Conjectură Hodge
Conjectura lui Hodge este o problemă importantă nerezolvată a geometriei algebrice . Este o descriere conjecturală a legăturii dintre topologia algebrică a unei varietăți algebrice complexe non-singulare și geometria acesteia, reprezentată de ecuații polinomiale care definesc sub-soiurile.
Conjectura apare din rezultatele muncii lui William Vallance Douglas Hodge , care între 1930 și 1940 a îmbogățit descrierea cohomologiei lui De Rham , inclusiv structura suplimentară prezentă în cazul soiurilor algebrice (deși nu se limitează la acel caz).
Formularea conjecturii
Fie V o varietate algebrică non-singulară a dimensiunii n peste numere complexe . V poate fi considerat, de asemenea, ca o varietate de dimensiuni 2 n și ca atare posedă grupuri de cohomologie care sunt spații vectoriale cu dimensiuni finite pe complexe ale căror dimensiuni sunt identificabile cu un indice d cuprins între 0 și 2 n . Fixăm o valoare pară d = 2 k și notăm cu H grupa d -cohomologie: există alte două structuri care trebuie descrise pe H.
Prima este descompunerea Hodge a lui H. Știm acest lucru care descompune H într-o sumă directă de 2 k + 1 subspatii pe care le folosim pentru a denota
- H (0,2k) , H (1, 2k-1) , ..., H (2k, 0) .
Suma relevantă pentru presupunerea „centrală”,
- H (k, k) .
Pentru baza acestor considerații a se vedea. Teoria lui Hodge .
A doua structură este așa-numita structură rațională pe H. Am presupus că H este grupul de cohomologie cu coeficienți complecși (la care se aplică descompunerea Hodge). Începând cu grupul de cohomologie cu coeficienți raționali, ajungem la o noțiune de clasă de cohomologie rațională în H : de exemplu, o bază cu coeficienți raționali pentru clasele de cohomologie poate fi utilizată ca bază pentru H și, prin urmare, se pot căuta combinații liniare. cu coeficienți raționali ai acestor vectori de bază.
În ceea ce privește aceste structuri, putem defini spațiul vectorial H * care se referă la conjectura lui Hodge. Se compune din vectorii din H (k, k) care sunt clase raționale de cohomologie. Prin urmare, este un spațiu vectorial cu dimensiuni finite deasupra numerelor raționale.
Noțiunea de ciclu algebric
Unele mecanisme standard explică legăturile cu geometria lui V. Dacă W este un submanifold de dimensiune n - k în V , pe care îl numim codimensiune k , dă naștere unui element al grupului de cohomologie H. De exemplu, în codimensiunea 1, care este cel mai accesibil caz geometric folosind secțiuni de hiperplan, clasa corespunzătoare se găsește în al doilea grup de cohomologie și poate fi calculată prin intermediul primei clase Chern din grupul trunchiului .
Ceea ce se știe este că astfel de clase, denumite în mod tradițional cicluri algebrice (cel puțin dacă vorbim într-un mod oarecum colocvial), îndeplinesc condițiile necesare sugerate de construcția lui H * . Acestea sunt clase raționale care se află și în suma centrală H (k, k) .
Ce susține Conjectura Hodge
Se spune că ciclurile algebrice ale lui V subtind întregul spațiu H * . Din cele spuse, aceasta înseamnă că sunt suficiente și condițiile stabilite, necesare unei combinații de cicluri algebrice.
Implicațiile geometrice
Conjectura este cunoscută pentru k = 1 și pentru multe cazuri speciale. O codimensiune mai mare de 1 este foarte dificil de tratat, deoarece, în general, nu este posibil să „găsim totul” prin secțiuni repetate cu hipereplane.
În aceste cazuri, existența spațiilor H * care nu sunt reduse la zero are o valoare predictivă pentru partea de geometrie a lui V care este dificil de detectat. În exemplele examinate, H * este un obiect care poate fi discutat mult mai ușor.
Se întâmplă, de asemenea, că atunci când H * are o dimensiune ridicată, exemplul ales ca V poate fi considerat ceva special: prin urmare, presupunerea se referă la ceea ce am putea numi cazurile interesante și dificil de demonstrat, cu atât mai mult ne îndepărtăm de un caz generic.
linkuri externe
- Hodge Conjecture în MathWorld
- Conjectura Hodge de P. Deligne
