură naturală de -modul.
Homomorfisme
Pentru fiecare inel A există un homomorfism canonic care trimite fiecărui element a în secvența care este valabilă în mod constant a sau, în definiția algebrică, în element . Cu toate acestea, acest homomorfism nu este întotdeauna injectiv , adică un inel nu este întotdeauna conținut în finalizarea sa: nucleul este exact intersecția , și acesta este idealul nul dacă și numai dacă topologia I- adică este a lui Hausdorff . În mod similar, dacă E este un modul A , se poate defini o hartă , al cărui nucleu este . Aceste hărți sunt întotdeauna continue .
În cazul Noetherian , acest nucleu este caracterizat de teorema intersecției lui Krull : constă din toate elementele pentru care există o astfel încât . În acest caz, nucleul coincide și cu nucleul homomorfismului de localizare , unde este ; în consecință, există întotdeauna un homomorfism injectiv .
Două cazuri de o importanță deosebită sunt atunci când I este cuprins în radicalul Jacobson al lui A (de exemplu, dacă A este local și M este idealul său maxim) și când A este un domeniu de integritate : în ambele cazuri, teorema garantează că și deci omomorfism este injectiv.
Homomorfisme ale modulelor
Din moment ce harta este întotdeauna continuu în topologia I- adică, este posibil să se definească, pornind de la orice omomorfism al modulelor A un homomorfism . Dacă A este Noetherian , pasajul din la păstrează secvențele exacte ale modulelor finite; adică dacă
este exactă și , Și sunt generate finit, atunci este și exact
În limbajul teoriei categoriilor , functorul este exact în categoria modulelor generate finit.
Dacă în plus E este generat finit, atunci este izomorf pentru produsul tensorial si in consecinta, este un modul plat A. Dacă E nu este generat finit, există întotdeauna un homomorfism surjectiv , care însă nu este neapărat un izomorfism.
Proprietate
Trecerea de la o buclă locală A la finalizarea sa M -adico păstrează unele proprietăți. Dacă A este noetherian, atunci este încă noetherian și local și are aceeași dimensiune ca A. Mai mult, dacă I este un ideal al lui A , atunci extensia sa la este exact completarea I (văzută ca un modul A ) în topologia M -adic; în special idealul maxim al este extensia idealului maxim al lui A.
Alte proprietăți, pe de altă parte, nu se comportă la fel de bine: de exemplu, dacă A este redus (adică nu are nilpotenți ), intacte sau complet închise , nu este sigur că păstrează aceste caracteristici.
O proprietate importantă a inelelor complete este că acestea verifică lema lui Hensel , un analog algebric al metodei lui Newton pentru aproximarea soluțiilor ecuațiilor polinomiale: într-una din formele sale, afirmă că, dacă f ( x ) este un polinom un coeficienți în A și a sunt astfel încât f ( a ) este conținut în ( f 'denotă derivatul formal al lui f ) atunci există un zero b din f astfel încât ; astfel de b este unic dacă nu este divizor de zero . Ca un caz special, dacă Și este inversabil , atunci există (și este unic) un zero b de f astfel încât .
Teorema structurii
Teorema structurii lui Cohen clasifică inelele Noetheriene complete ca imagini homomorfe ale inelelor din serii formale ; a fost demonstrat de Irvin Cohen în 1946. [1]
Se afirmă că dat un inel Noetherian complet A cu ideal M maxim și câmp rezidual , asa de:
- dacă caracteristica lui A este egală cu cea a lui K (sau, echivalent, dacă A conține un câmp k ), atunci A este izomorfă la , unde I este un ideal de ;
- dacă caracteristicile lui A și K sunt diferite atunci există un domeniu complet discret de evaluare W astfel încât A este izomorfă la , unde p generează idealul maxim al lui W și m este un număr întreg negativ (dacă m = 0, ).
În ambele cazuri, d poate fi luat egal cu numărul de generatoare ale idealului maxim M de A.
Trebuie remarcat faptul că, în primul caz, ipotezele teoremei nu necesită ca A să conțină propriul său câmp rezidual: de exemplu, dacă A conține setul a numerelor raționale și câmpul său rezidual este , atunci teorema garantează că și A conține . Într-adevăr, cea mai lungă și mai complexă parte a dovezii este cea care deduce, începând de la includerea lui k în A , și prezența lui K.
În special, dacă caracteristica lui A este un număr prim p , atunci A conține câmpul finit și, prin urmare, A conține și câmpul său rezidual.
Dacă A este, de asemenea, regulat , numărul de generatoare de M este egal cu dimensiunea inelului; de aici rezultă că
- dacă caracteristica A și K sunt egale, atunci trebuie să fie nul ideală e ;
- dacă caracteristica lui A și cea a lui K sunt diferite, atunci (dacă p este caracteristica lui K )
- de sine asa de
- de sine asa de , unde f este un element prim al lui
Unele rezultate ale teoriei inelelor obișnuite pot fi dovedite pornind de la această teoremă, reducându-se la cazul complet (exploatând adesea planitudinea finalizării).
Notă
- ^ (EN) Irvin Cohen, Despre structura și teoria ideală a inelelor locale complete , în Tranzacțiile Societății Americane de Matematică, vol. 59, nr. 1, 1946, pp. 54-106, DOI : 10.1090 / S0002-9947-1946-0016094-3 . Adus la 25 aprilie 2012 .
Bibliografie
- ( EN ) Michael Atiyah și Ian G. Macdonald , Introducere în algebră comutativă , Westview Press, 1969, ISBN 0-201-40751-5 .
- ( EN ) David Eisenbud, Algebra comutativă cu o perspectivă spre geometria algebrică , Springer-Verlag, 1995, ISBN 0-387-94268-8 .
linkuri externe
- (EN) Balwant Singh, Completarea, netezimea și teoremele structurii formale Cohen