Conjectura lui Borsuk

În matematică, conjectura Borsuk este o problemă discretă de geometrie .

Problema

În 1932 Karol Borsuk a arătat că orice bilă tridimensională din spațiul euclidian putea fi împărțită în 4 solide, fiecare dintre acestea având un diametru mai mic decât bila inițială. Mai general, Borsuk a arătat că orice bilă d- dimensională poate fi împărțită în d + 1 solide cu diametru mai mic. În plus, el a simțit că acest lucru nu este posibil doar cu solidul d . Acest lucru l-a determinat pe Borsuk să-și pună o întrebare, care a devenit conjectura lui Borsuk :

Următoarea întrebare rămâne deschisă: Poate orice subset mărginit și de

\mathbb {R} ^{n}

{\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}

\ mathbb {R} ^ {n}

să fie împărțit în n + 1 seturi, fiecare dintre ele având un diametru mai mic decât E ? ^[1]

Problema a găsit un răspuns pozitiv în următoarele cazuri:

d = 2 , rezultatul original al lui Borsuk (1932).
d = 3 , rezultat de HG Eggleston (1955). O dovadă mai simplă a fost dată ulterior de Branko Grünbaum și Aladár Heppes .
Pentru fiecare d , dacă solidul este neted și convex . Rezultat de Hugo Hadwiger (1946)
Pentru fiecare d dacă solidul are simetrie centrală . Rezultatul lui AS Riesling (1971)
Pentru fiecare d dacă solidul este de rotație . Rezultatul lui Boris Dekster (1995)

Problema a fost rezolvată în cele din urmă în 1993 de Jeff Kahn și Gil Kalai , care au arătat că răspunsul general este nu ^[2] . Contraexemplul lor a arătat că d + 1 solide nu sunt suficiente pentru d = 1325 și pentru orice d> 2014 . Cel mai bun rezultat actual afirmă că problema are un răspuns negativ pentru fiecare d ≥ 64 . ^[3] ^[4]

Pe lângă găsirea minimului d pentru care este necesar numărul de piese $\alpha (d)$ ${\ displaystyle \ alpha (d)}$ ${\ displaystyle \ alpha (d)}$ este mai mare decât d + 1 , este de asemenea interesant să studiezi comportamentul funcției $\alpha (d)$ ${\ displaystyle \ alpha (d)}$ ${\ displaystyle \ alpha (d)}$ . Kahn și Kalai au arătat în lucrarea lor că, în general $\alpha (d)\geq (1.2)^{\sqrt {d}}$ ${\ displaystyle \ alpha (d) \ geq (1.2) ^ {\ sqrt {d}}}$ ${\ displaystyle \ alpha (d) \ geq (1.2) ^ {\ sqrt {d}}}$ . Mai mult, Oded Schramm a demonstrat că pentru orice ε , dacă d este suficient de mare, $\alpha (d)\leq \left({\sqrt {3/2}}+\varepsilon \right)^{d}$ ${\ displaystyle \ alpha (d) \ leq \ left ({\ sqrt {3/2}} + \ varepsilon \ right) ^ {d}}$ ${\ displaystyle \ alpha (d) \ leq \ left ({\ sqrt {3/2}} + \ varepsilon \ right) ^ {d}}$ . Ordinea de mărime a $\alpha (d)$ ${\ displaystyle \ alpha (d)}$ ${\ displaystyle \ alpha (d)}$ este încă necunoscut, deși s-a presupus că există o constantă c> 1 astfel încât $\alpha (d)>c^{d}$ ${\ displaystyle \ alpha (d)> c ^ {d}}$ ${\ displaystyle \ alpha (d)> c ^ {d}}$ pentru fiecare d ≥ 1 .