Conjectura de geometrizare a lui Thurston

Conjectura de geometrizare a lui Thurston este o conjectură matematică formulată în jurul anului 1982 de matematicianul american William Thurston . Este o versiune tridimensională a teoremei de uniformizare Riemann dovedită la sfârșitul secolului al XIX-lea pentru suprafețe .

Conjectura de geometrizare (care implică cea mai faimoasă conjectură Poincaré ) a fost rezolvată de matematicianul rus Grigori Perelman în 2003 : pentru acest rezultat a primit medalia Fields în 2006 .

Afirmație

Conjectura de geometrizare afirmă că fiecare colector 3 se descompune în bucăți geometrice, după tăierea de -a lungul sferelor și torurilor. Tăierea de-a lungul sferelor este dată de descompunerea fiecărui 3-colector în colectoare cu 3-prime (garantat de teorema Kneser-Milnor ). Cel mai lung taur din descompunerea JSJ , descoperit în anii șaptezeci . Declarația presupunerii este deci următoarea.

Într-o varietate ireductibilă , fiecare dintre piesele descompunerii JSJ admite o metrică Riemanniană omogenă locală completă cu volum finit.

Geometriile

Tipul de descompunere constă dintr-o tăietură de -a lungul sferelor și taurilor. Piesele geometrice sunt soiuri omogene la nivel local : există 8 tipuri de geometrii tridimensionale omogene; printre acestea, se află cele 3 geometrii cu curbură secțională constantă ( eliptică , euclidiană și hiperbolică ). Șase dintre aceste opt geometrii sunt realizate topologic din varietăți Seifert .

Istorie

Thurston a anunțat conjectura în 1982 și între timp a dovedit-o pentru orice colector 3 care conține o suprafață incompresibilă . În special, toate soiurile care au o descompunere JSJ non-banală aparțin acestei clase: prin urmare, conjectura a rămas deschisă doar pentru acele soiuri ireductibile care nu sunt descompuse în continuare de JSJ. Mai precis, conjectura constă din trei părți independente, fiecare dintre ele implicând mulți matematicieni în următorii douăzeci de ani:

Conjectura lui Poincaré : o varietate 3 conectată simplu este homeomorfă la sferă $S^{3}$ ${\ displaystyle S ^ {3}}$ $S ^ 3$ .
Conjectură spațiu-formă : o varietate 3 cu grup fundamental finit este eliptică , adică un coeficient de $S^{3}$ ${\ displaystyle S ^ {3}}$ $S ^ 3$ pentru un subgrup finit al grupului ortogonal special $SO(4)$ ${\ displaystyle SO (4)}$ $SO (4)$ .
Conjectura de hiperbolizare: un colector 3 ireductibil închis cu grup fundamental infinit și care nu conține subgrupuri izomorfe a $\mathbb {Z} \times \mathbb {Z}$ ${\ displaystyle \ mathbb {Z} \ times \ mathbb {Z}}$ ${\ mathbb Z} \ times {\ mathbb Z}$ admite o metrică hiperbolică .

În 2003, Perelman a postat pe arXiv o dovadă a conjecturii de geometrizare care a rezolvat toate cele trei subconjecturi dintr-o singură lovitură. Soluția este studiată intens de diverși matematicieni și, după câțiva ani, s-a format un anumit consens în ceea ce privește valabilitatea ei, mărturisit de diverse publicații pe această temă.

Bibliografie

Despre conjectură

Scott, Peter Geometriile celor 3 manifolduri. ( incorect ) Bull. London Math. Soc. 15 (1983), nr. 5, 401-487.
Thurston, William P. Multiple tridimensionale, grupuri Kleiniene și geometrie hiperbolică. Taur. Amer. Matematica. Soc. (NS) 6 (1982), nr. 3, 357-381. Aici apare inițial conjectura.
William Thurston. Geometrie și topologie tridimensională. Vol. 1 . Editat de Silvio Levy. Seria matematică Princeton, 35. Princeton University Press, Princeton, NJ, 1997. x + 311 pp. ISBN 0-691-08304-5
William Thurston. Geometria și topologia celor trei manifolduri , 1980
F. Bonahon Structuri geometrice pe 3 manifolds Handbook of Geometric Topology (2002) Elsevier.
Allen Hatcher: Note privind topologia de bază cu 3 manifolduri 2000