Acoperire liniară

În matematică și mai precis în algebră liniară , intervalul liniar al unui set de vectori ai unui spațiu vectorial este subspaiul vectorial obținut din intersecția tuturor subspaiilor care conțin acest set. ^[1] Acoperirea liniară este ansamblul format din toate combinațiile liniare posibile ale unui set de vectori ai unui spațiu vectorial și, prin urmare, se numește „subspaiul vectorial generat ” de aceștia. Se spune că astfel de vectori constituie un set de generatori pentru acel spațiu.

Definiție

Este $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ un spațiu vector pe un câmp $K.$ ${\ displaystyle K}$ $K.$ . Lasa-i sa fie $\mathbf {v} _{1},\ldots ,\mathbf {v} _{n}$ ${\ displaystyle \ mathbf {v} _ {1}, \ ldots, \ mathbf {v} _ {n}}$ ${\ mathbf v} _ {1}, \ ldots, {\ mathbf v} _ {n}$ vectori ai $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ . O acoperire liniară a acestor vectori este subspaiul vector : ^[2]

\mathrm {Span} (\mathbf {v} _{1},\ldots ,\mathbf {v} _{n}):=\{a_{1}\mathbf {v} _{1}+\cdots +a_{n}\mathbf {v} _{n}\ |\ a_{1},\ldots ,a_{n}\in K\}

{\ displaystyle \ mathrm {Span} (\ mathbf {v} _ {1}, \ ldots, \ mathbf {v} _ {n}): = \ {a_ {1} \ mathbf {v} _ {1} + \ cdots + a_ {n} \ mathbf {v} _ {n} \ | \ a_ {1}, \ ldots, a_ {n} \ în K \}}

{\ mathrm {Span}} ({\ mathbf v} _ {1}, \ ldots, {\ mathbf v} _ {n}): = \ {a_ {1} {\ mathbf v} _ {1} + \ cdots + a_ {n} {\ mathbf v} _ {n} \ | \ a_ {1}, \ ldots, a_ {n} \ în K \}

Se arată că acesta este subspațiul generat de vectori înșiși, adică subsetul $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ format din toate combinațiile liniare posibile în câmpul considerat. ^[3] Dacă numărul $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ de vectori este egală cu mărimea subspaiului generat, atunci sunt liniar independenți , adică setul de generatori pe care îl formează este o bază a subspaiului. ^[4]

Acoperirea liniară este, cu alte cuvinte, cel mai mic subspatiu vectorial dintre toate cele care conțin vectori $\mathbf {v} _{1},\ldots ,\mathbf {v} _{n}$ ${\ displaystyle \ mathbf {v} _ {1}, \ ldots, \ mathbf {v} _ {n}}$ ${\ mathbf v} _ {1}, \ ldots, {\ mathbf v} _ {n}$ , fiind conținut în fiecare sub spațiu care conține acești vectori.

Închidere

Transformarea unui set de vectori ai $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ în subspațiul generat de acestea, aceasta este funcția $\mathrm {Span}$ ${\ displaystyle \ mathrm {Span}}$ ${\ mathrm {Span}}$ , este un exemplu de funcție apropiată. Ca și în cazul tuturor acestor funcții de set, se menține următoarea proprietate izotonică : if $S.$ ${\ displaystyle S}$ $S.$ Și $T.$ ${\ displaystyle T}$ $T.$ sunt seturi de vectori ai $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ astfel încât $S\subset T$ ${\ displaystyle S \ subset T}$ $S \ subset T$ , asa de:

{\rm {Span}}(S)\subseteq {\rm {Span}}(T)

{\ displaystyle {\ rm {Span}} (S) \ subseteq {\ rm {Span}} (T)}

{{\ rm {Span}}} (S) \ subseteq {{\ rm {Span}}} (T)

În special, dacă $S=\{\mathbf {v} _{1},\ldots ,\mathbf {v} _{n}\}$ ${\ displaystyle S = \ {\ mathbf {v} _ {1}, \ ldots, \ mathbf {v} _ {n} \}}$ $S = \ {{\ mathbf v} _ {1}, \ ldots, {\ mathbf v} _ {n} \}$ Și $T=\{\mathbf {v} _{1},\ldots ,\mathbf {v} _{n},\mathbf {v} _{n+1}\}$ ${\ displaystyle T = \ {\ mathbf {v} _ {1}, \ ldots, \ mathbf {v} _ {n}, \ mathbf {v} _ {n + 1} \}}$ $T = \ {{\ mathbf v} _ {1}, \ ldots, {\ mathbf v} _ {n}, {\ mathbf v} _ {{n + 1}} \}$ se obține din $S.$ ${\ displaystyle S}$ $S.$ adăugarea unui vector $\mathbf {v} _{n+1}$ ${\ displaystyle \ mathbf {v} _ {n + 1}}$ ${\ mathbf v} _ {{n + 1}}$ , subspațiul generat poate rămâne neschimbat sau poate deveni mai mare. Subspatiul ramane neschimbat daca si numai daca vectorul $\mathbf {v} _{n+1}$ ${\ displaystyle \ mathbf {v} _ {n + 1}}$ ${\ mathbf v} _ {{n + 1}}$ este deja conținut în aceasta, adică:

{\textrm {Span}}(\mathbf {v} _{1},\ldots ,\mathbf {v} _{n+1})={\textrm {Span}}(\mathbf {v} _{1},\ldots ,\mathbf {v} _{n})

{\ displaystyle {\ textrm {Span}} (\ mathbf {v} _ {1}, \ ldots, \ mathbf {v} _ {n + 1}) = {\ textrm {Span}} (\ mathbf {v} _ {1}, \ ldots, \ mathbf {v} _ {n})}

{\ textrm {Span}} ({\ mathbf v} _ {1}, \ ldots, {\ mathbf v} _ {{n + 1}}) = {\ textrm {Span}} ({\ mathbf v} _ {1}, \ ldots, {\ mathbf v} _ {n})

dacă și numai dacă:

\mathbf {v} _{n+1}\in {\textrm {Span}}(\mathbf {v} _{1},\ldots ,\mathbf {v} _{n})

{\ displaystyle \ mathbf {v} _ {n + 1} \ in {\ textrm {Span}} (\ mathbf {v} _ {1}, \ ldots, \ mathbf {v} _ {n})}

{\ mathbf v} _ {{n + 1}} \ in {\ textrm {Span}} ({\ mathbf v} _ {1}, \ ldots, {\ mathbf v} _ {n})

Baze și dimensiuni

Același subiect în detaliu: de bază (algebră liniară) .

Un set de vectori este o bază a subspațiului care generează dacă și numai dacă acestea sunt liniar independente . Dacă vectorii nu sunt independenți, există un subset al acestora format din vectori independenți: un subset de acest tip poate fi găsit prin algoritmul de extracție de bază .

Din ceea ce tocmai s-a spus, rezultă că dimensiunea unui sub spațiu generat de $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ transportatorii este cel mult $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ , și este corect $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ dacă și numai dacă acestea sunt independente.

Exemple

În plan

În $\mathbb {R} ^{2}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {2}}$ $\ R ^ 2$ , vectori $(1,2)$ ${\ displaystyle (1,2)}$ $(1.2)$ Și $(2,4)$ ${\ displaystyle (2,4)}$ $(2.4)$ sunt dependenți. Prin urmare, întinderea lor are o dimensiune mai mică de două și, de fapt, este o linie dreaptă . În mod oficial este scris ${\rm {Span}}\{(1,2),(2,4)\}={\rm {Span}}\{(1,2)\}$ ${\ displaystyle {\ rm {Span}} \ {(1,2), (2,4) \} = {\ rm {Span}} \ {(1,2) \}}$ ${{\ rm {Span}}} \ {(1,2), (2,4) \} = {{\ rm {Span}}} \ {(1,2) \}$ . Purtători $(1,2)$ ${\ displaystyle (1,2)}$ $(1.2)$ Și $(2,1)$ ${\ displaystyle (2,1)}$ $(2.1)$ în schimb, sunt independenți și, prin urmare, durata lor este un spațiu de dimensiunea 2 în interior $\mathbb {R} ^{2}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {2}}$ $\ R ^ 2$ : un spațiu de dimensiune $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ are doar pe sine ca subspatiu al dimensiunii $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ , prin urmare ${\rm {Span}}\{(1,2),(2,1)\}=\mathbb {R} ^{2}$ ${\ displaystyle {\ rm {Span}} \ {(1,2), (2,1) \} = \ mathbb {R} ^ {2}}$ ${\ displaystyle {\ rm {Span}} \ {(1,2), (2,1) \} = \ mathbb {R} ^ {2}}$ .

In spatiu

În $\mathbb {R} ^{3}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {3}}$ $\ R ^ 3$ , vectori $(1,2,3)$ ${\ displaystyle (1,2,3)}$ $(1,2,3)$ , $(4,-2,1)$ ${\ displaystyle (4, -2,1)}$ $(4, -2,1)$ , $(3,-4,-2)$ ${\ displaystyle (3, -4, -2)}$ $(3, -4, -2)$ ele sunt dependente, deoarece ultima este diferența dintre primele două. Prin urmare, avem ${\rm {Span}}\{(1,2,3),(4,-2,1),(3,-4,-2)\}={\rm {Span}}\{(1,2,3),(4,-2,1)\}$ ${\ displaystyle {\ rm {Span}} \ {(1,2,3), (4, -2,1), (3, -4, -2) \} = {\ rm {Span}} \ { (1,2,3), (4, -2,1) \}}$ ${{\ rm {Span}}} \ {(1,2,3), (4, -2,1), (3, -4, -2) \} = {{\ rm {Span}}} \ {(1,2,3), (4, -2,1) \}$ , și deoarece acești doi vectori sunt independenți, ei reprezintă o bază a intervalului lor care are dimensiunea 2, adică este un plan .

Notă

^ Hoffman, Kunze , p. 36 .
^ S. Lang , pagina 40 .
^ Hoffman, Kunze , p. 37 .
^ S. Lang , pagina 44 .

Bibliografie

Serge Lang, Algebra liniară , Torino, Bollati Boringhieri , 1992, ISBN 88-339-5035-2 .
(EN) Kenneth Hoffman, Ray Kunze, Algebra liniară , ediția a II-a, Englewood Cliffs, NJ, Prentice - Hall, inc., 1971, ISBN 0-13-536821-9 .
( EN ) Rynne & Youngson (2001). Analiza funcțională liniară , Springer.

Elemente conexe

linkuri externe

( EN ) Combinații liniare și întindere: Înțelegerea combinațiilor liniare și întinderile vectorilor , khanacademy.org.
(EN) Isaiah Lankham, Bruno Nachtergaele și Anne Schilling, Algebra liniară - Ca introducere la matematica abstractă (PDF) pe math.ucdavis.edu, Universitatea din California, Davis, 13 februarie 2010. Accesat la 27 septembrie 2011 (depus din adresa URL originală la 7 decembrie 2011) .

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică

[1] Hoffman, Kunze , p. 36 .

[def-2] S. Lang , pagina 40 .

[3] Hoffman, Kunze , p. 37 .

[4] S. Lang , pagina 44 .

[1]

[2]

[3]

[4]