Controlabilitate

În analiza sistemelor dinamice , controlabilitatea unui sistem dinamic este capacitatea sa de a atinge orice punct din spațiul de fază printr-un set de manipulări. Definiția strictă depinde de contextul în care este prezentată problema dinamică; în general se referă la capacitatea unei intrări (control extern) de a acționa asupra stării sistemului în așa fel încât să-l conducă de la o configurație inițială arbitrară la o configurație finală arbitrară într-un interval de timp finit. Conceptul dual de controlabilitate este observabilitatea , care se referă la posibilitatea studierii stării sistemului pornind de la ieșiri.

Vorbim în mod specific de controlabilitate pentru a ne referi la capacitatea de a aduce sistemul din orice stat la originea sa și de accesibilitate pentru a ne referi, dimpotrivă, la posibilitatea de a controla sistemul odată ce a atins o anumită stare inițială, adică de pentru a putea ajunge la orice stare începând de la origine. În sistemele LTI, cele două proprietăți se implică reciproc. ^[1]

Valorile proprii ale părții inaccesibile ale unui sistem nu apar ca poli ai funcției de transfer și, în special, se arată că un sistem este controlabil dacă și numai dacă toate valorile proprii ale părții sale inaccesibile sunt nule. Accesibilitatea implică, prin urmare, controlabilitate, dar, în general, viceversa nu este validă (echivalența apare doar în sistemele de timp continuu).

Acestea sunt proprietăți introduse pentru a evalua condițiile de funcționare (cum ar fi starea sau ieșirea sa) în care este posibil să se aducă un sistem dinamic, mai ales dacă este liniar, prin aplicarea unui control sistemului. O noțiune mai slabă de controlabilitate este cea de stabilizabilitate : un sistem este stabilizabil dacă toate stările incontrolabile (variabile de stare) pot fi stabilizate .

Sisteme dinamice liniare

Același subiect în detaliu: Sistem dinamic liniar .

Având în vedere un sistem liniar:

{\dot {\mathbf {x} }}(t)=A(t)\mathbf {x} (t)+B(t)\mathbf {u} (t)

{\ displaystyle {\ dot {\ mathbf {x}}} (t) = A (t) \ mathbf {x} (t) + B (t) \ mathbf {u} (t)}

{\ displaystyle {\ dot {\ mathbf {x}}} (t) = A (t) \ mathbf {x} (t) + B (t) \ mathbf {u} (t)}

\mathbf {y} (t)=C(t)\mathbf {x} (t)+D(t)\mathbf {u} (t)

{\ displaystyle \ mathbf {y} (t) = C (t) \ mathbf {x} (t) + D (t) \ mathbf {u} (t)}

{\ displaystyle \ mathbf {y} (t) = C (t) \ mathbf {x} (t) + D (t) \ mathbf {u} (t)}

există un control $tu$ ${\ displaystyle u}$ $tu$ de către stat $x_{0}$ ${\ displaystyle x_ {0}}$ $x_0$ la momentul $t_{0}$ ${\ displaystyle t_ {0}}$ $t_ {0}$ La stat $x_{1}$ ${\ displaystyle x_ {1}}$ $x_1$ la momentul $t_{1}>t_{0}$ ${\ displaystyle t_ {1}> t_ {0}}$ $t_ {1}> t_ {0}$ dacă și numai dacă $x_{1}-\phi (t_{0},t_{1})x_{0}$ ${\ displaystyle x_ {1} - \ phi (t_ {0}, t_ {1}) x_ {0}}$ ${\ displaystyle x_ {1} - \ phi (t_ {0}, t_ {1}) x_ {0}}$ este în spațiul coloanelor din:

W(t_{0},t_{1})=\int _{t_{0}}^{t_{1}}\phi (t_{0},t)B(t)B(t)^{T}\phi (t_{0},t)^{T}dt

{\ displaystyle W (t_ {0}, t_ {1}) = \ int _ {t_ {0}} ^ {t_ {1}} \ phi (t_ {0}, t) B (t) B (t) ^ {T} \ phi (t_ {0}, t) ^ {T} dt}

{\ displaystyle W (t_ {0}, t_ {1}) = \ int _ {t_ {0}} ^ {t_ {1}} \ phi (t_ {0}, t) B (t) B (t) ^ {T} \ phi (t_ {0}, t) ^ {T} dt}

unde este $\phi$ ${\ displaystyle \ phi}$ $\ phi$ este matricea de tranziție de stare e $W(t_{0},t_{1})$ ${\ displaystyle W (t_ {0}, t_ {1})}$ ${\ displaystyle W (t_ {0}, t_ {1})}$ este matricea gramiană a controlabilității .

De fapt, dacă $\eta _{0}$ ${\ displaystyle \ eta _ {0}}$ ${\ displaystyle \ eta _ {0}}$ este soluția:

W(t_{0},t_{1})\eta =x_{1}-\phi (t_{0},t_{1})x_{0}

{\ displaystyle W (t_ {0}, t_ {1}) \ eta = x_ {1} - \ phi (t_ {0}, t_ {1}) x_ {0}}

{\ displaystyle W (t_ {0}, t_ {1}) \ eta = x_ {1} - \ phi (t_ {0}, t_ {1}) x_ {0}}

apoi controlul dat de:

u(t)=-B(t)^{T}\phi (t_{0},t)^{T}\eta _{0}

{\ displaystyle u (t) = - B (t) ^ {T} \ phi (t_ {0}, t) ^ {T} \ eta _ {0}}

{\ displaystyle u (t) = - B (t) ^ {T} \ phi (t_ {0}, t) ^ {T} \ eta _ {0}}

efectuează transferul solicitat.

Am notat asta $W$ ${\ displaystyle W}$ $W$ în acest fel este simetric , semidefinit pozitiv și satisface ecuațiile:

{\frac {d}{dt}}W(t,t_{1})=A(t)W(t,t_{1})+W(t,t_{1})A(t)^{T}-B(t)B(t)^{T},\;W(t_{1},t_{1})=0

{\ displaystyle {\ frac {d} {dt}} W (t, t_ {1}) = A (t) W (t, t_ {1}) + W (t, t_ {1}) A (t) ^ {T} -B (t) B (t) ^ {T}, \; W (t_ {1}, t_ {1}) = 0}

{\ displaystyle {\ frac {d} {dt}} W (t, t_ {1}) = A (t) W (t, t_ {1}) + W (t, t_ {1}) A (t) ^ {T} -B (t) B (t) ^ {T}, \; W (t_ {1}, t_ {1}) = 0}

W(t_{0},t_{1})=W(t_{0},t)+\phi (t_{0},t)W(t,t_{1})\phi (t_{0},t)^{T}

{\ displaystyle W (t_ {0}, t_ {1}) = W (t_ {0}, t) + \ phi (t_ {0}, t) W (t, t_ {1}) \ phi (t_ { 0}, t) ^ {T}}

{\ displaystyle W (t_ {0}, t_ {1}) = W (t_ {0}, t) + \ phi (t_ {0}, t) W (t, t_ {1}) \ phi (t_ { 0}, t) ^ {T}}

Sisteme dinamice liniare staționare

Același subiect în detaliu: Sistem dinamic liniar staționar .

Având în vedere sistemul liniar staționar (LTI):

{\dot {\mathbf {x} }}(t)=A\mathbf {x} (t)+B\mathbf {u} (t)

{\ displaystyle {\ dot {\ mathbf {x}}} (t) = A \ mathbf {x} (t) + B \ mathbf {u} (t)}

{\ displaystyle {\ dot {\ mathbf {x}}} (t) = A \ mathbf {x} (t) + B \ mathbf {u} (t)}

\mathbf {y} (t)=C\mathbf {x} (t)+D\mathbf {u} (t)

{\ displaystyle \ mathbf {y} (t) = C \ mathbf {x} (t) + D \ mathbf {u} (t)}

{\ displaystyle \ mathbf {y} (t) = C \ mathbf {x} (t) + D \ mathbf {u} (t)}

unde este $\mathbf {x}$ ${\ displaystyle \ mathbf {x}}$ $\ mathbf {x}$ are dimensiune $n\times 1$ ${\ displaystyle n \ times 1}$ $n \ ori 1$ și este vectorul de stare, $\mathbf {y}$ ${\ displaystyle \ mathbf {y}}$ ${\ mathbf {y}}$ are dimensiune $m\times 1$ ${\ displaystyle m \ times 1}$ ${\ displaystyle m \ times 1}$ și este ieșirea, $\mathbf {u}$ ${\ displaystyle \ mathbf {u}}$ $\ mathbf {u}$ are dimensiune $r\times 1$ ${\ displaystyle r \ times 1}$ ${\ displaystyle r \ times 1}$ și este intrarea (controlul), $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ are dimensiune $n\times n$ ${\ displaystyle n \ times n}$ $n \ ori n$ , $B.$ ${\ displaystyle B}$ $B.$ are dimensiune $n\times r$ ${\ displaystyle n \ times r}$ ${\ displaystyle n \ times r}$ , $C.$ ${\ displaystyle C}$ $C.$ are dimensiune $m\times n$ ${\ displaystyle m \ times n}$ $m \ ori n$ Și $D.$ ${\ displaystyle D}$ $D.$ are dimensiune $m\times r$ ${\ displaystyle m \ times r}$ ${\ displaystyle m \ times r}$ .

Matricea de controlabilitate are dimensiune $n\times nr$ ${\ displaystyle n \ times nr}$ ${\ displaystyle n \ times nr}$ și are forma:

R={\begin{bmatrix}B&AB&A^{2}B&...&A^{n-1}B\end{bmatrix}}

{\ displaystyle R = {\ begin {bmatrix} B & AB & A ^ {2} B & ... & A ^ {n-1} B \ end {bmatrix}}}

{\ displaystyle R = {\ begin {bmatrix} B & AB & A ^ {2} B & ... & A ^ {n-1} B \ end {bmatrix}}}

Sistemul LTI este controlabil dacă matricea are toate coloanele (sau toate rândurile) liniar independente (are rang $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ ).

În mod echivalent, sistemul:

{\dot {x}}(t)=Ax(t)+Bu(t)

{\ displaystyle {\ dot {x}} (t) = Ax (t) + Bu (t)}

{\ displaystyle {\ dot {x}} (t) = Ax (t) + Bu (t)}

este controlabil dacă pentru fiecare pereche de stări inițiale $x_{0}=x(0)$ ${\ displaystyle x_ {0} = x (0)}$ ${\ displaystyle x_ {0} = x (0)}$ și final $x_{f}$ ${\ displaystyle x_ {f}}$ ${\ displaystyle x_ {f}}$ există un timp $T<\infty$ ${\ displaystyle T <\ infty}$ ${\ displaystyle T <\ infty}$ și o intrare $tu$ ${\ displaystyle u}$ $tu$ astfel încât:

x(T)=e^{At}x_{0}+\int _{0}^{T}e^{A(t-\tau )}Bu(\tau )d\tau =x_{f}

{\ displaystyle x (T) = e ^ {At} x_ {0} + \ int _ {0} ^ {T} e ^ {A (t- \ tau)} Bu (\ tau) d \ tau = x_ { f}}

{\ displaystyle x (T) = e ^ {At} x_ {0} + \ int _ {0} ^ {T} e ^ {A (t- \ tau)} Bu (\ tau) d \ tau = x_ { f}}

Sisteme liniare staționare discrete

Același subiect în detaliu: Sistem dinamic liniar staționar discret .

Pentru un sistem de timp discret ( $k\in \mathbb {Z}$ ${\ displaystyle k \ in \ mathbb {Z}}$ ${\ displaystyle k \ in \ mathbb {Z}}$ ) ecuația de stare are forma:

{\textbf {x}}(k+1)=A{\textbf {x}}(k)+B{\textbf {u}}(k)

{\ displaystyle {\ textbf {x}} (k + 1) = A {\ textbf {x}} (k) + B {\ textbf {u}} (k)}

{\ displaystyle {\ textbf {x}} (k + 1) = A {\ textbf {x}} (k) + B {\ textbf {u}} (k)}

unde este $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ este o matrice $n\times n$ ${\ displaystyle n \ times n}$ $n \ ori n$ Și $B.$ ${\ displaystyle B}$ $B.$ are dimensiune $n\times r$ ${\ displaystyle n \ times r}$ ${\ displaystyle n \ times r}$ matrice ( $\mathbf {u}$ ${\ displaystyle \ mathbf {u}}$ $\ mathbf {u}$ Sunt $r$ ${\ displaystyle r}$ $r$ intrare într-un vector coloană $r\times 1$ ${\ displaystyle r \ times 1}$ ${\ displaystyle r \ times 1}$ ). În mod similar cu cazul continuu, dacă matricea $n\times nr$ ${\ displaystyle n \ times nr}$ ${\ displaystyle n \ times nr}$ dat de:

C={\begin{bmatrix}B&AB&A^{2}B&\cdots &A^{n-1}B\end{bmatrix}}

{\ displaystyle C = {\ begin {bmatrix} B & AB & A ^ {2} B & \ cdots & A ^ {n-1} B \ end {bmatrix}}}

{\ displaystyle C = {\ begin {bmatrix} B & AB & A ^ {2} B & \ cdots & A ^ {n-1} B \ end {bmatrix}}}

are rang maxim (egal cu $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ ) sistemul este controlabil.

Setul de stări accesibile este dat de imagine $Im(C)$ ${\ displaystyle Im (C)}$ ${\ displaystyle Im (C)}$ din $C.$ ${\ displaystyle C}$ $C.$ , în timp ce setul de stări controlabile este dat de $A^{-n}Im(C)$ ${\ displaystyle A ^ {- n} Im (C)}$ ${\ displaystyle A ^ {- n} Im (C)}$ . De sine $C.$ ${\ displaystyle C}$ $C.$ are rang maxim cele două seturi coincid.

De fapt, a primit statul ${\textbf {x}}(0)$ ${\ displaystyle {\ textbf {x}} (0)}$ ${\ displaystyle {\ textbf {x}} (0)}$ la momentul inițial $k=0$ ${\ displaystyle k = 0}$ $k = 0$ , ecuația de stare dă:

{\textbf {x}}(1)=A{\textbf {x}}(0)+B{\textbf {u}}(0)

{\ displaystyle {\ textbf {x}} (1) = A {\ textbf {x}} (0) + B {\ textbf {u}} (0)}

{\ displaystyle {\ textbf {x}} (1) = A {\ textbf {x}} (0) + B {\ textbf {u}} (0)}

asa de:

{\textbf {x}}(2)=A{\textbf {x}}(1)+B{\textbf {u}}(1)=A^{2}{\textbf {x}}(0)+AB{\textbf {u}}(0)+B{\textbf {u}}(1)

{\ displaystyle {\ textbf {x}} (2) = A {\ textbf {x}} (1) + B {\ textbf {u}} (1) = A ^ {2} {\ textbf {x}} (0) + AB {\ textbf {u}} (0) + B {\ textbf {u}} (1)}

{\ displaystyle {\ textbf {x}} (2) = A {\ textbf {x}} (1) + B {\ textbf {u}} (1) = A ^ {2} {\ textbf {x}} (0) + AB {\ textbf {u}} (0) + B {\ textbf {u}} (1)}

și procedând în acest mod (adică efectuarea recursivă a înlocuirii vectorului ${\textbf {x}}$ ${\ displaystyle {\ textbf {x}}}$ ${\ textbf {x}}$ a variabilelor de stare din momentul anterior) obținem o formă de tipul:

{\textbf {x}}(n)=B{\textbf {u}}(n-1)+AB{\textbf {u}}(n-2)+\cdots +A^{n-1}B{\textbf {u}}(0)+A^{n}{\textbf {x}}(0)

{\ displaystyle {\ textbf {x}} (n) = B {\ textbf {u}} (n-1) + AB {\ textbf {u}} (n-2) + \ cdots + A ^ {n- 1} B {\ textbf {u}} (0) + A ^ {n} {\ textbf {x}} (0)}

{\ displaystyle {\ textbf {x}} (n) = B {\ textbf {u}} (n-1) + AB {\ textbf {u}} (n-2) + \ cdots + A ^ {n- 1} B {\ textbf {u}} (0) + A ^ {n} {\ textbf {x}} (0)}

sau într-un mod echivalent:

{\textbf {x}}(n)-A^{n}{\textbf {x}}(0)=[B\,\,AB\,\,\cdots \,\,A^{n-1}B][{\textbf {u}}^{T}(n-1)\,\,{\textbf {u}}^{T}(n-2)\,\,\cdots \,\,{\textbf {u}}^{T}(0)]^{T}.

{\ displaystyle {\ textbf {x}} (n) -A ^ {n} {\ textbf {x}} (0) = [B \, \, AB \, \, \ cdots \, \, A ^ { n-1} B] [{\ textbf {u}} ^ {T} (n-1) \, \, {\ textbf {u}} ^ {T} (n-2) \, \, \ cdots \ , \, {\ textbf {u}} ^ {T} (0)] ^ {T}.}

{\ displaystyle {\ textbf {x}} (n) -A ^ {n} {\ textbf {x}} (0) = [B \, \, AB \, \, \ cdots \, \, A ^ { n-1} B] [{\ textbf {u}} ^ {T} (n-1) \, \, {\ textbf {u}} ^ {T} (n-2) \, \, \ cdots \ , \, {\ textbf {u}} ^ {T} (0)] ^ {T}.}

Prin atribuirea unei valori către ${\textbf {x}}(n)$ ${\ displaystyle {\ textbf {x}} (n)}$ ${\ displaystyle {\ textbf {x}} (n)}$ , ecuația poate fi întotdeauna rezolvată pentru un vector de vectori de control ${\textbf {u}}^{T}(n-i)$ ${\ displaystyle {\ textbf {u}} ^ {T} (ni)}$ ${\ displaystyle {\ textbf {u}} ^ {T} (n-i)}$ dacă și numai dacă matricea matricilor $B\,\,AB\,\,\cdots \,\,A^{n-1}B$ ${\ displaystyle B \, \, AB \, \, \ cdots \, \, A ^ {n-1} B}$ ${\ displaystyle B \, \, AB \, \, \ cdots \, \, A ^ {n-1} B}$ are rang maxim.

Sisteme neliniare

Notă

^ Gustavo Belforte - Controlabilitate și observabilitate

Bibliografie

( EN ) Katsuhiko Ogata, Modern Control Engineering , 3rd, Upper Saddle River, NJ, Prentice-Hall, 1997, ISBN 0-13-227307-1 .
(EN) Roger W. Brockett, Sisteme liniare de dimensiuni finite, John Wiley & Sons, 1970, ISBN 978-0-471-10585-5 .
( EN ) Jean-Pierre Aubin, Teoria viabilității , Birkhauser, 1991, ISBN 0-8176-3571-8 .
( EN ) Jan Polderman, Jan Willems, Introducere în teoria sistemelor matematice: o abordare comportamentală , 1st, New York, Springer Verlag, 1998, ISBN 0-387-98266-3 .
(EN) Brian DO Anderson și John B. Moore, Control optim: Linear Quadratic Methods, Englewood Cliffs, NJ, Prentice Hall, 1990, ISBN 978-0-13-638560-8 .