Conjectura lui Goldbach

În matematică , conjectura lui Goldbach este una dintre cele mai vechi probleme nerezolvate din teoria numerelor . Se afirmă că orice număr par mai mare de 2 poate fi scris ca suma a două numere prime (care pot fi, de asemenea, egale).

Numărul de moduri în care un număr n poate fi scris ca suma a două prime pentru n ≤ 1 000 000

De exemplu,

4 = 2 + 2

6 = 3 + 3

8 = 3 + 5

10 = 3 + 7 = 5 + 5

12 = 5 + 7

14 = 3 + 11 = 7 + 7

etc.

Origini

În 1742 , matematicianul prusac Christian Goldbach i-a scris lui Euler o scrisoare în care propunea următoarea conjectură:

Orice număr întreg mai mare de 5 poate fi scris ca suma a trei numere prime.

Euler, interesându-se de problemă, a răspuns reformulând problema în următoarea versiune echivalentă:

Orice număr par mai mare de 2 poate fi scris ca suma a două numere prime.

Versiunea lui Euler este forma în care este formulată în prezent conjectura și este uneori numită și sub numele puternic al conjecturii Goldbach. Conjectura slabă a lui Goldbach, care este implicată de conjectura puternică, afirmă că toate numerele impare mai mari de 5 pot fi scrise ca suma a trei numere prime.

Rezultate

Conjectura lui Goldbach a atras atenția multor teoreticieni ai numerelor. Majoritatea matematicienilor cred că presupunerea este adevărată, bazată în principal pe considerații statistice și probabilistice obținute cu teorema numărului prim .

În 1923 Hardy și Littlewood au dovedit că, dacă ipoteza generalizată a lui Riemann este adevărată, atunci conjectura slabă a lui Goldbach este adevărată pentru toate numerele întregi ciudate suficient de mari . În 1937 , Ivan Vinogradov a înlăturat ipoteza generalizată Riemann, arătând că fiecare număr impar $n>3^{3^{15}}$ ${\ displaystyle n> 3 ^ {3 ^ {15}}}$ $n> 3 ^ {{3 ^ {{15}}}}$ este suma a trei prime. Mai mult, pe baza ideilor lui Vinogradov, Chudakov , ^[1] van der Corput , ^[2] și Estermann ^[3] au arătat că aproape toate numerele pare pot fi scrise ca suma a două numere prime, adică fracția numerelor care poate fi scris în acest mod tinde la 1. În 1975 , Hugh Montgomery și Robert Vaughan au dat o versiune mai precisă a acestui rezultat, arătând că numărul de numere întregi pare mai mici decât N care nu sunt reprezentabile, deoarece suma a două numere prime este mai mică decât $CN^{1-c}$ ${\ displaystyle CN ^ {1-c}}$ $CN ^ {{1-c}}$ pentru două constante $c,C>0$ ${\ displaystyle c, C> 0}$ $c, C> 0$ .

De-a lungul anilor s-au demonstrat alte câteva rezultate parțiale. În 1939 LG Schnirelmann a demonstrat că orice număr par n ≥ 4 poate fi scris ca suma a cel mult 20 de numere prime. ^{[ nevoie de citare ]} Acest număr a fost ulterior redus de numeroși matematicieni; în special Olivier Ramaré în 1995 a demonstrat că fiecare număr par n ≥ 4 poate fi scris ca suma a cel mult 6 numere prime. Rețineți că slaba conjectură a lui Goldbach implică același rezultat, dar cu doar 4 numere prime.

În 1951, Linnik a demonstrat că există un număr întreg k astfel încât orice număr par suficient de mare poate fi scris ca suma a două prime și cel mult k puteri a două. În 2002 Roger Heath-Brown și Jan-Christoph Schlage-Puchta au demonstrat că k = 13 este suficient ^[4], iar în 2003 Pintz și Ruzsa au îmbunătățit acest rezultat arătând că se poate lua k = 8. ^[5]

Un alt rezultat important este cel obținut de Chen Jingrun care, în 1966, a arătat că orice număr par suficient de mare poate fi scris ca suma fie a două prime, fie a unui prim și a unui semiprim (produsul a două prime): de exemplu, 100 = 23 + 711. ^[6]

În cele din urmă, de-a lungul anilor au existat mai multe rezultate pentru reducerea limitei $3^{3^{15}}$ ${\ displaystyle 3 ^ {3 ^ {15}}}$ $3 ^ {{3 ^ {{15}}}}$ menționată mai sus dincolo de care se dovedește slaba conjectură Goldbach. Printre acestea, există dovada lui Deshouillers , Effinger , te Riele și Zinoviev că ipoteza generalizată Riemann implică slaba conjectură Goldbach. ^[7] În 2013 Harald Helfgott a anunțat că a dovedit acest rezultat fără presupunerea ipotezei Riemann, rezolvând astfel în totalitate slaba conjectură a lui Goldbach. ^[8] ^[9] ^[10] ^[11]

Citate în artă

În 2000 , pentru a face publică cartea Uncle Petros and the Goldbach Conjecture de Apostolos Doxiadis , editorul britanic Tony Faber a oferit un premiu de 1.000.000 $ pentru o dovadă a conjecturii. Premiul va fi acordat numai pentru demonstrațiile prezentate spre publicare până în aprilie 2002 , dar nu a fost niciodată revendicat.
Conjectura lui Goldbach este citată în filmul The Beast with a Billion Backs , o versiune cinematografică a seriei animate Futurama , într-o scenă în care profesorul Farnsworth și colegul său rival Prof. Wernstrom susține că a găsit „o altă dovadă elementară” a conjecturii lui Goldbach.
Este menționat în cartea lui Denis Guedj Teorema papagalului .
Este menționată în cărțile The Devil's Mark și Glenn Cooper's Debt .
Este menționat în cartea Pentru că eu cred în Cel care a făcut lumea. Între credință și știință de Antonino Zichichi .
Este menționat în filmul spaniol La habitación de Fermat .
Este menționat în prima poveste (Milioane de trilioane) din Banchetele lui Isaac Asimov pentru văduvii negri .
Este citat în eseul Three Concepts of Human Science de Karl Popper .
Este menționat în eseul „Gödel, Escher, Bach: o eternă ghirlandă strălucitoare” de Douglas Hofstadter , în care apare într-unul dintre dialogurile dintre Ahile și broasca țestoasă.
Este menționat în numărul 182 „Secretul primelor numere” al benzii desenate „ Nathan Never ”, menționat de expertul în calculatoare Sigmund Baginov .
Este menționat în povestea „A forma di isola” de Fabio Stassi , conținută în „Cincizeci în albastru”, ed. Sellerio 2019

Notă

^ Nikolai G. Chudakov, О проблеме Гольдбаха [ Despre problema Goldbach ], în Doklady Akademii Nauk SSSR , vol. 17, 1937, pp. 335–338.
^ JG Van der Corput, Sur l'hypothèse de Goldbach , în Proc. Akad. Umed. Amsterdam , vol. 41, 1938, pp. 76-80.
^ T. Estermann, Despre problema lui Goldbach: dovadă că aproape toate numerele întregi pozitive sunt sume de două numere prime , în Proc. London Math. Soc. , 2, vol. 44, 1938, pp. 307-314, DOI : 10.1112 / plms / s2-44.4.307 .
^ DR Heath-Brown și JC Puchta, numere întregi reprezentate ca o sumă a primelor și puterilor a două , în Asian Journal of Mathematics , vol. 6, nr. 3, 2002, pp. 535-565, arXiv : math.NT / 0201299 .
^ J. Pintz și IZ Ruzsa, Despre aproximarea lui Linnik la problema lui Goldbach, eu , în Acta Arithmetica , vol. 109, nr. 2, 2003, pp. 169–194, DOI : 10.4064 / aa109-2-6 .
^ JR Chen, Cu privire la reprezentarea unui număr întreg mai mare ca suma unui prim și produsul a cel mult două prime. Sci. Sinica 16 (1973), 157-176.
^ Deshouillers, Effinger, Te Riele și Zinoviev, Teorema completă a 3-primelor Vinogradov sub ipoteza Riemann ( PDF ), în Electronic Research Announcements of the American Mathematical Society , vol. 3, nr. 15, 1997, pp. 99-104, DOI : 10.1090 / S1079-6762-97-00031-0 .
^ HA Helfgott, Arcuri majore pentru teorema lui Goldbach , 2013.
^ HA Helfgott, Arci minore pentru problema lui Goldbach , 2012.
^ Numere prime: puzzle-ul vechi de 271 de ani rezolvat - Adevărul este cool Arhivat pe 7 iunie 2013 în Arhiva Internet .
^ Dovadă că un număr infinit de numere prime este asociat - fizică-matematică - 14 mai 2013 - New Scientist

Bibliografie

Unchiul Petros și conjectura Goldbach (1992), de Apostolos Doxiadis , Bompiani ( ISBN 88-452-4861-5 )
Obstinațiile unui matematician sau cum să mori de trei ori pentru conjectura Goldbach (2005), de Didier Nordon , Sironi Editore ( ISBN 88-518-0047-2 )

Elemente conexe

Alte proiecte

Wikimedia Commons conține imagini sau alte fișiere despre conjectura Goldbach

linkuri externe

( EN ) Conjectura lui Goldbach , parte a primelor pagini ale lui Chris Caldwell .
( EN ) O întrebare de matematică de un milion de dolari . Articol de Anjana Ahuja în The Times , 16 martie 2000 .
( EN ) Ajutați la verificarea conjecturii Goldbach , Cercetarea distribuită administrată de T. Oliveira și Silva.
Vizualizator de perechi Goldbach , instrument pentru verificarea conjecturii Goldbach asupra numerelor întregi solicitate.

Controlul autorității	Tezaur BNCF 14100 · LCCN (EN) sh97007184 · BNF (FR) cb13745227d (data)

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică

[1] Nikolai G. Chudakov, О проблеме Гольдбаха [ Despre problema Goldbach ], în Doklady Akademii Nauk SSSR , vol. 17, 1937, pp. 335–338.

[2] JG Van der Corput, Sur l'hypothèse de Goldbach , în Proc. Akad. Umed. Amsterdam , vol. 41, 1938, pp. 76-80.

[3] T. Estermann, Despre problema lui Goldbach: dovadă că aproape toate numerele întregi pozitive sunt sume de două numere prime , în Proc. London Math. Soc. , 2, vol. 44, 1938, pp. 307-314, DOI : 10.1112 / plms / s2-44.4.307 .

[4] DR Heath-Brown și JC Puchta, numere întregi reprezentate ca o sumă a primelor și puterilor a două , în Asian Journal of Mathematics , vol. 6, nr. 3, 2002, pp. 535-565, arXiv : math.NT / 0201299 .

[5] J. Pintz și IZ Ruzsa, Despre aproximarea lui Linnik la problema lui Goldbach, eu , în Acta Arithmetica , vol. 109, nr. 2, 2003, pp. 169–194, DOI : 10.4064 / aa109-2-6 .

[6] JR Chen, Cu privire la reprezentarea unui număr întreg mai mare ca suma unui prim și produsul a cel mult două prime. Sci. Sinica 16 (1973), 157-176.

[7] Deshouillers, Effinger, Te Riele și Zinoviev, Teorema completă a 3-primelor Vinogradov sub ipoteza Riemann ( PDF ), în Electronic Research Announcements of the American Mathematical Society , vol. 3, nr. 15, 1997, pp. 99-104, DOI : 10.1090 / S1079-6762-97-00031-0 .

[8] HA Helfgott, Arcuri majore pentru teorema lui Goldbach , 2013.

[9] HA Helfgott, Arci minore pentru problema lui Goldbach , 2012.

[10] Numere prime: puzzle-ul vechi de 271 de ani rezolvat - Adevărul este cool Arhivat pe 7 iunie 2013 în Arhiva Internet .

[11] Dovadă că un număr infinit de numere prime este asociat - fizică-matematică - 14 mai 2013 - New Scientist

[1]

[2]

[3]

[4],

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

V · D · M Teoria numerelor
Cele mai utilizate numere	Natural · Întreg · Par și impar
Principii generale	Principiul inducției · Principiul unei bune ordonări · Relația de echivalență
Secvențe de numere întregi	Factorial · Fibonacci · Număr de catalană · Număr Perrin · Număr de Euler · Secvență Mian-Chowla · Succesiunea lui Thue-Morse
Caracteristicile numerelor prime	Primul număr · lema lui Euclid · Teorema infinitate de numere prime · ciurul Eratostene · teste primality · Teorema fundamentală a aritmeticii · Total acoperire mine · Bézout Identitate · MCD · mcm · algoritmul lui Euclid · Teorema de Prime Numbers
Funcții aritmetice	Funcție multiplicativă · funcție aditivă · convoluție Dirichlet · funcția Euler Euler · funcția Möbius · funcția tau pe pozitiv · funcția sigmoidă · funcția Liouville · funcția Mertens
Aritmetica modulară	Teorema a restului chinez · teorema lui Fermat mici · teorema lui Euler · Criterii de divizibilitate · teorema lui Fermat pe sume de două pătrate · Wilson Teorema · reciprocitatea pătratică
Conjecturi	Conjectura lui Goldbach · Conjectura Polignac · Guess abc · conjectura primelor gemene · Conjectura lui Legendre · Noua conjectură Mersenne · Conjectura Collatz · Ipoteza Riemann
Alte	Problema lui Waring
Principalii teoreticieni	Fibonacci · Fermat · Gauss · Euler · Legendre · Riemann · Dirichlet
Disciplinele conexe	Teoria algebrică a numerelor · Teoria analitică a numerelor · Criptografie · Teoria computațională a numerelor