Convergența variabilelor aleatorii

De la Wikipedia, enciclopedia liberă.
Salt la navigare Salt la căutare

În teoria probabilității și statisticile, problema studierii fenomenelor cu comportament necunoscut, dar, în număr mare , atribuită fenomenelor cunoscute și bine studiate, este foarte vie. Pentru aceasta, ei vin la salvarea diferitelor teoreme de convergență ale variabilelor aleatorii, care studiază exact condițiile în care anumite secvențe de variabile aleatoare ale unei anumite distribuții tind spre alte distribuții.

Cele mai importante rezultate realizabile sub formă de convergență a variabilelor aleatorii sunt teorema limită centrală , care afirmă că, pe măsură ce mărimea eșantionului crește, distribuția probabilității mediei sale este mai mult sau mai puțin similară cu cea a unuiGauss și legea numere mari , ceea ce justifică utilizarea eșantionului mediu ca estimare a valorii așteptate a legii fiecărei observații individuale.

Există mai multe tipuri de convergență. Fiecare dintre aceste condiții va fi expusă aici pentru variabilele aleatoare reale univariate, dar se generalizează fără prea multe dificultăți pentru variabilele aleatoare multivariate.

Convergență în distribuție

O succesiune de variabile aleatorii cu funcții de distribuție se spune că este convergent în distribuție sau convergent în drept la variabila aleatorie cu funcție de distribuție , acesta este , dacă există următoarea limită

în fiecare moment in care este continuu. Acesta este tipul de convergență utilizat în teorema limitei centrale .

Atâta timp cât , ceea ce implică convergența în distribuție este că așa probabilitatea ca secvența să ia valori mai mici sau egale cu (adică presupune valori într-un anumit interval) va fi întotdeauna mai asemănător cu probabilitatea ca presupuneți valori în același interval. Rețineți că acest lucru nu necesită acest lucru Și asumă aceleași valori. Din această observație rezultă că Și pot fi definite pornind de la spații de probabilitate modelând diferite experimente aleatorii.

Exemple

  • converge la . Este într-adevăr adevărat

prin urmare

  • O succesiune de variabile aleatorii uniforme discrete în converge la variabila aleatorie uniformă continuă în . Acest lucru este remarcabil având în vedere trecerea dintre clase profund distincte, și anume cea a vc discretă și cea a vc continuă. Conversa este, de asemenea, validă: fiecare variabilă continuă aleatoare poate fi discretizată într-o succesiune de variabile aleatoare discrete, la fel cum o funcție măsurabilă este interpretată ca limita unei succesiuni de funcții simple .

Teoreme

  • dacă și numai dacă pentru fiecare funcție continuă și mărginită merita
  • De sine și unirea susținătorilor este limitat atunci
  • De sine Și atunci este o funcție continuă
  • De sine este o variabilă - variat, Și asa de pentru fiecare

Convergență în probabilitate

După cum sa menționat mai devreme, convergența în distribuție oferă informații referitoare doar la distribuția variabilei aleatoare limită, în timp ce nu putem spune nimic despre valorile reale studiate. Acesta este motivul pentru care se introduce o noțiune mai puternică de convergență.

Vom spune apoi că o succesiune de variabile aleatorii converge în probabilitate la variabila aleatorie , în simboluri , dacă pentru fiecare

[1]

sau echivalent

Alegut formal , există astfel încât pentru fiecare

.

Acest tip de convergență este utilizat în legea slabă a numărului mare .

Ceea ce susține definiția convergenței în probabilitate este că așa , probabilitatea ca valorile asumate de secvență să difere de valorile asumate de mai puțin un plus oricât de mic vrei, se apropie din ce în ce mai mult de 1.

Teoreme

  • dacă și numai dacă .
  • (variabile k-variate) dacă și numai dacă pentru fiecare .
  • De sine , asa de .
  • De sine Și este degenerat (adică este o constantă vc), atunci .
  • De sine Și atunci este o funcție continuă .

Convergență aproape sigură

O succesiune de variabile aleatorii se spune că converge aproape sigur (sau aproape peste tot) la variabila aleatorie , în simboluri sau , de sine

.

Deoarece funcția de probabilitate este definit pe evenimente sau seturi de rezultate, formula anterioară poate fi rescrisă ca

.

Adică, având în vedere spațiul de probabilitate , limita

există pentru fiecare tc .

Ceea ce pretinde definiția este că vc Și ele vor diferi, în limită, numai la evenimentele cu probabilitate zero. Aceasta este cea mai puternică noțiune de convergență, deoarece exprimă faptul că, pe măsură ce mărimea eșantionului crește, este un eveniment aproape sigur că realizările eșantionului vor tinde să coincidă cu observațiile variabilei aleatorii . Acesta este tipul de convergență utilizat înlegea puternică a numărului mare .

Teoreme

  • dacă și numai dacă .
  • (variabile k-variate) dacă și numai dacă pentru fiecare .
  • dacă și numai dacă pentru fiecare .
  • De sine , asa de [2] .
  • Din cea anterioară obținem , atâta timp cât

Convergență în media r-a

O succesiune de variabile aleatorii se spune că converge în media r-a sau în norma r-a , la variabila aleatorie , cu , dacă [3] :

De sine , se spune că converge în medie spre . De sine , convergența se spune în media pătratică .

Conform abordării axiomatice a lui Kolmogorov , această convergență este echivalentă cu convergența din norma L p .

Teoreme

  • De sine în medie r-th cu , asa de în probabilitate [2]
  • De sine în medie r-th cu , asa de aproape sigur dacă nu există o succesiune
  • De sine în medie r-e , asa de în medie s-a

Notă

  1. ^ J. Jacod; P. Protter , Pagina 143 .
  2. ^ a b J. Jacod; P. Protter , Pagina 144 .
  3. ^ J. Jacod; P. Protter , Pagina 142 .

Bibliografie

  • ( EN ) Jean Jacod, Philip Protter, Probability Essentials , Springer, 2000, ISBN 3-540-43871-8 .
Matematica Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică