Corp negru

Tendința curbelor Planck pentru corpul negru. Pe abscisă lungimea de undă , pe ordonată intensitatea radiației.

În fizică, un corp negru este un obiect ideal care absoarbe toată radiația electromagnetică incidentă fără a o reflecta și, prin urmare, este numit „negru” conform interpretării clasice a culorii corpurilor.

Prin absorbția întregii energii incidente, conform legii conservării energiei, corpul negru retransmite toată energia absorbită (coeficient de emisie egal cu coeficientul de absorbție și egal cu unul). ^[1] Aceasta este o idealizare fizică, deoarece în natură nu există corpuri care să satisfacă perfect această caracteristică.

Radiațiile emise de un corp negru se numesc radiații ale corpului negru și densitatea de energie radiată a spectrului corpului negru . Spectrul (intensitatea sau densitatea radiației emise în funcție de lungimea de undă sau de frecvență ) a unui corp negru este un spectru cu o formă caracteristică de clopot (mai mult sau mai puțin asimetric și mai mult sau mai puțin aplatizat), în funcție exclusiv de temperatura sa T și nu din materialul care îl compune. Diferența dintre spectrul unui obiect real (de exemplu soarele ) și cel al unui corp negru ideal ne permite să identificăm compoziția chimică a acelui obiect (în cazul soarelui, hidrogenului și heliului ). Această analiză se efectuează în sfera spectroscopiei . ^[2] ^[3]

În experimentele de laborator, un corp negru este alcătuit dintr-un obiect gol păstrat la o temperatură constantă (un fel de cuptor) ai cărui pereți emit continuu și absorb radiații pe toate lungimile de undă posibile ale spectrului electromagnetic . După cum se arată în graficul lateral, prin aplicarea ecuațiilor lui Maxwell la radiațiile emise și absorbite de pereți, rezultă că pe măsură ce lungimea de undă scade, se obțin valori ale intensității iradierii (W / m²) care tind spre infinit (astfel care se încadrează în problema cunoscută sub numele de „ catastrofă ultravioletă ”), în clar contradicție cu datele experimentale conform cărora aceste valori tind spre zero. Din punct de vedere istoric, soluția la problema spectrului corpului negru a fost una dintre bazele mecanicii cuantice și mai general ale fizicii moderne .

Evoluția istorică

Termenul și conceptul de „corp negru” au fost introduse pentru prima dată de Gustav Kirchhoff în 1862 . Spectrul unui corp negru a fost interpretat corect pentru prima dată în 1900 de Max Planck ( câștigător al Premiului Nobel în 1918 ), care a emis ipoteza că radiația electromagnetică a fost emisă și absorbită de atomi numai în pachete discrete, sau cuante , de energie. Proporțional cu frecvența unda electromagnetică . Prin introducerea ipotezei cuantice, Planck a verificat dacă calculele teoretice se potriveau cu datele experimentale. În ciuda acestui succes important, care reprezintă prima cărămidă a teoriei cuantice nașterii sau a mecanicii cuantice , Planck însuși a crezut, timp de câțiva ani, că cuantele erau doar un dispozitiv matematic pentru a face conturile să funcționeze și nu un fenomen real. ^[4]

Atunci, Einstein, în 1905, a reluat și relansat teoria cuantică ca parte a studiilor sale asupra efectului fotoelectric , pentru a explica emisia de electroni de pe suprafața unui metal afectat de radiația electromagnetică (acest efect nu poate fi explicat cu teoria clasică a undei Maxwell ). Potrivit lui Albert Einstein (laureat al Premiului Nobel în 1921 ) , nu numai atomii emit și absorb energia pentru „pachete finite“ de energie , cuante (ca Max Planck a propus), dar este radiația electromagnetică în sine , care este formată din cante de lumină , adică din cantități finite de energie , numite apoi fotoni în 1926 . Cu alte cuvinte, din moment ce radiația electromagnetică este cuantificată, energia nu este distribuită uniform pe toată fața undei electromagnetice , ci concentrată în grupuri (noduli) de energie , fotonii .

Teoria cuantelor de lumină ( fotoni ) și-a găsit confirmarea definitivă din studiile experimentale ale fizicienilor americani Robert Millikan și Arthur Compton , câștigători ai Premiului Nobel pentru fizică , respectiv, în 1923 și 1927 .

Același subiect în detaliu: Foton § Dezvoltare istorică .

Descriere

Originea fizică

Originea iradierii electromagnetice a corpurilor datorită efectului macroscopic al temperaturii $T.$ ${\ displaystyle T}$ $T.$ trebuie căutat la un nivel microscopic ca o consecință a mișcării rotobibrației moleculare a agitației termice și, prin urmare, a curenților electrici care variază în timp a elementelor care transportă o sarcină electrică ( protoni și electroni ) în conformitate cu legile de bază ale clasicului electrodinamica sau ecuațiile lui Maxwell . Frecvența $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ și intensitate $THE$ ${\ displaystyle I}$ $THE$ a undei electromagnetice crește odată cu creșterea temperaturii $T.$ ${\ displaystyle T}$ $T.$ ca o consecință a mișcării crescute a agitației moleculare sau, prin urmare, a curenților electrici atomico-moleculari asociați.

Caracteristici

După cum sa menționat mai sus, un corp negru este un radiator ideal, emițând cel mai mare flux posibil pe unitate de suprafață, la orice lungime de undă pentru orice temperatură dată. Mai mult, un corp negru absoarbe toată energia radiantă incidentă asupra sa: adică nu se reflectă sau se transmite nicio energie. Corpurile reale, pe de altă parte, diferă mai mult sau mai puțin semnificativ de această definiție și sunt, prin urmare, numite corpuri gri . Cu alte cuvinte, se poate spune că toate corpurile reale se comportă mai mult sau mai puțin ca corpurile negre, cu excepția cazului în care reflectivitatea și transmitanța lor sunt de fapt corpuri gri.

Distribuția intensității radiației unui corp negru la temperatură $T.$ ${\ displaystyle T}$ $T.$ este dat de legea radiației lui Planck : ^[5]

I(\nu )d\nu ={\frac {2\pi h\nu ^{3}}{c^{2}}}{\dfrac {1}{e^{\tfrac {h\nu }{kT}}-1}}d\nu

{\ displaystyle I (\ nu) d \ nu = {\ frac {2 \ pi h \ nu ^ {3}} {c ^ {2}}} {\ dfrac {1} {e ^ {\ tfrac {h \ nu} {kT}} - 1}} d \ nu}

{\ displaystyle I (\ nu) d \ nu = {\ frac {2 \ pi h \ nu ^ {3}} {c ^ {2}}} {\ dfrac {1} {e ^ {\ tfrac {h \ nu} {kT}} - 1}} d \ nu}

unde este $I(\nu )d\nu \$ ${\ displaystyle I (\ nu) d \ nu \}$ $I (\ nu) d \ nu \$ este cantitatea de energie pe unitate de suprafață emitentă, pe unitate de timp , pe unitate de unghi solid emis în intervalul de frecvență dintre $\nu \$ ${\ displaystyle \ nu \}$ $\ nu \$ Și $\nu +d\nu \$ ${\ displaystyle \ nu + d \ nu \}$ $\ nu + d \ nu \$ ( emisie spectrală ), $h$ ${\ displaystyle h}$ $h$ este constanta lui Planck , $c$ ${\ displaystyle c}$ $c$ este viteza luminii e $k$ ${\ displaystyle k}$ $k$ este constanta lui Boltzmann .

Exprimată în funcție de lungimea de undă, distribuția intensității ia forma:

I(\lambda )d\lambda ={\frac {2\pi hc^{2}}{\lambda ^{5}}}{\dfrac {1}{e^{\tfrac {hc}{\lambda kT}}-1}}d\lambda

{\ displaystyle I (\ lambda) d \ lambda = {\ frac {2 \ pi hc ^ {2}} {\ lambda ^ {5}}} {\ dfrac {1} {e ^ {\ tfrac {hc} { \ lambda kT}} - 1}} d \ lambda}

{\ displaystyle I (\ lambda) d \ lambda = {\ frac {2 \ pi hc ^ {2}} {\ lambda ^ {5}}} {\ dfrac {1} {e ^ {\ tfrac {hc} { \ lambda kT}} - 1}} d \ lambda}

Este important de reținut că expresia Planck scrisă mai sus nu trebuie înțeleasă în niciun fel ca o funcție în sens obișnuit, ci ca o funcție generalizată în sensul distribuțiilor, adică are valoare doar în expresiile integro-diferențiale: prin urmare, caracteristica de a prezenta, de exemplu, un maxim la o anumită frecvență, maxim de emisie care se deplasează spre frecvențe înalte pe măsură ce temperatura crește ( legea lui Wien ), se găsește și prin exprimarea distribuției Planckian în termeni de lungimi de undă, în acest caz, a lui Wien legea se exprimă spunând că lungimea de undă la care există radiație maximă se deplasează spre lungimi de undă mai mici pe măsură ce temperatura crește, dar lungimea de undă la care, la o temperatură dată, există maximul de emisie, nu corespunde cu frecvența la care , la aceeași temperatură, există maximul de emisii. ^[6]

Lungimea de undă la care intensitatea radiației emise de corpul negru este maximă este dată de legea lui Wien ^[7]

\lambda _{\mathrm {max} }T={\text{costante}}=2898\mathrm {\ \mu m\cdot K}

{\ displaystyle \ lambda _ {\ mathrm {max}} T = {\ text {constant}} = 2898 \ mathrm {\ \ m m \ cdot K}}

\ lambda _ {\ mathrm {max}} T = {\ text {constant}} = 2898 \ mathrm {\ \ mu m \ cdot K}

iar puterea totală emisă pe unitate de suprafață (de fapt, intensitatea ) este dată de legea Stefan-Boltzmann

I=\sigma T^{4}\

{\ displaystyle I = \ sigma T ^ {4} \}

I = \ sigma T ^ {4} \

cu

\sigma =5{,}67\cdot 10^{-8}\mathrm {\ W/(m^{2}\cdot K^{4})}

{\ displaystyle \ sigma = 5 {,} 67 \ cdot 10 ^ {- 8} \ mathrm {\ W / (m ^ {2} \ cdot K ^ {4})}}

\ sigma = 5 {,} 67 \ cdot 10 ^ {- 8} \ mathrm {\ W / (m ^ {2} \ cdot K ^ {4})}

Ambele legi pot fi deduse din legea radiației lui Planck , prima căutând maximul în ceea ce privește lungimea de undă , a doua integrându-se pe toate frecvențele și pe unghiul solid.

Obiectul cel mai asemănător cu un corp negru care poate fi realizat în laborator este un corp gol cu pereți interni reflectorizanți pe care se face o mică gaură: lumina care intră în gaură rămâne prinsă în interiorul corpului, deoarece probabilitatea să scape. gaura este foarte joasa. În astronomie, unele obiecte, cum ar fi stelele, sunt corpuri aproximativ negre. Un spectru de corp negru aproape perfect este prezentat de radiația cosmică de fundal cu microunde , care are o temperatură de aproximativ 2,7 kelvini .

Este important să ne amintim că orice corp care se află la temperatură $T\neq 0~\mathrm {K}$ ${\ displaystyle T \ neq 0 ~ \ mathrm {K}}$ $T \ neq 0 ~ \ mathrm {K}$ este o sursă de radiație electromagnetică datorată mișcării de agitație termică a atomilor care o compun. Emisia de energie electromagnetică are loc în detrimentul energiei termice. Prin urmare, o radiație termică va fi întotdeauna prezentă în interiorul cavității și, dacă temperatura rămâne constantă (condiții de echilibru termodinamic), distribuția radiației se numește spectrul corpului negru . ^[8]

Pe măsură ce temperatura corpului negru crește, pe lângă faptul că emite mai multă putere electromagnetică datorită legii Stefan-Boltzmann (clopot mai puțin aplatizat), conform legii lui Wien, corpul însuși va emite maximul său (vârf spectral) de radiație deplasându-se din ce în ce mai mult spre frecvențe mai mari (lungimi de undă mai mici) trecând astfel prin vizibil așa cum se întâmplă pentru stele (considerate corpuri negre) justificând astfel luminozitatea lor (doar în contrast aparent cu definiția corpului „negru”).

Calculul spectrului corpului negru

Să luăm în considerare o cavitate în interiorul căreia există un mediu cu indice de refracție $\eta$ ${\ displaystyle \ eta}$ $\vârstă$ . Mai mult, presupunem că mediul este omogen și izotrop $\eta$ ${\ displaystyle \ eta}$ $\vârstă$ este invariant sub traduceri și respectiv rotații. Mai mult, presupunem că dielectricul nu este feromagnetic, deci $\mu _{r}\simeq 1$ ${\ displaystyle \ mu _ {r} \ simeq 1}$ $\ mu _ {r} \ simeq 1$ Și $\eta ^{2}\simeq \varepsilon _{r}$ ${\ displaystyle \ eta ^ {2} \ simeq \ varepsilon _ {r}}$ $\ eta ^ {2} \ simeq \ varepsilon _ {r}$ . ^[9]

În interiorul cavității este posibil să se definească o densitate de energie electromagnetică care poate fi obținută pornind de la ecuațiile lui Maxwell :

\rho (E,B)={\frac {1}{2}}\varepsilon _{0}\left(\varepsilon _{r}E^{2}+{\frac {c^{2}B^{2}}{\mu _{r}}}\right)

{\ displaystyle \ rho (E, B) = {\ frac {1} {2}} \ varepsilon _ {0} \ left (\ varepsilon _ {r} E ^ {2} + {\ frac {c ^ {2 } B ^ {2}} {\ mu _ {r}}} \ right)}

\ rho (E, B) = {\ frac {1} {2}} \ varepsilon _ {0} \ left (\ varepsilon _ {r} E ^ {2} + {\ frac {c ^ {2} B ^ {2}} {\ mu _ {r}}} \ dreapta)

prin care este energia totală em

W=\int _{V}\rho dV\

{\ displaystyle W = \ int _ {V} \ rho dV \}

W = \ int _ {V} \ rho dV \

Suntem interesați să calculăm distribuția spectrală a energiei sau $\rho _{\omega }\$ ${\ displaystyle \ rho _ {\ omega} \}$ $\ rho _ {\ omega} \$ pentru care

d\rho _{\omega }=\rho _{\omega }d\omega \

{\ displaystyle d \ rho _ {\ omega} = \ rho _ {\ omega} d \ omega \}

d \ rho _ {\ omega} = \ rho _ {\ omega} d \ omega \

reprezintă densitatea energiei em prezente cu o frecvență între $\omega \$ ${\ displaystyle \ omega \}$ $\ omega \$ Și $\omega +d\omega \$ ${\ displaystyle \ omega + d \ omega \}$ $\ omega + d \ omega \$

Printr-un scurt raționament este posibil să vedem cum $\rho _{\omega }\$ ${\ displaystyle \ rho _ {\ omega} \}$ $\ rho _ {\ omega} \$ poate depinde exclusiv de frecvența și temperatura și nu de forma și materialul din care este realizată cavitatea.

De fapt, să luăm în considerare două cavități de diferite forme și materiale care sunt la aceeași temperatură $T.$ ${\ displaystyle T}$ $T.$ . În ambele cavități va exista o anumită distribuție a energiei electromagnetice descrisă de funcții $\rho _{\omega }^{1}\$ ${\ displaystyle \ rho _ {\ omega} ^ {1} \}$ $\ rho _ {\ omega} ^ {1} \$ Și $\rho _{\omega }^{2}\$ ${\ displaystyle \ rho _ {\ omega} ^ {2} \}$ $\ rho _ {\ omega} ^ {2} \$ .

Să presupunem că pentru o frecvență generică $\omega$ ${\ displaystyle \ omega}$ $\omega$ in valoare de: $\rho _{\omega }^{1}>\rho _{\omega }^{2},$ ${\ displaystyle \ rho _ {\ omega} ^ {1}> \ rho _ {\ omega} ^ {2},}$ $\ rho _ {\ omega} ^ {1}> \ rho _ {\ omega} ^ {2},$ atunci dacă unim cele două cavități printr-o conexiune optică cu un filtru care permite transferul de energie la frecvență $\omega \$ ${\ displaystyle \ omega \}$ $\ omega \$ va exista un flux de energie de la cavitatea 1 la cavitatea 2. Totuși, aceasta merge împotriva celei de-a doua legi a termodinamicii, deoarece cele două cavități sunt la aceeași temperatură, deci concluzionăm că trebuie să fie $\rho _{\omega }^{1}=\rho _{\omega }^{2}\$ ${\ displaystyle \ rho _ {\ omega} ^ {1} = \ rho _ {\ omega} ^ {2} \}$ $\ rho _ {\ omega} ^ {1} = \ rho _ {\ omega} ^ {2} \$ , Și $\rho _{\omega }=\rho _{\omega }(\omega ,T)\$ ${\ displaystyle \ rho _ {\ omega} = \ rho _ {\ omega} (\ omega, T) \}$ $\ rho _ {\ omega} = \ rho _ {\ omega} (\ omega, T) \$ .

Pentru ceea ce sa spus, ne putem limita la luarea în considerare a unei cavități care are o geometrie simplă, de exemplu un cub cu o margine de lungime $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ . Să presupunem că pereții sunt perfect conductivi: atunci este posibil să stochezi și să conservi energia em în interiorul cavității fără pierderi, atâta timp cât frecvențele corespund frecvențelor rezonante ale cavității. Frecvențele rezonante ale cavității sunt cele pentru care sunt stabilite unde staționare, prin urmare, în cele trei direcții trebuie să fie inclus un număr întreg de lungimi de undă. Să vedem pentru o parte:

l{\frac {\lambda }{2}}=a\Longrightarrow \lambda ={\frac {2a}{l}}\

{\ displaystyle l {\ frac {\ lambda} {2}} = a \ Longrightarrow \ lambda = {\ frac {2a} {l}} \}

l {\ frac {\ lambda} {2}} = a \ Longrightarrow \ lambda = {\ frac {2a} {l}} \

cu $L$ ${\ displaystyle l}$ $L$ număr întreg. De cand $\omega =2\pi {\frac {c}{\lambda }}$ ${\ displaystyle \ omega = 2 \ pi {\ frac {c} {\ lambda}}}$ $\ omega = 2 \ pi {\ frac {c} {\ lambda}}$ se obține prin pulsație

\omega =c{\frac {l\pi }{a}}\

{\ displaystyle \ omega = c {\ frac {l \ pi} {a}} \}

\ omega = c {\ frac {l \ pi} {a}} \

Având în vedere cazul tridimensional, ceea ce obținem este că frecvențele de rezonanță ale cavității luate în considerare sunt date de:

\omega ={\frac {c}{\eta }}\left[\left({\frac {l\pi }{a}}\right)^{2}+\left({\frac {m\pi }{a}}\right)^{2}+\left({\frac {n\pi }{a}}\right)^{2}\right]^{\frac {1}{2}}\

{\ displaystyle \ omega = {\ frac {c} {\ eta}} \ left [\ left ({\ frac {l \ pi} {a}} \ right) ^ {2} + \ left ({\ frac { m \ pi} {a}} \ right) ^ {2} + \ left ({\ frac {n \ pi} {a}} \ right) ^ {2} \ right] ^ {\ frac {1} {2 }} \}

{\ displaystyle \ omega = {\ frac {c} {\ eta}} \ left [\ left ({\ frac {l \ pi} {a}} \ right) ^ {2} + \ left ({\ frac { m \ pi} {a}} \ right) ^ {2} + \ left ({\ frac {n \ pi} {a}} \ right) ^ {2} \ right] ^ {\ frac {1} {2 }} \}

cu $L, m, n$ ${\ displaystyle l, m, n}$ ${\ displaystyle l, m, n}$ numere întregi.

Observând că $\omega =kc\$ ${\ displaystyle \ omega = kc \}$ $\ omega = kc \$ unde este $k$ ${\ displaystyle k}$ $k$ este vectorul de undă, îl putem rescrie pe cel precedent ca

\omega ={\frac {c}{\eta }}{\Big [}(k_{x})^{2}+(k_{y})^{2}+(k_{z})^{2}{\Big ]}^{\frac {1}{2}}\

{\ displaystyle \ omega = {\ frac {c} {\ eta}} {\ Big [} (k_ {x}) ^ {2} + (k_ {y}) ^ {2} + (k_ {z}) ^ {2} {\ Big]} ^ {\ frac {1} {2}} \}

\ omega = {\ frac {c} {\ eta}} {\ Big [} (k_ {x}) ^ {2} + (k_ {y}) ^ {2} + (k_ {z}) ^ {2 } {\ Big]} ^ {\ frac {1} {2}} \

Apoi, rețineți că pentru fiecare triplet ( $L, m, n$ ${\ displaystyle l, m, n}$ ${\ displaystyle l, m, n}$ ) există două moduri distincte: transversul electric și transversul magnetic . Prin mod se înțelege o anumită configurație a câmpurilor electrice și magnetice care satisface condiția de rezonanță. Modul electric transversal este astfel încât în fiecare punct al cavității câmpul electric este direcționat în direcția perpendiculară pe ${\hat {z}}\$ ${\ displaystyle {\ hat {z}} \}$ ${\ hat {z}} \$ ; modul magnetic transversal este astfel încât câmpul magnetic are o direcție perpendiculară pe ${\hat {z}}\$ ${\ displaystyle {\ hat {z}} \}$ ${\ hat {z}} \$ pentru fiecare punct.

Acum vrem să calculăm numărul de moduri între 0 și o frecvență generică $\omega \$ ${\ displaystyle \ omega \}$ $\ omega \$ , care este astfel încât să aibă un vector de undă cuprins în modul între 0 și ${\frac {\omega \eta }{c}}\$ ${\ displaystyle {\ frac {\ omega \ eta} {c}} \}$ ${\ frac {\ omega \ eta} {c}} \$ .

Deci ne punem în spațiul de fază. Toate punctele identificate de $(k_{x},k_{y},k_{z})\$ ${\ displaystyle (k_ {x}, k_ {y}, k_ {z}) \}$ $(k_ {x}, k_ {y}, k_ {z}) \$ care respectă condiția de rezonanță formează o rețea a cărei unitate celulară are dimensiuni: $\left({\frac {\pi }{a}},{\frac {\pi }{a}},{\frac {\pi }{a}}\right)\$ ${\ displaystyle \ left ({\ frac {\ pi} {a}}, {\ frac {\ pi} {a}}, {\ frac {\ pi} {a}} \ right) \}$ $\ left ({\ frac {\ pi} {a}}, {\ frac {\ pi} {a}}, {\ frac {\ pi} {a}} \ right) \$ . Conditia $0\leq k\leq {\frac {\omega \eta }{c}}\$ ${\ displaystyle 0 \ leq k \ leq {\ frac {\ omega \ eta} {c}} \}$ $0 \ leq k \ leq {\ frac {\ omega \ eta} {c}} \$ găsiți o sferă în spațiul de fază.

Fiecare celulă are opt moduri contigue (vârfurile) și, în același timp, fiecare vârf este împărțit de opt celule, concluzionăm că există un mod pentru fiecare celulă (de fapt, două pentru fiecare triadă $(k_{x},k_{y},k_{z})\$ ${\ displaystyle (k_ {x}, k_ {y}, k_ {z}) \}$ $(k_ {x}, k_ {y}, k_ {z}) \$ există un mod transversal electric și transversal magnetic așa cum se vede mai sus).

Acum este ușor să calculăm numărul de moduri incluse în sferă, ținând cont de faptul că suntem interesați de un singur octant deoarece $L, m, n$ ${\ displaystyle l, m, n}$ ${\ displaystyle l, m, n}$ sunt numere naturale și ca atare pozitive:

N_{\omega }={\frac {\displaystyle {\frac {1}{8}}{\frac {4}{3}}\pi (\omega \eta /c)^{3}}{\left({\frac {\pi }{a}}\right)^{3}}}\

{\ displaystyle N _ {\ omega} = {\ frac {\ displaystyle {\ frac {1} {8}} {\ frac {4} {3}} \ pi (\ omega \ eta / c) ^ {3} } {\ left ({\ frac {\ pi} {a}} \ right) ^ {3}}} \}

{\ displaystyle N _ {\ omega} = {\ frac {\ displaystyle {\ frac {1} {8}} {\ frac {4} {3}} \ pi (\ omega \ eta / c) ^ {3} } {\ left ({\ frac {\ pi} {a}} \ right) ^ {3}}} \}

acesta este

N_{\omega }={\frac {1}{3}}{\frac {\omega ^{3}\eta ^{3}}{c^{3}\pi ^{2}}}V\

{\ displaystyle N _ {\ omega} = {\ frac {1} {3}} {\ frac {\ omega ^ {3} \ eta ^ {3}} {c ^ {3} \ pi ^ {2}} } V \}

N _ {\ omega} = {\ frac {1} {3}} {\ frac {\ omega ^ {3} \ eta ^ {3}} {c ^ {3} \ pi ^ {2}}} V \

unde este $V\$ ${\ displaystyle V \}$ $V \$ este volumul celulei din spațiul de fază.

Pentru a ajunge la $\rho _{\omega }\$ ${\ displaystyle \ rho _ {\ omega} \}$ $\ rho _ {\ omega} \$ suntem interesați să evaluăm numărul de moduri pe unitate de volum și frecvență, așa că suntem interesați

p_{\omega }={\frac {1}{V}}{\frac {dN_{\omega }}{d\omega }}={\frac {\omega ^{2}\eta ^{3}}{c^{3}\pi ^{2}}}\

{\ displaystyle p _ {\ omega} = {\ frac {1} {V}} {\ frac {dN _ {\ omega}} {d \ omega}} = {\ frac {\ omega ^ {2} \ eta ^ {3}} {c ^ {3} \ pi ^ {2}}} \}

p _ {\ omega} = {\ frac {1} {V}} {\ frac {dN _ {\ omega}} {d \ omega}} = {\ frac {\ omega ^ {2} \ eta ^ {3 }} {c ^ {3} \ pi ^ {2}}} \

În acest moment este ușor să treceți la densitatea spectrală a energiei, de fapt este suficient să înmulțiți precedenta cu valoarea medie a energiei modurilor la frecvență $\omega \$ ${\ displaystyle \ omega \}$ $\ omega \$ . Tocmai în acest pasaj întâlnim incongruența fizicii clasice , care nu reușește să explice tendința distribuției spectrale a radiației emise de un corp negru.

Clasic, distribuția energiei em prezente în cavitate și datorită mișcării de agitație termică a diferiților atomi ai pereților, trebuie să fie aceeași cu cea a acestei nenumărate oscilatoare armonice clasice care se află la o temperatură $T.$ ${\ displaystyle T}$ $T.$ . Să luăm în considerare o frecvență $\omega \$ ${\ displaystyle \ omega \}$ $\ omega \$ , mecanica statistică ne spune că probabilitatea unuia dintre acești oscilatori la frecvență $\omega \$ ${\ displaystyle \ omega \}$ $\ omega \$ și temperatura $T.$ ${\ displaystyle T}$ $T.$ are energie între $E\$ ${\ displaystyle E \}$ $ȘI\$ și $E+dE\$ ${\ displaystyle E + dE \}$ $E + dE \$ este dat de legea lui Boltzmann :

dP(E)=Ce^{-{\frac {E}{k_{B}T}}}dE\

{\ displaystyle dP (E) = Ce ^ {- {\ frac {E} {k_ {B} T}}} dE \}

dP (E) = Ce ^ {- {\ frac {E} {k_ {B} T}}} dE \

unde este $k_{B}$ ${\ displaystyle k_ {B}}$ ${\ displaystyle k_ {B}}$ este constanta lui Boltzmann. Prin urmare, valoarea medie a energiei este valabilă

\langle E\rangle ={\frac {\displaystyle \int _{0}^{\infty }ECe^{-{\frac {E}{k_{B}T}}}dE}{\displaystyle \int _{0}^{\infty }Ce^{-{\frac {E}{k_{B}T}}}dE}}

{\ displaystyle \ langle E \ rangle = {\ frac {\ displaystyle \ int _ {0} ^ {\ infty} ECe ^ {- {\ frac {E} {k_ {B} T}}} dE} {\ displaystyle \ int _ {0} ^ {\ infty} Ce ^ {- {\ frac {E} {k_ {B} T}}} dE}}}

{\ displaystyle \ langle E \ rangle = {\ frac {\ displaystyle \ int _ {0} ^ {\ infty} ECe ^ {- {\ frac {E} {k_ {B} T}}} dE} {\ displaystyle \ int _ {0} ^ {\ infty} Ce ^ {- {\ frac {E} {k_ {B} T}}} dE}}}

Sa spunem $\beta ={\frac {1}{k_{B}T}}$ ${\ displaystyle \ beta = {\ frac {1} {k_ {B} T}}}$ $\ beta = {\ frac {1} {k_ {B} T}}$ .

Este ușor de observat că

-{\frac {d}{d\beta }}\ln \int _{0}^{\infty }e^{-\beta E}dE={\frac {\displaystyle \int _{0}^{\infty }Ee^{-\beta E}dE}{\displaystyle \int _{0}^{\infty }e^{-\beta E}dE}}=\langle E\rangle

{\ displaystyle - {\ frac {d} {d \ beta}} \ ln \ int _ {0} ^ {\ infty} e ^ {- \ beta E} dE = {\ frac {\ displaystyle \ int _ {0 } ^ {\ infty} Ee ^ {- \ beta E} dE} {\ displaystyle \ int _ {0} ^ {\ infty} e ^ {- \ beta E} dE}} = \ langle E \ rangle}

{\ displaystyle - {\ frac {d} {d \ beta}} \ ln \ int _ {0} ^ {\ infty} e ^ {- \ beta E} dE = {\ frac {\ displaystyle \ int _ {0 } ^ {\ infty} Ee ^ {- \ beta E} dE} {\ displaystyle \ int _ {0} ^ {\ infty} e ^ {- \ beta E} dE}} = \ langle E \ rangle}

Prin urmare:

\langle E\rangle =-{\frac {d}{d\beta }}\ln \left[-{\frac {1}{\beta }}e^{-\beta E}\right]_{0}^{\infty }=-{\frac {d}{d\beta }}\ln \left({\frac {1}{\beta }}\right)={\frac {1}{\beta }}=k_{B}T\

{\ displaystyle \ langle E \ rangle = - {\ frac {d} {d \ beta}} \ ln \ left [- {\ frac {1} {\ beta}} e ^ {- \ beta E} \ right] _ {0} ^ {\ infty} = - {\ frac {d} {d \ beta}} \ ln \ left ({\ frac {1} {\ beta}} \ right) = {\ frac {1} { \ beta}} = k_ {B} T \}

{\ displaystyle \ langle E \ rangle = - {\ frac {d} {d \ beta}} \ ln \ left [- {\ frac {1} {\ beta}} e ^ {- \ beta E} \ right] _ {0} ^ {\ infty} = - {\ frac {d} {d \ beta}} \ ln \ left ({\ frac {1} {\ beta}} \ right) = {\ frac {1} { \ beta}} = k_ {B} T \}

Deci, conform fizicii clasice:

\rho _{\omega }=p_{\omega }\langle E\rangle ={\frac {\omega ^{2}\eta ^{3}}{c^{3}\pi ^{2}}}k_{B}T\

{\ displaystyle \ rho _ {\ omega} = p _ {\ omega} \ langle E \ rangle = {\ frac {\ omega ^ {2} \ eta ^ {3}} {c ^ {3} \ pi ^ { 2}}} k_ {B} T \}

{\ displaystyle \ rho _ {\ omega} = p _ {\ omega} \ langle E \ rangle = {\ frac {\ omega ^ {2} \ eta ^ {3}} {c ^ {3} \ pi ^ { 2}}} k_ {B} T \}

Primul este formula clasică Rayleigh-Jeans și nu reproduce deloc datele experimentale! De fapt, densitatea spectrală a energiei tinde spre infinit $\omega$ ${\ displaystyle \ omega}$ $\omega$ tindând la infinit și deci pentru $\lambda$ ${\ displaystyle \ lambda}$ $\ lambda$ tindând la zero. Acesta este așa-numitul fenomen de catastrofă ultravioletă . Mai mult, se poate observa că, prin integrarea densității spectrale a energiei pe toate frecvențele posibile, se obține o energie infinită!

Și acolo intervine Planck . El depășește problemele fizicii clasice presupunând că radiația em este cuantificată, adică discretizează energia modurilor considerând-o multiplă a unei mărimi legată de frecvența modului în sine:

E_{n}=nh\nu \

{\ displaystyle E_ {n} = nh \ nu \}

E_ {n} = nh \ nu \

În același timp, introduce o nouă distribuție a probabilității pentru care probabilitatea ca modul în cauză să aibă o energie $E_{n}$ ${\ displaystyle E_ {n}}$ $E_ {n}$ este valabil:

P(E_{n})=Ce^{\frac {-n\hbar \omega }{kT}}\

{\ displaystyle P (E_ {n}) = Ce ^ {\ frac {-n \ hbar \ omega} {kT}} \}

P (E_ {n}) = Ce ^ {\ frac {-n \ hbar \ omega} {kT}} \

în plus, întrucât energia este discretizată, integralele sunt înlocuite cu însumări, iar valoarea medie a energiei este:

\langle E\rangle ={\frac {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }n\hbar \omega e^{\frac {-n\hbar \omega }{kT}}}{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }e^{\frac {-n\hbar \omega }{kT}}}}

{\ displaystyle \ langle E \ rangle = {\ frac {\ displaystyle \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} n \ hbar \ omega e ^ {\ frac {-n \ hbar \ omega} {kT}} } {\ displaystyle \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} e ^ {\ frac {-n \ hbar \ omega} {kT}}}}}

{\ displaystyle \ langle E \ rangle = {\ frac {\ displaystyle \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} n \ hbar \ omega e ^ {\ frac {-n \ hbar \ omega} {kT}} } {\ displaystyle \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} e ^ {\ frac {-n \ hbar \ omega} {kT}}}}}

de asemenea, în acest caz avem că:

\langle E\rangle =-{\frac {d}{d\beta }}\ln \left[\sum _{n=0}^{\infty }e^{-n\hbar \omega \beta }\right]

{\ displaystyle \ langle E \ rangle = - {\ frac {d} {d \ beta}} \ ln \ left [\ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} e ^ {- n \ hbar \ omega \ beta} \ dreapta]}

{\ displaystyle \ langle E \ rangle = - {\ frac {d} {d \ beta}} \ ln \ left [\ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} e ^ {- n \ hbar \ omega \ beta} \ dreapta]}

însumarea care apare în cea anterioară este o serie geometrică a rațiunii $e^{-\hbar \omega \beta }$ ${\ displaystyle e ^ {- \ hbar \ omega \ beta}}$ $e ^ {- \ hbar \ omega \ beta}$ pentru care

\langle E\rangle =-{\frac {d}{d\beta }}\ln \left[{\frac {1}{1-e^{-\hbar \omega \beta }}}\right]={\frac {\hbar \omega }{e^{\hbar \omega \beta }-1}}

{\ displaystyle \ langle E \ rangle = - {\ frac {d} {d \ beta}} \ ln \ left [{\ frac {1} {1-e ^ {- \ hbar \ omega \ beta}}} \ dreapta] = {\ frac {\ hbar \ omega} {e ^ {\ hbar \ omega \ beta} -1}}}

{\ displaystyle \ langle E \ rangle = - {\ frac {d} {d \ beta}} \ ln \ left [{\ frac {1} {1-e ^ {- \ hbar \ omega \ beta}}} \ dreapta] = {\ frac {\ hbar \ omega} {e ^ {\ hbar \ omega \ beta} -1}}}

și în cele din urmă putem obține expresia densității spectrale a radiației corpului negru:

\rho _{\omega }={\frac {\hbar \eta ^{3}\omega ^{3}}{\pi ^{2}c^{3}\left[e^{\frac {\hbar \omega }{kT}}-1\right]}}

{\ displaystyle \ rho _ {\ omega} = {\ frac {\ hbar \ eta ^ {3} \ omega ^ {3}} {\ pi ^ {2} c ^ {3} \ left [e ^ {\ frac {\ hbar \ omega} {kT}} - 1 \ dreapta]}}}

\ rho _ {\ omega} = {\ frac {\ hbar \ eta ^ {3} \ omega ^ {3}} {\ pi ^ {2} c ^ {3} \ left [e ^ {\ frac {\ hbar \ omega} {kT}} - 1 \ dreapta]}}

precedentul reproduce bine datele experimentale dacă

h=2\pi \hbar =6{,}626\cdot 10^{-34}\,\mathrm {Js}

{\ displaystyle h = 2 \ pi \ hbar = 6 {,} 626 \ cdot 10 ^ {- 34} \, \ mathrm {Js}}

h = 2 \ pi \ hbar = 6 {,} 626 \ cdot 10 ^ {- 34} \, \ mathrm {Js}

În plus, numărul mediu de fotoni pe mod este dat de

{\bar {q}}={\frac {\langle E\rangle }{h\nu }}={\frac {1}{e^{\frac {h\nu }{kT}}-1}}

{\ displaystyle {\ bar {q}} = {\ frac {\ langle E \ rangle} {h \ nu}} = {\ frac {1} {e ^ {\ frac {h \ nu} {kT}} - 1}}}

{\ displaystyle {\ bar {q}} = {\ frac {\ langle E \ rangle} {h \ nu}} = {\ frac {1} {e ^ {\ frac {h \ nu} {kT}} - 1}}}

și pentru frecvențe în câmpul optic $(\nu \simeq 10^{14}\,\mathrm {Hz} )\$ ${\ displaystyle (\ nu \ simeq 10 ^ {14} \, \ mathrm {Hz}) \}$ $(\ nu \ simeq 10 ^ {14} \, \ mathrm {Hz}) \$ la temperatura $T=300\ \mathrm {K}$ ${\ displaystyle T = 300 \ \ mathrm {K}}$ $T = 300 \ \ mathrm {K}$ merita ${\bar {q}}\simeq e^{-16}\simeq 10^{-7}\$ ${\ displaystyle {\ bar {q}} \ simeq e ^ {- 16} \ simeq 10 ^ {- 7} \}$ ${\ displaystyle {\ bar {q}} \ simeq e ^ {- 16} \ simeq 10 ^ {- 7} \}$ .

Prin urmare, se înțelege că la temperatura camerei emisia în banda vizibilă (lată cu o singură octavă) este complet neglijabilă.

Legea lui Wien

Același subiect în detaliu: legea lui Wien .

Legea lui Wien se obține luând în considerare pentru care lungime de undă există o emisie maximă. Pentru a face acest lucru, trebuie mai întâi să trecem la expresia distribuției spectrale în funcție de $\lambda \$ ${\ displaystyle \ lambda \}$ $\ lambda \$ :

\rho _{\omega }d\omega =\rho _{\omega }{\frac {d\omega }{d\lambda }}d\lambda =\rho _{\lambda }d\lambda \

{\ displaystyle \ rho _ {\ omega} d \ omega = \ rho _ {\ omega} {\ frac {d \ omega} {d \ lambda}} d \ lambda = \ rho _ {\ lambda} d \ lambda \ }

\ rho _ {\ omega} d \ omega = \ rho _ {\ omega} {\ frac {d \ omega} {d \ lambda}} d \ lambda = \ rho _ {\ lambda} d \ lambda \

\omega =2\pi {\frac {c}{\lambda }}\

{\ displaystyle \ omega = 2 \ pi {\ frac {c} {\ lambda}} \}

\ omega = 2 \ pi {\ frac {c} {\ lambda}} \

d\omega =-{\frac {2\pi c}{\lambda ^{2}}}d\lambda \

{\ displaystyle d \ omega = - {\ frac {2 \ pi c} {\ lambda ^ {2}}} d \ lambda \}

d \ omega = - {\ frac {2 \ pi c} {\ lambda ^ {2}}} d \ lambda \

pentru care:

\rho _{\omega }d\omega ={\frac {\eta ^{3}{\frac {(2\pi c)^{3}}{\lambda ^{3}}}\hbar }{\pi ^{2}c^{3}\left[e^{\frac {2\pi \hbar c}{\lambda kT}}-1\right]}}\left({\frac {-2\pi c}{\lambda ^{2}}}\right)d\lambda \

{\ displaystyle \ rho _ {\ omega} d \ omega = {\ frac {\ eta ^ {3} {\ frac {(2 \ pi c) ^ {3}} {\ lambda ^ {3}}} \ hbar } {\ pi ^ {2} c ^ {3} \ left [e ^ {\ frac {2 \ pi \ hbar c} {\ lambda kT}} - 1 \ right]}} \ left ({\ frac {- 2 \ pi c} {\ lambda ^ {2}}} \ right) d \ lambda \}

\ rho _ {\ omega} d \ omega = {\ frac {\ eta ^ {3} {\ frac {(2 \ pi c) ^ {3}} {\ lambda ^ {3}}} \ hbar} {\ pi ^ {2} c ^ {3} \ left [e ^ {\ frac {2 \ pi \ hbar c} {\ lambda kT}} - 1 \ right]}} \ left ({\ frac {-2 \ pi c} {\ lambda ^ {2}}} \ right) d \ lambda \

și, în sfârșit:

\rho _{\lambda }d\lambda ={\frac {8\pi hc\eta ^{3}}{\lambda ^{5}\left[e^{\frac {hc}{\lambda kT}}-1\right]}}d\lambda \

{\ displaystyle \ rho _ {\ lambda} d \ lambda = {\ frac {8 \ pi hc \ eta ^ {3}} {\ lambda ^ {5} \ left [e ^ {\ frac {hc} {\ lambda kT}} - 1 \ right]}} d \ lambda \}

\ rho _ {\ lambda} d \ lambda = {\ frac {8 \ pi hc \ eta ^ {3}} {\ lambda ^ {5} \ left [e ^ {\ frac {hc} {\ lambda kT}} -1 \ dreapta]}} d \ lambda \

Pentru a simplifica calculele, punem:

x={\frac {hc}{\lambda kT}}\

{\ displaystyle x = {\ frac {hc} {\ lambda kT}} \}

x = {\ frac {hc} {\ lambda kT}} \

și găsim maximul funcției spectrale derivat față de x:

{\frac {d\rho _{\lambda }}{dx}}=0\Longrightarrow e^{-x}+{\frac {x}{5}}-1=0\

{\ displaystyle {\ frac {d \ rho _ {\ lambda}} {dx}} = 0 \ Longrightarrow e ^ {- x} + {\ frac {x} {5}} - 1 = 0 \}

{\ frac {d \ rho _ {\ lambda}} {dx}} = 0 \ Longrightarrow e ^ {- x} + {\ frac {x} {5}} - 1 = 0 \

Cele de mai sus sunt o ecuație transcendentă a cărei soluție aproximativă este $x=x_{0}=4{,}9651\$ ${\ displaystyle x = x_ {0} = 4 {,} 9651 \}$ $x = x_ {0} = 4 {,} 9651 \$ , asa de

{\frac {hc}{\lambda _{\mathrm {max} }kT}}=x_{0}=cost\

{\ displaystyle {\ frac {hc} {\ lambda _ {\ mathrm {max}} kT}} = x_ {0} = cost \}

{\ frac {hc} {\ lambda _ {\ mathrm {max}} kT}} = x_ {0} = cost \

și, în sfârșit

\lambda _{\mathrm {max} }T=b\

{\ displaystyle \ lambda _ {\ mathrm {max}} T = b \}

\ lambda _ {\ mathrm {max}} T = b \

cu b constantă,

b=2{,}8978\cdot 10^{-3}\ \mathrm {m\cdot K}

{\ displaystyle b = 2 {,} 8978 \ cdot 10 ^ {- 3} \ \ mathrm {m \ cdot K}}

{\ displaystyle b = 2 {,} 8978 \ cdot 10 ^ {- 3} \ \ mathrm {m \ cdot K}}

Precedentul exprimă legea lui Wien conform căreia, pe măsură ce temperatura crește, emisia maximă se deplasează spre lungimi de undă mai mici și, prin urmare, energii mai mari. Se poate deduce că pe măsură ce temperatura corpului se schimbă, culoarea se schimbă!

Prin urmare, introducem conceptul de temperatură a culorii , ca temperatura care corespunde unei emisii maxime bine determinate. Questo è per esempio il metodo utilizzato per capire quale sia la temperatura di forni particolarmente potenti per i quali è chiaramente impossibile pensare all'utilizzo di un termometro e, allo stesso modo, è anche utilizzato in astrofisica per stimare la temperatura superficiale delle stelle.

Legge di Stefan - Boltzmann

Lo stesso argomento in dettaglio: Legge di Stefan-Boltzmann .

La legge di Stefan - Boltzmann riguarda l'intensità di radiazione emessa, quindi incominciamo con il calcolare l'espressione della densità di energia integrando la densità spettrale di energia su tutta la banda di frequenze:

\rho =\int _{0}^{\infty }{\frac {\hbar \eta ^{3}\omega ^{3}}{\pi ^{2}c^{3}[e^{\frac {\hbar \omega }{kT}}-1]}}d\omega \

\rho =\int _{0}^{\infty }{\frac {\hbar \eta ^{3}\omega ^{3}}{\pi ^{2}c^{3}[e^{\frac {\hbar \omega }{kT}}-1]}}d\omega \

\rho =\int _{0}^{\infty }{\frac {\hbar \eta ^{3}\omega ^{3}}{\pi ^{2}c^{3}[e^{\frac {\hbar \omega }{kT}}-1]}}d\omega \

x={\frac {\hbar \omega }{kT}}\

x={\frac {\hbar \omega }{kT}}\

x={\frac {\hbar \omega }{kT}}\

\rho ={\frac {\eta ^{3}(kT)^{4}}{\pi ^{2}c^{3}\hbar ^{3}}}\int _{0}^{\infty }{\frac {x^{3}}{e^{x}-1}}dx\

\rho ={\frac {\eta ^{3}(kT)^{4}}{\pi ^{2}c^{3}\hbar ^{3}}}\int _{0}^{\infty }{\frac {x^{3}}{e^{x}-1}}dx\

\rho ={\frac {\eta ^{3}(kT)^{4}}{\pi ^{2}c^{3}\hbar ^{3}}}\int _{0}^{\infty }{\frac {x^{3}}{e^{x}-1}}dx\

L'integrale che compare nella precedente espressione è calcolabile esattamente e vale ${\frac {\pi ^{4}}{15}}$ ${\frac {\pi ^{4}}{15}}$ ${\frac {\pi ^{4}}{15}}$ . Quindi

\rho ={\frac {\pi ^{2}\eta ^{3}k^{4}}{15c^{3}\hbar ^{3}}}T^{4}\

\rho ={\frac {\pi ^{2}\eta ^{3}k^{4}}{15c^{3}\hbar ^{3}}}T^{4}\

\rho ={\frac {\pi ^{2}\eta ^{3}k^{4}}{15c^{3}\hbar ^{3}}}T^{4}\

La densità di energia è chiaramente un'energia per unità di volume. L'intensità è un'energia per unità di superficie e di tempo, quindi in pratica una densità per una velocità. Segue che la dipendenza da $T\$ $T\$ $T\$ non cambia e si può scrivere:

F(T)=\sigma T^{4}\

F(T)=\sigma T^{4}\

F(T)=\sigma T^{4}\

la precedente esprime la legge di Stefan - Boltzmann cercata. $F\$ $F\$ $F\$ è detta emittanza di radiazione , e $\sigma$ $\sigma$ $\sigma$ è la costante di Stefan-Boltzmann che vale

\sigma =5{,}67\cdot 10^{-8}\,\mathrm {Wm^{-2}K^{-4}} \

\sigma =5{,}67\cdot 10^{-8}\,\mathrm {Wm^{-2}K^{-4}} \

\sigma =5{,}67\cdot 10^{-8}\,\mathrm {Wm^{-2}K^{-4}} \

Si noti che l'intensità di emissione va con la quarta potenza della temperatura.

Note

^ http://scienzapertutti.infn.it/il-problema-del-corpo-nero
^ Copia archiviata ( PDF ), su astro.unipd.it . URL consultato l'11 luglio 2017 (archiviato dall' url originale il 25 febbraio 2015) .
^ http://giornaleastronomia.difa.unibo.it/spigolature/spigo399base.html
^ "La Fisica di Amaldi", vol. 3, elettromagnetismo, fisica atomica e subatomica, ed. Zanichelli, 2012, pagg. 408 e 416.
^ Copia archiviata ( PDF ), su beta.fisica.uniba.it . URL consultato l'11 luglio 2017 (archiviato dall' url originale l'11 giugno 2017) .
^ http://www.scienzagiovane.unibo.it/finestra-radio/2b-corpo-nero.html
^ http://giornaleastronomia.difa.unibo.it/spigolature/spigo399avanzato.html
^ http://amslaurea.unibo.it/7391/1/Carlo_Cannarozzo_tesi.pdf
^ http://campus.unibo.it/90568/25/4_radiazione.pdf

Bibliografia

Douglas C. Giancoli, Fisica, principi e applicazioni , ISBN 88-408-1015-3 , Casa Editrice Ambrosiana, 2000.
C. Mencuccini e V. Silvestrini, Fisica II (Elettromagnetismo e Ottica) , 3ª ed., ISBN 88-207-1493-0 , Liguori Editore, 1998.

Voci correlate

Altri progetti

Wikimedia Commons contiene immagini o altri file su corpo nero

Collegamenti esterni

( EN ) Corpo nero / Corpo nero (altra versione) , su Enciclopedia Britannica , Encyclopædia Britannica, Inc.
Video - Il Corpo nero
Leggi del corpo nero , su dalcorso.it .
Radiazione di corpo nero , su hyperphysics.phy-astr.gsu.edu . URL consultato il 30 giugno 2006 (archiviato dall' url originale il 6 novembre 2006) .

Controllo di autorità	Thesaurus BNCF 46526 · GND ( DE ) 4180346-2

Portale Fisica : accedi alle voci di Wikipedia che trattano di Fisica

[1] ttp://scienzapertutti.infn.it/il-problema-del-corpo-nero

[2] Copia archiviata ( PDF ), su astro.unipd.it . URL consultato l'11 luglio 2017 (archiviato dall' url originale il 25 febbraio 2015) .

[3] ttp://giornaleastronomia.difa.unibo.it/spigolature/spigo399base.html

[4] "La Fisica di Amaldi", vol. 3, elettromagnetismo, fisica atomica e subatomica, ed. Zanichelli, 2012, pagg. 408 e 416.

[5] Copia archiviata ( PDF ), su beta.fisica.uniba.it . URL consultato l'11 luglio 2017 (archiviato dall' url originale l'11 giugno 2017) .

[6] ttp://www.scienzagiovane.unibo.it/finestra-radio/2b-corpo-nero.html

[7] ttp://giornaleastronomia.difa.unibo.it/spigolature/spigo399avanzato.html

[8] ttp://amslaurea.unibo.it/7391/1/Carlo_Cannarozzo_tesi.pdf

[9] ttp://campus.unibo.it/90568/25/4_radiazione.pdf

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]