Sistem de coordonate

Un sistem de coordonate este definit ca un sistem de referință bazat pe coordonate , care identifică poziția unui obiect într-un anumit spațiu . În funcție de numărul de coordonate utilizate, putem vorbi de:

sistem de referință unidimensional sau unidimensional ;
sisteme de referință bidimensionale ;
sisteme de referință tridimensionale .

Sistem unidimensional

Sistemul de referință unidimensional conceput de Descartes constă dintr-o linie dreaptă pe care un obiect, de obicei un punct , trebuie să se miște. O origine este fixată pe această linie, ceea ce este obișnuit să se indice cu $SAU$ ${\ displaystyle O}$ $SAU$ , o direcție de deplasare și o unitate de măsură a lungimilor.

Este posibil să se identifice un punct pe linie pe baza unui număr real , care identifică distanța de la origine în unitatea de măsură aleasă, pozitivă dacă este de acord cu direcția de mers aleasă și negativă în caz contrar, a punctului. Acest număr se numește coordonată, iar litera este utilizată pentru a indica această coordonată generic $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ . Linia dreaptă pe care este fixată originea, direcția de deplasare și unitatea de măsură se numește abscisă.

Când un punct, în loc să fie pe o linie dreaptă, este constrâns să se deplaseze pe o curbă, este de asemenea posibil să alegeți o origine, o direcție de deplasare și o unitate de măsură pe aceasta din urmă, dar în acest caz vom vorbi despre o abscisă curbiliniară . Distanța semnată a punctului de la origine este coordonata curbilinie a punctului.

Sisteme bidimensionale

Sistem afinar

Același subiect în detaliu: sistemul cartezian de referință .

Unul dintre sistemele de referință bidimensionale este constituit dintr-o pereche de linii incidente. Aceste linii sunt în general indicate cu $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ Și $Da$ ${\ displaystyle Y}$ $Da$ , iar punctul lor de intersecție este originea ambelor linii. O direcție de deplasare și o unitate de măsură sunt fixate pe fiecare linie, care este, în general, aceeași pentru ambele linii, dar pentru nevoi particulare poate fi diferită pentru fiecare linie. Poziția unui punct constrâns să se deplaseze pe un plan poate fi identificată printr-o pereche de valori reale, generic indicate de litere $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ Și $y$ ${\ displaystyle y}$ $y$ . Este indicat cu $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ numărul real care identifică distanța față de axă $Da$ ${\ displaystyle Y}$ $Da$ punct, măsurat paralel cu axa $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ în unitatea de măsură aleasă pentru aceasta din urmă; cu $y$ ${\ displaystyle y}$ $y$ numărul real care identifică distanța față de axă $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ punct, măsurat paralel cu axa $Da$ ${\ displaystyle Y}$ $Da$ în unitatea de măsură aleasă pentru aceasta din urmă. Perechea de coordonate care identifică punctul este indicată prin scriere $(x,y)$ ${\ displaystyle (x, y)}$ $(X y)$ sau $\langle x,y\rangle$ ${\ displaystyle \ langle x, y \ rangle}$ $\ langle x, y \ rangle$ .

Când asii $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ Și $Da$ ${\ displaystyle Y}$ $Da$ sunt ortogonali între ei acest sistem de referință se numește ortogonal. Dacă axele sunt ortogonale între ele și unitatea de măsură a ambelor este aceeași, acest sistem de referință se numește ortonormal sau cartezian, în onoarea matematicianului francez Descartes care a preluat-o din nou în epoca modernă, după ce fusese deja introdus, în Evul Mediu. , de Nicola d'Oresme . În acest caz axa $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ , orizontală, se numește axa absciselor și axa $Da$ ${\ displaystyle Y}$ $Da$ , verticală, se numește axa ordonată. În lucrările lui Oresme, acestea erau, respectiv, longitudo și latitudo .

Sistemul polar

Același subiect în detaliu: sistemul de coordonate polare .

Un sistem de referință polar constă din două coordonate indicate prin litere $\rho$ ${\ displaystyle \ rho}$ $\ rho$ Și $\phi$ ${\ displaystyle \ phi}$ $\ phi$ . Cu $\rho$ ${\ displaystyle \ rho}$ $\ rho$ este indicată distanța punctului considerat de la originea sistemului; în practică dacă luăm în considerare vectorul ${\vec {\rho }}$ ${\ displaystyle {\ vec {\ rho}}}$ ${\ vec \ rho}$ care conectează originea axelor cu punctul nostru, $\rho$ ${\ displaystyle \ rho}$ $\ rho$ indică forma . Cu $\phi$ ${\ displaystyle \ phi}$ $\ phi$ , în schimb, se referă la unghiul sau anomalia care se formează între vector ${\vec {\rho }}$ ${\ displaystyle {\ vec {\ rho}}}$ ${\ vec \ rho}$ luate în considerare anterior și direcția pozitivă a axei $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ a unui sistem ortogonal normal. Asa de, $\rho$ ${\ displaystyle \ rho}$ $\ rho$ este raza și $\phi$ ${\ displaystyle \ phi}$ $\ phi$ un unghi orientat.

Pentru a comuta de la coordonatele polare la cele carteziene, se folosesc următoarele formule:

x=\rho \cos \phi

{\ displaystyle x = \ rho \ cos \ phi}

x = \ rho \ cos \ phi

y=\rho \sin \phi

{\ displaystyle y = \ rho \ sin \ phi}

y = \ rho \ sin \ phi

și să treacă de la cartezian la polar

\rho ={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}={\sqrt {\rho ^{2}[\sin ^{2}(\phi )+\cos ^{2}(\phi )]}}

{\ displaystyle \ rho = {\ sqrt {x ^ {2} + y ^ {2}}} = {\ sqrt {\ rho ^ {2} [\ sin ^ {2} (\ phi) + \ cos ^ { 2} (\ phi)]}}}

{\ displaystyle \ rho = {\ sqrt {x ^ {2} + y ^ {2}}} = {\ sqrt {\ rho ^ {2} [\ sin ^ {2} (\ phi) + \ cos ^ { 2} (\ phi)]}}}

\phi \ =\arctan \left({\frac {y}{x}}\right)=\arccos \left({\frac {x}{\rho \ }}\right)=\arcsin \left({\frac {y}{\rho \ }}\right)

{\ displaystyle \ phi \ = \ arctan \ left ({\ frac {y} {x}} \ right) = \ arccos \ left ({\ frac {x} {\ rho \}} \ right) = \ arcsin \ stânga ({\ frac {y} {\ rho \}} \ dreapta)}

\ phi \ = \ arctan \ left ({\ frac {y} {x}} \ right) = \ arccos \ left ({\ frac {x} {\ rho \}} \ right) = \ arcsin \ left ({ \ frac {y} {\ rho \}} \ right)

Coordonata poate fi găsită în multe cazuri $\rho$ ${\ displaystyle \ rho}$ $\ rho$ notat cu litera $r$ ${\ displaystyle r}$ $r$ . Acest pasaj de coordonate este foarte util în unele aplicații ale matematicii, cum ar fi rezolvarea integralelor multiple pe domenii constând din coroane circulare .

Sisteme tridimensionale

Sistem dreptunghiular (sau cartezian)

Sistemul de referință tridimensional este format din trei linii non-paralele, indicate în general cu $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ , $Da$ ${\ displaystyle Y}$ $Da$ Și $Z$ ${\ displaystyle Z}$ $Z$ , trecând printr-un punct care este originea sistemului de referință. Pentru fiecare dintre aceste drepte, se alege o unitate de măsură și o direcție de deplasare. Coordonatele generice ale unui punct din spațiu sunt indicate cu litere $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ , $y$ ${\ displaystyle y}$ $y$ Și $z$ ${\ displaystyle z}$ $z$ . Este indicat cu $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ numărul real care identifică distanța unui punct față de planul identificat de drepte $Da$ ${\ displaystyle Y}$ $Da$ Și $Z$ ${\ displaystyle Z}$ $Z$ măsurată paralel cu axa $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ în unitatea de măsură aleasă pentru această ultimă axă. Ele sunt definite în mod similar $y$ ${\ displaystyle y}$ $y$ Și $z$ ${\ displaystyle z}$ $z$ . Cele trei coordonate care identifică un punct din spațiu sunt indicate cu simboluri $(x,y,z)$ ${\ displaystyle (x, y, z)}$ $(x, y, z)$ . Când cele trei axe sunt ortogonale între ele, sistemul de referință se numește ortogonal sau dreptunghiular .

Fiecare dintre cele trei linii este o axă carteziană și împreună formează triplul cartezian .

Sistem cilindric

Sistemul cilindric este expansiunea naturală a sistemului polar în trei dimensiuni. În acest caz, coordonatele sunt $\rho$ ${\ displaystyle \ rho}$ $\ rho$ , $\phi$ ${\ displaystyle \ phi}$ $\ phi$ Și $z$ ${\ displaystyle z}$ $z$ . Având în vedere un punct generic $P.$ ${\ displaystyle P}$ $P.$ , și proiecția sa $Î$ ${\ displaystyle Q}$ $Î$ în avion $X y$ ${\ displaystyle xy}$ $X y$ , coordonata $z$ ${\ displaystyle z}$ $z$ indică distanța $P. Î$ ${\ displaystyle PQ}$ $PQ$ . Cu $\rho$ ${\ displaystyle \ rho}$ $\ rho$ se notează distanța de la originea punctului $Î$ ${\ displaystyle Q}$ $Î$ , in timp ce $\phi$ ${\ displaystyle \ phi}$ $\ phi$ identificați unghiul care se formează între vector ${\vec {\rho }}$ ${\ displaystyle {\ vec {\ rho}}}$ ${\ vec \ rho}$ și axa $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ .

Pentru a comuta de la sistemul cilindric la cel dreptunghiular:

{\begin{aligned}x&=\rho \,\cos \phi \\y&=\rho \ \sin \phi \\z&=z\end{aligned}}

{\ displaystyle {\ begin {align} x & = \ rho \, \ cos \ phi \\ y & = \ rho \ \ sin \ phi \\ z & = z \ end {align}}}

{\ begin {align} x & = \ rho \, \ cos \ phi \\ y & = \ rho \ \ sin \ phi \\ z & = z \ end {align}}

și pentru a trece la coordonatele cilindrice:

{\begin{aligned}\rho &={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}\\\phi &=\arctan \left({\frac {y}{x}}\right)=\arcsin \left({\frac {y}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}\right)=\arccos \left({\frac {x}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}\right)\\z&=z\end{aligned}}

{\ displaystyle {\ begin {align} \ rho & = {\ sqrt {x ^ {2} + y ^ {2}}} \\\ phi & = \ arctan \ left ({\ frac {y} {x} } \ right) = \ arcsin \ left ({\ frac {y} {\ sqrt {x ^ {2} + y ^ {2}}}} \ right) = \ arccos \ left ({\ frac {x} { \ sqrt {x ^ {2} + y ^ {2}}}} \ right) \\ z & = z \ end {align}}}

{\ displaystyle {\ begin {align} \ rho & = {\ sqrt {x ^ {2} + y ^ {2}}} \\\ phi & = \ arctan \ left ({\ frac {y} {x} } \ right) = \ arcsin \ left ({\ frac {y} {\ sqrt {x ^ {2} + y ^ {2}}}} \ right) = \ arccos \ left ({\ frac {x} { \ sqrt {x ^ {2} + y ^ {2}}}} \ right) \\ z & = z \ end {align}}}

Foarte des coordonata $\rho$ ${\ displaystyle \ rho}$ $\ rho$ este indicat cu $R.$ ${\ displaystyle R}$ $R.$ .

Sistem sferic

Un alt sistem care poate fi folosit pentru a se orienta în spațiu este sistemul sferic. Se compune din trei coordonate: $\rho$ ${\ displaystyle \ rho}$ $\ rho$ , $\theta$ ${\ displaystyle \ theta}$ $\ theta$ Și $\phi$ ${\ displaystyle \ phi}$ $\ phi$ . Se consideră întotdeauna un punct generic $P.$ ${\ displaystyle P}$ $P.$ și proiecția sa pe plan $X Da$ ${\ displaystyle XY}$ $X Y$ apel $Î$ ${\ displaystyle Q}$ $Î$ . Cu $\rho$ ${\ displaystyle \ rho}$ $\ rho$ de data aceasta indicăm distanța de $P.$ ${\ displaystyle P}$ $P.$ de la origine și $\theta$ ${\ displaystyle \ theta}$ $\ theta$ este unghiul care ${\vec {\rho }}$ ${\ displaystyle {\ vec {\ rho}}}$ ${\ vec \ rho}$ forma cu semi-axa pozitivă a $Z$ ${\ displaystyle Z}$ $Z$ , numit unghiul de înclinare. În schimb, prin indicarea cu ${\vec {\rho }}\ '$ ${\ displaystyle {\ vec {\ rho}} \ '}$ ${\ vec \ rho} \ '$ vectorul care leagă originea de punct $Î$ ${\ displaystyle Q}$ $Î$ , avem asta $\phi$ ${\ displaystyle \ phi}$ $\ phi$ identifică unghiul pe care acest vector îl formează cu axa $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ , numit azimut .

Pentru a trece de la un sistem sferic la unul dreptunghiular, se folosesc următoarele egalități:

x=\rho \ \sin \theta \ \cos \phi

{\ displaystyle x = \ rho \ \ sin \ theta \ \ cos \ phi}

x = \ rho \ \ sin \ theta \ \ cos \ phi

y=\rho \ \sin \theta \ \sin \phi

{\ displaystyle y = \ rho \ \ sin \ theta \ \ sin \ phi}

y = \ rho \ \ sin \ theta \ \ sin \ phi

z=\rho \ \cos \theta

{\ displaystyle z = \ rho \ \ cos \ theta}

z = \ rho \ \ cos \ theta

Pentru a comuta între coordonatele carteziene și cele sferice:

\rho ={\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}

{\ displaystyle \ rho = {\ sqrt {x ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2}}}}

\ rho = {\ sqrt {x ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2}}}

\phi \ =\arctan \left({\frac {y}{x}}\right)=\arcsin \left({\frac {y}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}\right)

{\ displaystyle \ phi \ = \ arctan \ left ({\ frac {y} {x}} \ right) = \ arcsin \ left ({\ frac {y} {\ sqrt {x ^ {2} + y ^ { 2}}}} \ right)}

\ phi \ = \ arctan \ left ({\ frac {y} {x}} \ right) = \ arcsin \ left ({\ frac {y} {{\ sqrt {x ^ {2} + y ^ {2} }}}} \ dreapta)

\theta \ =\arccos \left({\frac {z}{\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}}\right)=\operatorname {arccot} \left({\frac {z}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}\right)

{\ displaystyle \ theta \ = \ arccos \ left ({\ frac {z} {\ sqrt {x ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2}}}} \ right) = \ operatorname {arccot } \ left ({\ frac {z} {\ sqrt {x ^ {2} + y ^ {2}}}} \ right)}

\ theta \ = \ arccos \ left ({\ frac {z} {{\ sqrt {x ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2}}}}} \ right) = \ operatorname {arccot} \ left ({\ frac {z} {{\ sqrt {x ^ {2} + y ^ {2}}}}} \ right)

Chiar și cu acest sistem, litera este adesea folosită $r$ ${\ displaystyle r}$ $r$ în loc de scrisoare $\rho$ ${\ displaystyle \ rho}$ $\ rho$ .

Baza coordonată

Pornind de la sistemul de coordonate sferice , o nouă bază vectorială poate fi definită în orice punct al spațiului prin intermediul vectorilor tangenți la liniile de coordonate. Este

{\tilde {X}}(r,\theta ,\phi )=(r\sin(\theta )\cos(\phi ),r\sin(\theta )\sin(\phi ),r\cos(\theta ))=(x,y,z),

{\ displaystyle {\ tilde {X}} (r, \ theta, \ phi) = (r \ sin (\ theta) \ cos (\ phi), r \ sin (\ theta) \ sin (\ phi), r \ cos (\ theta)) = (x, y, z),}

{\ displaystyle {\ tilde {X}} (r, \ theta, \ phi) = (r \ sin (\ theta) \ cos (\ phi), r \ sin (\ theta) \ sin (\ phi), r \ cos (\ theta)) = (x, y, z),}

atunci baza naturală a spațiului tangent (izomorf a $\mathbb {R} ^{3}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {3}}$ $\ R ^ 3$ ) este dat de cei trei vectori:

{\frac {\partial {\tilde {X}}}{\partial {r}}}={\begin{pmatrix}\sin \theta \cos \phi \\\sin \theta \sin \phi \\\cos \theta \end{pmatrix}}={\widehat {r}};\qquad {\frac {\partial {\tilde {X}}}{\partial {\theta }}}={\begin{pmatrix}r\cos \theta \cos \phi \\r\cos \theta \sin \phi \\-r\sin \theta \end{pmatrix}}=r\,{\widehat {\theta }};\qquad {\frac {\partial {\tilde {X}}}{\partial {\phi }}}={\begin{pmatrix}-r\sin \theta \sin \phi \\r\sin \theta \cos \phi \\0\end{pmatrix}}=r\sin \theta \,{\widehat {\phi }}.

{\ displaystyle {\ frac {\ partial {\ tilde {X}}} {\ partial {r}}} = {\ begin {pmatrix} \ sin \ theta \ cos \ phi \\\ sin \ theta \ sin \ phi \\\ cos \ theta \ end {pmatrix}} = {\ widehat {r}}; \ qquad {\ frac {\ partial {\ tilde {X}}} {\ partial {\ theta}}} = {\ begin {pmatrix} r \ cos \ theta \ cos \ phi \\ r \ cos \ theta \ sin \ phi \\ - r \ sin \ theta \ end {pmatrix}} = r \, {\ widehat {\ theta}}; \ qquad {\ frac {\ partial {\ tilde {X}}} {\ partial {\ phi}}} = {\ begin {pmatrix} -r \ sin \ theta \ sin \ phi \\ r \ sin \ theta \ cos \ phi \\ 0 \ end {pmatrix}} = r \ sin \ theta \, {\ widehat {\ phi}}.}

{\ displaystyle {\ frac {\ partial {\ tilde {X}}} {\ partial {r}}} = {\ begin {pmatrix} \ sin \ theta \ cos \ phi \\\ sin \ theta \ sin \ phi \\\ cos \ theta \ end {pmatrix}} = {\ widehat {r}}; \ qquad {\ frac {\ partial {\ tilde {X}}} {\ partial {\ theta}}} = {\ begin {pmatrix} r \ cos \ theta \ cos \ phi \\ r \ cos \ theta \ sin \ phi \\ - r \ sin \ theta \ end {pmatrix}} = r \, {\ widehat {\ theta}}; \ qquad {\ frac {\ partial {\ tilde {X}}} {\ partial {\ phi}}} = {\ begin {pmatrix} -r \ sin \ theta \ sin \ phi \\ r \ sin \ theta \ cos \ phi \\ 0 \ end {pmatrix}} = r \ sin \ theta \, {\ widehat {\ phi}}.}

De asemenea, definitorii

R_{i,j}={\begin{pmatrix}{\widehat {x}}\cdot {\widehat {r}}&{\widehat {x}}\cdot {\widehat {\theta }}&{\widehat {x}}\cdot {\widehat {\phi }}\\{\widehat {y}}\cdot {\widehat {r}}&{\widehat {y}}\cdot {\widehat {\theta }}&{\widehat {y}}\cdot {\widehat {\phi }}\\{\widehat {z}}\cdot {\widehat {r}}&{\widehat {z}}\cdot {\widehat {\theta }}&{\widehat {z}}\cdot {\widehat {\phi }}\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\sin \theta \cos \phi &\cos \theta \cos \phi &-\sin \phi \\\sin \theta \sin \phi &\cos \theta \sin \phi &\cos \phi \\\cos \theta &-\sin \theta &0\\\end{pmatrix}}

{\ displaystyle R_ {i, j} = {\ begin {pmatrix} {\ widehat {x}} \ cdot {\ widehat {r}} și {\ widehat {x}} \ cdot {\ widehat {\ theta}} & {\ widehat {x}} \ cdot {\ widehat {\ phi}} \\ {\ widehat {y}} \ cdot {\ widehat {r}} și {\ widehat {y}} \ cdot {\ widehat { \ theta}} și {\ widehat {y}} \ cdot {\ widehat {\ phi}} \\ {\ widehat {z}} \ cdot {\ widehat {r}} și {\ widehat {z}} \ cdot {\ widehat {\ theta}} și {\ widehat {z}} \ cdot {\ widehat {\ phi}} \\\ end {pmatrix}} = {\ begin {pmatrix} \ sin \ theta \ cos \ phi & \ cos \ theta \ cos \ phi & - \ sin \ phi \\\ sin \ theta \ sin \ phi & \ cos \ theta \ sin \ phi & \ cos \ phi \\\ cos \ theta & - \ sin \ theta & 0 \\\ end {pmatrix}}}

{\ displaystyle R_ {i, j} = {\ begin {pmatrix} {\ widehat {x}} \ cdot {\ widehat {r}} și {\ widehat {x}} \ cdot {\ widehat {\ theta}} & {\ widehat {x}} \ cdot {\ widehat {\ phi}} \\ {\ widehat {y}} \ cdot {\ widehat {r}} și {\ widehat {y}} \ cdot {\ widehat { \ theta}} și {\ widehat {y}} \ cdot {\ widehat {\ phi}} \\ {\ widehat {z}} \ cdot {\ widehat {r}} și {\ widehat {z}} \ cdot {\ widehat {\ theta}} și {\ widehat {z}} \ cdot {\ widehat {\ phi}} \\\ end {pmatrix}} = {\ begin {pmatrix} \ sin \ theta \ cos \ phi & \ cos \ theta \ cos \ phi & - \ sin \ phi \\\ sin \ theta \ sin \ phi & \ cos \ theta \ sin \ phi & \ cos \ phi \\\ cos \ theta & - \ sin \ theta & 0 \\\ end {pmatrix}}}

matricea schimbării coordonatelor din ${\widehat {x_{j}}}=(x,y,z)$ ${\ displaystyle {\ widehat {x_ {j}}} = (x, y, z)}$ ${\ displaystyle {\ widehat {x_ {j}}} = (x, y, z)}$ la ${\widehat {x}}_{j}^{*}=(r,\theta ,\phi )$ ${\ displaystyle {\ widehat {x}} _ {j} ^ {*} = (r, \ theta, \ phi)}$ ${\ displaystyle {\ widehat {x}} _ {j} ^ {*} = (r, \ theta, \ phi)}$ , avem un vector de $\mathbb {R} ^{3}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {3}}$ $\ R ^ 3$ poate fi scris în cele două sisteme de coordonate ca

U=\sum _{j=1}^{3}u_{j}{\widehat {x_{j}}}=\sum _{k=1}^{3}\sum _{j=1}^{3}u_{j}^{*}R_{j,k}{\widehat {x_{k}^{*}}}.

{\ displaystyle U = \ sum _ {j = 1} ^ {3} u_ {j} {\ widehat {x_ {j}}} = \ sum _ {k = 1} ^ {3} \ sum _ {j = 1} ^ {3} u_ {j} ^ {*} R_ {j, k} {\ widehat {x_ {k} ^ {*}}}.}

{\ displaystyle U = \ sum _ {j = 1} ^ {3} u_ {j} {\ widehat {x_ {j}}} = \ sum _ {k = 1} ^ {3} \ sum _ {j = 1} ^ {3} u_ {j} ^ {*} R_ {j, k} {\ widehat {x_ {k} ^ {*}}}.}

Atâta timp cât $R_{i,j}$ ${\ displaystyle R_ {i, j}}$ ${\ displaystyle R_ {i, j}}$ trimite un sistem de coordonate ortonormale stângaci în altul, da $R^{T}R=\mathrm {Id} .$ ${\ displaystyle R ^ {T} R = \ mathrm {Id}.}$ ${\ displaystyle R ^ {T} R = \ mathrm {Id}.}$

Exprimând în mod explicit relațiile dintre unitățile vectoriale de bază, obținem:

{\hat {r}}=\sin \theta \,\cos \phi \,{\hat {x}}+\sin \theta \,\sin \phi \,{\hat {y}}+\cos \theta {\hat {z}};\qquad {\hat {r}}=\sin \theta \,\cos \phi \,{\hat {x}}+\sin \theta \,\sin \phi \,{\hat {y}}+\cos \theta {\hat {z}}

{\ displaystyle {\ hat {r}} = \ sin \ theta \, \ cos \ phi \, {\ hat {x}} + \ sin \ theta \, \ sin \ phi \, {\ hat {y}} + \ cos \ theta {\ hat {z}}; \ qquad {\ hat {r}} = \ sin \ theta \, \ cos \ phi \, {\ hat {x}} + \ sin \ theta \, \ sin \ phi \, {\ hat {y}} + \ cos \ theta {\ hat {z}}}

{\ displaystyle {\ hat {r}} = \ sin \ theta \, \ cos \ phi \, {\ hat {x}} + \ sin \ theta \, \ sin \ phi \, {\ hat {y}} + \ cos \ theta {\ hat {z}}; \ qquad {\ hat {r}} = \ sin \ theta \, \ cos \ phi \, {\ hat {x}} + \ sin \ theta \, \ sin \ phi \, {\ hat {y}} + \ cos \ theta {\ hat {z}}}

{\hat {\theta }}=\cos \theta \,\cos \phi \,{\hat {x}}+\cos \theta \,\sin \phi \,{\hat {y}}-\sin \theta {\hat {z}};\qquad {\hat {\theta }}=r\cos \theta \,\cos \phi \,{\hat {x}}+r\cos \theta \,\sin \phi \,{\hat {y}}-r\sin \theta {\hat {z}}

{\ displaystyle {\ hat {\ theta}} = \ cos \ theta \, \ cos \ phi \, {\ hat {x}} + \ cos \ theta \, \ sin \ phi \, {\ hat {y} } - \ sin \ theta {\ hat {z}}; \ qquad {\ hat {\ theta}} = r \ cos \ theta \, \ cos \ phi \, {\ hat {x}} + r \ cos \ theta \, \ sin \ phi \, {\ hat {y}} - r \ sin \ theta {\ hat {z}}}

{\ displaystyle {\ hat {\ theta}} = \ cos \ theta \, \ cos \ phi \, {\ hat {x}} + \ cos \ theta \, \ sin \ phi \, {\ hat {y} } - \ sin \ theta {\ hat {z}}; \ qquad {\ hat {\ theta}} = r \ cos \ theta \, \ cos \ phi \, {\ hat {x}} + r \ cos \ theta \, \ sin \ phi \, {\ hat {y}} - r \ sin \ theta {\ hat {z}}}

{\hat {\phi }}=-\sin \phi \,{\hat {x}}+\cos \phi \,{\hat {y}};\qquad {\hat {\phi }}=-r\sin \theta \,\sin \phi \,{\hat {x}}+r\sin \theta \,\cos \phi \,{\hat {y}}

{\ displaystyle {\ hat {\ phi}} = - \ sin \ phi \, {\ hat {x}} + \ cos \ phi \, {\ hat {y}}; \ qquad {\ hat {\ phi} } = - r \ sin \ theta \, \ sin \ phi \, {\ hat {x}} + r \ sin \ theta \, \ cos \ phi \, {\ hat {y}}}

{\ displaystyle {\ hat {\ phi}} = - \ sin \ phi \, {\ hat {x}} + \ cos \ phi \, {\ hat {y}}; \ qquad {\ hat {\ phi} } = - r \ sin \ theta \, \ sin \ phi \, {\ hat {x}} + r \ sin \ theta \, \ cos \ phi \, {\ hat {y}}}

și invers

{\hat {x}}=\sin \theta \,\cos \phi \,{\hat {r}}+\cos \theta \,\cos \phi \,{\hat {\theta }}-\sin \phi \,{\hat {\phi }};\qquad {\hat {x}}=\sin \theta \,\cos \phi \,{\hat {r}}+{\frac {1}{r}}\cos \theta \,\cos \phi \,{\hat {\theta }}-{\frac {1}{r\sin \theta }}\sin \phi \,{\hat {\phi }}

{\ displaystyle {\ hat {x}} = \ sin \ theta \, \ cos \ phi \, {\ hat {r}} + \ cos \ theta \, \ cos \ phi \, {\ hat {\ theta} } - \ sin \ phi \, {\ hat {\ phi}}; \ qquad {\ hat {x}} = \ sin \ theta \, \ cos \ phi \, {\ hat {r}} + {\ frac {1} {r}} \ cos \ theta \, \ cos \ phi \, {\ hat {\ theta}} - {\ frac {1} {r \ sin \ theta}} \ sin \ phi \, {\ pălărie {\ phi}}}

{\ displaystyle {\ hat {x}} = \ sin \ theta \, \ cos \ phi \, {\ hat {r}} + \ cos \ theta \, \ cos \ phi \, {\ hat {\ theta} } - \ sin \ phi \, {\ hat {\ phi}}; \ qquad {\ hat {x}} = \ sin \ theta \, \ cos \ phi \, {\ hat {r}} + {\ frac {1} {r}} \ cos \ theta \, \ cos \ phi \, {\ hat {\ theta}} - {\ frac {1} {r \ sin \ theta}} \ sin \ phi \, {\ pălărie {\ phi}}}

{\hat {y}}=\sin \theta \,\sin \phi \,{\hat {r}}+\cos \theta \,\sin \phi \,{\hat {\theta }}+\cos \phi \,{\hat {\phi }};\qquad {\hat {y}}=\sin \theta \,\sin \phi \,{\hat {r}}+{\frac {1}{r}}\cos \theta \,\sin \phi \,{\hat {\theta }}+{\frac {1}{r\sin \theta }}\cos \phi \,{\hat {\phi }}

{\ displaystyle {\ hat {y}} = \ sin \ theta \, \ sin \ phi \, {\ hat {r}} + \ cos \ theta \, \ sin \ phi \, {\ hat {\ theta} } + \ cos \ phi \, {\ hat {\ phi}}; \ qquad {\ hat {y}} = \ sin \ theta \, \ sin \ phi \, {\ hat {r}} + {\ frac {1} {r}} \ cos \ theta \, \ sin \ phi \, {\ hat {\ theta}} + {\ frac {1} {r \ sin \ theta}} \ cos \ phi \, {\ pălărie {\ phi}}}

{\ displaystyle {\ hat {y}} = \ sin \ theta \, \ sin \ phi \, {\ hat {r}} + \ cos \ theta \, \ sin \ phi \, {\ hat {\ theta} } + \ cos \ phi \, {\ hat {\ phi}}; \ qquad {\ hat {y}} = \ sin \ theta \, \ sin \ phi \, {\ hat {r}} + {\ frac {1} {r}} \ cos \ theta \, \ sin \ phi \, {\ hat {\ theta}} + {\ frac {1} {r \ sin \ theta}} \ cos \ phi \, {\ pălărie {\ phi}}}

{\hat {z}}=\cos \theta \,{\hat {r}}-\sin \theta \,{\hat {\theta }};\quad {\hat {z}}=\cos \theta \,{\hat {r}}-{\frac {1}{r}}\sin \theta \,{\hat {\theta }}

{\ displaystyle {\ hat {z}} = \ cos \ theta \, {\ hat {r}} - \ sin \ theta \, {\ hat {\ theta}}; \ quad {\ hat {z}} = \ cos \ theta \, {\ hat {r}} - {\ frac {1} {r}} \ sin \ theta \, {\ hat {\ theta}}}

{\ displaystyle {\ hat {z}} = \ cos \ theta \, {\ hat {r}} - \ sin \ theta \, {\ hat {\ theta}}; \ quad {\ hat {z}} = \ cos \ theta \, {\ hat {r}} - {\ frac {1} {r}} \ sin \ theta \, {\ hat {\ theta}}}

În fizica particulelor, în unele cazuri, este preferabil să se utilizeze în locul unghiului polar $\theta$ ${\ displaystyle \ theta}$ $\ theta$ pseudorapiditate definită ca