Legea conservării impulsului

Un exemplu de conservare a impulsului

În fizică , legea conservării impulsului este o lege a conservării care afirmă că impulsul total al unui sistem izolat este constant în timp . Condiția de izolare este exprimată prin faptul că rezultanta forțelor externe este zero. Principiul derivă din ipoteza omogenității spațiului.

Principiul este citat în cazurile în care există sisteme în care acționează doar forțe interne, așa cum se întâmplă de exemplu în multe fenomene de șoc sau explozie . Mai general, ne permite să considerăm impulsul unui sistem ca o constantă a mișcării .

Legea conservării poate fi aplicată în multe mai multe cazuri decât principiul conservării energiei mecanice . Acest lucru se datorează faptului că forțele interne care acționează asupra sistemului sunt capabile să modifice energia mecanică a sistemului, dar, deoarece sunt interacțiuni reciproce între corpuri care se anulează reciproc prin principiul acțiunii și reacției , ele nu modifică impulsul total al sistemul. ^[1]

Sistem discret

Să presupunem că aveți un sistem cu un număr $Nu.$ ${\ displaystyle N}$ $Nu.$ a punctelor materiale ale maselor $m_{i}$ ${\ displaystyle m_ {i}}$ $pe mine$ și viteză $\mathbf {v} _{i}$ ${\ displaystyle \ mathbf {v} _ {i}}$ ${\ mathbf {v}} _ {i}$ . Elanul sistemului este dat de:

\mathbf {p} =\sum _{i=1}^{N}\mathbf {p} _{i}=\sum _{i=1}^{N}m_{i}\mathbf {v} _{i}=m_{1}\mathbf {v} _{1}+m_{2}\mathbf {v} _{2}+\cdots +m_{N}\mathbf {v} _{N}

{\ displaystyle \ mathbf {p} = \ sum _ {i = 1} ^ {N} \ mathbf {p} _ {i} = \ sum _ {i = 1} ^ {N} m_ {i} \ mathbf { v} _ {i} = m_ {1} \ mathbf {v} _ {1} + m_ {2} \ mathbf {v} _ {2} + \ cdots + m_ {N} \ mathbf {v} _ {N }}

{\ displaystyle \ mathbf {p} = \ sum _ {i = 1} ^ {N} \ mathbf {p} _ {i} = \ sum _ {i = 1} ^ {N} m_ {i} \ mathbf { v} _ {i} = m_ {1} \ mathbf {v} _ {1} + m_ {2} \ mathbf {v} _ {2} + \ cdots + m_ {N} \ mathbf {v} _ {N }}

Dacă derivați $\mathbf {p}$ ${\ displaystyle \ mathbf {p}}$ ${\ mathbf p}$ în ceea ce privește timpul, luând în considerare faptul că masa punctelor nu variază în timp, se găsește

{\frac {\mathrm {d} \mathbf {p} }{\mathrm {d} t}}=\sum _{i=1}^{N}m_{i}{\frac {\mathrm {d} \mathbf {v} _{i}}{\mathrm {d} t}}=\sum _{i=1}^{N}m_{i}\mathbf {a} _{i}=\sum _{i=1}^{N}\mathbf {F} _{i}=\mathbf {F} ^{(e)}+\sum _{i=1}^{N}\mathbf {F} _{i}^{(i)}=0

{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} \ mathbf {p}} {\ mathrm {d} t}} = \ sum _ {i = 1} ^ {N} m_ {i} {\ frac {\ mathrm {d} \ mathbf {v} _ {i}} {\ mathrm {d} t}} = \ sum _ {i = 1} ^ {N} m_ {i} \ mathbf {a} _ {i} = \ sum _ {i = 1} ^ {N} \ mathbf {F} _ {i} = \ mathbf {F} ^ {(e)} + \ sum _ {i = 1} ^ {N} \ mathbf {F} _ {i} ^ {(i)} = 0}

{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} \ mathbf {p}} {\ mathrm {d} t}} = \ sum _ {i = 1} ^ {N} m_ {i} {\ frac {\ mathrm {d} \ mathbf {v} _ {i}} {\ mathrm {d} t}} = \ sum _ {i = 1} ^ {N} m_ {i} \ mathbf {a} _ {i} = \ sum _ {i = 1} ^ {N} \ mathbf {F} _ {i} = \ mathbf {F} ^ {(e)} + \ sum _ {i = 1} ^ {N} \ mathbf {F} _ {i} ^ {(i)} = 0}

intr-adevar:

$\mathbf {F} ^{(e)}=0$ ${\ displaystyle \ mathbf {F} ^ {(e)} = 0}$ ${\ displaystyle \ mathbf {F} ^ {(e)} = 0}$ : rezultanta forțelor externe este zero, ceea ce este ipotetic adevărat.
$\sum _{i=1}^{N}\mathbf {F} _{i}^{(i)}=\sum _{k\neq j}\mathbf {F} _{kj}+\mathbf {F} _{jk}=0$ ${\ displaystyle \ sum _ {i = 1} ^ {N} \ mathbf {F} _ {i} ^ {(i)} = \ sum _ {k \ neq j} \ mathbf {F} _ {kj} + \ mathbf {F} _ {jk} = 0}$ ${\ displaystyle \ sum _ {i = 1} ^ {N} \ mathbf {F} _ {i} ^ {(i)} = \ sum _ {k \ neq j} \ mathbf {F} _ {kj} + \ mathbf {F} _ {jk} = 0}$ : suma forțelor interne este, de asemenea, zero, deoarece, pentru al treilea principiu al dinamicii , un corp $k$ ${\ displaystyle k}$ $k$ care exercită o forță $\mathbf {F} _{kj}$ ${\ displaystyle \ mathbf {F} _ {kj}}$ ${\ mathbf {F}} _ {{kj}}$ pe corp $j$ ${\ displaystyle j}$ $j$ primește una $\mathbf {F} _{jk}$ ${\ displaystyle \ mathbf {F} _ {jk}}$ ${\ mathbf {F}} _ {{jk}}$ egală în modul și direcție, dar în direcția opusă.

Din nulitatea derivatei se poate concluziona că $\mathbf {p} ={\text{costante}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {p} = {\ text {constant}}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {p} = {\ text {constant}}}$ , sau teza. ^[2]

Legea conservării impulsului într-un sistem de $Nu.$ ${\ displaystyle N}$ $Nu.$ punctele materiale este un caz special, adică $\mathbf {F} ^{(e)}=0$ ${\ displaystyle \ mathbf {F} ^ {(e)} = 0}$ ${\ displaystyle \ mathbf {F} ^ {(e)} = 0}$ , a primei ecuații cardinale a dinamicii , conform căreia rezultanta forțelor externe este egală cu variația impulsului total al sistemului în raport cu timpul. ^[3]

Centrul de masă și conservarea impulsului

Principiul se aplică și centrului de masă al unui sistem de $Nu.$ ${\ displaystyle N}$ $Nu.$ puncte materiale . Într-adevăr, impulsul $\mathbf {p} _{CM}$ ${\ displaystyle \ mathbf {p} _ {CM}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {p} _ {CM}}$ din centrul de masă corespunde produsului din masa totală a sistemului $m$ ${\ displaystyle m}$ $m$ iar viteza centrului de masă $\mathbf {v} _{CM}$ ${\ displaystyle \ mathbf {v} _ {CM}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {v} _ {CM}}$ :

\mathbf {p} =m\mathbf {v} _{CM}

{\ displaystyle \ mathbf {p} = m \ mathbf {v} _ {CM}}

{\ displaystyle \ mathbf {p} = m \ mathbf {v} _ {CM}}

În acest moment, conservarea impulsului este o consecință a cazului $\mathbf {F} ^{(e)}=0$ ${\ displaystyle \ mathbf {F} ^ {(e)} = 0}$ ${\ displaystyle \ mathbf {F} ^ {(e)} = 0}$ teoremei centrului de masă ^[4] , menționat ca:

\mathbf {F} ^{(e)}={\frac {\mathrm {d} \mathbf {p} _{CM}}{\mathrm {d} t}}

{\ displaystyle \ mathbf {F} ^ {(e)} = {\ frac {\ mathrm {d} \ mathbf {p} _ {CM}} {\ mathrm {d} t}}}

{\ displaystyle \ mathbf {F} ^ {(e)} = {\ frac {\ mathrm {d} \ mathbf {p} _ {CM}} {\ mathrm {d} t}}}

Conservarea impulsului și a șocurilor

O aplicație foarte comună a legii conservării impulsului în fizică sunt situațiile de coliziune între două corpuri sau coliziuni .

Elan pentru un sistem de corpuri

Elanul este conservat într-un sistem de corpuri punctuale. În cazul generic al coliziunii dintre punctul material 1 și punctul material 2 , datorită legii conservării impulsului, se poate scrie că

$m_{1}\mathbf {v} _{1,in}+m_{2}\mathbf {v} _{2,in}=m_{1}\mathbf {v} _{1,fin}+m_{2}\mathbf {v} _{2,fin}$ ${\ displaystyle m_ {1} \ mathbf {v} _ {1, in} + m_ {2} \ mathbf {v} _ {2, in} = m_ {1} \ mathbf {v} _ {1, fin} + m_ {2} \ mathbf {v} _ {2, fin}}$ ${\ displaystyle m_ {1} \ mathbf {v} _ {1, în} + m_ {2} \ mathbf {v} _ {2, in} = m_ {1} \ mathbf {v} _ {1, fin} + m_ {2} \ mathbf {v} _ {2, fin}}$ ^[5]

unde este:

$m_{1}$ ${\ displaystyle m_ {1}}$ $m_ {1}$ Și $m_{2}$ ${\ displaystyle m_ {2}}$ $m_ {2}$ sunt masele respective ale corpului 1 și corpului 2
$\mathbf {v} _{1,in}$ ${\ displaystyle \ mathbf {v} _ {1, în}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {v} _ {1, în}}$ Și $\mathbf {v} _{2,in}$ ${\ displaystyle \ mathbf {v} _ {2, în}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {v} _ {2, în}}$ sunt viteza corpurilor înainte de coliziune;
$\mathbf {v} _{1,fin}$ ${\ displaystyle \ mathbf {v} _ {1, fin}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {v} _ {1, fin}}$ Și $\mathbf {v} _{2,fin}$ ${\ displaystyle \ mathbf {v} _ {2, fin}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {v} _ {2, fin}}$ sunt viteza corpurilor după coliziune.

Dacă este o coliziune centrală, adică dacă vitezele celor două puncte materiale sunt pe aceeași linie și, prin urmare, corpurile se deplasează de-a lungul unei singure dimensiuni , ecuația anterioară poate fi rescrisă ca:

$m_{1}\mathbf {v} _{x,1,in}+m_{2}\mathbf {v} _{x,2,in}=m_{1}\mathbf {v} _{x,1,fin}+m_{2}\mathbf {v} _{x,2,fin}$ ${\ displaystyle m_ {1} \ mathbf {v} _ {x, 1, in} + m_ {2} \ mathbf {v} _ {x, 2, in} = m_ {1} \ mathbf {v} _ { x, 1, fin} + m_ {2} \ mathbf {v} _ {x, 2, fin}}$ ${\ displaystyle m_ {1} \ mathbf {v} _ {x, 1, in} + m_ {2} \ mathbf {v} _ {x, 2, in} = m_ {1} \ mathbf {v} _ { x, 1, fin} + m_ {2} \ mathbf {v} _ {x, 2, fin}}$ ^[5]

În caz contrar, dacă ambele puncte se deplasează de-a lungul a două dimensiuni, ecuația diferă pentru cele două componente:

${\begin{cases}m_{1}\mathbf {v} _{x,1,in}+m_{2}\mathbf {v} _{x,2,in}=m_{1}\mathbf {v} _{x,1,fin}+m_{2}\mathbf {v} _{x,2,fin}\\m_{1}\mathbf {v} _{y,1,in}+m_{2}\mathbf {v} _{y,2,in}=m_{1}\mathbf {v} _{y,1,fin}+m_{2}\mathbf {v} _{y,2,fin}\\\end{cases}}$ ${\ displaystyle {\ begin {cases} m_ {1} \ mathbf {v} _ {x, 1, in} + m_ {2} \ mathbf {v} _ {x, 2, in} = m_ {1} \ mathbf {v} _ {x, 1, fin} + m_ {2} \ mathbf {v} _ {x, 2, fin} \\ m_ {1} \ mathbf {v} _ {y, 1, in} + m_ {2} \ mathbf {v} _ {y, 2, in} = m_ {1} \ mathbf {v} _ {y, 1, fin} + m_ {2} \ mathbf {v} _ {y, 2 , fin} \\\ end {cases}}}$ ${\ displaystyle {\ begin {cases} m_ {1} \ mathbf {v} _ {x, 1, in} + m_ {2} \ mathbf {v} _ {x, 2, in} = m_ {1} \ mathbf {v} _ {x, 1, fin} + m_ {2} \ mathbf {v} _ {x, 2, fin} \\ m_ {1} \ mathbf {v} _ {y, 1, in} + m_ {2} \ mathbf {v} _ {y, 2, in} = m_ {1} \ mathbf {v} _ {y, 1, fin} + m_ {2} \ mathbf {v} _ {y, 2 , fin} \\\ end {cases}}}$ ^[6]

Momentul unui corp în mișcare

Dacă, în loc să privim mișcarea sistemului , avem în vedere mișcarea unui singur punct material, atunci conservarea impulsului nu mai are loc. De fapt, în acest caz, variația impulsului corpului nu este zero, dar determină impulsul că forța $\mathbf {F}$ ${\ displaystyle \ mathbf {F}}$ $\ mathbf {F}$ , care setează corpul punctului în mișcare, generează pe punctul material în intervalul de timp $\Delta t=t-t_{0}$ ${\ displaystyle \ Delta t = t-t_ {0}}$ ${\ displaystyle \ Delta t = t-t_ {0}}$ . Acest lucru este demonstrat pornind de la al doilea principiu al dinamicii :

$\mathbf {F} ={\frac {\mathrm {d} \mathbf {p} }{\mathrm {d} t}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {F} = {\ frac {\ mathrm {d} \ mathbf {p}} {\ mathrm {d} t}}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {F} = {\ frac {\ mathrm {d} \ mathbf {p}} {\ mathrm {d} t}}}$ , din care avem asta $\mathrm {d} \mathbf {p} =\mathbf {F} \ \mathrm {d} t$ ${\ displaystyle \ mathrm {d} \ mathbf {p} = \ mathbf {F} \ \ mathrm {d} t}$ ${\ displaystyle \ mathrm {d} \ mathbf {p} = \ mathbf {F} \ \ mathrm {d} t}$ .

Prin integrarea în intervalul de timp, obținem

$\mathbf {p} _{t}-\mathbf {p} _{t_{0}}=\int _{t_{0}}^{t}\mathbf {F} \ \mathrm {d} t$ ${\ displaystyle \ mathbf {p} _ {t} - \ mathbf {p} _ {t_ {0}} = \ int _ {t_ {0}} ^ {t} \ mathbf {F} \ \ mathrm {d} t}$ ${\ displaystyle \ mathbf {p} _ {t} - \ mathbf {p} _ {t_ {0}} = \ int _ {t_ {0}} ^ {t} \ mathbf {F} \ \ mathrm {d} t}$ , acesta este

$\Delta \mathbf {p} =\int _{t_{0}}^{t}\mathbf {F} \ \mathrm {d} t$ ${\ displaystyle \ Delta \ mathbf {p} = \ int _ {t_ {0}} ^ {t} \ mathbf {F} \ \ mathrm {d} t}$ ${\ displaystyle \ Delta \ mathbf {p} = \ int _ {t_ {0}} ^ {t} \ mathbf {F} \ \ mathrm {d} t}$ .

Formula tocmai dedusă descrie teorema impulsului . ^[7]

Hidraulică

În hidraulică, legea conservării impulsului este cunoscută și ca ecuația globală a echilibrului dinamic . Este descris prin formula:

{\overline {G}}+{\overline {\Pi }}+{\overline {M}}-{\overline {I}}=0

{\ displaystyle {\ overline {G}} + {\ overline {\ Pi}} + {\ overline {M}} - {\ overline {I}} = 0}

{\ displaystyle {\ overline {G}} + {\ overline {\ Pi}} + {\ overline {M}} - {\ overline {I}} = 0}

Acolo unde termenii au următorul sens:

${\overline {G}}=\int _{W}\rho \cdot {\overline {F}}dW$ ${\ displaystyle {\ overline {G}} = \ int _ {W} \ rho \ cdot {\ overline {F}} dW}$ ${\ displaystyle {\ overline {G}} = \ int _ {W} \ rho \ cdot {\ overline {F}} dW}$ reprezintă suma tuturor forțelor de câmp, care, în absența altor contribuții în afară de cea a câmpului gravitațional al Pământului , corespunde greutății fluidului conținut în volum $W$ ${\ displaystyle W}$ $W$ , pentru care se aplică $V\cdot \gamma =l\cdot \Omega \cdot g\cdot \rho [N]$ ${\ displaystyle V \ cdot \ gamma = l \ cdot \ Omega \ cdot g \ cdot \ rho [N]}$ $V \ cdot \ gamma = l \ cdot \ Omega \ cdot g \ cdot \ rho [N]$
${\overline {\Pi }}=\int \limits _{A}{\overline {\phi _{n}}}dA$ ${\ displaystyle {\ overline {\ Pi}} = \ int \ limits _ {A} {\ overline {\ phi _ {n}}} dA}$ ${\ displaystyle {\ overline {\ Pi}} = \ int \ limits _ {A} {\ overline {\ phi _ {n}}} dA}$ reprezintă rezultatul forțelor exterioare ale suprafeței, în mod substanțial forța pe care suprafața limită o exercită asupra fluidului;
${\overline {M}}=\int \limits _{A}\rho v_{n}{\overline {v}}dA={\overline {M}}_{1}-{\overline {M}}_{2}$ ${\ displaystyle {\ overline {M}} = \ int \ limits _ {A} \ rho v_ {n} {\ overline {v}} dA = {\ overline {M}} _ {1} - {\ overline { M}} _ {2}}$ ${\ displaystyle {\ overline {M}} = \ int \ limits _ {A} \ rho v_ {n} {\ overline {v}} dA = {\ overline {M}} _ {1} - {\ overline { M}} _ {2}}$ reprezintă diferența de impuls pe care o posedă masa de intrare și ieșire în unitatea de timp, în volumul de control $W$ ${\ displaystyle W}$ $W$ . Rețineți că ${\overline {M}}_{1}$ ${\ displaystyle {\ overline {M}} _ {1}}$ ${\ displaystyle {\ overline {M}} _ {1}}$ Și ${\overline {M}}_{2}$ ${\ displaystyle {\ overline {M}} _ {2}}$ ${\ displaystyle {\ overline {M}} _ {2}}$ , care sunt în general considerate ca impuls, sunt de fapt impuls în unitatea de timp și, prin urmare, ar fi mai precis să le indicăm ca fluxuri de impuls ;
${\overline {I}}=-\int \limits _{W}{\partial (\rho {\overline {v}}) \over \partial t}dW$ ${\ displaystyle {\ overline {I}} = - \ int \ limits _ {W} {\ partial (\ rho {\ overline {v}}) \ over \ partial t} dW}$ ${\ displaystyle {\ overline {I}} = - \ int \ limits _ {W} {\ partial (\ rho {\ overline {v}}) \ over \ partial t} dW}$ este rezultatul inerțiilor locale, care variază în raport cu comportamentul vitezei și densității în timp, în toate punctele individuale ale volumului $W$ ${\ displaystyle W}$ $W$ . Această integrală oferă o contribuție la ecuație atunci când suntem în condiții de mișcare diferită , deoarece, dacă mișcarea ar fi permanentă, rezultatul acesteia ar fi zero. ^[8]

Caracteristici

Această ecuație constă dintr-o relație vectorială între mărimi care sunt toate forțe, de fapt unitatea lor de măsură este Newton , ${\overline {G}}$ ${\ displaystyle {\ overline {G}}}$ ${\ displaystyle {\ overline {G}}}$ și ${\overline {I}}$ ${\ displaystyle {\ overline {I}}}$ ${\ displaystyle {\ overline {I}}}$ acestea depind de valorile pe care le iau cantitățile implicate în punctele din interiorul volumului $W$ ${\ displaystyle W}$ $W$ , in timp ce ${\overline {\Pi }}$ ${\ displaystyle {\ overline {\ Pi}}}$ ${\ displaystyle {\ overline {\ Pi}}}$ , ${\overline {M}}_{1}$ ${\ displaystyle {\ overline {M}} _ {1}}$ ${\ displaystyle {\ overline {M}} _ {1}}$ Și ${\overline {M}}_{2}$ ${\ displaystyle {\ overline {M}} _ {2}}$ ${\ displaystyle {\ overline {M}} _ {2}}$ ele depind doar de condițiile care apar la suprafața limită.
Având în vedere modul în care este dedusă ecuația (explicată mai târziu), nu există limitări ale utilizării acesteia; este valabil atât pentru fluidele compresibile, cât și pentru cele necompresibile, pentru mișcări în regim laminar sau turbulent;
Fiecare problemă de tip dinamic este urmărită înapoi la una de echilibru static, atâta timp cât un sistem de forțe fictive se adaugă forțelor de masă și suprafață care acționează efectiv asupra fluidului, ceea ce ne permite să luăm în considerare inerțiile, adică inerția locală fluxuri de forțe și cantități. de mișcare;
În condiții de mișcare permanentă, adică când ${\overline {I}}=0$ ${\ displaystyle {\ overline {I}} = 0}$ ${\ displaystyle {\ overline {I}} = 0}$ , pentru un fluid incompresibil, ecuația este independentă de caracteristicile mișcării în interiorul volumului considerat, dar depinde doar de distribuția forțelor și vitezei pe suprafața limită. ^[9]

Demonstrație

Cel mai convenabil mod de a determina acțiunea fluidului este de a lua în considerare un volum de control $W$ ${\ displaystyle W}$ $W$ , terminat, delimitat de o suprafață închisă pe care o numim $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ . Acum, știm că pentru fiecare element infinitesimal $d W$ ${\ displaystyle dW}$ ${\ displaystyle dW}$ din fluid se menține ecuația nedeterminată a mișcării, prin urmare fiecare termen este înmulțit cu $d W$ ${\ displaystyle dW}$ ${\ displaystyle dW}$ , este integrat pe întregul volum luat în considerare și folosește în cele din urmă teorema lui Green , care leagă integralele volumului de cele ale suprafeței. Pentru teorema tetraedrului lui Cauchy, este posibil să scriem asta ${\overline {\phi }}_{x}\cos {\hat {nx}}+{\overline {\phi }}_{y}\cos {\hat {ny}}+{\overline {\phi }}_{z}\cos {\hat {nz}}={\overline {\phi }}_{n}$ ${\ displaystyle {\ overline {\ phi}} _ {x} \ cos {\ hat {nx}} + {\ overline {\ phi}} _ {y} \ cos {\ hat {ny}} + {\ overline {\ phi}} _ {z} \ cos {\ hat {nz}} = {\ overline {\ phi}} _ {n}}$ ${\ displaystyle {\ overline {\ phi}} _ {x} \ cos {\ hat {nx}} + {\ overline {\ phi}} _ {y} \ cos {\ hat {ny}} + {\ overline {\ phi}} _ {z} \ cos {\ hat {nz}} = {\ overline {\ phi}} _ {n}}$ , prin urmare, obținem că:

$\int _{W}\rho {\overline {F}}dW-\int _{W}\rho {\overline {A}}dW=\int _{W}\left({\partial {\overline {\phi }}_{x} \over \partial x}+{\partial {\overline {\phi }}_{y} \over \partial y}+{\partial {\overline {\phi }}_{z} \over \partial z}\right)dW=-\int \limits _{A}({\overline {\phi }}_{x}\cos {\hat {nx}}+{\overline {\phi }}_{y}\cos {\hat {ny}}+{\overline {\phi }}_{z}\cos {\hat {nz}})dA=-\int _{A}{\overline {\phi }}_{n}dA$ ${\ displaystyle \ int _ {W} \ rho {\ overline {F}} dW- \ int _ {W} \ rho {\ overline {A}} dW = \ int _ {W} \ left ({\ partial { \ overline {\ phi}} _ {x} \ over \ partial x} + {\ partial {\ overline {\ phi}} _ {y} \ over \ partial y} + {\ partial {\ overline {\ phi} } _ {z} \ over \ partial z} \ right) dW = - \ int \ limits _ {A} ({\ overline {\ phi}} _ {x} \ cos {\ hat {nx}} + {\ overline {\ phi}} _ {y} \ cos {\ hat {ny}} + {\ overline {\ phi}} _ {z} \ cos {\ hat {nz}}) dA = - \ int _ {A } {\ overline {\ phi}} _ {n} dA}$ ${\ displaystyle \ int _ {W} \ rho {\ overline {F}} dW- \ int _ {W} \ rho {\ overline {A}} dW = \ int _ {W} \ left ({\ partial { \ overline {\ phi}} _ {x} \ over \ partial x} + {\ partial {\ overline {\ phi}} _ {y} \ over \ partial y} + {\ partial {\ overline {\ phi} } _ {z} \ over \ partial z} \ right) dW = - \ int \ limits _ {A} ({\ overline {\ phi}} _ {x} \ cos {\ hat {nx}} + {\ overline {\ phi}} _ {y} \ cos {\ hat {ny}} + {\ overline {\ phi}} _ {z} \ cos {\ hat {nz}}) dA = - \ int _ {A } {\ overline {\ phi}} _ {n} dA}$

Raționarea termenului $\rho A$ ${\ displaystyle \ rho A}$ ${\ displaystyle \ rho A}$ , prin regula derivării euleriană se poate scrie ca

$\rho A=\rho {d{\overline {v}} \over dt}=\rho {\partial {\overline {v}} \over \partial t}+{\partial (\rho u{\overline {v}}) \over \partial x}+{\partial (\rho u{\overline {v}}) \over \partial y}+{\partial (\rho u{\overline {v}}) \over \partial z}-{\overline {v}}\left[{\partial (\rho u) \over \partial x}+{\partial (\rho v) \over \partial y}+{\partial (\rho w) \over \partial z}\right]$ ${\ displaystyle \ rho A = \ rho {d {\ overline {v}} \ over dt} = \ rho {\ partial {\ overline {v}} \ over \ partial t} + {\ partial (\ rho u { \ overline {v}}) \ over \ partial x} + {\ partial (\ rho u {\ overline {v}}) \ over \ partial y} + {\ partial (\ rho u {\ overline {v}} ) \ over \ partial z} - {\ overline {v}} \ left [{\ partial (\ rho u) \ over \ partial x} + {\ partial (\ rho v) \ over \ partial y} + {\ partial (\ rho w) \ over \ partial z} \ right]}$ ${\ displaystyle \ rho A = \ rho {d {\ overline {v}} \ over dt} = \ rho {\ partial {\ overline {v}} \ over \ partial t} + {\ partial (\ rho u { \ overline {v}}) \ over \ partial x} + {\ partial (\ rho u {\ overline {v}}) \ over \ partial y} + {\ partial (\ rho u {\ overline {v}} ) \ over \ partial z} - {\ overline {v}} \ left [{\ partial (\ rho u) \ over \ partial x} + {\ partial (\ rho v) \ over \ partial y} + {\ partial (\ rho w) \ over \ partial z} \ right]}$

în plus, observăm că argumentul parantezelor pătrate corespunde $\operatorname {div} (\rho {\overline {v}})$ ${\ displaystyle \ operatorname {div} (\ rho {\ overline {v}})}$ ${\ displaystyle \ operatorname {div} (\ rho {\ overline {v}})}$ , care, pentru ecuația de continuitate este: $\operatorname {div} (\rho {\overline {v}})=-{\partial \rho \over \partial t}$ ${\ displaystyle \ operatorname {div} (\ rho {\ overline {v}}) = - {\ partial \ rho \ over \ partial t}}$ ${\ displaystyle \ operatorname {div} (\ rho {\ overline {v}}) = - {\ partial \ rho \ over \ partial t}}$

Ținând cont de asta ${\partial (\rho {\overline {v}}) \over \partial t}=\rho {\partial {\overline {v}} \over \partial t}+{\overline {v}}{\partial \rho \over \partial t}$ ${\ displaystyle {\ partial (\ rho {\ overline {v}}) \ over \ partial t} = \ rho {\ partial {\ overline {v}} \ over \ partial t} + {\ overline {v}} {\ partial \ rho \ over \ partial t}}$ ${\ displaystyle {\ partial (\ rho {\ overline {v}}) \ over \ partial t} = \ rho {\ partial {\ overline {v}} \ over \ partial t} + {\ overline {v}} {\ partial \ rho \ over \ partial t}}$ , ajungem la următorul rezultat:

$\rho {\overline {A}}={\partial (\rho {\overline {v}}) \over \partial t}+\left({\partial (\rho u{\overline {v}}) \over \partial x}+{\partial (\rho v{\overline {v}}) \over \partial y}+{\partial (\rho w{\overline {v}}) \over \partial z}\right)$ ${\ displaystyle \ rho {\ overline {A}} = {\ partial (\ rho {\ overline {v}}) \ over \ partial t} + \ left ({\ partial (\ rho u {\ overline {v} }) \ over \ partial x} + {\ partial (\ rho v {\ overline {v}}) \ over \ partial y} + {\ partial (\ rho w {\ overline {v}}) \ over \ partial z} \ dreapta)}$ ${\ displaystyle \ rho {\ overline {A}} = {\ partial (\ rho {\ overline {v}}) \ over \ partial t} + \ left ({\ partial (\ rho u {\ overline {v} }) \ over \ partial x} + {\ partial (\ rho v {\ overline {v}}) \ over \ partial y} + {\ partial (\ rho w {\ overline {v}}) \ over \ partial z} \ dreapta)}$ .

Trecând la rezoluția integralei de volum definite mai sus, se aplică din nou teorema lui Green:

$\int _{W}\rho {\overline {A}}dW=\int _{W}{\partial (\rho {\overline {v}}) \over \partial t}dW-\int _{A}\rho {\overline {v}}(u\cos {\hat {nx}}+v\cos {\hat {ny}}+w\cos {\hat {nz}})dA$ ${\ displaystyle \ int _ {W} \ rho {\ overline {A}} dW = \ int _ {W} {\ partial (\ rho {\ overline {v}}) \ over \ partial t} dW- \ int _ {A} \ rho {\ overline {v}} (u \ cos {\ hat {nx}} + v \ cos {\ hat {ny}} + w \ cos {\ hat {nz}}) dA}$ ${\ displaystyle \ int _ {W} \ rho {\ overline {A}} dW = \ int _ {W} {\ partial (\ rho {\ overline {v}}) \ over \ partial t} dW- \ int _ {A} \ rho {\ overline {v}} (u \ cos {\ hat {nx}} + v \ cos {\ hat {ny}} + w \ cos {\ hat {nz}}) dA}$ în care observăm că termenii din paranteze celei de-a doua integrale, la al doilea membru, pot fi scrise, într-o formă mai compactă, ca $v_{\overline {n}}$ ${\ displaystyle v _ {\ overline {n}}}$ ${\ displaystyle v _ {\ overline {n}}}$ , care este componenta vitezei în direcția normală spre suprafață. Deci ecuația devine

$\int \limits _{W}\rho {\overline {A}}dW=\int \limits _{W}{\partial (\rho {\overline {v}}) \over \partial t}dW-\int \limits _{A}\rho v_{\overline {n}}{\overline {v}}dA$ ${\ displaystyle \ int \ limits _ {W} \ rho {\ overline {A}} dW = \ int \ limits _ {W} {\ partial (\ rho {\ overline {v}}) \ over \ partial t} dW- \ int \ limits _ {A} \ rho v _ {\ overline {n}} {\ overline {v}} dA}$ ${\ displaystyle \ int \ limits _ {W} \ rho {\ overline {A}} dW = \ int \ limits _ {W} {\ partial (\ rho {\ overline {v}}) \ over \ partial t} dW- \ int \ limits _ {A} \ rho v _ {\ overline {n}} {\ overline {v}} dA}$

De aici, luând în considerare expresiile obținute mai sus, obținem ecuația globală a echilibrului dinamic. ^[10]

În concluzie:

$W$ ${\ displaystyle W}$ $W$ este volumul de control
$\rho$ ${\ displaystyle \ rho}$ $\ rho$ este densitatea , care pentru apă este de 1000 kg / m³
$LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ este limita suprafeței închise
${\overline {v}}$ ${\ displaystyle {\ overline {v}}}$ ${\ displaystyle {\ overline {v}}}$ este viteza
${\overline {F}}$ ${\ displaystyle {\ overline {F}}}$ ${\ displaystyle {\ overline {F}}}$ reprezintă vectorul forțelor câmpului gravitațional
${\overline {n}}$ ${\ displaystyle {\ overline {n}}}$ ${\ displaystyle {\ overline {n}}}$ normalul până la punctul generic al suprafeței limită, luat cu un semn pozitiv dacă este orientat spre interior.

Exemple

Scufundarea unui corp

Legea conservării impulsului poate fi aplicată unui obiect plutitor simplu, cum ar fi un aisberg . Dacă luăm în considerare un corp plutind în apă și dorim să calculăm scufundarea acestuia, putem folosi principiul conservării impulsului. Pentru utilizare practică putem descompune forțele de-a lungul celor trei axe principale, $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ , $y$ ${\ displaystyle y}$ $y$ Și $z$ ${\ displaystyle z}$ $z$ :

De-a lungul topoarelor $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ Și $y$ ${\ displaystyle y}$ $y$ , adică pe plan orizontal, forțele vor fi egale și se vor anula reciproc, deoarece obiectul nu este considerat în mișcare, fluxul va fi zero, prin urmare nu va trebui să luăm în considerare nimic.

De-a lungul axei $z$ ${\ displaystyle z}$ $z$ forțele gravitaționale ale obiectului vor fi echivalate cu cele referitoare la forța exercitată de apă. Putem scrie:

G_{z}+\Pi _{z}=0

{\ displaystyle G_ {z} + \ Pi _ {z} = 0}

G_ {z} + \ Pi _ {z} = 0

Având în vedere că:

G_{z}=l\cdot \Omega \cdot \gamma _{o}

{\ displaystyle G_ {z} = l \ cdot \ Omega \ cdot \ gamma _ {o}}

G_ {z} = l \ cdot \ Omega \ cdot \ gamma _ {o}

\Pi _{z}=-p\cdot \Omega =-\gamma _{H_{2}O}\cdot z'\cdot \Omega

{\ displaystyle \ Pi _ {z} = - p \ cdot \ Omega = - \ gamma _ {H_ {2} O} \ cdot z '\ cdot \ Omega}

\ Pi _ {z} = - p \ cdot \ Omega = - \ gamma _ {{H_ {2} O}} \ cdot z '\ cdot \ Omega

Prin urmare, putem compara cele două forțe:

l\cdot \Omega \cdot \gamma _{o}=\gamma _{H_{2}O}\cdot z'\cdot \Omega

{\ displaystyle l \ cdot \ Omega \ cdot \ gamma _ {o} = \ gamma _ {H_ {2} O} \ cdot z '\ cdot \ Omega}

l \ cdot \ Omega \ cdot \ gamma _ {o} = \ gamma _ {{H_ {2} O}} \ cdot z '\ cdot \ Omega

z'={\frac {l\cdot \gamma _{o}}{\gamma _{{\text{H}}_{2}{\text{O}}}}}={\frac {l\cdot \rho _{o}\cdot g}{\rho _{{\text{H}}_{2}{\text{O}}}\cdot g}}

{\ displaystyle z '= {\ frac {l \ cdot \ gamma _ {o}} {\ gamma _ {{\ text {H}} _ {2} {\ text {O}}}}} = {\ frac {l \ cdot \ rho _ {o} \ cdot g} {\ rho _ {{\ text {H}} _ {2} {\ text {O}}} \ cdot g}}}

{\ displaystyle z '= {\ frac {l \ cdot \ gamma _ {o}} {\ gamma _ {{\ text {H}} _ {2} {\ text {O}}}}} = {\ frac {l \ cdot \ rho _ {o} \ cdot g} {\ rho _ {{\ text {H}} _ {2} {\ text {O}}} \ cdot g}}}

În cele din urmă putem calcula scufundarea z ' a obiectului nostru ca:

z'={\frac {\rho _{o}}{\rho _{{\text{H}}_{2}{\text{O}}}}}\cdot l

{\ displaystyle z '= {\ frac {\ rho _ {o}} {\ rho _ {{\ text {H}} _ {2} {\ text {O}}}}} \ cdot l}

{\ displaystyle z '= {\ frac {\ rho _ {o}} {\ rho _ {{\ text {H}} _ {2} {\ text {O}}}}} \ cdot l}

Adică am arătat cum scufundarea a ceva în apă este relativă la raportul densității relative a celor două, înmulțit cu lungimea obiectului perpendicular pe suprafața suprafeței libere a apei. În cazul unui aisberg, odată ce îi cunoaștem geometria, îl putem considera ca suma cilindrilor de diferite înălțimi $L$ ${\ displaystyle l}$ $L$ , și apoi calculați scufundarea acestuia.

Împingeți o țeavă curbată

Există multe exemple practice în utilizarea acestei legi, cum ar fi calculul tracțiunii pe o conductă curbată prin care trece un curent permanent în mișcare al unui lichid incompresibil. Să ne imaginăm că vrem să calculăm împingerea pe un perete AA-BB al acestei țevi. Ecuația globală a echilibrului dinamic se aplică volumului de lichid dintre cele două secțiuni (AA și BB); împingerea pe suprafața limită poate fi scrisă ca ${\overline {\Pi }}={\overline {\Pi }}_{0}+{\overline {\Pi }}_{1}+{\overline {\Pi }}_{2}$ ${\ displaystyle {\ overline {\ Pi}} = {\ overline {\ Pi}} _ {0} + {\ overline {\ Pi}} _ {1} + {\ overline {\ Pi}} _ {2} }$ ${\ displaystyle {\ overline {\ Pi}} = {\ overline {\ Pi}} _ {0} + {\ overline {\ Pi}} _ {1} + {\ overline {\ Pi}} _ {2} }$ , unde este $\Pi _{0}$ ${\ displaystyle \ Pi _ {0}}$ ${\ displaystyle \ Pi _ {0}}$ este forța pe care peretele curbat o exercită asupra volumului considerat, ${\overline {\Pi }}_{1}$ ${\ displaystyle {\ overline {\ Pi}} _ {1}}$ ${\ displaystyle {\ overline {\ Pi}} _ {1}}$ Și ${\overline {\Pi }}_{2}$ ${\ displaystyle {\ overline {\ Pi}} _ {2}}$ ${\ displaystyle {\ overline {\ Pi}} _ {2}}$ sunt forțele relative la secțiunile AA (intrare) și BB (ieșire) ale curbei. Primesti:

${\overline {G}}+{\overline {\Pi }}_{0}+{\overline {\Pi }}_{1}+{\overline {\Pi }}_{2}+{\overline {M}}_{1}-{\overline {M}}_{2}=0$ ${\ displaystyle {\ overline {G}} + {\ overline {\ Pi}} _ {0} + {\ overline {\ Pi}} _ {1} + {\ overline {\ Pi}} _ {2} + {\ overline {M}} _ {1} - {\ overline {M}} _ {2} = 0}$ ${\ displaystyle {\ overline {G}} + {\ overline {\ Pi}} _ {0} + {\ overline {\ Pi}} _ {1} + {\ overline {\ Pi}} _ {2} + {\ overline {M}} _ {1} - {\ overline {M}} _ {2} = 0}$ , din care se obține, dat fiind că forța căutată este egală și opusă celei exercitate de pereții curbei ( ${\overline {S}}=-{\overline {\Pi }}_{0}$ ${\ displaystyle {\ overline {S}} = - {\ overline {\ Pi}} _ {0}}$ ${\ displaystyle {\ overline {S}} = - {\ overline {\ Pi}} _ {0}}$ ), obținem în cele din urmă:

${\overline {S}}={\overline {G}}+{\overline {\Pi }}_{1}+{\overline {\Pi }}_{2}+{\overline {M}}_{1}-{\overline {M}}_{2}$ ${\ displaystyle {\ overline {S}} = {\ overline {G}} + {\ overline {\ Pi}} _ {1} + {\ overline {\ Pi}} _ {2} + {\ overline {M }} _ {1} - {\ overline {M}} _ {2}}$ ${\ displaystyle {\ overline {S}} = {\ overline {G}} + {\ overline {\ Pi}} _ {1} + {\ overline {\ Pi}} _ {2} + {\ overline {M }} _ {1} - {\ overline {M}} _ {2}}$

În ceea ce privește calculul $G.$ ${\ displaystyle G}$ $G.$ există dificultăți de natură pur geometrică, legate de calculul volumului $W$ ${\ displaystyle W}$ $W$ , care, înmulțit cu greutatea specifică a lichidului, dă modulul de $G.$ ${\ displaystyle G}$ $G.$ , vector cu direcție verticală descendentă, cu linia de aplicare care trece prin centrul de greutate al $W$ ${\ displaystyle W}$ $W$ ;

Pusurile ${\overline {\Pi }}_{1}$ ${\ displaystyle {\ overline {\ Pi}} _ {1}}$ ${\ displaystyle {\ overline {\ Pi}} _ {1}}$ Și ${\overline {\Pi }}_{2}$ ${\ displaystyle {\ overline {\ Pi}} _ {2}}$ ${\ displaystyle {\ overline {\ Pi}} _ {2}}$ depind de eforturi ${\overline {\phi }}_{n}$ ${\ displaystyle {\ overline {\ phi}} _ {n}}$ ${\ displaystyle {\ overline {\ phi}} _ {n}}$ acționând în punctele unice ale celor două secțiuni

Elanul ${\overline {M}}_{1}$ ${\ displaystyle {\ overline {M}} _ {1}}$ ${\ displaystyle {\ overline {M}} _ {1}}$ Și ${\overline {M}}_{2}$ ${\ displaystyle {\ overline {M}} _ {2}}$ ${\ displaystyle {\ overline {M}} _ {2}}$ poate fi exprimat, având în vedere că se crede că vitezele din fiecare dintre cele două secțiuni sunt paralele una cu cealaltă, prin intermediul elementelor medii ale curentului: viteza medie $V={Q \over A}$ ${\ displaystyle V = {Q \ peste A}}$ ${\ displaystyle V = {Q \ peste A}}$ iar densitatea medie $\rho _{m}$ ${\ displaystyle \ rho _ {m}}$ $\ rho_m$ . Deci avem:

${\overline {M}}_{1}={\overline {n}}\beta _{2}\rho QV_{1}$ ${\ displaystyle {\ overline {M}} _ {1} = {\ overline {n}} \ beta _ {2} \ rho QV_ {1}}$ ${\ displaystyle {\ overline {M}} _ {1} = {\ overline {n}} \ beta _ {2} \ rho QV_ {1}}$

${\overline {M}}_{2}={\overline {n}}_{2}\beta _{2}\rho QV_{2}$ ${\ displaystyle {\ overline {M}} _ {2} = {\ overline {n}} _ {2} \ beta _ {2} \ rho QV_ {2}}$ ${\ displaystyle {\ overline {M}} _ {2} = {\ overline {n}} _ {2} \ beta _ {2} \ rho QV_ {2}}$ cu $\beta ={\int _{A}\rho v^{2}dA \over \rho _{m}V^{2}A}$ ${\ displaystyle \ beta = {\ int _ {A} \ rho v ^ {2} dA \ over \ rho _ {m} V ^ {2} A}}$ ${\ displaystyle \ beta = {\ int _ {A} \ rho v ^ {2} dA \ over \ rho _ {m} V ^ {2} A}}$ ,

unde este $Î$ ${\ displaystyle Q}$ $Î$ este debitul curentului, $V_{1}$ ${\ displaystyle V_ {1}}$ $V_ {1}$ Și $V_{2}$ ${\ displaystyle V_ {2}}$ ${\ displaystyle V_ {2}}$ vitezele medii în cele două secțiuni, ${\overline {n}}_{1}$ ${\ displaystyle {\ overline {n}} _ {1}}$ ${\ displaystyle {\ overline {n}} _ {1}}$ Și ${\overline {n}}_{2}$ ${\ displaystyle {\ overline {n}} _ {2}}$ ${\ displaystyle {\ overline {n}} _ {2}}$ versorii normali ai celor două secțiuni, $\beta _{1}$ ${\ displaystyle \ beta _ {1}}$ $\ beta_1$ Și $\beta _{2}$ ${\ displaystyle \ beta _ {2}}$ $\ beta _ {2}$ coeficienții informației în funcție de distribuția vitezei în fiecare secțiune. ^[11]

Notă

^ Bagatti, Corradi și Desco .
^ Mazzoldi și voci , p. 135 .
^ Ecuații cardinale , în Enciclopedia Matematicii , Institutul Enciclopediei Italiene, 2013.
^ Teorema mișcării centrului de masă , pe ba.infn.it. Adus la 12 mai 2019 (arhivat din original la 22 iunie 2018) .
^ ^a ^b Coliziune elastică , pe youmath.it . Adus pe 13 mai 2019 .
^ Coliziuni elastice în două dimensiuni , pe youmath.it . Adus pe 13 mai 2019 .
^ Impulso , pe youmath.it . Adus pe 13 mai 2019 .
^ Citrini și Noseda , pp. 96-98 .
^ Citrini și Noseda , p. 99 .
^ Citrini și Noseda , pp. 94-97 .
^ Citrini și Noseda , pp. 101-102 .

Bibliografie

Franco Bagatti, Elis Corradi și Alessandro Desco, Conservarea impulsului ( PDF ), în Physics Dappertutto , Zanichelli, 2014.
Duilio Citrini și G. Noseda, Idraulica , ed. A II-a, Milano, Editura Ambrosiana, 1987, ISBN 88-408-0588-5 .
Paolo Mazzoldi și Cesare Voci, Fizică. 1, Mecanică, termodinamică , ediția a II-a, EdiSES, 1998, ISBN 8879591371 .

Elemente conexe

Portale Meccanica : accedi alle voci di Wikipedia che trattano di meccanica

[1] Bagatti, Corradi și Desco .

[2] Mazzoldi și voci , p. 135 .

[3] Ecuații cardinale , în Enciclopedia Matematicii , Institutul Enciclopediei Italiene, 2013.

[4] Teorema mișcării centrului de masă , pe ba.infn.it. Adus la 12 mai 2019 (arhivat din original la 22 iunie 2018) .

[:0-5] Coliziune elastică , pe youmath.it . Adus pe 13 mai 2019 .

[6] Coliziuni elastice în două dimensiuni , pe youmath.it . Adus pe 13 mai 2019 .

[7] Impulso , pe youmath.it . Adus pe 13 mai 2019 .

[8] Citrini și Noseda , pp. 96-98 .

[9] Citrini și Noseda , p. 99 .

[10] Citrini și Noseda , pp. 94-97 .

[11] Citrini și Noseda , pp. 101-102 .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

V · D · M Mecanica clasică și mecanica continuumului
Cantități intensive	Densitate · Viteză macroscopică · Câmp mediu · Tensiune internă · Temperatură · Deformare · Densitate termică
Cantități mari	Masă · Debit · Moment · Forță externă · Energie internă · Căldură · Disipare · Lucrare termodinamică
Bilanțe contabile	Conservarea masei · Echilibrul impulsului · Echilibrul energiei interne
Aproximări	Ecuații Euler · Ecuații Navier-Stokes · Ecuații Burnett
Citit	Legge di Pascal · Legge di Newton · Legge di Fourier · Legge di Stokes · Legge di Hooke
Meccanica dei solidi	Solido · Teoria dell'elasticità · Teoria della plasticità · Reologia · Viscoelasticità
Meccanica dei fluidi	Fluido · Fluidostatica · Fluidodinamica · Viscosità · Fluido newtoniano · Fluido non newtoniano