Con (topologie)

Conul unei circumferințe. Cercul de pornire este albastru, iar punctul prăbușit este verde.

În topologie , conul unui spațiu topologic $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ este un nou spațiu topologic $C(X)$ ${\ displaystyle C (X)}$ $C (X)$ care, similar cu conul geometric obișnuit, are un vârf și o bază homeomorfă a $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ .

Definiție

Este $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ un spațiu topologic. Conul $C(X)$ ${\ displaystyle C (X)}$ $C (X)$ este spațiul coeficient

C(X)=(X\times [0,1])/(X\times \{0\})

{\ displaystyle C (X) = (X \ times [0,1]) / (X \ times \ {0 \})}

{\ displaystyle C (X) = (X \ times [0,1]) / (X \ times \ {0 \})}

a produsului de $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ cu intervalul unitar $[0,1]$ ${\ displaystyle [0,1]}$ ${\ displaystyle [0,1]}$ în ceea ce privește relația de echivalență care identifică toate punctele tipului $(x,0)$ ${\ displaystyle (x, 0)}$ $(x, 0)$ .

Prin urmare, conul este construit în două faze: mai întâi este construit un „cilindru” $X\times [0,1]$ ${\ displaystyle X \ times [0,1]}$ ${\ displaystyle X \ times [0,1]}$ , iar apoi una dintre cele două baze ale cilindrilor se prăbușește într-un punct.

Exemple

Puncte

De sine $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ este un set finit de puncte $x_{1},\ldots ,x_{k}$ ${\ displaystyle x_ {1}, \ ldots, x_ {k}}$ ${\ displaystyle x_ {1}, \ ldots, x_ {k}}$ cu topologia discretă , conul $C(X)$ ${\ displaystyle C (X)}$ $C (X)$ este homeomorf pentru un grafic cu vârfuri $v,x_{1},\ldots ,x_{k}$ ${\ displaystyle v, x_ {1}, \ ldots, x_ {k}}$ ${\ displaystyle v, x_ {1}, \ ldots, x_ {k}}$ înstelat în $v$ ${\ displaystyle v}$ $v$ , adică cu o margine care se conectează $v$ ${\ displaystyle v}$ $v$ fiecare $x_{i}$ ${\ displaystyle x_ {i}}$ $x_i$ .

Discuri și sfere

Se aplică următoarele homeomorfisme:

C(S^{n-1})\cong D^{n},\quad C(D^{n-1})\cong D^{n}.

{\ displaystyle C (S ^ {n-1}) \ cong D ^ {n}, \ quad C (D ^ {n-1}) \ cong D ^ {n}.}

{\ displaystyle C (S ^ {n-1}) \ cong D ^ {n}, \ quad C (D ^ {n-1}) \ cong D ^ {n}.}

Conul de pe o sferă este deci un disc , iar conul de pe un disc este, de asemenea, un disc (conul geometric obișnuit este de fapt homeomorf pentru un disc).

Proprietate

Un con este întotdeauna conectat prin arcuri , chiar dacă spațiul de pornire $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ nu este. De fapt, este întotdeauna posibil să conectați două puncte ale conului care trec de la vârf.

Un con este întotdeauna un spațiu contractil . Rezultă că fiecare spațiu topologic este conținut într-un spațiu contractil.

Bibliografie

Allen Hatcher , topologie algebrică. Cambridge University Press, Cambridge, 2002. xii + 544 pp. ISBN 0-521-79160-X și ISBN 0-521-79540-0
(EN) con , în PlanetMath .