Corp rigid

În fizică, un corp rigid este un obiect material ale cărui părți sunt supuse constrângerii rigidității , adică este un corp care nu se deformează niciodată atât atunci când este staționar, cât și când își schimbă poziția. Din punct de vedere al teoriei elasticității, un corp este rigid dacă este alcătuit dintr-un material care are teoretic modulul lui Young infinit.

Descriere

Constrângerea de rigiditate este o constrângere de poziție bilaterală și independentă de timp; asigură că distanțele reciproce între oricare două puncte ale sistemului rămân neschimbate în orice moment. Orice două puncte alese $P_{1}$ ${\ displaystyle P_ {1}}$ $P_1$ Și $P_{2}$ ${\ displaystyle P_ {2}}$ $P_ {2}$ aparținând corpului rigid și distanței lor $d_{12}$ ${\ displaystyle d_ {12}}$ ${\ displaystyle d_ {12}}$ , constrângerea de rigiditate este exprimată analitic prin relația:

(x_{1}-x_{2})^{2}+(y_{1}-y_{2})^{2}+(z_{1}-z_{2})^{2}-d_{12}^{2}=0

{\ displaystyle (x_ {1} -x_ {2}) ^ {2} + (y_ {1} -y_ {2}) ^ {2} + (z_ {1} -z_ {2}) ^ {2} -d_ {12} ^ {2} = 0}

{\ displaystyle (x_ {1} -x_ {2}) ^ {2} + (y_ {1} -y_ {2}) ^ {2} + (z_ {1} -z_ {2}) ^ {2} -d_ {12} ^ {2} = 0}

Pentru ca un sistem să aibă o mișcare rigidă, este necesar și suficient ca viteza simultană a oricăror două dintre punctele sale să aibă aceeași componentă de-a lungul îmbinării lor, iar acest lucru trebuie să fie adevărat pentru fiecare pereche de puncte din sistem.

Sunt necesare 6 grade de libertate pentru a descrie deplasarea rigidă în spațiu, cu trei componente ale translației și trei componente ale rotației. De fapt, odată ce „forma” corpului rigid este definită, poziția acestuia poate fi identificată în fiecare moment prin șase valori, cum ar fi:

trei coordonate de poziție ale unuia dintre $3N$ ${\ displaystyle 3N}$ ${\ displaystyle 3N}$ punctele corpului rigid, celelalte $3(N-1)$ ${\ displaystyle 3 (N-1)}$ ${\ displaystyle 3 (N-1)}$ coordonate ale $(N-1)$ ${\ displaystyle (N-1)}$ $(N-1)$ punctele corpului rigid sunt determinate în mod unic de constrângeri;
trei coordonate ale unui punct, trei cosinusuri director de rotație în jurul axelor $x,\ y,\ z$ ${\ displaystyle x, \ y, \ z}$ ${\ displaystyle x, \ y, \ z}$ integrantă a corpului.

De asemenea, este util, pentru simplitate, să introducem ipoteza micilor deplasări , pentru care avem asta $\sin \theta \simeq \theta$ ${\ displaystyle \ sin \ theta \ simeq \ theta}$ ${\ displaystyle \ sin \ theta \ simeq \ theta}$ .

Mișcarea unui corp rigid este definită ca o mișcare plană rigidă atunci când, considerată un plan solid cu corpul și cu o poziție inițială ${\hat {n}}$ ${\ displaystyle {\ hat {n}}}$ $\ hat n$ , acest lucru este menținut în timpul mișcării suprapuse constant pe un plan fix care este, de asemenea, întins ${\hat {n}}$ ${\ displaystyle {\ hat {n}}}$ $\ hat n$ ; adică toate punctele aparținând corpului rigid urmează aceleași legi temporale ale mișcării pe planuri paralele.

Se spune că două corpuri rigide legate să alunece unul pe altul pe o suprafață solidă cu ambele constituie o pereche cinematică .

Cinematica corpului rigid

Traducerea unui corp rigid duce înapoi la studiul cinematicii sistemelor, introducând conceptul de centru de masă și considerând corpul ca un sistem continuu .

Dat fiind un sistem de referință format din triada $\{x,\ y,\ z\}$ ${\ displaystyle \ {x, \ y, \ z \}}$ ${\ displaystyle \ {x, \ y, \ z \}}$ centrat în $\ O$ ${\ displaystyle \ O}$ ${\ displaystyle \ O}$ , rotația unui corp în raport cu o axă care trece prin cel puțin un punct al corpului este perfect determinată de cunoașterea variației unghiulare a mișcării corpului în raport cu un punct generic al axei de rotație, deci deplasare $\mathbf {r}$ ${\ displaystyle \ mathbf {r}}$ $\ mathbf r$ a unui punct generic $P.$ ${\ displaystyle P}$ $P.$ a corpului, a cărui distanță de $\ O$ ${\ displaystyle \ O}$ ${\ displaystyle \ O}$ este indicat de transportator $\mathbf {r}$ ${\ displaystyle \ mathbf {r}}$ $\ mathbf r$ , este dat de:

\mathbf {r} _{P}=\mathbf {r} _{o}+{\boldsymbol {\theta }}\times \mathbf {r}

{\ displaystyle \ mathbf {r} _ {P} = \ mathbf {r} _ {o} + {\ boldsymbol {\ theta}} \ times \ mathbf {r}}

{\ displaystyle \ mathbf {r} _ {P} = \ mathbf {r} _ {o} + {\ boldsymbol {\ theta}} \ times \ mathbf {r}}

Exprimând această ultimă relație sub forma unui sistem liniar avem:

\left\{{\begin{aligned}&x=x_{o}+\theta _{y}(z_{P}-z_{o})-\theta _{z}(y_{P}-y_{o})\\&y=y_{o}+\theta _{z}(x_{P}-x_{o})-\theta _{x}(z_{P}-z_{o})\\&z=z_{o}+\theta _{x}(y_{P}-y_{o})-\theta _{y}(x_{P}-x_{o})\\\end{aligned}}\right.

{\ displaystyle \ left \ {{\ begin {align} & x = x_ {o} + \ theta _ {y} (z_ {P} -z_ {o}) - \ theta _ {z} (y_ {P} - y_ {o}) \\ & y = y_ {o} + \ theta _ {z} (x_ {P} -x_ {o}) - \ theta _ {x} (z_ {P} -z_ {o} ) \ \ & z = z_ {o} + \ theta _ {x} (y_ {P} -y_ {o}) - \ theta _ {y} (x_ {P} -x_ {o}) \\\ end {aliniat}} \ dreapta.}

{\ displaystyle \ left \ {{\ begin {align} & x = x_ {o} + \ theta _ {y} (z_ {P} -z_ {o}) - \ theta _ {z} (y_ {P} - y_ {o}) \\ & y = y_ {o} + \ theta _ {z} (x_ {P} -x_ {o}) - \ theta _ {x} (z_ {P} -z_ {o} ) \ \ & z = z_ {o} + \ theta _ {x} (y_ {P} -y_ {o}) - \ theta _ {y} (x_ {P} -x_ {o}) \\\ end {aliniat}} \ dreapta.}

Care poate fi rescris ca o relație tensorială:

{\begin{pmatrix}x\\y\\z\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}x_{o}\\y_{o}\\z_{o}\\\end{pmatrix}}+\underbrace {\begin{bmatrix}0&-\theta _{z}&\theta _{y}\\\theta _{z}&0&-\theta _{x}\\-\theta _{y}&\theta _{x}&0\\\end{bmatrix}} _{\displaystyle {\mathbf {W} _{ij}}}\cdot {\begin{pmatrix}x_{p}-x_{o}\\y_{p}-y_{o}\\z_{p}-z_{o}\\\end{pmatrix}}\implies \mathbf {r} _{P}=\mathbf {r} _{o}+{\underline {\underline {\mathbf {W} }}}\cdot \mathbf {r}

{\ displaystyle {\ begin {pmatrix} x \\ y \\ z \\\ end {pmatrix}} = {\ begin {pmatrix} x_ {o} \\ y_ {o} \\ z_ {o} \\\ end {pmatrix}} + \ underbrace {\ begin {bmatrix} 0 & - \ theta _ {z} & \ theta _ {y} \\\ theta _ {z} & 0 & - \ theta _ {x} \\ - \ theta _ {y} & \ theta _ {x} & 0 \\\ end {bmatrix}} _ {\ displaystyle {\ mathbf {W} _ {ij}}} \ cdot {\ begin {pmatrix} x_ { p} -x_ {o} \\ y_ {p} -y_ {o} \\ z_ {p} -z_ {o} \\\ end {pmatrix}} \ implica \ mathbf {r} _ {P} = \ mathbf {r} _ {o} + {\ underline {\ underline {\ mathbf {W}}}} \ cdot \ mathbf {r}}

{\ displaystyle {\ begin {pmatrix} x \\ y \\ z \\\ end {pmatrix}} = {\ begin {pmatrix} x_ {o} \\ y_ {o} \\ z_ {o} \\\ end {pmatrix}} + \ underbrace {\ begin {bmatrix} 0 & - \ theta _ {z} & \ theta _ {y} \\\ theta _ {z} & 0 & - \ theta _ {x} \\ - \ theta _ {y} & \ theta _ {x} & 0 \\\ end {bmatrix}} _ {\ displaystyle {\ mathbf {W} _ {ij}}} \ cdot {\ begin {pmatrix} x_ { p} -x_ {o} \\ y_ {p} -y_ {o} \\ z_ {p} -z_ {o} \\\ end {pmatrix}} \ implică \ mathbf {r} _ {P} = \ mathbf {r} _ {o} + {\ underline {\ underline {\ mathbf {W}}}} \ cdot \ mathbf {r}}

unde este $\mathbf {W} _{ij}$ ${\ displaystyle \ mathbf {W} _ {ij}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {W} _ {ij}}$ este tensorul de rotație rigid . Viteza de rotație poate fi definită prin vectorul vitezei unghiulare :

{\boldsymbol {\omega }}={\frac {\mathrm {d} {\boldsymbol {\theta }}}{\mathrm {d} t}}

{\ displaystyle {\ boldsymbol {\ omega}} = {\ frac {\ mathrm {d} {\ boldsymbol {\ theta}}} {\ mathrm {d} t}}}

{\ displaystyle {\ boldsymbol {\ omega}} = {\ frac {\ mathrm {d} {\ boldsymbol {\ theta}}} {\ mathrm {d} t}}}

este direcționată paralel cu axa de rotație cu direcția definită de regula șurubului. Atunci viteza oricărui punct al corpului în raport cu axa de rotație este:

{\frac {\mathrm {d} \mathbf {r} }{\mathrm {d} t}}={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}({\boldsymbol {\theta }}\times \mathbf {r} )={\frac {\mathrm {d} {\boldsymbol {\theta }}}{\mathrm {d} t}}\times \mathbf {r} ={\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {r} =\mathbf {v} _{\theta }

{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} \ mathbf {r}} {\ mathrm {d} t}} = {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} ({\ boldsymbol {\ theta}} \ times \ mathbf {r}) = {\ frac {\ mathrm {d} {\ boldsymbol {\ theta}}} {\ mathrm {d} t}} \ times \ mathbf {r} = {\ boldsymbol {\ omega}} \ times \ mathbf {r} = \ mathbf {v} _ {\ theta}}

{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} \ mathbf {r}} {\ mathrm {d} t}} = {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} ({\ boldsymbol {\ theta}} \ times \ mathbf {r}) = {\ frac {\ mathrm {d} {\ boldsymbol {\ theta}}} {\ mathrm {d} t}} \ times \ mathbf {r} = {\ boldsymbol {\ omega}} \ times \ mathbf {r} = \ mathbf {v} _ {\ theta}}

Variația vitezei unghiulare ne spune că orice punct al corpului față de axa de rotație suferă o accelerație unghiulară :

{\boldsymbol {\alpha }}={\frac {\mathrm {d} {\boldsymbol {\omega }}}{\mathrm {d} t}}

{\ displaystyle {\ boldsymbol {\ alpha}} = {\ frac {\ mathrm {d} {\ boldsymbol {\ omega}}} {\ mathrm {d} t}}}

{\ displaystyle {\ boldsymbol {\ alpha}} = {\ frac {\ mathrm {d} {\ boldsymbol {\ omega}}} {\ mathrm {d} t}}}

Componentele vitezei absolute a unui punct al corpului pe axele mobile $x,\ y,\ z$ ${\ displaystyle x, \ y, \ z}$ ${\ displaystyle x, \ y, \ z}$ sunt date prin proiectarea teoremei vitezei relative:

\mathbf {v} =\mathbf {v} _{o}+\mathbf {v} _{\theta }={\frac {\mathrm {d} \mathbf {r} _{o}}{\mathrm {d} t}}+{\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {r}

{\ displaystyle \ mathbf {v} = \ mathbf {v} _ {o} + \ mathbf {v} _ {\ theta} = {\ frac {\ mathrm {d} \ mathbf {r} _ {o}} { \ mathrm {d} t}} + {\ boldsymbol {\ omega}} \ times \ mathbf {r}}

{\ displaystyle \ mathbf {v} = \ mathbf {v} _ {o} + \ mathbf {v} _ {\ theta} = {\ frac {\ mathrm {d} \ mathbf {r} _ {o}} { \ mathrm {d} t}} + {\ boldsymbol {\ omega}} \ times \ mathbf {r}}

Apelare $\mathbf {v} _{o}=\{{\dot {x}}_{o},\ {\dot {y}}_{o},\ {\dot {z}}_{o}\}$ ${\ displaystyle \ mathbf {v} _ {o} = \ {{\ dot {x}} _ {o}, \ {\ dot {y}} _ {o}, \ {\ dot {z}} _ { sau}\}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {v} _ {o} = \ {{\ dot {x}} _ {o}, \ {\ dot {y}} _ {o}, \ {\ dot {z}} _ { sau}\}}$ viteza absolută de translație a centrului de viteze $\ O$ ${\ displaystyle \ O}$ ${\ displaystyle \ O}$ Și ${\boldsymbol {\omega }}=\{\omega _{x},\ \omega _{y},\ \omega _{z}\}$ ${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ omega}} = \ {\ omega _ {x}, \ \ omega _ {y}, \ \ omega _ {z} \}}$ ${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ omega}} = \ {\ omega _ {x}, \ \ omega _ {y}, \ \ omega _ {z} \}}$ viteza unghiulară, care are componente pe cele trei axe mobile de rotație $\ x,\ y,\ z$ ${\ displaystyle \ x, \ y, \ z}$ ${\ displaystyle \ x, \ y, \ z}$ , avem acele valori ${\dot {x}}_{o},\ {\dot {y}}_{o},\ {\dot {z}}_{o},\ \omega _{x},\ \omega _{y},\ \omega _{z}$ ${\ displaystyle {\ dot {x}} _ {o}, \ {\ dot {y}} _ {o}, \ {\ dot {z}} _ {o}, \ \ omega _ {x}, \ \ omega _ {y}, \ \ omega _ {z}}$ ${\ displaystyle {\ dot {x}} _ {o}, \ {\ dot {y}} _ {o}, \ {\ dot {z}} _ {o}, \ \ omega _ {x}, \ \ omega _ {y}, \ \ omega _ {z}}$ se numesc parametri ai mișcării rigide . Prin urmare, sistemul rezultat este:

\left\{{\begin{aligned}&{\dot {x}}={\dot {x}}_{o}+\omega _{y}(z_{P}-z_{o})-\omega _{z}(y_{P}-y_{o})\\&{\dot {y}}={\dot {y}}_{o}+\omega _{z}(x_{P}-x_{o})-\omega _{x}(z_{P}-z_{o})\\&{\dot {z}}={\dot {z}}_{o}+\omega _{x}(y_{P}-y_{o})-\omega _{y}(z_{P}-z_{o})\\\end{aligned}}\right.

{\ displaystyle \ left \ {{\ begin {align} & {\ dot {x}} = {\ dot {x}} _ {o} + \ omega _ {y} (z_ {P} -z_ {o} ) - \ omega _ {z} (y_ {P} -y_ {o}) \\ & {\ dot {y}} = {\ dot {y}} _ {o} + \ omega _ {z} (x_ {P} -x_ {o}) - \ omega _ {x} (z_ {P} -z_ {o}) \\ & {\ dot {z}} = {\ dot {z}} _ {o} + \ omega _ {x} (y_ {P} -y_ {o}) - \ omega _ {y} (z_ {P} -z_ {o}) \\\ end {align}} \ right.}

{\ displaystyle \ left \ {{\ begin {align} & {\ dot {x}} = {\ dot {x}} _ {o} + \ omega _ {y} (z_ {P} -z_ {o} ) - \ omega _ {z} (y_ {P} -y_ {o}) \\ & {\ dot {y}} = {\ dot {y}} _ {o} + \ omega _ {z} (x_ {P} -x_ {o}) - \ omega _ {x} (z_ {P} -z_ {o}) \\ & {\ dot {z}} = {\ dot {z}} _ {o} + \ omega _ {x} (y_ {P} -y_ {o}) - \ omega _ {y} (z_ {P} -z_ {o}) \\\ end {align}} \ right.}

Care poate fi rescris ca o relație tensorială:

{\begin{pmatrix}{\dot {x}}\\{\dot {y}}\\{\dot {z}}\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}{\dot {x}}_{o}\\{\dot {y}}_{o}\\{\dot {z}}_{o}\\\end{pmatrix}}+\underbrace {\begin{bmatrix}0&-\omega _{z}&\omega _{y}\\\omega _{z}&0&-\omega _{x}\\-\omega _{y}&\omega _{x}&0\\\end{bmatrix}} _{\displaystyle {{\dot {\mathbf {W} }}_{ij}}}\cdot {\begin{pmatrix}x_{p}-x_{o}\\y_{p}-y_{o}\\z_{p}-z_{o}\\\end{pmatrix}}\implies \mathbf {v} _{P}=\mathbf {v} _{o}+{\dot {\underline {\underline {\mathbf {W} }}}}\cdot \mathbf {r}

{\ displaystyle {\ begin {pmatrix} {\ dot {x}} \\ {\ dot {y}} \\ {\ dot {z}} \\\ end {pmatrix}} = {\ begin {pmatrix} { \ dot {x}} _ {o} \\ {\ dot {y}} _ {o} \\ {\ dot {z}} _ {o} \\\ end {pmatrix}} + \ underbrace {\ begin {bmatrix} 0 & - \ omega _ {z} & \ omega _ {y} \\\ omega _ {z} & 0 & - \ omega _ {x} \\ - \ omega _ {y} & \ omega _ {x} & 0 \\\ end {bmatrix}} _ {\ displaystyle {{\ dot {\ mathbf {W}}} _ {ij}}} \ cdot {\ begin {pmatrix} x_ {p} -x_ { o} \\ y_ {p} -y_ {o} \\ z_ {p} -z_ {o} \\\ end {pmatrix}} \ implica \ mathbf {v} _ {P} = \ mathbf {v} _ {o} + {\ dot {\ underline {\ underline {\ mathbf {W}}}}} \ cdot \ mathbf {r}}

{\ displaystyle {\ begin {pmatrix} {\ dot {x}} \\ {\ dot {y}} \\ {\ dot {z}} \\\ end {pmatrix}} = {\ begin {pmatrix} { \ dot {x}} _ {o} \\ {\ dot {y}} _ {o} \\ {\ dot {z}} _ {o} \\\ end {pmatrix}} + \ underbrace {\ begin {bmatrix} 0 & - \ omega _ {z} & \ omega _ {y} \\\ omega _ {z} & 0 & - \ omega _ {x} \\ - \ omega _ {y} & \ omega _ {x} & 0 \\\ end {bmatrix}} _ {\ displaystyle {{\ dot {\ mathbf {W}}} _ {ij}}} \ cdot {\ begin {pmatrix} x_ {p} -x_ { o} \\ y_ {p} -y_ {o} \\ z_ {p} -z_ {o} \\\ end {pmatrix}} \ implica \ mathbf {v} _ {P} = \ mathbf {v} _ {o} + {\ dot {\ underline {\ underline {\ mathbf {W}}}}} \ cdot \ mathbf {r}}

unde este ${\dot {\mathbf {W} }}_{ij}$ ${\ displaystyle {\ dot {\ mathbf {W}}} _ {ij}}$ ${\ displaystyle {\ dot {\ mathbf {W}}} _ {ij}}$ este tensorul vitezei unghiulare . Același punct suferă o accelerație dată de:

\mathbf {a} ={\frac {\mathrm {d} \mathbf {v} }{\mathrm {d} t}}={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\left({\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {r} \right)={\frac {\mathrm {d} {\boldsymbol {\omega }}}{\mathrm {d} t}}\times \mathbf {r} +{\boldsymbol {\omega }}\times {\frac {\mathrm {d} \mathbf {r} }{\mathrm {d} t}}={\boldsymbol {\alpha }}\times \mathbf {r} +{\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {v} _{\theta }=\mathbf {a} _{\theta }+\mathbf {a} _{n}

{\ displaystyle \ mathbf {a} = {\ frac {\ mathrm {d} \ mathbf {v}} {\ mathrm {d} t}} = {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} \ left ({\ boldsymbol {\ omega}} \ times \ mathbf {r} \ right) = {\ frac {\ mathrm {d} {\ boldsymbol {\ omega}}} {\ mathrm {d} t }} \ times \ mathbf {r} + {\ boldsymbol {\ omega}} \ times {\ frac {\ mathrm {d} \ mathbf {r}} {\ mathrm {d} t}} = {\ boldsymbol {\ alfa}} \ times \ mathbf {r} + {\ boldsymbol {\ omega}} \ times \ mathbf {v} _ {\ theta} = \ mathbf {a} _ {\ theta} + \ mathbf {a} _ { n}}

{\ displaystyle \ mathbf {a} = {\ frac {\ mathrm {d} \ mathbf {v}} {\ mathrm {d} t}} = {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} \ left ({\ boldsymbol {\ omega}} \ times \ mathbf {r} \ right) = {\ frac {\ mathrm {d} {\ boldsymbol {\ omega}}} {\ mathrm {d} t }} \ times \ mathbf {r} + {\ boldsymbol {\ omega}} \ times {\ frac {\ mathrm {d} \ mathbf {r}} {\ mathrm {d} t}} = {\ boldsymbol {\ alfa}} \ times \ mathbf {r} + {\ boldsymbol {\ omega}} \ times \ mathbf {v} _ {\ theta} = \ mathbf {a} _ {\ theta} + \ mathbf {a} _ { n}}

unde termenul $\mathbf {a} _{\theta }$ ${\ displaystyle \ mathbf {a} _ {\ theta}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {a} _ {\ theta}}$ reprezintă accelerația tangențială, direcționată în aceeași direcție ca viteza tangențială $\mathbf {v} _{\theta }$ ${\ displaystyle \ mathbf {v} _ {\ theta}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {v} _ {\ theta}}$ , care este, de asemenea, responsabil pentru variația în modul a acestuia din urmă, în timp ce al doilea termen $\mathbf {a} _{n}$ ${\ displaystyle \ mathbf {a} _ {n}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {a} _ {n}}$ reprezintă accelerația radială îndreptată spre centrul circumferinței și este responsabilă de variația în direcția vitezei tangențiale. Categoric:

\mathbf {a} =\mathbf {a} _{\theta }+\mathbf {a} _{R}={\frac {\mathrm {d} \mathbf {v} }{\mathrm {d} t}}{\hat {\mathbf {T} }}-{\frac {v_{\theta }^{2}}{r}}{\hat {\mathbf {N} }}

{\ displaystyle \ mathbf {a} = \ mathbf {a} _ {\ theta} + \ mathbf {a} _ {R} = {\ frac {\ mathrm {d} \ mathbf {v}} {\ mathrm {d } t}} {\ hat {\ mathbf {T}}} - {\ frac {v _ {\ theta} ^ {2}} {r}} {\ hat {\ mathbf {N}}}}

{\ displaystyle \ mathbf {a} = \ mathbf {a} _ {\ theta} + \ mathbf {a} _ {R} = {\ frac {\ mathrm {d} \ mathbf {v}} {\ mathrm {d } t}} {\ hat {\ mathbf {T}}} - {\ frac {v _ {\ theta} ^ {2}} {r}} {\ hat {\ mathbf {N}}}}

unde este ${\hat {\mathbf {T} }}$ ${\ displaystyle {\ hat {\ mathbf {T}}}}$ ${\ displaystyle {\ hat {\ mathbf {T}}}}$ Și ${\hat {\mathbf {N} }}$ ${\ displaystyle {\ hat {\ mathbf {N}}}}$ ${\ displaystyle {\ hat {\ mathbf {N}}}}$ sunt respectiv versorii asociați cu direcția tangentă și direcția radială a circumferinței descrisă de mișcarea corpului.

Dinamica corpului rigid

Același subiect în detaliu: ecuațiile cardinale ale dinamicii .

În ceea ce privește partea dinamică a mișcării unui corp rigid, știm că un sistem continuu este supus ecuațiilor cardinale ale dinamicii

\left\{{\begin{aligned}&\mathbf {F} ^{(e)}={\frac {\mathrm {d} \mathbf {p} _{\text{CM}}}{\mathrm {d} t}}=m{\frac {\mathrm {d} \mathbf {v} _{CM}}{\mathrm {d} t}}\\[6pt]&\mathbf {M} ^{(e)}={\frac {\mathrm {d} \mathbf {L} }{\mathrm {d} t}}\end{aligned}}\right.

{\ displaystyle \ left \ {{\ begin {align} & \ mathbf {F} ^ {(e)} = {\ frac {\ mathrm {d} \ mathbf {p} _ {\ text {CM}}} { \ mathrm {d} t}} = m {\ frac {\ mathrm {d} \ mathbf {v} _ {CM}} {\ mathrm {d} t}} \\ [6pt] & \ mathbf {M} ^ {(e)} = {\ frac {\ mathrm {d} \ mathbf {L}} {\ mathrm {d} t}} \ end {align}} \ right.}

{\ displaystyle \ left \ {{\ begin {align} & \ mathbf {F} ^ {(e)} = {\ frac {\ mathrm {d} \ mathbf {p} _ {\ text {CM}}} { \ mathrm {d} t}} = m {\ frac {\ mathrm {d} \ mathbf {v} _ {CM}} {\ mathrm {d} t}} \\ [6pt] & \ mathbf {M} ^ {(e)} = {\ frac {\ mathrm {d} \ mathbf {L}} {\ mathrm {d} t}} \ end {align}} \ right.}

unde se introduce conceptul de centru de masă la care se referă cantitățile asociate. Pornind de la aceste ecuații, dinamica corpului rigid este perfect determinată. Un corp rigid este izolat singur

\left\{{\begin{aligned}&\mathbf {F} ^{(e)}={\frac {\mathrm {d} \mathbf {p} _{\text{CM}}}{\mathrm {d} t}}=m{\frac {\mathrm {d} \mathbf {v} _{\text{CM}}}{\mathrm {d} t}}=0\\[6pt]&\mathbf {M} ^{(e)}={\frac {\mathrm {d} \mathbf {L} }{\mathrm {d} t}}=0\end{aligned}}\right.

{\ displaystyle \ left \ {{\ begin {align} & \ mathbf {F} ^ {(e)} = {\ frac {\ mathrm {d} \ mathbf {p} _ {\ text {CM}}} { \ mathrm {d} t}} = m {\ frac {\ mathrm {d} \ mathbf {v} _ {\ text {CM}}} {\ mathrm {d} t}} = 0 \\ [6pt] & \ mathbf {M} ^ {(e)} = {\ frac {\ mathrm {d} \ mathbf {L}} {\ mathrm {d} t}} = 0 \ end {align}} \ right.}

{\ displaystyle \ left \ {{\ begin {align} & \ mathbf {F} ^ {(e)} = {\ frac {\ mathrm {d} \ mathbf {p} _ {\ text {CM}}} { \ mathrm {d} t}} = m {\ frac {\ mathrm {d} \ mathbf {v} _ {\ text {CM}}} {\ mathrm {d} t}} = 0 \\ [6pt] & \ mathbf {M} ^ {(e)} = {\ frac {\ mathrm {d} \ mathbf {L}} {\ mathrm {d} t}} = 0 \ end {align}} \ right.}

iar aceste ecuații introduc legi de conservare și fac parte dintr-o ramură a mecanicii newtoniene numită statică .

În ceea ce privește partea energetică a mișcării unui corp rigid, energia cinetică $T.$ ${\ displaystyle T}$ $T.$ are contribuția energiei cinetice translaționale $T_{t}$ ${\ displaystyle T_ {t}}$ ${\ displaystyle T_ {t}}$ iar a celui de rotație $T_{r}$ ${\ displaystyle T_ {r}}$ ${\ displaystyle T_ {r}}$ în general, pentru o mișcare plană, dată de

T=T_{t}+T_{r}={\frac {1}{2}}mv_{\text{CM}}^{2}+{\frac {1}{2}}I_{\text{CM}}\omega ^{2}

{\ displaystyle T = T_ {t} + T_ {r} = {\ frac {1} {2}} mv _ {\ text {CM}} ^ {2} + {\ frac {1} {2}} I_ {\ text {CM}} \ omega ^ {2}}

{\ displaystyle T = T_ {t} + T_ {r} = {\ frac {1} {2}} mv _ {\ text {CM}} ^ {2} + {\ frac {1} {2}} I_ {\ text {CM}} \ omega ^ {2}}

unde este $I_{\text{CM}}$ ${\ displaystyle I _ {\ text {CM}}}$ ${\ displaystyle I _ {\ text {CM}}}$ este momentul de inerție al corpului față de axa perpendiculară pe planul mișcării și care trece prin centrul de masă, în timp ce $\mathbf {v} _{\text{CM}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {v} _ {\ text {CM}}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {v} _ {\ text {CM}}}$ este viteza centrului de masă. De asemenea, ar trebui să se țină seama de faptul că teorema lui Huygens-Steiner se menține și activitatea forțelor interne ale unui corp rigid este nulă pentru al treilea principiu al dinamicii . Rețineți că dacă corpul se rotește în jurul unei axe ${\hat {z}}$ ${\ displaystyle {\ hat {z}}}$ ${\ hat z}$ nu baricentric, dacă este indicat cu $r$ ${\ displaystyle r}$ $r$ se obține distanța centrului de greutate de axa de rotație

T={\frac {1}{2}}(mr^{2}+I_{\text{CM}})\omega ^{2}={\frac {1}{2}}I_{\hat {z}}\omega ^{2}

{\ displaystyle T = {\ frac {1} {2}} (mr ^ {2} + I _ {\ text {CM}}) \ omega ^ {2} = {\ frac {1} {2}} I_ {\ hat {z}} \ omega ^ {2}}

{\ displaystyle T = {\ frac {1} {2}} (mr ^ {2} + I _ {\ text {CM}}) \ omega ^ {2} = {\ frac {1} {2}} I_ {\ hat {z}} \ omega ^ {2}}

fiind $I_{\hat {z}}$ ${\ displaystyle I _ {\ hat {z}}}$ ${\ displaystyle I _ {\ hat {z}}}$ momentul de inerție față de axa de rotație ${\hat {z}}$ ${\ displaystyle {\ hat {z}}}$ ${\ hat z}$ .

Exemple

Mișcările plane rigide sunt cele în care corpul se rotește în jurul unei axe fixe și mișcarea rulării pure , mișcarea pendulului compus și cea a vârfului .

Elemente conexe

Alte proiecte

Wikiversitatea conține resurse corporale dure

Controlul autorității	Thesaurus BNCF 37416 · GND (DE) 4182935-9

Portalul mecanicii : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de mecanică