Starea Palais-Smale

În matematică , condiția Palais-Smale sau condiția de compactitate Palais-Smale este o ipoteză utilizată în multe calcule de variații , utile pentru a garanta existența punctelor critice ale anumitor funcționale . Acesta poartă numele lui Richard Palais și Stephen Smale .

Formulare puternică

Un Fréchet funcțional continuu care poate fi diferențiat $F\in C^{1}(H,\mathbb {R} )$ ${\ displaystyle F \ în C ^ {1} (H, \ mathbb {R})}$ ${\ displaystyle F \ în C ^ {1} (H, \ mathbb {R})}$ dintr-un spațiu Hilbert $H.$ ${\ displaystyle H}$ $H.$ pentru regale satisface condiția Palais-Smale, dacă există o succesiune $\{u_{k}\}_{k=1}^{\infty }\subset H$ ${\ displaystyle \ {u_ {k} \} _ {k = 1} ^ {\ infty} \ subset H}$ ${\ displaystyle \ {u_ {k} \} _ {k = 1} ^ {\ infty} \ subset H}$ astfel încât $\{F[u_{k}]\}_{k=1}^{\infty }$ ${\ displaystyle \ {F [u_ {k}] \} _ {k = 1} ^ {\ infty}}$ ${\ displaystyle \ {F [u_ {k}] \} _ {k = 1} ^ {\ infty}}$ este limitat și $F'[u_{k}]\rightarrow 0$ ${\ displaystyle F '[u_ {k}] \ rightarrow 0}$ ${\ displaystyle F '[u_ {k}] \ rightarrow 0}$ în ${H.}^{'}$ ${\ displaystyle H '}$ ${\ displaystyle H '}$ ( spațiu dual de $H.$ ${\ displaystyle H}$ $H.$ ) admite o subsecvență convergentă .

Formulare slabă

Este $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ un spațiu Banach și ambele $\Phi \colon X\to \mathbb {R}$ ${\ displaystyle \ Phi \ colon X \ to \ mathbb {R}}$ ${\ displaystyle \ Phi \ colon X \ to \ mathbb {R}}$ un Gâteaux funcțional diferențiat . Atunci $\Phi$ ${\ displaystyle \ Phi}$ $\ Phi$ satisface starea slabă a Palais-Smale s și pentru orice succesiune $\{x_{n}\}\subset X$ ${\ displaystyle \ {x_ {n} \} \ subset X}$ ${\ displaystyle \ {x_ {n} \} \ subset X}$ astfel încât:

$\sup |\Phi (x_{n})|<\infty$ ${\ displaystyle \ sup | \ Phi (x_ {n}) | <\ infty}$ ${\ displaystyle \ sup | \ Phi (x_ {n}) | <\ infty}$
$\Phi '(x_{n})\to 0$ ${\ displaystyle \ Phi '(x_ {n}) \ to 0}$ ${\ displaystyle \ Phi '(x_ {n}) \ to 0}$ în $X^{*}$ ${\ displaystyle X ^ {*}}$ $X ^ {*}$
$\Phi (x_{n})\neq 0$ ${\ displaystyle \ Phi (x_ {n}) \ neq 0}$ ${\ displaystyle \ Phi (x_ {n}) \ neq 0}$ pentru toți $n\in \mathbb {N}$ ${\ displaystyle n \ in \ mathbb {N}}$ ${\ displaystyle n \ in \ mathbb {N}}$

există un punct critic ${\overline {x}}\in X$ ${\ displaystyle {\ overline {x}} \ în X}$ ${\ displaystyle {\ overline {x}} \ în X}$ din $\Phi$ ${\ displaystyle \ Phi}$ $\ Phi$ astfel încât limitele superioare și inferioare ale $\Phi (x_{n})$ ${\ displaystyle \ Phi (x_ {n})}$ ${\ displaystyle \ Phi (x_ {n})}$ satisface:

\liminf \Phi (x_{n})\leq \Phi ({\overline {x}})\leq \limsup \Phi (x_{n})

{\ displaystyle \ liminf \ Phi (x_ {n}) \ leq \ Phi ({\ overline {x}}) \ leq \ limsup \ Phi (x_ {n})}

{\ displaystyle \ liminf \ Phi (x_ {n}) \ leq \ Phi ({\ overline {x}}) \ leq \ limsup \ Phi (x_ {n})}

Bibliografie

Lawrence C. Evans, ecuații diferențiale parțiale , Providence, Rhode Island, American Mathematical Society, 1998, ISBN 0-8218-0772-2 .

Elemente conexe

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică