Convoluţie

Convoluția a două impulsuri dreptunghiulare

f

{\ displaystyle f}

f

Și

g

{\ displaystyle g}

g

de lungime egală: forma de undă

f\ast g

{\ displaystyle f \ ast g}

f \ ast g

rezultatul este un impuls triunghiular. Este produsul uneia dintre cele două funcții, în acest caz

f

{\ displaystyle f}

f

, cu cealaltă reflectată cu privire la

\tau =0

{\ displaystyle \ tau = 0}

\ tau = 0

și tradus de

t

{\ displaystyle t}

t

, primind

f(\tau )g(t-\tau )

{\ displaystyle f (\ tau) g (t- \ tau)}

f (\ tau) g (t- \ tau)

. Zona produsului rezultat (în galben) este valoarea integralei de convoluție. Valorile variabilei apar pe axa orizontală a graficului

\tau

{\ displaystyle \ tau}

\ tau

a reprezenta

f

{\ displaystyle f}

f

Și

g

{\ displaystyle g}

g

, a variabilei

t

{\ displaystyle t}

t

pentru

f\ast g

{\ displaystyle f \ ast g}

f \ ast g

. Dacă cele două semnale dreptunghiulare ar avea lungimi diferite, convoluția ar genera funcția trapezoidală.

Convoluția unui impuls dreptunghiular cu răspunsul la impuls tipic pentru un circuit RC : valoarea convoluției este răspunsul circuitului atunci când intrarea este impulsul dreptunghiular.

În matematică , în special în analiza funcțională , convoluția este o operație între două funcții ale unei variabile care constă în integrarea produsului între prima și a doua tradusă printr-o anumită valoare. Are o asemănare puternică cu corelația încrucișată .

Convoluția este utilizată în diverse domenii ale fizicii , statisticii , electronicii , analizei imaginilor și grafică pe computer . La studierea sistemelor dinamice staționare liniare , ieșirea este dată de convoluția dintre semnalul de intrare și răspunsul la impuls al sistemului, a cărui transformată Laplace (sau transformată Fourier ) este funcția de transfer a sistemului.

Definiție

Luați în considerare două funcții $f(t)$ ${\ displaystyle f (t)}$ $f (t)$ Și $g(t)$ ${\ displaystyle g (t)}$ $g (t)$ definit de $\mathbb {R}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R}}$ $\ R$ în sine, cu $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ Și $g$ ${\ displaystyle g}$ $g$ integrabil conform lui Lebesgue on $\mathbb {R}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R}}$ $\ R$ . Se numește convoluție a $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ Și $g$ ${\ displaystyle g}$ $g$ funcția definită după cum urmează: ^[1]

(f*g)(t):=\int _{-\infty }^{\infty }f(\tau )g(t-\tau )d\tau =\int _{-\infty }^{\infty }f(t-\tau )g(\tau )d\tau

{\ displaystyle (f * g) (t): = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} f (\ tau) g (t- \ tau) d \ tau = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} f (t- \ tau) g (\ tau) d \ tau}

(f * g) (t): = \ int _ {{- \ infty}} ^ {{\ infty}} f (\ tau) g (t- \ tau) d \ tau = \ int _ {{- \ infty}} ^ {{\ infty}} f (t- \ tau) g (\ tau) d \ tau

unde este $\int _{-\infty }^{\infty }$ ${\ displaystyle \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty}}$ $\ int _ {{- \ infty}} ^ {{\ infty}}$ denotă integralul definit pe mulțimea numerelor reale . Limitările impuse funcțiilor $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ Și $g$ ${\ displaystyle g}$ $g$ asigurați-vă că integralul este un număr real . Adică, este integral al produsului celor două funcții după ce una dintre funcțiile de pornire a fost inversată și tradusă și poate fi considerată o formă de transformare integrală . Ultimul pas poate fi demonstrat prin luarea în considerare $(t-\tau )=\tau '$ ${\ displaystyle (t- \ tau) = \ tau '}$ $(t- \ tau) = \ tau '$ : prin efectuarea substituției în prima formulă, a doua se obține prin revenirea la apel $\tau '$ ${\ displaystyle \ tau '}$ $\ tau '$ cu numele de $\tau$ ${\ displaystyle \ tau}$ $\ tau$ .

Adesea la variabilă $t$ ${\ displaystyle t}$ $t$ timpul este făcut să corespundă și, în acest context, convoluția poate fi descrisă ca media ponderată a funcției $f(\tau )$ ${\ displaystyle f (\ tau)}$ $f (\ tau)$ imediat $t$ ${\ displaystyle t}$ $t$ , unde este funcția de greutate $g(-\tau )$ ${\ displaystyle g (- \ tau)}$ $g (- \ tau)$ tradus printr-un interval $t$ ${\ displaystyle t}$ $t$ , și ca $t$ ${\ displaystyle t}$ $t$ funcția de greutate accentuează diferite părți ale $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ .

Mai general, ele pot fi luate în considerare $f(t)$ ${\ displaystyle f (t)}$ $f (t)$ Și $g(t)$ ${\ displaystyle g (t)}$ $g (t)$ definit pe $\mathbb {R} ^{d}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {d}}$ $\ mathbb {R} ^ {d}$ la valori în $\mathbb {C}$ ${\ displaystyle \ mathbb {C}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {C}}$ , a cărui convoluție este dată de:

(f*g)(x)=\int _{\mathbb {R} ^{d}}f(y)g(x-y)\,dy=\int _{\mathbb {R} ^{d}}f(x-y)g(y)\,dy

{\ displaystyle (f * g) (x) = \ int _ {\ mathbb {R} ^ {d}} f (y) g (xy) \, dy = \ int _ {\ mathbb {R} ^ {d }} f (xy) g (y) \, dy}

(f * g) (x) = \ int _ {{\ mathbb {R} ^ {d}}} f (y) g (xy) \, dy = \ int _ {{\ mathbb {R} ^ {d }}} f (xy) g (y) \, dy

De sine $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ Și $Da$ ${\ displaystyle Y}$ $Da$ sunt două variabile aleatoare independente cu densitate de probabilitate $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ Și $g$ ${\ displaystyle g}$ $g$ respectiv densitatea de probabilitate a sumei $X+Y$ ${\ displaystyle X + Y}$ $X + Y$ este dat de convoluția lui $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ cu $g$ ${\ displaystyle g}$ $g$ . ^[2]

Convoluție circulară

Având o funcție periodică $x_{T}$ ${\ displaystyle x_ {T}}$ $x_ {T}$ cu punct $T.$ ${\ displaystyle T}$ $T.$ , convoluția sa cu o altă funcție $h$ ${\ displaystyle h}$ $h$ este încă o funcție periodică și poate fi exprimată ca:

(x_{T}*h)(t)\,{\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\int _{-\infty }^{\infty }h(\tau )\cdot x_{T}(t-\tau )\,d\tau =\int _{t_{o}}^{t_{o}+T}h_{T}(\tau )\cdot x_{T}(t-\tau )d\tau

{\ displaystyle (x_ {T} * h) (t) \, {\ stackrel {\ mathrm {def}} {=}} \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} h (\ tau) \ cdot x_ {T} (t- \ tau) \, d \ tau = \ int _ {t_ {o}} ^ {t_ {o} + T} h_ {T} (\ tau) \ cdot x_ {T} (t - \ tau) d \ tau}

(x_ {T} * h) (t) \, {\ stackrel {{\ mathrm {def}}} =} \ int _ {{- \ infty}} ^ {\ infty} h (\ tau) \ cdot x_ {T} (t- \ tau) \, d \ tau = \ int _ {{t_ {o}}} ^ {{t_ {o} + T}} h_ {T} (\ tau) \ cdot x_ {T } (t- \ tau) d \ tau

unde este $t_{o}$ ${\ displaystyle t_ {o}}$ $la}$ este un parametru arbitrar și $h_{T}$ ${\ displaystyle h_ {T}}$ $h_ {T}$ este adăugarea periodică a $h$ ${\ displaystyle h}$ $h$ , dat de: ^[3]

h_{T}(t)\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \sum _{k=-\infty }^{\infty }h(t-kT)=\sum _{k=-\infty }^{\infty }h(t+kT)

{\ displaystyle h_ {T} (t) \ {\ stackrel {\ mathrm {def}} {=}} \ \ sum _ {k = - \ infty} ^ {\ infty} h (t-kT) = \ sum _ {k = - \ infty} ^ {\ infty} h (t + kT)}

h_ {T} (t) \ {\ stackrel {{\ mathrm {def}}} {=}} \ \ sum _ {{k = - \ infty}} ^ {\ infty} h (t-kT) = \ suma _ {{k = - \ infty}} ^ {\ infty} h (t + kT)

Este o convoluție periodică a $x_{T}$ ${\ displaystyle x_ {T}}$ $x_ {T}$ Și $h_{T}$ ${\ displaystyle h_ {T}}$ $h_ {T}$ , si daca $x_{T}$ ${\ displaystyle x_ {T}}$ $x_ {T}$ este exprimat ca suma periodică a unei alte funcții $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ această operație se numește convoluție circulară sau convoluție ciclică a $h$ ${\ displaystyle h}$ $h$ Și $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ .

Convoluție discretă

Luați în considerare două funcții $f[n]$ ${\ displaystyle f [n]}$ $f [n]$ Și $g[n]$ ${\ displaystyle g [n]}$ $g [n]$ definit pe platou $\mathbb {Z}$ ${\ displaystyle \ mathbb {Z}}$ $\ mathbb {Z}$ a numerelor întregi. Convolutia discreta a $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ cu $g$ ${\ displaystyle g}$ $g$ este dat de:

(f*g)[n]\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \sum _{m=-\infty }^{\infty }f[m]\,g[n-m]=\sum _{m=-\infty }^{\infty }f[n-m]\,g[m]

{\ displaystyle (f * g) [n] \ {\ stackrel {\ mathrm {def}} {=}} \ \ sum _ {m = - \ infty} ^ {\ infty} f [m] \, g [ nm] = \ sum _ {m = - \ infty} ^ {\ infty} f [nm] \, g [m]}

(f * g) [n] \ {\ stackrel {{\ mathrm {def}}} {=}} \ \ sum _ {{m = - \ infty}} ^ {\ infty} f [m] \, g [nm] = \ sum _ {{m = - \ infty}} ^ {\ infty} f [nm] \, g [m]

Când se înmulțesc două polinoame cu coeficienți dați de secvențe $(a_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ ${\ displaystyle (a_ {n}) _ {n \ in \ mathbb {N}}}$ $(a_ {n}) _ {{n \ in \ mathbb {N}}}$ Și $(b_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ ${\ displaystyle (b_ {n}) _ {n \ in \ mathbb {N}}}$ $(b_ {n}) _ {{n \ in \ mathbb {N}}}$ secvența coeficienților produsului lor este dată de produsul Cauchy $\textstyle (c_{n})_{n\geq 0}$ ${\ displaystyle \ textstyle (c_ {n}) _ {n \ geq 0}}$ $\ textstyle (c_ {n}) _ {{n \ geq 0}}$ , al cărui al nouălea element este dat de:

c_{n}=\sum _{k=0}^{n}a_{k}b_{n-k}

{\ displaystyle c_ {n} = \ sum _ {k = 0} ^ {n} a_ {k} b_ {nk}}

c_ {n} = \ sum _ {{k = 0}} ^ {n} a_ {k} b _ {{n-k}}

care este convoluția discretă a celor două secvențe. Este echivalent cu produsul $(a_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ ${\ displaystyle (a_ {n}) _ {n \ in \ mathbb {N}}}$ $(a_ {n}) _ {{n \ in \ mathbb {N}}}$ Și $(b_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ ${\ displaystyle (b_ {n}) _ {n \ in \ mathbb {N}}}$ $(b_ {n}) _ {{n \ in \ mathbb {N}}}$ considerate ca elemente ale inelului pe grupul numerelor naturale $R[\mathbb {N} ]$ ${\ displaystyle R [\ mathbb {N}]}$ $R [\ mathbb {N}]$ .

Convoluție circulară discretă

Având o funcție $g_{N}$ ${\ displaystyle g_ {N}}$ $g_ {N}$ periodic cu punct $Nu.$ ${\ displaystyle N}$ $Nu.$ , pentru funcții $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ astfel încât $f*g_{N}$ ${\ displaystyle f * g_ {N}}$ $f * g_ {N}$ există, convoluția discretă este periodică:

(f*g_{N})[n]\equiv \sum _{m=0}^{N-1}\left(\sum _{k=-\infty }^{\infty }{f}[m+kN]\right)g_{N}[n-m]

{\ displaystyle (f * g_ {N}) [n] \ equiv \ sum _ {m = 0} ^ {N-1} \ left (\ sum _ {k = - \ infty} ^ {\ infty} {f } [m + kN] \ dreapta) g_ {N} [nm]}

(f * g_ {N}) [n] \ equiv \ sum _ {{m = 0}} ^ {{N-1}} \ left (\ sum _ {{k = - \ infty}} ^ {\ infty } {f} [m + kN] \ dreapta) g_ {N} [nm]

iar suma peste k este o adunare periodică a $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ . De sine $g_{N}$ ${\ displaystyle g_ {N}}$ $g_ {N}$ este adăugarea periodică a unei alte funcții $g$ ${\ displaystyle g}$ $g$ , convoluția $f*g_{N}$ ${\ displaystyle f * g_ {N}}$ $f * g_ {N}$ este convoluția circulară a $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ cu $g$ ${\ displaystyle g}$ $g$ . Dacă și $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ Și $g$ ${\ displaystyle g}$ $g$ au valori diferite de zero numai în interval $[0,N-1]$ ${\ displaystyle [0, N-1]}$ $[0, N-1]$ asa de $f*g_{N}$ ${\ displaystyle f * g_ {N}}$ $f * g_ {N}$ ia forma:

{\begin{aligned}(f*g_{N})[n]&=\sum _{m\,=\,0}^{N-1}f[m]\ g_{N}[n-m]\\&=\sum _{m\,=\,0}^{n}f[m]\ g[n-m]+\sum _{m\,=\,n+1}^{N-1}f[m]\ g[N+n-m]\\&=\sum _{m\,=\,0}^{N-1}f[m]\ g[(n-m)_{\bmod {N}}]\equiv (f*_{N}g)[n]\end{aligned}}

{\ displaystyle {\ begin {align} (f * g_ {N}) [n] & = \ sum _ {m \, = \, 0} ^ {N-1} f [m] \ g_ {N} [ nm] \\ & = \ sum _ {m \, = \, 0} ^ {n} f [m] \ g [nm] + \ sum _ {m \, = \, n + 1} ^ {N- 1} f [m] \ g [N + nm] \\ & = \ sum _ {m \, = \, 0} ^ {N-1} f [m] \ g [(nm) _ {\ bmod { N}}] \ equiv (f * _ {N} g) [n] \ end {align}}}

{\ begin {align} (f * g_ {N}) [n] & = \ sum _ {{m \, = \, 0}} ^ {{N-1}} f [m] \ g_ {N} [nm] \\ & = \ sum _ {{m \, = \, 0}} ^ {n} f [m] \ g [nm] + \ sum _ {{m \, = \, n + 1} } ^ {{N-1}} f [m] \ g [N + nm] \\ & = \ sum _ {{m \, = \, 0}} ^ {{N-1}} f [m] \ g [(nm) _ {{{\ bmod {N}}}}] \ equiv (f * _ {N} g) [n] \ end {align}}

Domeniul definiției

Convoluția a două funcții $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ Și $g$ ${\ displaystyle g}$ $g$ definit pe $\mathbb {R} ^{d}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {d}}$ $\ mathbb {R} ^ {d}$ la valori în $\mathbb {C}$ ${\ displaystyle \ mathbb {C}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {C}}$ :

(f*g)(x)=\int _{\mathbb {R} ^{d}}f(y)g(x-y)\,dy

{\ displaystyle (f * g) (x) = \ int _ {\ mathbb {R} ^ {d}} f (y) g (xy) \, dy}

(f * g) (x) = \ int _ {{\ mathbb {R} ^ {d}}} f (y) g (x-y) \, dy

este bine definit doar dacă $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ Și $g$ ${\ displaystyle g}$ $g$ ele scad la infinit suficient de rapid pentru a garanta existența integralei.

De sine $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ Și $g$ ${\ displaystyle g}$ $g$ sunt funcții cu suport compact , adică sunt funcții (în acest caz continue ) care au ca suport un subset compact al setului de definiții, atunci convoluția lor există și este continuă cu suport compact. Mai general, dacă unul dintre cei doi are un suport compact, în timp ce celălalt este integrabil la nivel local, convoluția lor există și este continuă.

De sine $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ Și $g$ ${\ displaystyle g}$ $g$ sunt integrabile Lebesgue (în $L^{1}(\mathbb {R} ^{n})$ ${\ displaystyle L ^ {1} (\ mathbb {R} ^ {n})}$ $L ^ {1} (\ mathbb {R} ^ {n})$ ) apoi prin teorema lui Tonelli convoluția lor este integrabilă. De sine $f\in L^{1}(\mathbb {R} ^{d})$ ${\ displaystyle f \ în L ^ {1} (\ mathbb {R} ^ {d})}$ $f \ în L ^ {1} (\ mathbb {R} ^ {d})$ Și $g\in L^{p}(\mathbb {R} ^{d})$ ${\ displaystyle g \ in L ^ {p} (\ mathbb {R} ^ {d})}$ $g \ în L ^ {p} (\ mathbb {R} ^ {d})$ , cu $1\leq p\leq \infty$ ${\ displaystyle 1 \ leq p \ leq \ infty}$ $1 \ leq p \ leq \ infty$ , asa de $(f*g)\in L^{p}(\mathbb {R} ^{d})$ ${\ displaystyle (f * g) \ în L ^ {p} (\ mathbb {R} ^ {d})}$ $(f * g) \ în L ^ {p} (\ mathbb {R} ^ {d})$ și avem:

\|{f}*g\|_{p}\leq \|f\|_{1}\|g\|_{p}

{\ displaystyle \ | {f} * g \ | _ {p} \ leq \ | f \ | _ {1} \ | g \ | _ {p}}

\ | {f} * g \ | _ {p} \ leq \ | f \ | _ {1} \ | g \ | _ {p}

În special, dacă $p=1$ ${\ displaystyle p = 1}$ $p = 1$ această relație arată că $L^{1}$ ${\ displaystyle L ^ {1}}$ $L ^ {1}$ cu operația de convoluție este o algebră Banach . Mai general, inegalitatea lui Young implică faptul că convoluția este o funcție biliniară continuă între spații $L^{p}$ ${\ displaystyle L ^ {p}}$ $L ^ {p}$ . Mai exact, dacă $1\leq p,q,r\leq \infty$ ${\ displaystyle 1 \ leq p, q, r \ leq \ infty}$ $1 \ leq p, q, r \ leq \ infty$ satisfac relația:

{\frac {1}{p}}+{\frac {1}{q}}={\frac {1}{r}}+1

{\ displaystyle {\ frac {1} {p}} + {\ frac {1} {q}} = {\ frac {1} {r}} + 1}

{\ frac {1} {p}} + {\ frac {1} {q}} = {\ frac {1} {r}} + 1

asa de:

\|f*g\|_{r}\leq \|f\|_{p}\|g\|_{q}\qquad f\in L^{p}\quad g\in L^{q}

{\ displaystyle \ | f * g \ | _ {r} \ leq \ | f \ | _ {p} \ | g \ | _ {q} \ qquad f \ in L ^ {p} \ quad g \ in L ^ {q}}

\ | f * g \ | _ {r} \ leq \ | f \ | _ {p} \ | g \ | _ {q} \ qquad f \ in L ^ {p} \ quad g \ in L ^ {q }

deci convoluția este o hartă biliniară continuă din $L^{p}\times L^{q}$ ${\ displaystyle L ^ {p} \ times L ^ {q}}$ $L ^ {p} \ ori L ^ {q}$ la $L^{r}$ ${\ displaystyle L ^ {r}}$ $L ^ {r}$ .

Distribuții

În condiții adecvate este posibil să se definească convoluția unei funcții cu o distribuție și convoluția dintre două distribuții. De sine $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ este o funcție de suport compactă e $g$ ${\ displaystyle g}$ $g$ este o distribuție, convoluția lor este o funcție lină definită de formularea distribuțională analogă:

\int _{\mathbb {R} ^{d}}{f}(y)g(x-y)\,dy

{\ displaystyle \ int _ {\ mathbb {R} ^ {d}} {f} (y) g (xy) \, dy}

\ int _ {{\ mathbb {R} ^ {d}}} {f} (y) g (x-y) \, dy

Mai general, putem extinde definiția convoluției numai astfel încât proprietatea asociativă:

f*(g*\varphi )=(f*g)*\varphi \,

{\ displaystyle f * (g * \ varphi) = (f * g) * \ varphi \,}

f * (g * \ varphi) = (f * g) * \ varphi \,

rămâne valabilă chiar dacă $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ este o distribuție și $g$ ${\ displaystyle g}$ $g$ o distribuție media compactă.

Măsuri

Convoluția a două măsuri Borel $\mu$ ${\ displaystyle \ mu}$ $\ mu$ Și $\nu$ ${\ displaystyle \ nu}$ $\ nu$ cu variație limitată este măsura $\lambda$ ${\ displaystyle \ lambda}$ $\ lambda$ definit ca:

\int _{\mathbb {R} ^{d}}f(x)d\lambda (x)=\int _{\mathbb {R} ^{d}}\int _{\mathbb {R} ^{d}}f(x+y)\,d\mu (x)\,d\nu (y)

{\ displaystyle \ int _ {\ mathbb {R} ^ {d}} f (x) d \ lambda (x) = \ int _ {\ mathbb {R} ^ {d}} \ int _ {\ mathbb {R } ^ {d}} f (x + y) \, d \ mu (x) \, d \ nu (y)}

\ int _ {{\ mathbb {R} ^ {d}}} f (x) d \ lambda (x) = \ int _ {{\ mathbb {R} ^ {d}}} \ int _ {{\ mathbb {R} ^ {d}}} f (x + y) \, d \ mu (x) \, d \ nu (y)

Această definiție coincide cu precedenta if $\mu$ ${\ displaystyle \ mu}$ $\ mu$ Și $\nu$ ${\ displaystyle \ nu}$ $\ nu$ sunt tratate ca distribuții și cu definiția convoluției funcțiilor în $L^{1}$ ${\ displaystyle L ^ {1}}$ $L ^ {1}$ cand $\mu$ ${\ displaystyle \ mu}$ $\ mu$ Și $\nu$ ${\ displaystyle \ nu}$ $\ nu$ sunt absolut continue în ceea ce privește măsura Lebesgue .

Mai mult, convoluția a două măsuri satisface următoarea versiune a inegalității lui Young:

\|\mu *\nu \|\leq \|\mu \|\|\nu \|

{\ displaystyle \ | \ mu * \ nu \ | \ leq \ | \ mu \ | \ | \ nu \ |}

\ | \ mu * \ nu \ | \ leq \ | \ mu \ | \ | \ nu \ |

unde norma este variația totală a măsurii.

Proprietate

Convoluția îndeplinește următoarele proprietăți:

Comutativitate

f*g=g*f

{\ displaystyle f * g = g * f}

f * g = g * f

Demonstrație

Pornind de la definiție:

(f*g)(t):=\int _{-\infty }^{\infty }f(\tau )g(t-\tau )d\tau

{\ displaystyle (f * g) (t): = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} f (\ tau) g (t- \ tau) d \ tau}

(f * g) (t): = \ int _ {{- \ infty}} ^ {{\ infty}} f (\ tau) g (t- \ tau) d \ tau

se aplică înlocuirea:

\tau =t-y\to t-\tau =y

{\ displaystyle \ tau = ty \ to t- \ tau = y}

\ tau = t-y \ to t- \ tau = y

de la care:

{\frac {d\tau }{dy}}=-1\to d\tau =-dy

{\ displaystyle {\ frac {d \ tau} {dy}} = - 1 \ to d \ tau = -dy}

{\ frac {d \ tau} {dy}} = - 1 \ to d \ tau = -dy

Amintind că extremele de integrare sunt exprimate în funcție de $\tau$ ${\ displaystyle \ tau}$ $\ tau$ , exprimându-le în funcție de $y$ ${\ displaystyle y}$ $y$ limita inferioară devine:

\tau =t-y\to -\infty =t-y\to \underbrace {-\infty -t} _{=-\infty }=-y\to y=\infty

{\ displaystyle \ tau = ty \ to - \ infty = ty \ to \ underbrace {- \ infty -t} _ {= - \ infty} = - y \ to y = \ infty}

\ tau = t-y \ to - \ infty = t-y \ to \ underbrace {- \ infty -t} _ {{= - \ infty}} = - y \ to y = \ infty

în timp ce extremitatea superioară:

\tau =t-y\to \infty =t-y\to \underbrace {\infty -t} _{=\infty }=-y\to y=-\infty

{\ displaystyle \ tau = ty \ to \ infty = ty \ to \ underbrace {\ infty -t} _ {= \ infty} = - y \ to y = - \ infty}

\ tau = t-y \ to \ infty = t-y \ to \ underbrace {\ infty -t} _ {{= \ infty}} = - y \ to y = - \ infty

Având în vedere că în cazul integralelor definite sau necorespunzătoare este posibilă inversarea extremelor integrării:

(f*g)(t):=\int _{-\infty }^{\infty }f(\tau )g(t-\tau )d\tau =-\int _{\infty }^{-\infty }f(t-y)g(y)dy=\int _{-\infty }^{\infty }g(y)f(t-y)dy=(g*f)(t)

{\ displaystyle (f * g) (t): = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} f (\ tau) g (t- \ tau) d \ tau = - \ int _ {\ infty} ^ {- \ infty} f (ty) g (y) dy = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} g (y) f (ty) dy = (g * f) (t)}

(f * g) (t): = \ int _ {{- \ infty}} ^ {{\ infty}} f (\ tau) g (t- \ tau) d \ tau = - \ int _ {{\ infty}} ^ {{- \ infty}} f (ty) g (y) dy = \ int _ {{- \ infty}} ^ {{\ infty}} g (y) f (ty) dy = (g * f) (t)

Asociativitate

f*(g*h)=(f*g)*h

{\ displaystyle f * (g * h) = (f * g) * h}

f * (g * h) = (f * g) * h

Distributivitate

f*(g+h)=(f*g)+(f*h)

{\ displaystyle f * (g + h) = (f * g) + (f * h)}

f * (g + h) = (f * g) + (f * h)

Asociativitate prin multiplicare la scară

a(f*g)=(af)*g=f*(ag)

{\ displaystyle a (f * g) = (af) * g = f * (ag)}

a (f * g) = (af) * g = f * (ag)

pentru orice număr real (sau complex)

la

{\ displaystyle a}

la

.

Regula diferențierii

{\mathcal {D}}(f*g)={\mathcal {D}}f*g=f*{\mathcal {D}}g

{\ displaystyle {\ mathcal {D}} (f * g) = {\ mathcal {D}} f * g = f * {\ mathcal {D}} g}

{\ mathcal {D}} (f * g) = {\ mathcal {D}} f * g = f * {\ mathcal {D}} g

unde cu

{\mathcal {D}}f

{\ displaystyle {\ mathcal {D}} f}

{\ mathcal {D}} f

derivatul de

f

{\ displaystyle f}

f

sau, în cazul discret, operatorul diferențial :

{\mathcal {D}}f(n)=f(n+1)-f(n)

{\ displaystyle {\ mathcal {D}} f (n) = f (n + 1) -f (n)}

{\ mathcal {D}} f (n) = f (n + 1) -f (n)

Teorema convoluției

Același subiect în detaliu: teorema convoluției .

Teorema convoluției afirmă că:

{\mathcal {F}}\{f*g\}=k\cdot {\mathcal {F}}\{f\}\cdot {\mathcal {F}}\{g\}

{\ displaystyle {\ mathcal {F}} \ {f * g \} = k \ cdot {\ mathcal {F}} \ {f \} \ cdot {\ mathcal {F}} \ {g \}}

{\ displaystyle {\ mathcal {F}} \ {f * g \} = k \ cdot {\ mathcal {F}} \ {f \} \ cdot {\ mathcal {F}} \ {g \}}

unde este ${\mathcal {F}}(f)$ ${\ displaystyle {\ mathcal {F}} (f)}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {F}} (f)}$ denotă transformata Fourier a $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ Și $k$ ${\ displaystyle k}$ $k$ este o constantă care depinde de alegerea constantei de normalizare a transformării. Alte versiuni ale acestei teoreme funcționează pentru transformata Laplace și transformata Mellin . Transformarea convoluției a două funcții este echivalentă cu produsul transformărilor celor două funcții în sine.

Convoluție asupra grupurilor

De sine $G.$ ${\ displaystyle G}$ $G.$ este un grup ales corespunzător a cărui măsură corespunde valorii m (de exemplu, un grup Hausdorff compact local cu măsura Haar ) și dacă $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ Și $g$ ${\ displaystyle g}$ $g$ sunt valori reale sau complexe ale integralei m- a $G.$ ${\ displaystyle G}$ $G.$ , atunci convoluția lor poate fi definită de relația:

(f*g)(x)=\int _{G}f(y)g(xy^{-1})\,dm(y)

{\ displaystyle (f * g) (x) = \ int _ {G} f (y) g (xy ^ {- 1}) \, dm (y)}

(f * g) (x) = \ int _ {G} f (y) g (xy ^ {{- 1}}) \, dm (y)

Aplicații

Convoluția și operațiunile sale sunt utilizate în diverse aplicații ale ingineriei și matematicii.

În statistici , o medie mobilă ponderată este o convoluție. Distribuția de probabilitate a sumei a două variabile aleatoare independente corespunde, de asemenea, convoluției fiecărei distribuții a acestora.
În optică , multe tipuri de „estompare” sunt descrise prin convoluție. O umbră (de exemplu, umbra de pe o masă care este văzută când un obiect este plasat în fața sursei de lumină) este convoluția formei sursei de lumină care aruncă umbra obiectului iluminat și a obiectului în sine. O fotografie care nu este focalizată este conturul imaginii focalizate cu forma diafragmei. Termenul fotografic pentru acest efect este bokeh .
În mod similar, în procesarea digitală a imaginilor , filtrele convoluționale iau un rol important în algoritmi pentru calcularea marjelor și a proceselor conexe.
În procesarea semnalului digital , filtrarea frecvenței poate fi simplificată prin implicarea a două funcții (date cu filtru) în domeniul timpului, care este echivalent cu înmulțirea datelor cu un filtru în domeniul frecvenței.
În acustica liniară, un ecou este convoluția sunetului original cu o funcție geometrică care descrie diferitele obiecte care reflectă semnalul sonor.
În procesarea semnalului digital , în reverberare artificială, convoluția este utilizată pentru a codifica răspunsul impulsului unei camere reale la un semnal audio digital.
În ingineria electrică și alte discipline, ieșirea (răspunsul) unui sistem liniar ( staționar ) dinamic este convoluția unei intrări (excitație de intrare) cu răspunsul impulsiv al sistemului (adică răspunsul când intrarea este funcția Dirac Delta ) . În domeniul discret conceptul de convoluție este extins la o însumare , extins la produsul semnalului și al răspunsului la impuls $y(n)=x(n)*h(n)=\sum _{k=-\infty }^{\infty }x(k)\cdot h(n-k)$ ${\ displaystyle y (n) = x (n) * h (n) = \ sum _ {k = - \ infty} ^ {\ infty} x (k) \ cdot h (nk)}$ ${\ displaystyle y (n) = x (n) * h (n) = \ sum _ {k = - \ infty} ^ {\ infty} x (k) \ cdot h (n-k)}$ ^[4] , cu secvența h (n) numită „nucleu de convoluție” sau „mască de convoluție”.
În spectroscopia de fluorescență determinată în timp, semnalul de excitație poate fi tratat ca un lanț de impulsuri delta, iar fluorescența măsurată este dată de suma decăderilor exponențiale ale fiecărui impuls delta.

Notă

^ W. Rudin , pagina 170 .
^ J. Jacod; P. Protter , Pagina 117 .
^ De fapt:
$\int _{-\infty }^{\infty }h(\tau )\cdot x_{T}(t-\tau )\,d\tau$ ${\ displaystyle \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} h (\ tau) \ cdot x_ {T} (t- \ tau) \, d \ tau}$ $\ int _ {{- \ infty}} ^ {\ infty} h (\ tau) \ cdot x_ {T} (t- \ tau) \, d \ tau$
${\begin{aligned}&=\sum _{k=-\infty }^{\infty }\left[\int _{t_{o}+kT}^{t_{o}+(k+1)T}h(\tau )\cdot x_{T}(t-\tau )\ d\tau \right]\\&{\stackrel {\tau \to \tau +kT}{=}}\ \sum _{k=-\infty }^{\infty }\left[\int _{t_{o}}^{t_{o}+T}h(\tau +kT)\cdot x_{T}(t-\tau -kT)\ d\tau \right]\\&=\int _{t_{o}}^{t_{o}+T}\left[\sum _{k=-\infty }^{\infty }h(\tau +kT)\cdot \underbrace {x_{T}(t-\tau -kT)} _{X_{T}(t-\tau )}\right]\ d\tau \\&=\int _{t_{o}}^{t_{o}+T}\underbrace {\left[\sum _{k=-\infty }^{\infty }h(\tau +kT)\right]} _{{\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ h_{T}(\tau )}\cdot x_{T}(t-\tau )\ d\tau \end{aligned}}$ ${\ displaystyle {\ begin {align} & = \ sum _ {k = - \ infty} ^ {\ infty} \ left [\ int _ {t_ {o} + kT} ^ {t_ {o} + (k + 1) T} h (\ tau) \ cdot x_ {T} (t- \ tau) \ d \ tau \ right] \\ & {\ stackrel {\ tau \ to \ tau + kT} {=}} \ \ sum _ {k = - \ infty} ^ {\ infty} \ left [\ int _ {t_ {o}} ^ {t_ {o} + T} h (\ tau + kT) \ cdot x_ {T} (t - \ tau -kT) \ d \ tau \ right] \\ & = \ int _ {t_ {o}} ^ {t_ {o} + T} \ left [\ sum _ {k = - \ infty} ^ { \ infty} h (\ tau + kT) \ cdot \ underbrace {x_ {T} (t- \ tau -kT)} _ {X_ {T} (t- \ tau)} \ right] \ d \ tau \\ & = \ int _ {t_ {o}} ^ {t_ {o} + T} \ underbrace {\ left [\ sum _ {k = - \ infty} ^ {\ infty} h (\ tau + kT) \ right ]} _ {{\ stackrel {\ mathrm {def}} {=}} \ h_ {T} (\ tau)} \ cdot x_ {T} (t- \ tau) \ d \ tau \ end {align}} }$ ${\ begin {align} & = \ sum _ {{k = - \ infty}} ^ {\ infty} \ left [\ int _ {{t_ {o} + kT}} ^ {{t_ {o} + ( k + 1) T}} h (\ tau) \ cdot x_ {T} (t- \ tau) \ d \ tau \ right] \\ & {\ stackrel {\ tau \ to \ tau + kT} {=} } \ \ sum _ {{k = - \ infty}} ^ {\ infty} \ left [\ int _ {{t_ {o}}} ^ {{t_ {o} + T}} h (\ tau + kT ) \ cdot x_ {T} (t- \ tau -kT) \ d \ tau \ right] \\ & = \ int _ {{t_ {o}}} ^ {{t_ {o} + T}} \ left [\ sum _ {{k = - \ infty}} ^ {\ infty} h (\ tau + kT) \ cdot \ underbrace {x_ {T} (t- \ tau -kT)} _ {{X_ {T} (t- \ tau)}} \ right] \ d \ tau \\ & = \ int _ {{t_ {o}}} ^ {{t_ {o} + T}} \ underbrace {\ left [\ sum _ {{k = - \ infty}} ^ {\ infty} h (\ tau + kT) \ right]} _ {{{\ stackrel {{\ mathrm {def}}} {=}} \ h_ {T} ( \ tau)}} \ cdot x_ {T} (t- \ tau) \ d \ tau \ end {align}}$
^ Smith, Julius O. (Julius Orion) și Universitatea Stanford. Departamentul de muzică., Procesare semnal audio spectral , W3K, 2011, ISBN 978-0-9745607-3-1 ,OCLC 776892709 . Adus la 8 decembrie 2020 .

Bibliografie

( EN ) Walter Rudin , Analiză reală și complexă , Mladinska Knjiga, McGraw-Hill, 1970, ISBN 0-07-054234-1 .
( EN ) Jean Jacod, Philip Protter, Probability Essentials , Springer, 2000, ISBN 3-540-43871-8 .
( EN ) Walter Rudin , Fizica cu mâinile , Mladinska Knjiga, McGraw-Hill, 2013.

Elemente conexe

Alte proiecte

Wikimedia Commons conține imagini sau alte fișiere pe Convolution

linkuri externe

(EN) Eric W. Weisstein, Convolution , în MathWorld Wolfram Research.
Convolution , pe The Briefbook Analysis Data
http://www.jhu.edu/~signals/convolve/index.html Applet Java pentru convoluție.
http://www.jhu.edu/~signals/discreteconv2/index.html Applet Java pentru convoluția funcțiilor de timp discrete.
http://www3.deis.unibo.it/Staff/Research/CCaini/corsoCEA/convoluzione.xls O foaie de calcul pentru afișarea interactivă a produsului de convoluție între două semnale, în exemplu un impuls și un exponențial monolateral. Folosind un cursor, timpul poate fi variat de la -∞ la + ∞; în corespondența fiecărei valori se evidențiază funcția de integrare și rezultatul produsului de convoluție (prin intermediul unui marker)
http://lpsa.swarthmore.edu/Convolution/CI.html Vă permite să vizualizați interactiv rezultatul convoluției diferitelor perechi de funcții. Utilizatorul poate alege printr-un meniu derulant cele două funcții care urmează să fie implicate și să vizualizeze rezultatul instantaneu.

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică

[1] W. Rudin , pagina 170 .

[2] J. Jacod; P. Protter , Pagina 117 .

[3] De fapt:
$\int _{-\infty }^{\infty }h(\tau )\cdot x_{T}(t-\tau )\,d\tau$ ${\ displaystyle \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} h (\ tau) \ cdot x_ {T} (t- \ tau) \, d \ tau}$ $\ int _ {{- \ infty}} ^ {\ infty} h (\ tau) \ cdot x_ {T} (t- \ tau) \, d \ tau$
${\begin{aligned}&=\sum _{k=-\infty }^{\infty }\left[\int _{t_{o}+kT}^{t_{o}+(k+1)T}h(\tau )\cdot x_{T}(t-\tau )\ d\tau \right]\\&{\stackrel {\tau \to \tau +kT}{=}}\ \sum _{k=-\infty }^{\infty }\left[\int _{t_{o}}^{t_{o}+T}h(\tau +kT)\cdot x_{T}(t-\tau -kT)\ d\tau \right]\\&=\int _{t_{o}}^{t_{o}+T}\left[\sum _{k=-\infty }^{\infty }h(\tau +kT)\cdot \underbrace {x_{T}(t-\tau -kT)} _{X_{T}(t-\tau )}\right]\ d\tau \\&=\int _{t_{o}}^{t_{o}+T}\underbrace {\left[\sum _{k=-\infty }^{\infty }h(\tau +kT)\right]} _{{\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ h_{T}(\tau )}\cdot x_{T}(t-\tau )\ d\tau \end{aligned}}$ ${\ displaystyle {\ begin {align} & = \ sum _ {k = - \ infty} ^ {\ infty} \ left [\ int _ {t_ {o} + kT} ^ {t_ {o} + (k + 1) T} h (\ tau) \ cdot x_ {T} (t- \ tau) \ d \ tau \ right] \\ & {\ stackrel {\ tau \ to \ tau + kT} {=}} \ \ sum _ {k = - \ infty} ^ {\ infty} \ left [\ int _ {t_ {o}} ^ {t_ {o} + T} h (\ tau + kT) \ cdot x_ {T} (t - \ tau -kT) \ d \ tau \ right] \\ & = \ int _ {t_ {o}} ^ {t_ {o} + T} \ left [\ sum _ {k = - \ infty} ^ { \ infty} h (\ tau + kT) \ cdot \ underbrace {x_ {T} (t- \ tau -kT)} _ {X_ {T} (t- \ tau)} \ right] \ d \ tau \\ & = \ int _ {t_ {o}} ^ {t_ {o} + T} \ underbrace {\ left [\ sum _ {k = - \ infty} ^ {\ infty} h (\ tau + kT) \ right ]} _ {{\ stackrel {\ mathrm {def}} {=}} \ h_ {T} (\ tau)} \ cdot x_ {T} (t- \ tau) \ d \ tau \ end {align}} }$ ${\ begin {align} & = \ sum _ {{k = - \ infty}} ^ {\ infty} \ left [\ int _ {{t_ {o} + kT}} ^ {{t_ {o} + ( k + 1) T}} h (\ tau) \ cdot x_ {T} (t- \ tau) \ d \ tau \ right] \\ & {\ stackrel {\ tau \ to \ tau + kT} {=} } \ \ sum _ {{k = - \ infty}} ^ {\ infty} \ left [\ int _ {{t_ {o}}} ^ {{t_ {o} + T}} h (\ tau + kT ) \ cdot x_ {T} (t- \ tau -kT) \ d \ tau \ right] \\ & = \ int _ {{t_ {o}}} ^ {{t_ {o} + T}} \ left [\ sum _ {{k = - \ infty}} ^ {\ infty} h (\ tau + kT) \ cdot \ underbrace {x_ {T} (t- \ tau -kT)} _ {{X_ {T} (t- \ tau)}} \ right] \ d \ tau \\ & = \ int _ {{t_ {o}}} ^ {{t_ {o} + T}} \ underbrace {\ left [\ sum _ {{k = - \ infty}} ^ {\ infty} h (\ tau + kT) \ right]} _ {{{\ stackrel {{\ mathrm {def}}} {=}} \ h_ {T} ( \ tau)}} \ cdot x_ {T} (t- \ tau) \ d \ tau \ end {align}}$

[4] Smith, Julius O. (Julius Orion) și Universitatea Stanford. Departamentul de muzică., Procesare semnal audio spectral , W3K, 2011, ISBN 978-0-9745607-3-1 ,OCLC 776892709 . Adus la 8 decembrie 2020 .

[1]

[2]

[3]

[4]