Concentrație (statistici)

În statistici, concentrarea este o proprietate a caracterelor transferabile

Conceptul statistic de concentrare

Personaje transferabile cantitativ

Folosim pentru a distinge caracterele statistice în calitativ - atunci când modalitățile caracterului sunt exprimate prin intermediul atributelor - și cantitativ - când modalitățile sunt exprimate prin valori numerice, reprezentative pentru o măsură sau un număr ^[1] .

Un caracter cantitativ poate fi măsurat pe o scală de intervale - atunci când 0 are o valoare convențională și comparațiile între valori pot fi realizate prin diferențe - sau pe o scară de raport - când 0 indică absența caracterului însuși și comparațiile pot fi realizat și prin relații între valori ^[2] . Unele caracteristici cantitative sunt specifice unei anumite unități statistice și nu sunt transferabile sau transferabile de la aceasta la alte unități, cum ar fi înălțimea, greutatea, vârsta sau numărul de copii născuți de o femeie. Există însă și alte caracteristici cantitative, care pot fi transferate parțial sau total de la o unitate la alta. Exemple sunt bogăția sau veniturile, precum și numărul de angajați dintr-o companie sau numărul de mașini dintr-o familie. Caracterul pe care o unitate statistică îl poate transfera, chiar parțial, către altul se numește caracter transferabil . Caracterele transferabile sunt măsurate, desigur, pe o scară de raport ^[3]

Echidistribuire și concentrare

Să presupunem că detectăm un caracter transferabil într-un colectiv format din n indivizi. Observațiile n ale acestui caracter sunt indicate generic cu $a_{1}$ ${\ displaystyle a_ {1}}$ ${\ displaystyle a_ {1}}$ , $a_{2}$ ${\ displaystyle a_ {2}}$ ${\ displaystyle a_ {2}}$ , $\ldots$ ${\ displaystyle \ ldots}$ $\ ldots$ , $a_{n}$ ${\ displaystyle a_ {n}}$ ${\ displaystyle a_ {n}}$ și, fără a pierde generalitatea, să presupunem că aceste valori sunt ordonate în sens nedescrescător, adică $a_{i}\leq a_{j}$ ${\ displaystyle a_ {i} \ leq a_ {j}}$ ${\ displaystyle a_ {i} \ leq a_ {j}}$ cand $i<j$ ${\ displaystyle i <j}$ $i <j$ . Deoarece caracterul este transferabil, este logic să se ia în considerare suma celor n observații, adică suma totală deținută de întregul colectiv

$A=\sum _{i=1}^{n}a_{i}$ ${\ displaystyle A = \ sum _ {i = 1} ^ {n} a_ {i}}$ ${\ displaystyle A = \ sum _ {i = 1} ^ {n} a_ {i}}$

Termenii de echidistribuire și concentrare se referă la modul în care cantitatea totală A este distribuită între cei n indivizi. Un caracter transferabil este distribuit în mod egal atunci când suma agregată A este distribuită în mod egal între toți indivizii, adică când

$a_{i}={\frac {A}{n}},\quad i=1,\,2,\ldots ,\,n$ ${\ displaystyle a_ {i} = {\ frac {A} {n}}, \ quad i = 1, \, 2, \ ldots, \, n}$ ${\ displaystyle a_ {i} = {\ frac {A} {n}}, \ quad i = 1, \, 2, \ ldots, \, n}$

Într-o astfel de situație, fracția celor mai săraci h indivizi este egală cu h / n și are o fracție din cantitatea totală A egală cu

${\frac {1}{A}}\sum _{i=1}^{h}a_{i}={\frac {1}{A}}\sum _{i=1}^{h}{\frac {A}{n}}=\sum _{i=1}^{h}{\frac {1}{n}}={\frac {h}{n}},$ ${\ displaystyle {\ frac {1} {A}} \ sum _ {i = 1} ^ {h} a_ {i} = {\ frac {1} {A}} \ sum _ {i = 1} ^ { h} {\ frac {A} {n}} = \ sum _ {i = 1} ^ {h} {\ frac {1} {n}} = {\ frac {h} {n}},}$ ${\ displaystyle {\ frac {1} {A}} \ sum _ {i = 1} ^ {h} a_ {i} = {\ frac {1} {A}} \ sum _ {i = 1} ^ { h} {\ frac {A} {n}} = \ sum _ {i = 1} ^ {h} {\ frac {1} {n}} = {\ frac {h} {n}},}$

adică cele două fracții coincid.

Când caracterul nu este distribuit în mod egal, este cu atât mai concentrat cu cât este mai mică fracția din cantitatea totală A care aparține oricărei fracțiuni a celor mai "săraci" indivizi, sau este cu atât mai concentrată cu cât este mai mare fracția din cantitatea totală pentru aceasta este pentru orice fracțiune dintre cei mai „bogați”. Cu alte cuvinte, fracțiunea de h este mai sărace persoane fizice $h/n$ ${\ displaystyle h / n}$ ${\ displaystyle h / n}$ ; acești indivizi dețin în mod colectiv o parte din suma A care poate fi determinată ca

$A^{-}={\frac {1}{A}}\cdot \sum _{i=1}^{h}a_{i}$ ${\ displaystyle A ^ {-} = {\ frac {1} {A}} \ cdot \ sum _ {i = 1} ^ {h} a_ {i}}$ ${\ displaystyle A ^ {-} = {\ frac {1} {A}} \ cdot \ sum _ {i = 1} ^ {h} a_ {i}}$

Cele mai bogate h indivizii pot fi în mod ideal , în contrast cu cele mai sărace h indivizi. Fracțiunea dintre cei mai bogați indivizi va fi în continuare $h/n$ ${\ displaystyle h / n}$ ${\ displaystyle h / n}$ , dar cota din suma deținută de aceștia este

$A^{+}={\frac {1}{A}}\cdot \sum _{i=n-h}^{n}a_{i}$ ${\ displaystyle A ^ {+} = {\ frac {1} {A}} \ cdot \ sum _ {i = nh} ^ {n} a_ {i}}$ ${\ displaystyle A ^ {+} = {\ frac {1} {A}} \ cdot \ sum _ {i = n-h} ^ {n} a_ {i}}$

Cu excepția cazului de echidistribuire, rezultă întotdeauna $A^{+}>A^{-}$ ${\ displaystyle A ^ {+}> A ^ {-}}$ ${\ displaystyle A ^ {+}> A ^ {-}}$ , acesta este $A^{+}-A^{-}>0$ ${\ displaystyle A ^ {+} - A ^ {-}> 0}$ ${\ displaystyle A ^ {+} - A ^ {-}> 0}$ și această diferență este cu atât mai mare cu cât caracterul este mai concentrat. Personajul are concentrație maximă atunci când o singură unitate posedă întreaga cantitate A și restul de n-1 unități posedă 0. În acest caz rezultă $A^{+}=A$ ${\ displaystyle A ^ {+} = A}$ ${\ displaystyle A ^ {+} = A}$ Și $A^{-}=0$ ${\ displaystyle A ^ {-} = 0}$ ${\ displaystyle A ^ {-} = 0}$ . Conceptul statistic de concentrare are multiple aplicații în sfera economică și socială, care vor fi discutate în alin. Aplicații.

Legături cu alte concepte statistice

Din definiția echidistribuirii și concentrării unui caracter cantitativ transferabil, este evident că există o legătură între aceste concepte și variabilitate. Situația de echidistribuire coincide în mod clar cu o situație de variabilitate zero. În timp ce creșterea concentrației crește variabilitatea și invers. Odată ce suma totală A a unui caracter transferabil a fost fixată, este posibil să se determine distribuția frecvenței care are variabilitatea maximă față de o măsură dată (varianță, diferență medie simplă etc.). Se poate demonstra cu ușurință că această distribuție este tocmai cea a concentrației maxime, adică aceea în care n-1 indivizi posedă 0 și doar un individ posedă cantitatea totală A. Potențial, orice indice relativ de variabilitate poate fi potrivit pentru măsurarea concentrației, dar nu toate îndeplinesc cerințele pentru măsurarea corectă a concentrației. Cu toate acestea, legăturile evidențiate mai sus se traduc în relații funcționale între măsurile de variabilitate și concentrație care vor fi examinate pe scurt atunci când se ilustrează indicii de concentrație.

Conceptul statistic de omogenitate este, în anumite privințe, similar cu cel al echidistribuirii sau al concentrației zero: de fapt, se spune că un colectiv este omogen în raport cu un caracter dat dacă toate unitățile sale au aceeași modalitate de caracter. Conceptul complementar de eterogenitate nu coincide cu cel de concentrare. De asemenea, echidistribuirea și concentrarea au o legătură cu conceptele de simetrie și asimetrie de distribuție cu caracter cantitativ transferabil.

Diagrama Lorenz

Diagrama Lorenz este o reprezentare grafică care vă permite să comparați rapid o situație de concentrație observată efectiv cu situația ideală de echidistribuire, precum și să calculați unele măsuri sintetice de concentrație.

Construcția diagramei pornind de la o distribuție unitară

Ca și în secțiunea anterioară „Echidistribuire și concentrare”, să presupunem că n observațiile unui caracter transferabil într-un colectiv de n unități sunt indicate generic cu $a_{1},\,a_{2},\ldots ,\,a_{n}$ ${\ displaystyle a_ {1}, \, a_ {2}, \ ldots, \, a_ {n}}$ ${\ displaystyle a_ {1}, \, a_ {2}, \ ldots, \, a_ {n}}$ și, fără a pierde generalitatea, să presupunem că aceste valori sunt ordonate în sens nedescrescător, adică $a_{i}\leq a_{j}$ ${\ displaystyle a_ {i} \ leq a_ {j}}$ ${\ displaystyle a_ {i} \ leq a_ {j}}$ cand $i<j$ ${\ displaystyle i <j}$ $i <j$ . Secvențele de valori sunt definite:

suma cumulată deținută de cele mai sărace unități: $A_{i}=\sum _{h=1}^{i}a_{h}$ ${\ displaystyle A_ {i} = \ sum _ {h = 1} ^ {i} a_ {h}}$ ${\ displaystyle A_ {i} = \ sum _ {h = 1} ^ {i} a_ {h}}$ . Ultimul termen al acestei succesiuni, $A_{n}$ ${\ displaystyle A_ {n}}$ ${\ displaystyle A_ {n}}$ , indică cantitatea totală de caracter deținută de n unități statistice ^[4] .
proporție cumulată din totalul deținut de cele mai sărace unități: $q_{0}=0$ ${\ displaystyle q_ {0} = 0}$ ${\ displaystyle q_ {0} = 0}$ Și $q_{i}={A_{i}}/{A_{n}}$ ${\ displaystyle q_ {i} = {A_ {i}} / {A_ {n}}}$ ${\ displaystyle q_ {i} = {A_ {i}} / {A_ {n}}}$ pentru $i\geq 1$ ${\ displaystyle i \ geq 1}$ ${\ displaystyle i \ geq 1}$ . Este o secvență de valori care nu descrește, deoarece dacă $i<j$ ${\ displaystyle i <j}$ $i <j$ , apoi se dovedește $q_{j}={\frac {A_{j}}{A_{n}}}={\frac {A_{i}+a_{i+1}+\cdots +a_{j}}{A_{n}}}={\frac {A_{i}}{A_{n}}}+{\frac {a_{i+1}+\cdots +a_{j}}{A_{n}}}=q_{i}+{\frac {a_{i+1}+\cdots +a_{j}}{A_{n}}}\geq q_{i}$ ${\ displaystyle q_ {j} = {\ frac {A_ {j}} {A_ {n}}} = {\ frac {A_ {i} + a_ {i + 1} + \ cdots + a_ {j}} { A_ {n}}} = {\ frac {A_ {i}} {A_ {n}}} + {\ frac {a_ {i + 1} + \ cdots + a_ {j}} {A_ {n}}} = q_ {i} + {\ frac {a_ {i + 1} + \ cdots + a_ {j}} {A_ {n}}} \ geq q_ {i}}$ ${\ displaystyle q_ {j} = {\ frac {A_ {j}} {A_ {n}}} = {\ frac {A_ {i} + a_ {i + 1} + \ cdots + a_ {j}} { A_ {n}}} = {\ frac {A_ {i}} {A_ {n}}} + {\ frac {a_ {i + 1} + \ cdots + a_ {j}} {A_ {n}}} = q_ {i} + {\ frac {a_ {i + 1} + \ cdots + a_ {j}} {A_ {n}}} \ geq q_ {i}}$ .
proporția cumulată a celor mai sărace unități: $p_{0}=0$ ${\ displaystyle p_ {0} = 0}$ ${\ displaystyle p_ {0} = 0}$ Și $p_{i}={i}/{n}$ ${\ displaystyle p_ {i} = {i} / {n}}$ ${\ displaystyle p_ {i} = {i} / {n}}$ pentru $i\geq 1$ ${\ displaystyle i \ geq 1}$ ${\ displaystyle i \ geq 1}$ . Este o secvență de valori strict în creștere, deoarece dacă $i<j$ ${\ displaystyle i <j}$ ${\ displaystyle i <j}$ , apoi se dovedește ${\frac {i}{n}}<{\frac {j}{n}}$ ${\ displaystyle {\ frac {i} {n}} <{\ frac {j} {n}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {i} {n}} <{\ frac {j} {n}}}$ Așadar $p_{i}<p_{j}$ ${\ displaystyle p_ {i} <p_ {j}}$ ${\ displaystyle p_ {i} <p_ {j}}$ . De asemenea, trebuie remarcat faptul că valorile $p_{i}$ ${\ displaystyle p_ {i}}$ $p _ {{i}}$ ele reprezintă, de asemenea, proporția cumulată din totalul deținut de cele mai sărace unități în cazul în care a existat o echidistribuire a personajului. În acest caz, de fapt, fiecare unitate ar deține ${\bar {a}}=A_{n}/nr$ ${\ displaystyle {\ bar {a}} = A_ {n} / nr}$ ${\ displaystyle {\ bar {a}} = A_ {n} / nr}$ și, prin urmare, se dovedește $A_{i}=i\cdot {\bar {a}}$ ${\ displaystyle A_ {i} = i \ cdot {\ bar {a}}}$ ${\ displaystyle A_ {i} = i \ cdot {\ bar {a}}}$ și în mod natural, $A_{n}=n\cdot {\bar {a}}$ ${\ displaystyle A_ {n} = n \ cdot {\ bar {a}}}$ ${\ displaystyle A_ {n} = n \ cdot {\ bar {a}}}$ , prin urmare ${\frac {A_{i}}{A_{n}}}={\frac {i\cdot {\bar {a}}}{n\cdot {\bar {a}}}}={\frac {i}{n}}=p_{i}$ ${\ displaystyle {\ frac {A_ {i}} {A_ {n}}} = {\ frac {i \ cdot {\ bar {a}}} {n \ cdot {\ bar {a}}}} = { \ frac {i} {n}} = p_ {i}}$ ${\ displaystyle {\ frac {A_ {i}} {A_ {n}}} = {\ frac {i \ cdot {\ bar {a}}} {n \ cdot {\ bar {a}}}} = { \ frac {i} {n}} = p_ {i}}$ .

În cele din urmă, observăm că în cazul echidistribuirii rezultă $p_{i}=q_{i}$ ${\ displaystyle p_ {i} = q_ {i}}$ ${\ displaystyle p_ {i} = q_ {i}}$ , în timp ce dacă personajul este concentrat, rezultă $q_{i}<p_{i}$ ${\ displaystyle q_ {i} <p_ {i}}$ ${\ displaystyle q_ {i} <p_ {i}}$ . De fapt, pentru o proprietate cunoscută a aritmeticii înseamnă că rezultă ${\frac {A_{i}}{i}}<{\frac {A_{n}}{n}}$ ${\ displaystyle {\ frac {A_ {i}} {i}} <{\ frac {A_ {n}} {n}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {A_ {i}} {i}} <{\ frac {A_ {n}} {n}}}$ și din aceasta obținem ${\frac {A_{i}}{A_{n}}}<{\frac {i}{n}}$ ${\ displaystyle {\ frac {A_ {i}} {A_ {n}}} <{\ frac {i} {n}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {A_ {i}} {A_ {n}}} <{\ frac {i} {n}}}$ .

Lorenz sau curba de concentrație este construită prin plasarea secvenței pe un sistem cartezian monometric $p_{i}$ ${\ displaystyle p_ {i}}$ $p _ {{i}}$ pe abscisă și secvență $q_{i}$ ${\ displaystyle q_ {i}}$ ${\ displaystyle q_ {i}}$ în ordonată, unind punctele astfel identificate în plan cu segmente. Pentru o comparație vizuală rapidă cu situația echidistribuirii, segmentul care unește punctele este, de asemenea, prezentat pe grafic $\left(0,\,0\right)$ ${\ displaystyle \ left (0, \, 0 \ right)}$ ${\ displaystyle \ left (0, \, 0 \ right)}$ Și $\left(1,\,1\right)$ ${\ displaystyle \ left (1, \, 1 \ right)}$ ${\ displaystyle \ left (1, \, 1 \ right)}$ .

Notă

^ Borra și Di Ciaccio (2008), par. 1.3, Vajani (1978), par. 4.2] și Leti (1983), pp. 73 și următoarele pentru informații suplimentare privind clasificarea caracterelor statistice.
^ Amintim că este, de asemenea, obișnuit să se facă distincția între caracterele cantitative discrete și continue . Cu toate acestea, această distincție nu este deosebit de importantă pentru măsurarea concentrației.
^ Leti (1983), p. 89.
^ Notatia $A_{n}$ ${\ displaystyle A_ {n}}$ ${\ displaystyle A_ {n}}$ servește, de asemenea, pentru a evidenția faptul că suma totală este o funcție nedescrescă a numărului de unități n : dacă se adaugă o unitate nouă la colectiv, vom indica totalul cu $A_{n+1}$ ${\ displaystyle A_ {n + 1}}$ ${\ displaystyle A_ {n + 1}}$ și se va dovedi $A_{n+1}\geq A_{n}$ ${\ displaystyle A_ {n + 1} \ geq A_ {n}}$ ${\ displaystyle A_ {n + 1} \ geq A_ {n}}$

Bibliografie

Borra, Simone și Di Ciaccio, Agostino, Statistică: metodologii pentru științele economice și sociale , ediția a II-a, McGraw-Hill, Milano, 2008;
Leti, Giuseppe, Statistici descriptive , Il Mulino, Bologna, 1983;
Zenga, Michele, Lecții de statistici descriptive , Giappichelli Editore, Torino, 2007.

[1] Borra și Di Ciaccio (2008), par. 1.3, Vajani (1978), par. 4.2] și Leti (1983), pp. 73 și următoarele pentru informații suplimentare privind clasificarea caracterelor statistice.

[2] ^ Amintim că este, de asemenea, obișnuit să se facă distincția între caracterele cantitative discrete și continue . Cu toate acestea, această distincție nu este deosebit de importantă pentru măsurarea concentrației.

[3] Leti (1983), p. 89.

[4] Notatia $A_{n}$ ${\ displaystyle A_ {n}}$ ${\ displaystyle A_ {n}}$ servește, de asemenea, pentru a evidenția faptul că suma totală este o funcție nedescrescă a numărului de unități n : dacă se adaugă o unitate nouă la colectiv, vom indica totalul cu $A_{n+1}$ ${\ displaystyle A_ {n + 1}}$ ${\ displaystyle A_ {n + 1}}$ și se va dovedi $A_{n+1}\geq A_{n}$ ${\ displaystyle A_ {n + 1} \ geq A_ {n}}$ ${\ displaystyle A_ {n + 1} \ geq A_ {n}}$

[1]

[2]

[3]

[4]

V · D · M Statistici
Statisticile descriptive	Medii ( aritmetice · geometrice · armonioase · Putere · aritmetice și geometrice · Integrale ) · Mediană · Modă · interval de variație · varianță · Deviație standard · deviație absolută medie · Simetrie · Diferență medie ( absolută · logaritmică ) · Curtosi
Inferință statistică	Test de testare a ipotezelor · Semnificație · Ipoteză nulă / alternativă · Eroare I și tip II · Test Q · U test · Test t · Z Test · Probabilitate maximă · Standardizare · valoare p · Analiza variației
Analiza supraviețuirii	Rată de eșec · Estimator Kaplan-Meier · test log-rank
Analiza regresiei	Regresie liniară · Regresie neliniară · variabile instrumentale · metodă generalizată a momentelor · Regresie logistică · Model probit · Model logit