Conjectură Poincaré

Acest articol sau secțiune despre matematică lipsește sau lipsește de note și referințe bibliografice specifice . Deși există o bibliografie și / sau linkuri externe , nu există o contextualizare a surselor cu note de subsol sau alte referințe precise care indică cu promptitudine originea informațiilor. Puteți îmbunătăți această intrare citând mai precis sursele . Urmați sfaturile de proiectare de referință .

Pentru suprafețele bidimensionale compacte și libere de margine , dacă fiecare cale închisă poate fi contractată pentru a deveni un punct, atunci suprafața este topologic homeomorfă cu o 2-sferă (numită în mod simplu sferă ). Conjectura lui Poincaré afirmă că același lucru este valabil și pentru suprafețele tridimensionale .

Conjectura lui Poincaré a fost considerată una dintre cele mai importante probleme de topologie de-a lungul celei de-a doua jumătăți a secolului al XX-lea , demonstrată de Grigorij Jakovlevič Perel'man în 2002 .

Motivația și enunțul conjecturii

În 1904 Henri Poincaré lucra la fundamentele a ceea ce mai târziu se va numi topologie algebrică . În special, el a studiat proprietățile și caracteristicile topologice ale sferei .

Poincaré dezvoltase un instrument matematic numit omologie , care distinge și astfel permite clasificarea topologică a tuturor varietăților dimensiunii 2. El inițial a conjecturat un fenomen analog în dimensiunea 3, și anume că omologia distinge cel puțin sfera tridimensională de celelalte soiuri. Curând și-a dat seama că a greșit, deoarece a reușit să construiască o varietate 3 , numită ulterior sfera Poincaré , cu aceeași omologie ca sfera 3, dar nu homeomorfă . Spațiile de acest tip (sunt de fapt infinite) sunt acum numite sfere de omologie .

Poincaré a dezvoltat apoi un instrument nou, ceva mai rafinat , numit grupul fundamental . Apoi s-a întrebat dacă acest instrument este suficient pentru a distinge sfera 3 de alte varietăți tridimensionale. Poincaré nu a declarat niciodată în mod explicit că crede în următoarea afirmație, dar acest lucru a intrat în istorie sub numele de conjectura lui Poincaré.

Afirmație

Enunțul conjecturii este după cum urmează:

Fiecare colector 3 simplu închis (adică compact și fără margini ) este homeomorf pentru o sferă tridimensională.

Cu alte cuvinte, conjectura spune că sfera 3 este singura varietate tridimensională "fără găuri", adică este singura varietate a dimensiunii 3 în care orice cale închisă poate fi contractată pentru a deveni un punct.

Istoria soluțiilor propuse

De la Whitehead la Thurston

Inițial, această problemă a fost trecută cu vederea până când în 1930 JHC Whitehead a reînviat interesul pentru supoziție propunând o primă soluție. Mai târziu, și-a dat seama că soluția nu era corectă, dar cu toate acestea studiile sale au condus la descoperirea unor exemple interesante de soiuri care au condus la soiurile Whitehead .

Între anii 1950 și 1960 , mulți matematicieni și-au încercat mâna la întreprindere, dar, în timp ce au obținut rezultate importante în domeniul topologiei și al varietății, nu au reușit să demonstreze sau să infirme conjectura.

De-a lungul timpului, conjectura a căpătat reputația de a fi o conjectură foarte dificil de dovedit, chiar dacă avea o formulare relativ simplă. Acest lucru i-a determinat pe cei mai renumiți matematicieni să fie foarte precauți în anunțurile legate de conjectura lui Poincaré, deoarece uneori erorile foarte subtile au făcut probele inutile. În ciuda celor o mie de avertismente, în anii optzeci și nouăzeci , au existat anunțuri cu soluții fantomă, care s-au dovedit a fi incorecte. În același timp, Conjectura Poincaré a fost inserată de William Thurston ca parte a unei conjecturi mai mari referitoare la toate cele 3 manifolduri: conjectura de geometrizare .

Institutul Clay și Perel'man

În 2000 , Clay Mathematics Institute a decis să includă conjectura Poincaré printre problemele pentru mileniu și apoi să ofere un milion de dolari oricui a dovedit conjectura. Acest premiu evidențiază în continuare semnificația conjecturii Poincaré, în special în scopuri practice: toate problemele Premiului Millennium ar avea aplicații imediate, atât teoretice, cât și tehnologice. Conjectura lui Poincaré ar avea repercusiuni asupra posibilelor topologii ale teoriei corzilor și a altor diverse teorii ale gravitației cuantice .

Se părea că conjectura lui Poincaré ar putea fi primul premiu acordat. De fapt, în aprilie 2002 , un prim articol al lui MJ Dunwoody propunea o primă dovadă, care s-a dovedit însă a fi greșită. Ulterior, două articole ale lui Grigory Jakovlevič Perel'man de la Institutul de Matematică Steklov din Sankt Petersburg păreau mai promițătoare. În prima, Perel'man a susținut că a dovedit conjectura de geometrizare mai generală a lui Thurston prin realizarea unui program întreprins de Richard Hamilton . În 2003 , a publicat un al doilea articol, începând o serie de conferințe în Statele Unite . În 2004 , tehnicile sale au fost analizate și au creat un interes considerabil, chiar și pentru unele conexiuni cu subiecte teoretice de fizică , și au dus la considerarea lui ca fiind cel mai grav atac pe care îl primise vreodată conjectura Poincaré.

Între 2003 și 2006, câteva expuneri detaliate ale operei lui Perel'man, scrise de unii matematicieni, au fost publicate sau puse online: mai întâi câteva note de Kleiner și Lott, apoi, în primăvara anului 2006 , un articol de Huai-Dong Cao și Xiping Zhu în Asian Journal of Mathematics și un articol de Morgan și Tian. Lucrările lui Perel'man au fost apoi recunoscute de comunitatea matematică ca fiind adecvate pentru probe, dar rusul a refuzat atât Medalia Fields , pe 22 august 2006 , cât și Premiul Clay de un milion de dolari. ^[1]

Conjectura lui Poincaré în alte dimensiuni

O formulare a conjecturii n- dimensionale Poincaré este după cum urmează:

Fiecare colector închis n dimensional omotopic echivalent cu n - bilă este homeomorf pentru n -palla.

Această definiție este echivalentă cu conjectura Poincaré în cazul n = 3. Cele mai mari dificultăți apar pentru dimensiunile n = 3 și n = 4. Cazul cu n = 1 este banal, iar cazul cu n = 2 a fost dovedit cu ușurință . Stephen Smale a demonstrat cazuri cu n ≥ 7 în 1960 și ulterior a extins proba la n ≥ 5; pentru aceste lucrări a câștigat Medalia Fields în 1966 . Michael Freedman a rezolvat conjectura în cazul n = 4 în 1982 și a primit Medalia Fields pentru aceasta în 1986 .

Conjectura de geometrizare

Conjectura Poincaré este legată de clasificarea soiurilor tridimensionale. Prin „clasificare tridimensională a soiurilor” înțelegem în general capacitatea de a crea o listă care conține toate soiurile posibile fără homeomorfisme sau repetări. Rezultatul unei clasificări este echivalent cu definirea dacă un soi este homeomorf pentru un alt soi.

Conjectura de geometrizare a lui Thurston conține conjectura lui Poincaré ca un caz special. De asemenea, implică abilitatea de a clasifica orice varietate tridimensională.

Notă

Bibliografie

• Donal O'Shea : The Poincaré Conjecture (titlu original: The Poincaré Conjecture ) Rizzoli 2007 (ese popular)
• George G. Szpiro: Enigma lui Poincaré (titlu original: Premiul Poincaré ) Apogeo 2008 (eseu popular)

Elemente conexe

• Probleme pentru mileniu
• Premiul Clay
• Probleme de smale
• Probleme Hilbert

linkuri externe

• ( EN )Conjectura lui Poincaré , în Encyclopedia Britannica , Encyclopædia Britannica, Inc.
• Geniul rus al matematicii și premiul de un milion de dolari. „Mă voi gândi la asta” , Corriere della Sera , 23 martie 2010
• La Repubblica a anunțat demonstrația din 2006 , pe repubblica.it .
• ( EN ) Descrierea conjecturii Poincaré de la Clay Mathematics Institute
• ( EN ) John Milnor : Conjectura lui Poincaré 99 de ani mai târziu: un raport de progres
• ( EN ) John Milnor: Către conjectura Poincaré și clasificarea 3-varietăților
• ( EN ) Grisha Perelman : Formula de entropie pentru fluxul Ricci și aplicațiile sale geometrice , Arxiv , Preprint 2002
• ( EN ) Grisha Perelman: Fluxul Ricci cu operație pe trei colectoare , Preprint 2003
• Introducere informală a conjecturii ^{[ link rupt ]} , pe poisson.phc.unipi.it .
• ( EN ) Note și comentarii la lucrările lui Perelman despre fluxul Ricci , pe math.lsa.umich.edu . Adus la 6 septembrie 2004 (arhivat din original la 28 septembrie 2004) .
• ( EN ) Articolul din Boston Globe despre munca lui Perelman , pe boston.com .

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă cu matematica