Conjectură abc

Conjectura abc (cunoscută și sub numele de conjectura Oesterle-Masser ) a fost propusă pentru prima dată de Joseph Oesterlé și David Masser în 1985 . Conjectura este definită ca o funcție a trei numere întregi pozitive $la, b, c$ ${\ displaystyle a, b, c}$ $a, b, c$ (de aici și numele), fără alți factori comuni decât $1$ ${\ displaystyle 1}$ $1$ , și că satisfac relația $a+b=c$ ${\ displaystyle a + b = c}$ $a + b = c$ . De sine $d$ ${\ displaystyle d}$ $d$ este definit ca produsul factorilor primi distincti ai $la b c$ ${\ displaystyle abc}$ $abc$ , conjectura, în esență, afirmă că rareori $d$ ${\ displaystyle d}$ $d$ este mult mai mic decât $c$ ${\ displaystyle c}$ $c$ .

Deși nu există o strategie elementară pentru a rezolva problema, presupunerea este considerată a fi foarte importantă datorită numărului de consecințe interesante care decurg din aceasta. Dorian M. Goldfeld a definit conjectura abc ca „cea mai importantă problemă nerezolvată a analizei diofantine ” ^[1] .

Formulări

Pentru un întreg pozitiv $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ , radicalul lui $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ , definit $\operatorname {rad} (n)$ ${\ displaystyle \ operatorname {rad} (n)}$ $\ operatorname {rad} (n)$ , Este produsul distincte (nu se repetă, adică, fără a ține cont exponentul) factorii principali ai $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ . De exemplu:

$\operatorname {rad} (16)=\operatorname {rad} (2^{4})=2$ ${\ displaystyle \ operatorname {rad} (16) = \ operatorname {rad} (2 ^ {4}) = 2}$ $\ operatorname {rad} (16) = \ operatorname {rad} (2 ^ {4}) = 2$ ,
$\operatorname {rad} (17)=17$ ${\ displaystyle \ operatorname {rad} (17) = 17}$ $\ operatorname {rad} (17) = 17$ ,
$\operatorname {rad} (18)=\operatorname {rad} (2\cdot 3^{2})=2\cdot 3=6$ ${\ displaystyle \ operatorname {rad} (18) = \ operatorname {rad} (2 \ cdot 3 ^ {2}) = 2 \ cdot 3 = 6}$ $\ operatorname {rad} (18) = \ operatorname {rad} (2 \ cdot 3 ^ {2}) = 2 \ cdot 3 = 6$ .

De sine $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ , $b$ ${\ displaystyle b}$ $b$ Și $c$ ${\ displaystyle c}$ $c$ sunt numere întregi pozitive coprime ^[2] astfel încât

a+b=c

{\ displaystyle a + b = c}

a + b = c

se pare că „de obicei”

c<\operatorname {rad} (abc)

{\ displaystyle c <\ operatorname {rad} (abc)}

c <\ operatorname {rad} (abc)

1

Conjectura abc susține că, cu puține excepții, pentru fiecare infinitezimal ε > 0 există doar un număr finit de triplete $(a,b,c)$ ${\ displaystyle (a, b, c)}$ $(a, b, c)$ de coprime întregi pozitive cu $a+b=c$ ${\ displaystyle a + b = c}$ $a + b = c$ astfel încât:

c>\operatorname {rad} (abc)^{1+\varepsilon }.

{\ displaystyle c> \ operatorname {rad} (abc) ^ {1+ \ varepsilon}.}

c> \ operatorname {rad} (abc) ^ {{1+ \ varepsilon}}.

2

O formulare echivalentă este cea pentru fiecare $\varepsilon >0$ ${\ displaystyle \ varepsilon> 0}$ $\ varepsilon> 0$ există o constantă $K.$ ${\ displaystyle K}$ $K.$ astfel încât, pentru toate tripletele de numere întregi pozitive, coprimă $(a,b,c)$ ${\ displaystyle (a, b, c)}$ $(a, b, c)$ care satisfac $a+b=c$ ${\ displaystyle a + b = c}$ $a + b = c$ , următoarea inegalitate

c<K\cdot \operatorname {rad} (abc)^{1+\varepsilon }

{\ displaystyle c <K \ cdot \ operatorname {rad} (abc) ^ {1+ \ varepsilon}}

c <K \ cdot \ operatorname {rad} (abc) ^ {{1+ \ varepsilon}}

se dovedește a fi adevărat.

3

O a treia formulare a conjecturii implică calitate $q(a,b,c)$ ${\ displaystyle q (a, b, c)}$ $q (a, b, c)$ a unui triplet $(a,b,c)$ ${\ displaystyle (a, b, c)}$ $(a, b, c)$ , definit ca:

q(a,b,c)={\frac {\log(c)}{\log(\operatorname {rad} (abc))}}.

{\ displaystyle q (a, b, c) = {\ frac {\ log (c)} {\ log (\ operatorname {rad} (abc))}}.}

q (a, b, c) = {\ frac {\ log (c)} {\ log (\ operatorname {rad} (abc))}}.

De exemplu:

$q(4,127,131)={\frac {\log(131)}{\log(\operatorname {rad} (4\cdot 127\cdot 131))}}={\frac {\log(131)}{\log(2\cdot 127\cdot 131)}}=0,46820...$ ${\ displaystyle q (4.127.131) = {\ frac {\ log (131)} {\ log (\ operatorname {rad} (4 \ cdot 127 \ cdot 131))}} = {\ frac {\ log (131)} {\ log (2 \ cdot 127 \ cdot 131)}} = 0.46820 ...}$ $q (4.127.131) = {\ frac {\ log (131)} {\ log (\ operatorname {rad} (4 \ cdot 127 \ cdot 131))}} = {\ frac {\ log (131)} {\ log (2 \ cdot 127 \ cdot 131)}} = 0.46820 ...$
$q(3,125,128)={\frac {\log(128)}{\log(\operatorname {rad} (3\cdot 125\cdot 128))}}={\frac {\log(128)}{\log(30)}}=1,426565...$ ${\ displaystyle q (3.125.128) = {\ frac {\ log (128)} {\ log (\ operatorname {rad} (3 \ cdot 125 \ cdot 128))}} = {\ frac {\ log (128)} {\ log (30)}} = 1,426565 ...}$ $q (3.125.128) = {\ frac {\ log (128)} {\ log (\ operatorname {rad} (3 \ cdot 125 \ cdot 128))}} = {\ frac {\ log (128)} {\ log (30)}} = 1,426565 ...$

Un hat-trick tipic $(a,b,c)$ ${\ displaystyle (a, b, c)}$ $(a, b, c)$ de numere întregi pozitive mă acoperă cu $a+b=c$ ${\ displaystyle a + b = c}$ $a + b = c$ vom avea $c<\operatorname {rad} (abc)$ ${\ displaystyle c <\ operatorname {rad} (abc)}$ $c <\ operatorname {rad} (abc)$ , de exemplu $q(a,b,c)<1$ ${\ displaystyle q (a, b, c) <1}$ $q (a, b, c) <1$ . Tripletele cu $q>1$ ${\ displaystyle q> 1}$ $q> 1$ ca și în al doilea exemplu, acestea sunt destul de speciale, deoarece constau din numere divizibile prin puteri mari ale primilor mici.

Conjectura abc susține că, pentru fiecare $\varepsilon >0$ ${\ displaystyle \ varepsilon> 0}$ $\ varepsilon> 0$ , există doar un număr finit de triplete $(a,b,c)$ ${\ displaystyle (a, b, c)}$ $(a, b, c)$ de numere întregi pozitive mă acoperă cu $a+b=c$ ${\ displaystyle a + b = c}$ $a + b = c$ astfel încât:

q(a,b,c)>1+\varepsilon .

{\ displaystyle q (a, b, c)> 1+ \ varepsilon.}

q (a, b, c)> 1+ \ varepsilon.

Deși se știe că există tripleți infiniti $(a,b,c)$ ${\ displaystyle (a, b, c)}$ $(a, b, c)$ de numere întregi pozitive mă acoperă cu $a+b=c$ ${\ displaystyle a + b = c}$ $a + b = c$ astfel încât $q(a,b,c)>1$ ${\ displaystyle q (a, b, c)> 1}$ $q (a, b, c)> 1$ , presupunerea prezice că numai un număr finit dintre acestea are $q>1,01$ ${\ displaystyle q> 1.01}$ $q> 1,01$ sau $q>1,001$ ${\ displaystyle q> 1.001}$ $q> 1.001$ sau chiar $q>1,0001$ ${\ displaystyle q> 1.0001}$ $q> 1.0001$ , etc.

Urmări

Conjectura nu a fost dovedită, dar are un număr mare de consecințe interesante. Acestea includ atât rezultate cunoscute, cât și presupuneri pentru care oferă o dovadă condiționată :

Teorema Thue - Siegel - Roth (dovedită de Klaus Roth )
Ultima teoremă a lui Fermat pentru toți exponenții destul de mari (dovadă generală de Andrew Wiles )
Conjectura lui Mordell (dovedită de Gerd Faltings ) ^[3]
Conjectura Erdős-Woods , cu excepția unui număr finit de contraexemple ^[4] .
Existența unui număr infinit de non- prime Wieferich ^[5]
Versiunea slabă a conjecturii lui Hall ^[6] .
Conjectura Fermat - catalană, o generalizare a ultimei teoreme a lui Fermat, referitoare la puteri în sine sumă de puteri ^[7] .
Funcția Dirichlet L ( s , (- d /.)) Formată cu simbolul Legendre , nu are zero Siegel (această consecință necesită o versiune corespunzătoare a conjecturii abc în câmpul numeric , nu doar conjectura abc așa cum este formulată mai sus pentru numere întregi raționale).
$P(x)$ ${\ displaystyle P (x)}$ $P (x)$ are doar o multitudine finită de puteri perfecte de numere întregi $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ pentru un polinom $P.$ ${\ displaystyle P}$ $P.$ cu cel puțin trei zerouri simple. ^[8] .
O generalizare a teoremei lui Tijdeman .
Este echivalent cu conjectura Granville-Langevin .
Este echivalent cu conjectura Szpiro modificată.

Deși primul grup al acestor consecințe a fost dovedit acum, conjectura abc în sine rămâne de interes datorită numeroaselor implicații profunde pe care le are în teoria numerelor.

Rezultate parțiale

Nu se știe dacă $c$ ${\ displaystyle c}$ $c$ poate fi crescută printr-o funcție aproximativ liniară a radicalului de $la b c$ ${\ displaystyle abc}$ $abc$ , după cum afirmă conjectura abc, sau dacă poate fi chiar limitată de un $\operatorname {rad} (abc)$ ${\ displaystyle \ operatorname {rad} (abc)}$ $\ operatorname {rad} (abc)$ polinom. Cu toate acestea, limitele exponențiale sunt cunoscute. În special, s-au demonstrat următoarele limitări:

c<\exp {(K_{1}\operatorname {rad} (abc)^{15})}

{\ displaystyle c <\ exp {(K_ {1} \ operatorname {rad} (abc) ^ {15})}}

c <\ exp {(K_ {1} \ operatorname {rad} (abc) ^ {{15}})}

(CL Stewart și R. Tijdeman 1986),

c<\exp {(K_{2}\operatorname {rad} (abc)^{{\frac {2}{3}}+\varepsilon })}

{\ displaystyle c <\ exp {(K_ {2} \ operatorname {rad} (abc) ^ {{\ frac {2} {3}} + \ varepsilon})}}

c <\ exp {(K_ {2} \ operatorname {rad} (abc) ^ {{{\ frac {2} {3}} + \ varepsilon}})}

(CL Stewart & Kunrui Yu 1991), e

c<\exp {(K_{3}\operatorname {rad} (abc)^{{\frac {1}{3}}+\varepsilon })}

{\ displaystyle c <\ exp {(K_ {3} \ operatorname {rad} (abc) ^ {{\ frac {1} {3}} + \ varepsilon})}}

c <\ exp {(K_ {3} \ operatorname {rad} (abc) ^ {{{\ frac {1} {3}} + \ varepsilon}})}

(CL Stewart & Kunrui Yu 1996).

În aceste, $K_{1}$ ${\ displaystyle K_ {1}}$ $K_ {1}$ este o constantă de care nu depinde $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ , $b$ ${\ displaystyle b}$ $b$ , sau $c$ ${\ displaystyle c}$ $c$ ; $K_{2}$ ${\ displaystyle K_ {2}}$ $K_ {2}$ Și $K_{3}$ ${\ displaystyle K_ {3}}$ $K_ {3}$ sunt constante care depind de $\varepsilon$ ${\ displaystyle \ varepsilon}$ $\ varepsilon$ (într-un mod calculabil ) dar nu din $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ , $b$ ${\ displaystyle b}$ $b$ , sau $c$ ${\ displaystyle c}$ $c$ . Aceste limite se aplică oricărui triplet în care $c>2$ ${\ displaystyle c> 2}$ $c> 2$ .

Triplete cu radicali mici

Condiția care $\varepsilon >0$ ${\ displaystyle \ varepsilon> 0}$ $\ varepsilon> 0$ este necesar pentru validitatea conjecturii, la fel ca și existența unei infinite mulțimi de triplete $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ , $b$ ${\ displaystyle b}$ $b$ , $c$ ${\ displaystyle c}$ $c$ cu $\operatorname {rad} (abc)<c$ ${\ displaystyle \ operatorname {rad} (abc) <c}$ $\ operatorname {rad} (abc) <c$ .

De exemplu, un astfel de triplet poate fi acesta:

a=1

{\ displaystyle a = 1}

a = 1

b=2^{6n}-1

{\ displaystyle b = 2 ^ {6n} -1}

b = 2 ^ {{6n}} - 1

c=2^{6n}

{\ displaystyle c = 2 ^ {6n}}

c = 2 ^ {{6n}}

De cand $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ Și $c$ ${\ displaystyle c}$ $c$ împreună contribuie doar cu un factor de doi la radical, în timp ce $b$ ${\ displaystyle b}$ $b$ este divizibil cu $9$ ${\ displaystyle 9}$ $9$ , asa de

\operatorname {rad} (abc)<{\frac {2c}{3}}

{\ displaystyle \ operatorname {rad} (abc) <{\ frac {2c} {3}}}

\ operatorname {rad} (abc) <{\ frac {2c} {3}}

pentru aceste exemple. Înlocuind exponentul $^{6n}$ ${\ displaystyle ^ {6n}}$ $^ {{6n}}$ celorlalți exponenți prin forțare $b$ ${\ displaystyle b}$ $b$ să aibă factori pătratici mari, relația dintre radical și $c$ ${\ displaystyle c}$ $c$ poate fi arbitrar de mare.

Un alt triplet cu un radical deosebit de mic a fost găsit de Eric Reyssat ^[9] :

a=2

{\ displaystyle a = 2}

a = 2

b=3^{10}\cdot 109=6436341

{\ displaystyle b = 3 ^ {10} \ cdot 109 = 6436341}

b = 3 ^ {{10}} \ cdot 109 = 6436341

c=23^{5}=6436343

{\ displaystyle c = 23 ^ {5} = 6436343}

c = 23 ^ {5} = 6436343

\operatorname {rad} (abc)=15042

{\ displaystyle \ operatorname {rad} (abc) = 15042}

\ operatorname {rad} (abc) = 15042

Proiecte de calcul distribuite (grid computing)

În 2006 , Departamentul de Matematică al Universității din Leiden , Olanda, împreună cu institutul științific german Kennislink , au lansat proiectul ABC @ Home , un sistem de calcul cu rețea care își propune să găsească triplete suplimentare. $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ , $b$ ${\ displaystyle b}$ $b$ , $c$ ${\ displaystyle c}$ $c$ cu $\operatorname {rad} (abc)<c$ ${\ displaystyle \ operatorname {rad} (abc) <c}$ $\ operatorname {rad} (abc) <c$ . Deși niciun set finit de exemple sau contraexemple nu poate rezolva conjectura abc, se speră că caracteristicile tripletelor descoperite de acest proiect vor ajuta la o mai bună înțelegere a conjecturii și a teoriei numerelor mai general.

Scopul său actual este de a obține o listă completă a tuturor tripletelor $(a,b,c)$ ${\ displaystyle (a, b, c)}$ $(a, b, c)$ cu $c$ ${\ displaystyle c}$ $c$ nu mai mare de 10 ¹⁸ ^[10] .

În aprilie 2011, proiectul susține că a descoperit 21,1 milioane de triplete abc ^[11] .

Forme rafinate și generalizări

În 1996 , matematicianul Alan Baker a propus o inegalitate importantă, argumentând că în inegalitățile cu care a fost formulată conjectura abc, $\operatorname {rad} (abc)$ ${\ displaystyle \ operatorname {rad} (abc)}$ $\ operatorname {rad} (abc)$ poate fi înlocuit cu:

\epsilon ^{-\omega }\operatorname {rad} (abc),

{\ displaystyle \ epsilon ^ {- \ omega} \ operatorname {rad} (abc),}

\ epsilon ^ {{- \ omega}} \ operatorname {rad} (abc),

unde este $\omega$ ${\ displaystyle \ omega}$ $\omega$ este numărul total de primi distincti care se divid $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ , $b$ ${\ displaystyle b}$ $b$ Și $c$ ${\ displaystyle c}$ $c$ . O presupunere legată de Andrew Granville susține că, în partea dreaptă a inegalității putem pune:

O(\operatorname {rad} (abc)\Theta (\operatorname {rad} (abc))),

{\ displaystyle O (\ operatorname {rad} (abc) \ Theta (\ operatorname {rad} (abc))),}

O (\ operatorname {rad} (abc) \ Theta (\ operatorname {rad} (abc))),

unde este $\Theta (n)$ ${\ displaystyle \ Theta (n)}$ $\ Theta (n)$ este numărul de numere întregi până la $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ divizibil doar de primul care împarte $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ .

În 1994 , Jerzy Browkin și Juliusz Brzeziński au formulat conjectura n ^[12] , o versiune a conjecturii abc care implică numere întregi $~n>2~$ ${\ displaystyle ~ n> 2 ~}$ $~ n> 2 ~$ .

Propunere de dovadă Mochizuki

În august 2012, Shinichi Mochizuki a susținut că a rezolvat conjectura Szpiro și, prin urmare, și conjectura abc într-o serie de articole în care este dezvoltată „teoria interuniversală Teichmüller”. ^[13] ^[14] ^[15] În 2020 s-a anunțat că dovada va fi publicată în revista Publications of the Research Institute for Mathematical Sciences (RIMS), al cărei editor este Mochizuki. Diferenți matematicieni, precum Peter Scholze și Jakob Stix , ^[16] au declarat totuși că nu cred în corectitudinea dovezii care este privită cu un scepticism puternic de comunitatea matematică. ^[17]

Notă

^ Dorian Goldfeld, Dincolo de ultima teoremă , în Math Horizons , 1996, pp. 26–34.
^ Rețineți că dacă $a+b=$ ${\ displaystyle a + b =}$ $a + b =$ c, coprimul lui $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ , $b$ ${\ displaystyle b}$ $b$ Și $c$ ${\ displaystyle c}$ $c$ implică coproducerea fiecăruia dintre cuplurile formate din $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ , $b$ ${\ displaystyle b}$ $b$ , $c$ ${\ displaystyle c}$ $c$ . Deci, în acest caz, nu contează ce concept folosim.
^ ND Elkies, ABC implică Mordell , în Intern. Matematica. Notificări de cercetare , vol. 7, 1991, pp. 99-109, DOI : 10.1155 / S1073792891000144 .
^ M. Langevin, Cas d'égalité pour le théorème de Mason et applications de la conjecture abc , în Comptes rendus de l'Académie des sciences , vol. 317, 1993, pp. 441–444. ( FR )
^ Joseph H. Silverman, criteriul lui Wieferich și abc -conjecture , în Journal of Number Theory , vol. 30, 1988, pp. 226-237, DOI : 10.1016 / 0022-314X (88) 90019-4 .
^ ( FR ) Abderrahmane Nitaj, La conjecture abc , în Enseign. Matematica. , vol. 42, 1996, pp. 3–24.
^ Carl Pomerance , Computational Number Theory , în The Princeton Companion to Mathematics , Princeton University Press, 2008, pp. 361–362.
^ (EN) Frits Beukers, The ABC-conjecture (PDF), 9 septembrie 2005. Accesat la 17 iulie 2020.
^ Lando și Zvonkin, p.137
^ Date colectate sofar , ABC @ Home. Adus la 17 aprilie 2010 (arhivat din original la 15 mai 2014) .
^ Date colectate până acum , pe abcathome.com , ABC @ Home. Adus la 11 aprilie 2011 (arhivat din original la 15 mai 2014) .
^ J. Browkin, J. Brzeziński, Câteva remarci despre abc -conjecture , în Math. Comp. , Vol. 62, American Mathematical Society, 1994, pp. 931–939, DOI : 10.2307 / 2153551 .
^ Shinichi Mochizuki, Teoria inter-universală Teichmüller IV: calcule volum-jurnal și fundații teoretice de set ( PDF ), document de lucru, august 2012. Accesat la 12 septembrie 2012 (arhivat din original la 28 decembrie 2016) .
^ Dovadă pretinsă pentru conexiunea profundă între primii , Nature News, 10 septembrie 2012
^ Conjectură ABC la Polymath Wiki , pe michaelnielsen.org .
^ Peter Scholze Scholze și Jakob Stix, De ce abc este încă o presupunere ( PDF ), pe kurims.kyoto-u.ac.jp . Adus la 17 iulie 2020 (arhivat din original la 8 februarie 2020) .
^ Davide Castelvecchi, Dovada matematică că teoria numerelor va fi publicată , în Nature , 3 aprilie 2020, DOI : 10.1038 / d41586-020-00998-2 .

linkuri externe

ABC @ home ABC @ Home program de calcul distribuit
( EN ) Eric W. Weisstein, Conjecture abc , în MathWorld , Wolfram Research.
pagina principală a conjecturii ABC Arhivat 19 august 2000 la Internet Archive . de Abderrahmane Nitaj
Triplete ABC de Bart de Smit

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică

[1] Dorian Goldfeld, Dincolo de ultima teoremă , în Math Horizons , 1996, pp. 26–34.

[2] Rețineți că dacă $a+b=$ ${\ displaystyle a + b =}$ $a + b =$ c, coprimul lui $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ , $b$ ${\ displaystyle b}$ $b$ Și $c$ ${\ displaystyle c}$ $c$ implică coproducerea fiecăruia dintre cuplurile formate din $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ , $b$ ${\ displaystyle b}$ $b$ , $c$ ${\ displaystyle c}$ $c$ . Deci, în acest caz, nu contează ce concept folosim.

[3] ND Elkies, ABC implică Mordell , în Intern. Matematica. Notificări de cercetare , vol. 7, 1991, pp. 99-109, DOI : 10.1155 / S1073792891000144 .

[4] M. Langevin, Cas d'égalité pour le théorème de Mason et applications de la conjecture abc , în Comptes rendus de l'Académie des sciences , vol. 317, 1993, pp. 441–444. ( FR )

[5] Joseph H. Silverman, criteriul lui Wieferich și abc -conjecture , în Journal of Number Theory , vol. 30, 1988, pp. 226-237, DOI : 10.1016 / 0022-314X (88) 90019-4 .

[6] ( FR ) Abderrahmane Nitaj, La conjecture abc , în Enseign. Matematica. , vol. 42, 1996, pp. 3–24.

[7] Carl Pomerance , Computational Number Theory , în The Princeton Companion to Mathematics , Princeton University Press, 2008, pp. 361–362.

[8] (EN) Frits Beukers, The ABC-conjecture (PDF), 9 septembrie 2005. Accesat la 17 iulie 2020.

[9] Lando și Zvonkin, p.137

[10] Date colectate sofar , ABC @ Home. Adus la 17 aprilie 2010 (arhivat din original la 15 mai 2014) .

[11] Date colectate până acum , pe abcathome.com , ABC @ Home. Adus la 11 aprilie 2011 (arhivat din original la 15 mai 2014) .

[12] J. Browkin, J. Brzeziński, Câteva remarci despre abc -conjecture , în Math. Comp. , Vol. 62, American Mathematical Society, 1994, pp. 931–939, DOI : 10.2307 / 2153551 .

[13] Shinichi Mochizuki, Teoria inter-universală Teichmüller IV: calcule volum-jurnal și fundații teoretice de set ( PDF ), document de lucru, august 2012. Accesat la 12 septembrie 2012 (arhivat din original la 28 decembrie 2016) .

[14] Dovadă pretinsă pentru conexiunea profundă între primii , Nature News, 10 septembrie 2012

[15] Conjectură ABC la Polymath Wiki , pe michaelnielsen.org .

[16] Peter Scholze Scholze și Jakob Stix, De ce abc este încă o presupunere ( PDF ), pe kurims.kyoto-u.ac.jp . Adus la 17 iulie 2020 (arhivat din original la 8 februarie 2020) .

[17] Davide Castelvecchi, Dovada matematică că teoria numerelor va fi publicată , în Nature , 3 aprilie 2020, DOI : 10.1038 / d41586-020-00998-2 .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]