Contracție (matematică)

De la Wikipedia, enciclopedia liberă.
Salt la navigare Salt la căutare

În matematică , o contracție sau o aplicare a contracției este o funcție dintr-un spațiu metric în sine, astfel încât distanța dintre imaginea oricăror două elemente ale spațiului este mai mică decât distanța elementelor în sine.

Definiție formală

Este un spațiu metric . O funcție se numește contracție astfel încât există o constantă reală care îndeplinește următoarea condiție: [1]

Cea mai mică valoare a pentru care se menține această condiție, se numește constanta Lipschitz a .

Unii autori definesc condiția anterioară ca o contracție strânsă , rezervând termenul „contracție” pentru proprietate: [2]

Proprietate

Fiecare contracție este Lipschitziană și, prin urmare, continuă uniform . Într-adevăr astfel încât există un număr real deci este valabil pentru fiecare

de sine cade înapoi în cazul contracției.

În plus, pentru fiecare există astfel încât:

Este suficient să întrebi pentru a obține definiția continuității uniforme.

Teorema contracției

Pictogramă lupă mgx2.svg Același subiect în detaliu: teorema contracției .

Este un spațiu metric complet ne- gol . Este o contracție pe . Apoi harta admite un singur punct fix . [2]

Teorema asigură că dacă este un spațiu metric complet și nu gol, atunci punctul fix există și este unic și asta, fixat oricare în , secvența definită prin recurență converge spre punctul fix. Această teoremă este utilizată în demonstrarea existenței și unicității soluției pentru sisteme de ecuații diferențiale obișnuite de ordinul întâi, sub ipoteze adecvate, specificate de teorema Cauchy-Lipschitz . Secvența recursivă definită mai sus, în cazul în care funcția este o contracție a unui spațiu metric (sau a unui subset al acestuia) în sine, constituie în mod clar o metodă pentru calculul aproximativ al rădăcinii ecuației funcționale .

Notă

  1. ^ W. Rudin , pagina 222 .
  2. ^ a b Reed, Simon , Pagina 151 .

Bibliografie

  • ( EN ) Walter Rudin, Principiile analizei matematice , Milano, McGraw-Hill, 1991, ISBN 88-386-0647-1 .
  • ( EN ) Michael Reed, Barry Simon, Methods of Modern Mathematical Physics, Vol. 1: Functional Analysis , ed. A II-a, San Diego, California, Academic press inc., 1980, ISBN 0-12-585050-6 .

Elemente conexe

Matematica Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică