Coordonate triliniare

De la Wikipedia, enciclopedia liberă.
Salt la navigare Salt la căutare

În geometrie , coordonatele triliniare ale unui punct relativ la un triunghi dat descriu distanțele proporționale de la cele trei laturi ale triunghiului. Coordonatele triliniare sunt un exemplu de coordonate omogene . Uneori se numesc triliniare .

Exemple

Incentro are coordonate triliniare 1: 1: 1; adică distanțele de la laturile BC , CA , AB ale triunghiului ABC sunt proporționale cu distanțele reale, care formează tripletul ordonat ( r , r , r ), unde r este raza triunghiului ABC . Rețineți că notația x : y : z folosind puncte duble distinge coordonatele triliniare de distanțele reale, ( kx , ky , kz ), care este notația obișnuită pentru un triplet ordonat și care poate fi obținută din x : y : z folosind număr

unde a , b , c sunt lungimile BC , CA , AB și σ = aria ABC, respectiv . („Notarea prin virgulă” pentru coordonatele triliniare ar trebui să fie depreciată, deoarece notația ( x , y , z ), care indică un triplet ordonat, nu permite, de exemplu, ( x , y , z ) = (2 x , 2 y , 2 z ), în timp ce „Notare cu puncte duble” permite ( x : y : z ) = (2 x : 2 y : 2 z .)

Fie A , B și C vârfurile unui triunghi sau unghiurile corespunzătoare pe aceste vârfuri. Coordonatele triliniare pentru unele puncte notabile sunt:

Coordonate triliniare.svg

Formule

Coordonatele triliniare permit multe metode algebrice pentru rezolvarea problemelor legate de geometria triunghiului. De exemplu, trei puncte

P = p : q : r
U = u : v : w
X = x : y : z

sunt coliniare dacă și numai dacă determinantul

este egal cu zero. Motivul pentru aceasta este că liniile drepte

pα + qβ + rγ = 0
uα + vβ + wγ = 0 ,
xα + yβ + zγ = 0

sunt de acord cu un punct dacă și numai dacă D = 0.

Multe cubice sunt ușor reprezentate folosind coordonate triliniare. De exemplu:

Cubul lui Thomson: Z (X (2), X (1)) , unde X (2) = centroid , X (1) = centrul de greutate
Cubul lui Feuerbach: Z (X (5), X (1)) , unde X (5) = punctul lui Feuerbach
Cub Darboux: Z (X (20), X (1)) , unde X (20) = punctul De Longchamps

Conversii

Un punct cu coordonate triliniare α : β : γ are coordonate barientrice aα : : unde a , b , c sunt lungimile laturilor triunghiului. În mod similar, un punct cu coordonate barentric α : β : γ are coordonate triliniare α / a : β / b : γ / c .

Există formule pentru trecerea de la coordonatele triliniare la coordonatele carteziene . Având în vedere un triunghi de referință ABC, poziția vârfului B este exprimată în termeni de pereche ordonată de coordonate carteziene și aceasta este reprezentată algebric ca un vector a folosind vârful C ca origine. În mod similar, definim poziția vectorului vârfului A ca b . Prin urmare, fiecare punct P asociat triunghiului de referință ABC poate fi definit într-un sistem cartezian bidimensional ca vectorul p = α a + β b . Dacă acest punct P are coordonate triliniare x: y: z formula de conversie va fi următoarea:

sau alternativ:

Elemente conexe

linkuri externe

Controlul autorității LCCN ( EN ) sh85032242
Matematica Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică