Coordonatele baricentrice

În matematică , coordonatele barientrice sunt o formă de coordonate omogene definite de vârfurile unui simplex introdus în 1827 de August Ferdinand Möbius . Ele pot fi definite într-un spațiu euclidian , sau într-un vector mai general sau spațiu afin . Într-un spațiu afin sunt numite și coordonate afine .

Definiție

Într-un spațiu vectorial

Lasa-i sa fie $x_{0},\ldots ,x_{n}$ ${\ displaystyle x_ {0}, \ ldots, x_ {n}}$ ${\ displaystyle x_ {0}, \ ldots, x_ {n}}$ vârfurile unui simplex într-un spațiu vectorial de dimensiune $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ (de exemplu, cele trei vârfuri ale unui triunghi într-un spațiu bidimensional). Un punct $P.$ ${\ displaystyle P}$ $P.$ al simplexului are coordonate baricentrice

(\lambda _{0},\ldots ,\lambda _{n})

{\ displaystyle (\ lambda _ {0}, \ ldots, \ lambda _ {n})}

{\ displaystyle (\ lambda _ {0}, \ ldots, \ lambda _ {n})}

dacă relația merită

P={\frac {1}{\lambda _{0}+\cdots +\lambda _{n}}}(\lambda _{0}\,x_{0}+\cdots +\lambda _{n}\,x_{n}).

{\ displaystyle P = {\ frac {1} {\ lambda _ {0} + \ cdots + \ lambda _ {n}}} (\ lambda _ {0} \, x_ {0} + \ cdots + \ lambda _ {n} \, x_ {n}).}

{\ displaystyle P = {\ frac {1} {\ lambda _ {0} + \ cdots + \ lambda _ {n}}} (\ lambda _ {0} \, x_ {0} + \ cdots + \ lambda _ {n} \, x_ {n}).}

Pentru ca această relație să aibă sens, este, prin urmare, necesar ca suma de $\lambda _{i}$ ${\ displaystyle \ lambda _ {i}}$ $\ lambda _ {i}$ este diferit de zero. Coordonatele baricentrice nu sunt unice: dacă $\lambda _{0},\ldots ,\lambda _{n}$ ${\ displaystyle \ lambda _ {0}, \ ldots, \ lambda _ {n}}$ ${\ displaystyle \ lambda _ {0}, \ ldots, \ lambda _ {n}}$ sunt coordonatele barententrice ale unui punct $P.$ ${\ displaystyle P}$ $P.$ , de asemenea $b\lambda _{0},\ldots ,b\lambda _{n}$ ${\ displaystyle b \ lambda _ {0}, \ ldots, b \ lambda _ {n}}$ ${\ displaystyle b \ lambda _ {0}, \ ldots, b \ lambda _ {n}}$ vor fi pentru fiecare $b$ ${\ displaystyle b}$ $b$ non-zero. Coordonatele devin unice dacă relația este impusă

\lambda _{0}+\ldots +\lambda _{n}=1.

{\ displaystyle \ lambda _ {0} + \ ldots + \ lambda _ {n} = 1.}

{\ displaystyle \ lambda _ {0} + \ ldots + \ lambda _ {n} = 1.}

Dotarea summitului $x_{i}$ ${\ displaystyle x_ {i}}$ $x_i$ a unei mase pozitive $\lambda _{i}$ ${\ displaystyle \ lambda _ {i}}$ $\ lambda _ {i}$ , ideea $P.$ ${\ displaystyle P}$ $P.$ de fapt se dovedește a fi centrul de greutate al vârfurilor ponderate, de unde și numele.

Într-un spațiu similar

Lasa-i sa fie $x_{0},\ldots ,x_{n}$ ${\ displaystyle x_ {0}, \ ldots, x_ {n}}$ ${\ displaystyle x_ {0}, \ ldots, x_ {n}}$ vârfurile unui simplex într-un spațiu dimensional afin $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ . Lasa-i sa fie $\lambda _{0},\ldots ,\lambda _{n}$ ${\ displaystyle \ lambda _ {0}, \ ldots, \ lambda _ {n}}$ ${\ displaystyle \ lambda _ {0}, \ ldots, \ lambda _ {n}}$ astfel încât

\lambda _{0}+\ldots +\lambda _{n}=1.

{\ displaystyle \ lambda _ {0} + \ ldots + \ lambda _ {n} = 1.}

{\ displaystyle \ lambda _ {0} + \ ldots + \ lambda _ {n} = 1.}

Ideea $P.$ ${\ displaystyle P}$ $P.$ a coordonatelor baricentrice (sau afine )

(\lambda _{0},\ldots ,\lambda _{n})

{\ displaystyle (\ lambda _ {0}, \ ldots, \ lambda _ {n})}

{\ displaystyle (\ lambda _ {0}, \ ldots, \ lambda _ {n})}

este punctul

P=O+\lambda _{0}{\overrightarrow {OP_{0}}}+\ldots +\lambda _{n}{\overrightarrow {OP_{n}}}

{\ displaystyle P = O + \ lambda _ {0} {\ overrightarrow {OP_ {0}}} + \ ldots + \ lambda _ {n} {\ overrightarrow {OP_ {n}}}}

{\ displaystyle P = O + \ lambda _ {0} {\ overrightarrow {OP_ {0}}} + \ ldots + \ lambda _ {n} {\ overrightarrow {OP_ {n}}}}

unde este $SAU$ ${\ displaystyle O}$ $SAU$ este orice punct din plan (rezultatul nu depinde de această alegere).

Proprietate

Vârfurile simplexului au coordonate

(1,0,\ldots ,0),(0,1,0,\ldots ,0),\ldots ,(0,\ldots ,0,1).

{\ displaystyle (1,0, \ ldots, 0), (0,1,0, \ ldots, 0), \ ldots, (0, \ ldots, 0,1).}

{\ displaystyle (1,0, \ ldots, 0), (0,1,0, \ ldots, 0), \ ldots, (0, \ ldots, 0,1).}

Puncte care au coordonate non-negative $\lambda _{i}\geq 0$ ${\ displaystyle \ lambda _ {i} \ geq 0}$ ${\ displaystyle \ lambda _ {i} \ geq 0}$ acestea sunt exact punctele simplexului, care este învelișul convex al vârfurilor sale. Puncte având coordonate strict pozitive $\lambda _{i}>0$ ${\ displaystyle \ lambda _ {i}> 0}$ ${\ displaystyle \ lambda _ {i}> 0}$ sunt punctele interne ale simplexului.

Fețele simplex sunt obținute prin plasarea unor coordonate egale cu zero. De exemplu, cele trei laturi ale triunghiului sunt conținute în trei linii, descrise în coordonate barentrice prin ecuații

r_{0}=\{x_{0}=0\},\quad r_{1}=\{x_{1}=0\},r_{2}=\{x_{2}=0\}.

{\ displaystyle r_ {0} = \ {x_ {0} = 0 \}, \ quad r_ {1} = \ {x_ {1} = 0 \}, r_ {2} = \ {x_ {2} = 0 \}.}

{\ displaystyle r_ {0} = \ {x_ {0} = 0 \}, \ quad r_ {1} = \ {x_ {1} = 0 \}, r_ {2} = \ {x_ {2} = 0 \}.}

Coordonatele baricentrice în 2 dimensiuni

Coordonatele baricentrice ale unor puncte ale unui triunghi

Cel mai simplu caz de aplicare a coordonatelor barentric este în 2 dimensiuni în care simplexul este un triunghi. Dacă numim vârfurile acestui triunghi x ₁ , x ₂ și x _3, atunci fiecare punct r poate fi scris ca o funcție a coordonatelor barcentrice λ ₁ , λ ₂ și λ ₃ ca

{\textbf {r}}=\lambda _{1}{\textbf {x}}_{1}+\lambda _{2}{\textbf {x}}_{2}+\lambda _{3}{\textbf {x}}_{3}

{\ displaystyle {\ textbf {r}} = \ lambda _ {1} {\ textbf {x}} _ {1} + \ lambda _ {2} {\ textbf {x}} _ {2} + \ lambda _ {3} {\ textbf {x}} _ {3}}

{\ displaystyle {\ textbf {r}} = \ lambda _ {1} {\ textbf {x}} _ {1} + \ lambda _ {2} {\ textbf {x}} _ {2} + \ lambda _ {3} {\ textbf {x}} _ {3}}

.

Pentru a elimina incertitudinea coordonatelor barentric, putem introduce condiția de normalizare

\lambda _{1}+\lambda _{2}+\lambda _{3}=1

{\ displaystyle \ lambda _ {1} + \ lambda _ {2} + \ lambda _ {3} = 1}

{\ displaystyle \ lambda _ {1} + \ lambda _ {2} + \ lambda _ {3} = 1}

adică

\lambda _{3}=1-\lambda _{1}-\lambda _{2}

{\ displaystyle \ lambda _ {3} = 1- \ lambda _ {1} - \ lambda _ {2}}

{\ displaystyle \ lambda _ {3} = 1- \ lambda _ {1} - \ lambda _ {2}}

.

În acest moment putem inversa problema, adică pentru a obține valoarea coordonatelor barententrice cunoscând poziția punctului în coordonatele carteziene . De fapt, putem dezvolta poziția în coordonatele carteziene ale punctului ${\textbf {r}}=(x,y,z)$ ${\ displaystyle {\ textbf {r}} = (x, y, z)}$ ${\ displaystyle {\ textbf {r}} = (x, y, z)}$ în funcție de coordonatele vârfurilor triunghiului

{\begin{matrix}x=\lambda _{1}x_{1}+\lambda _{2}x_{2}+\lambda _{3}x_{3}\\y=\lambda _{1}y_{1}+\lambda _{2}y_{2}+\lambda _{3}y_{3}\\z=\lambda _{1}z_{1}+\lambda _{2}z_{2}+\lambda _{3}z_{3}\end{matrix}}

{\ displaystyle {\ begin {matrix} x = \ lambda _ {1} x_ {1} + \ lambda _ {2} x_ {2} + \ lambda _ {3} x_ {3} \\ y = \ lambda _ {1} y_ {1} + \ lambda _ {2} y_ {2} + \ lambda _ {3} y_ {3} \\ z = \ lambda _ {1} z_ {1} + \ lambda _ {2} z_ {2} + \ lambda _ {3} z_ {3} \ end {matrix}}}

{\ displaystyle {\ begin {matrix} x = \ lambda _ {1} x_ {1} + \ lambda _ {2} x_ {2} + \ lambda _ {3} x_ {3} \\ y = \ lambda _ {1} y_ {1} + \ lambda _ {2} y_ {2} + \ lambda _ {3} y_ {3} \\ z = \ lambda _ {1} z_ {1} + \ lambda _ {2} z_ {2} + \ lambda _ {3} z_ {3} \ end {matrix}}}

.

Efectuând înlocuirea

\lambda _{3}=1-\lambda _{1}-\lambda _{2}

{\ displaystyle \ lambda _ {3} = 1- \ lambda _ {1} - \ lambda _ {2}}

{\ displaystyle \ lambda _ {3} = 1- \ lambda _ {1} - \ lambda _ {2}}

avem deci

{\begin{matrix}x=\lambda _{1}x_{1}+\lambda _{2}x_{2}+(1-\lambda _{1}-\lambda _{2})x_{3}\\y=\lambda _{1}y_{1}+\lambda _{2}y_{2}+(1-\lambda _{1}-\lambda _{2})y_{3}\\z=\lambda _{1}z_{1}+\lambda _{2}z_{2}+(1-\lambda _{1}-\lambda _{2})z_{3}\end{matrix}}

{\ displaystyle {\ begin {matrix} x = \ lambda _ {1} x_ {1} + \ lambda _ {2} x_ {2} + (1- \ lambda _ {1} - \ lambda _ {2}) x_ {3} \\ y = \ lambda _ {1} y_ {1} + \ lambda _ {2} y_ {2} + (1- \ lambda _ {1} - \ lambda _ {2}) y_ {3 } \\ z = \ lambda _ {1} z_ {1} + \ lambda _ {2} z_ {2} + (1- \ lambda _ {1} - \ lambda _ {2}) z_ {3} \ end {matrice}}}

{\ displaystyle {\ begin {matrix} x = \ lambda _ {1} x_ {1} + \ lambda _ {2} x_ {2} + (1- \ lambda _ {1} - \ lambda _ {2}) x_ {3} \\ y = \ lambda _ {1} y_ {1} + \ lambda _ {2} y_ {2} + (1- \ lambda _ {1} - \ lambda _ {2}) y_ {3 } \\ z = \ lambda _ {1} z_ {1} + \ lambda _ {2} z_ {2} + (1- \ lambda _ {1} - \ lambda _ {2}) z_ {3} \ end {matrice}}}

prin urmare

{\begin{matrix}\lambda _{1}(x_{1}-x_{3})+\lambda _{2}(x_{2}-x_{3})+x_{3}-x=0\\\lambda _{1}(y_{1}-y_{3})+\lambda _{2}(y_{2}-y_{3})+y_{3}-y=0\\\lambda _{1}(z_{1}-z_{3})+\lambda _{2}(z_{2}-z_{3})+z_{3}-z=0\end{matrix}}

{\ displaystyle {\ begin {matrix} \ lambda _ {1} (x_ {1} -x_ {3}) + \ lambda _ {2} (x_ {2} -x_ {3}) + x_ {3} - x = 0 \\\ lambda _ {1} (y_ {1} -y_ {3}) + \ lambda _ {2} (y_ {2} -y_ {3}) + y_ {3} -y = 0 \ \\ lambda _ {1} (z_ {1} -z_ {3}) + \ lambda _ {2} (z_ {2} -z_ {3}) + z_ {3} -z = 0 \ end {matrix} }}

{\ displaystyle {\ begin {matrix} \ lambda _ {1} (x_ {1} -x_ {3}) + \ lambda _ {2} (x_ {2} -x_ {3}) + x_ {3} - x = 0 \\\ lambda _ {1} (y_ {1} -y_ {3}) + \ lambda _ {2} (y_ {2} -y_ {3}) + y_ {3} -y = 0 \ \\ lambda _ {1} (z_ {1} -z_ {3}) + \ lambda _ {2} (z_ {2} -z_ {3}) + z_ {3} -z = 0 \ end {matrix} }}

.

Rezolvând acest sistem liniar obținem

\lambda _{1}={\frac {B(F+I)-C(E+H)}{A(E+H)-B(D+G)}}

{\ displaystyle \ lambda _ {1} = {\ frac {B (F + I) -C (E + H)} {A (E + H) -B (D + G)}}}

{\ displaystyle \ lambda _ {1} = {\ frac {B (F + I) -C (E + H)} {A (E + H) -B (D + G)}}}

Și

\lambda _{2}={\frac {A(F+I)-C(D+G)}{B(D+G)-A(E+H)}}

{\ displaystyle \ lambda _ {2} = {\ frac {A (F + I) -C (D + G)} {B (D + G) -A (E + H)}}}

{\ displaystyle \ lambda _ {2} = {\ frac {A (F + I) -C (D + G)} {B (D + G) -A (E + H)}}}

unde este

{\begin{matrix}A=x_{1}-x_{3}\\B=x_{2}-x_{3}\\C=x_{3}-x\\D=y_{1}-y_{3}\\E=y_{2}-y_{3}\\F=y_{3}-y\\G=z_{1}-z_{3}\\H=z_{2}-z_{3}\\I=z_{3}-z\\\end{matrix}}

{\ displaystyle {\ begin {matrix} A = x_ {1} -x_ {3} \\ B = x_ {2} -x_ {3} \\ C = x_ {3} -x \\ D = y_ {1 } -y_ {3} \\ E = y_ {2} -y_ {3} \\ F = y_ {3} -y \\ G = z_ {1} -z_ {3} \\ H = z_ {2} -z_ {3} \\ I = z_ {3} -z \\\ end {matrix}}}

{\ displaystyle {\ begin {matrix} A = x_ {1} -x_ {3} \\ B = x_ {2} -x_ {3} \\ C = x_ {3} -x \\ D = y_ {1 } -y_ {3} \\ E = y_ {2} -y_ {3} \\ F = y_ {3} -y \\ G = z_ {1} -z_ {3} \\ H = z_ {2} -z_ {3} \\ I = z_ {3} -z \\\ end {matrix}}}

care completează inversarea problemei.

Coordonatele baricentrice în grafica digitală

Coordonatele barentrică găsesc o aplicație largă în domeniul graficii digitale . De exemplu, o metodă utilizată pentru a amesteca culorile pe un poligon ( umbrire ) pentru a-și ascunde forma „plană” este cea a umbririi Gouraud unde intensitatea luminii este calculată la vârfurile unui triunghi și apoi efectuează o interpolare liniară folosind baricentrica coordonatele pe întreaga suprafață.

O altă aplicație este de a generaliza coordonatele barcentrice nu numai la simplexuri, ci și la poligoane generice și de a defini coordonatele fiecărui punct al unui model 3D utilizând coordonatele barentrice referite la vârfurile poligonului. În acest caz, poligonul formează un fel de „cușcă” în jurul modelului și, prin deformarea poligonului, se obțin deformări moi ale modelului în interiorul acestuia.

Elemente conexe

( EN ) Eric W. Weisstein, coordonate barycentrice , în MathWorld , Wolfram Research.

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică